PELABELAN TOTAL BUSUR AJAIB b-busur BERURUTAN PADA GRAF LOBSTER L n (2; r) DAN L n (2; r, s) SKRIPSI SYARIFANI RACHMAWATI

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN TOTAL BUSUR AJAIB b-busur BERURUTAN PADA GRAF LOBSTER L n (; ) DAN L n (;, s) SKRIPSI SYARIFANI RACHMAWATI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 0 Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

2 UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN TOTAL BUSUR AJAIB b-busur BERURUTAN PADA GRAF LOBSTER L n (; ) DAN L n (;, s) SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu syaat untuk mempeoleh gela sajana sains SYARIFANI RACHMAWATI FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 0 Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

3 HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Skipsi ini adalah hasil kaya sendii, dan semua sumbe baik yang dikutip maupun diujuk telah saya nyatakan dengan bena. Nama : Syaifani Rachmawati NPM : Tanda Tangan : Tanggal : Juni 0 iii Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

4 HALAMAN PENGESAHAN Skipsi ini diajukan oleh Nama : Syaifani Rachmawati NPM : Pogam Studi : Sajana Matematika Judul Skipsi : Pelabelan Total Busu Ajaib b-busu Beuutan Pada Gaf Lobste L n (; ) Dan L n (;, s) Telah behasil dipetahankan di hadapan Dewan Penguji dan diteima sebagai bagian pesyaatan yang dipelukan untuk mempeoleh gela Sajana Sains pada Pogam Studi S Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univesitas Indonesia DEWAN PENGUJI Pembimbing : Da. Denny Riama Silaban, M. Kom Penguji I : Da. Noa Haiadi, M.Si Penguji II : Aie Wibowo, M.Si Ditetapkan di : Depok Tanggal : Juni 0 iv Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

5 KATA PENGANTAR Alhamdulillahi abbil aalamiin, segala puji dan syuku penulis panjatkan bagi Allah SWT atas segala nikmat dan idha-nya yang telah dibeikan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skipsi ini. Skipsi ini dibuat untuk memenuhi syaat menjadi