SYARAT PERLU MENGKONSTRUKSIKAN RELASI EKIVALENSI PADA RING TIDAK KOMUTATIP ELVINA HERAWATY

Transkripsi

1 SYARAT PERLU MENGKONSTRUKSIKAN RELASI EKIVALENSI PADA RING TIDAK KOMUTATIP ELVINA HERAWATY Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Abstrak Diketengahkan metode memperluas himpunan bilangan bulat Z ke himpunan bilangan rasional Q dengan metode relasi ekivalensi pada ring yang tidal komutatip. I. Pengantar 1.1 Latar Belakang Salah satu metode memperluas himpunan bilangan bulat Z ke himpunan bilangan rasional Q adalah dengan mendefinisikan relasi ~ pada Z x Z\{O} sebagai berikut: (a, x) -(b, y) <=> ay = bx untuk setiap (a, x) dan (b, y) E Zx Z \{O}. Relasi '~' merupakan relasi ekivalensi. Oleh karena itu pada Z x Z\{O} terjadi kosetkoset (klas-klas ekivalensi) yang saling asing, ditulis dengan a / x = { (b, y) E Z X Z\{O} : (a, x) -(b, y) } Misalkan Q(Z) merupakan koleksi semua koset yang memuat (a, x) ditulis Q(z)= {a/x: (a, x) E ZxZ\{O} } Dan apabila didefinisikan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) sebagai berikut a/x + b / y= (ay+ bx) / (xy) dan a/x. b /y= (ab) / (xy) Maka diperoleh (Q(z), +,.) adalah ring. Tetapi Q(Z) bukan hanya ring melainkan merupakan lapangan bilangan rasional.dengan kata lain Q(Z) = Q. Hal diatas dapat kita perluas untuk ring prim yang komutatip dan memberikan hasil yang isomorphik dengan ring kuosien Digitized by USU digital library 1

2 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas, untuk ring tidak komutatip, persoalan menjadi berbeda, relasi '~' menjadi tidak ekivalen. 1.3 Tujuan Penulisan Adapun maksud dan tujuan penulisan ini adalah membahas teorema Ore, yang akan memberikan syarat tambah agar relasi '~' pada permasalahan menjadi relasi ekivalensi. 1.4 Tinjauan Pustaka Penulisan ini mengangkat pembuktian teorema Ore yang diambil dari Passman (1990). 1.5 Landasan Teori Bagian ini memberikan definisi dan teorema yang tidak dibuktikan, sebagai penunjang teorema yang terdapat dalam pembahasan. Definisi 1 : Diberikan R suatu ring dan elemen r E R disebut regular jika terdapat r' E R dengan rr'r = r dan elemen a E R disebut invertibel jika R mempunyai unit dan terdapat b E R dengan ab = ba = 1. Definisi 2 : E suatu R-modul disebut M-injektif jika setiap digram berikut O K M E dengan baris eksak dapat diperluas secara komutatip oleh suatu morphisma M E. Monomorphisma f : K M disebut essential, jika Imf essential di M. Dengan kata lain setiap submodul tak nol L M berakibat L Imf {0} Digitized by USU digital library 2

3 Untuk E suatu R - modul injektif, bersama sama dengan monomorphisma essential i : M E disebut hull infektif dari M, ditulis E = E (M) Lemma 3 : Diberikan E suatu hull injektif dari M, H = End R (E R )={f : E R suatu R modul kanan} maka (H,+,.) adalah ring dan E = H modul kiri. E R : E R Definisi 4 : Q max (R ) = End H ( H E) = {f : H E HE : H E suatu H- modul kiri} disebut ring kuosien maksimal dan R Q max (R) Definisi 5 : Jika I suatu ideal kanan dari R dan χ R maka residual x -1 1 didefenisikan sebagaii x-1 1 = { r R : xr I } Lemma 6 : jika I suatu ideal kanan dari R dan χ R maka χ -1 I ideal kanan dari R. Definisi 7 : Jika A himpunan bagian dari R, maka 1.annR (A) = 1.ann (A) = {r R:rA=0}disebut annihilator kiri dari A, dan elemen r R regular jika dan hanya jika 1.ann R (r) r.ann R (r) ={0}. Jika D seberang ideal kaan dari D disebut dense jika dan hanya jika 1.ann R (x - 1 D)=0 untuk setiap χ R Lemma 8 : Diberikan D ideal kanan dense dari R dan I ideal kanan R. Jika I D maka ideal I adalah dense. Lemma 9 : Diberikan D ideal kanan dari R, dan E hull injektif dari R. Maka D adalah dense dan hanya jika 0 = 1.ann E (D) II. Pembahasan Pada bagian ini diberikan R suatu ring dan T himpunan bagian dari R yang tertutup terhadap perkalian, hal ini berarti 1 T dan jika a, b T maka ab T. Dari sini diperoleh definisi berikut Definisi 10: Diberikan ring R dan T himpunan bagian dari elemen-elemen regular di R yang tertutup terhadap perkalian, RT -1 disebut ring kuosien kanan dari R jika : 1. RT -1 adalah ring yang memuat R dengan identitas 1 2. Setiap elemen dari Tadalah invertibel di RT 1 3. Setiap elemen RT -1 berbentuk Rt -1 dengan r R dan t T Digitized by USU digital library 3

4 Tidak seperti situasi untuk ring R komutatip, Rt I tidak selalu dapat dibentuk, untuk itu diperlukan syarat tambahan. Misalkan terdapat RT I dan diberikan sebarang r R dan t T. Maka r, t -1 RT I. Jadi t -1 r RT I. Dari (3) berakibat t -1 r = r l t 1 l untuk suatu r l R dan ti T. Apabila masing-masing sisi dikalikan dengan t dan t l, maka diperoleh rt l = r l t, yaitu suatu persamaan dalam R. Untuk itu diperoleh definisi berikut Definisi 11: Diberikan T himpunan elemen-elemen regular dari ring R yang tertutup terhadap perkalian. T disebut denominator kanan jika setiap r R dan t T terdapat r l R dan t l T terda Pat r 1 Rdan t 1 T dengan rt l = tr i Lemma 12 :: Diberikan T himpunan elemen-elemen regular dari ring R yang tertutup terhadap perkalian. Jika terdapat RT I maka T adalah denominator kanan. Kebalikan lemma diatas tidak berlaku, agar berlaku diperlukan lemma berikut Lemma 13 : Diberikan T himpunan denominator kanan dari R. dan misalkan S suatu ring yang memuat R dengan sifat setiap elemen t T adalah invertibel di S. Jika RT I S didefinisikan sebagai RT I = {rt -1 : r R dan f T}, maka : 1. T 1 R RT 1 2. RT 1 adalah subring dari S yang memuat R 3. Sebarang jumlah yang berhingga dari elemen-elemen dari RT -I dapat ditulis dengan denominator bersamaan, yaitu jika r 1 t -1 1 r 2 t -1,..., r n t -1 n RT 1, maka terdapat S i r I R dan t T dengan r i t -I i = S i t -1 untuk setiap i = 1, 2,..., n. Bukti : (i) (ii) Akan ditunjukkan T 1 R RT 1. Diberikan r R dan t T. Dari diketahui T adalah suatu denominator kanan di R, maka terdapat r 1 R dan t 1 T.dengan rt 1 = r 1 t. Diperoleh t -I r = r 1 t -1 1 RT 1 Akan ditunjukkan terdapat denominator bersama. Misalkan r 1 t -1 1, r 2 t -1 2,..., r n t -1 n RT 1. Akan ditunjukkan dengan induksi pada n, bahwaterdapat s i r i R dan t T dengan r i t -1 i = s i t -l. Benar untuk i = 1, yaitu jika r i t i -1 RT 1 maka r i t i -1 = r 1 rt -l Digitized by USU digital library 4

5 Pilih S 1 = r 1 r r 1 R dan t T dengan r i t - -1 = S 1 t -1 Misalkan benar untuk i = 1,2,..., n -1, yaitu jika r i t -1 i RT 1, maka terdapat S i r i R dan, t T dengan r i t -1 i = s i t -1. Jadi jika i n-1, maka r i t -1 i = s i t -1 = s i tt 1 t -1 = (s i t) (t t) -I. Karena T 1 R RT 1 maka t n 1 t RT 1 dan terdapat s R dan t T dengan t n -1 t = st - 1 atau t n -1 = st -1 t -1. Oleh karena itu r n t n -1 = r n st -1 t -1 = (r n s) (t t ) 1 RT 1 dengan kata lain terdapat s n = r n s r n R. dengan r n t n = s n t 1 (iii) Akan ditunjukkan RT 1 subring dari S yang memuat R. Ambil r 1 t 1 1 RT 1, maka r 1 t 1 1 = s 1 t -1 dan r 2 t 1 = s 2 t -1 bekerja hanya di R. Oleh karna itu r 1 t r 2 t -1 = (s 1 + s 2 )t 1 juga anggota RT 1 Yang berarti RT -1 tertutup dibawah penjumlahan dan penjumlahan ditetapkan di R.. Karena RT -1 adalah ring maka jika r 1 t -1 1 RT -1 maka (r 1 t 1 1 ) RT -1 selanjutnya r 1 t 1 1 = r 2 t -1 2 jika dan hanya jika s 1 t -1 = s 2 t -1.Hal ini jika dan hanya jika s 1 = s 2. Terakhir dengan bekerja dalam R dapat diperoleh S 3 R dan r 3 T dengan t -1 1 r 2 = s 3 t 3. Oleh karena itu r 1 t r 2 t 2 =r 1 s 3 t 1 3 t -1 2 = (r 1 s 3 ) (t 2 t 3 ) -1 RT 1 Dari lemma diatas diperoleh teorema berikut : Teorema ( Ore) 14: Jika T himpunan denominator kanan maka terdapat ring kuosien kanan RT -1 Bukti : Berdasarkan lemma diatas cukup dicari ring S R dengan elemen-elemen dari T adalah invertibel di S. Untuk itu dipilih S = Q max (R). Misalkan E = E (R R ) dan H = End R (E R ). Ingat bahwa Q max (R) = End H ( H E). Diberikan t T. Akan ditunjukkan t invertibel di S. Jika r R maka terdapat r 1 R dan t 1 T dengan rt 1 = tr 1 tr. Dapat ditunjukkan bahwa tr adalah ideal kanan dari R dan jika r R, maka residualnya adalah r -1 (tr). Jadi t 1 r -1 (tr) dengan r -1 (tr) ideal kanan di R. Karena tl regular maka l.ann R (r -l (tr) = O. Oleh karena itu tr adalah ideal kanan dense dari R. Dari lemma (9), diperoleh l.ann E (tr) = O. Khususnya l.ann E (t) = O Digitized by USU digital library 5

6 Selanjutnya ambil e E sebarang.karena r.ann R (t) = 0, fungsi σ: tr E dengan aturan perkawanan tr er adalah well defined R-homomorphisma. Karena E injektif, σ diperluas ke fungsi p: R E dan karena itu e = σ (t) = p(t) = p(1) t Et. Dengan kata lain E = Et. Terakhir karena E = E t dan l.ann E (t) = 0.Bentuk fungsi ϕ : E E dengan aturan et e. Dapat ditunjukkan ϕ well definend dan merupakan endomorphisma H-modul kiri dari E. Jadi ϕ Q max (R). Selanjutnya (et) σ = e untuk setiap e E dan (f) σ t = ft = f untuk setiap f Et = E.. Hal ini berarati tσ =σt = 1. Jadi t -1 = σ S. Rujukan 1. C. Musili, Introduction to Ring and Modules, Narosa Publishing House, New Delhi, D.S. Passman, A Course in Ring Theory, Mathematics series, R. Wisbauer, Modul and Algebra, University of Dusseldorf, W.A. Adkins and S.H Weintraub, Algebra, Springer-Verlag, New-york, Digitized by USU digital library 6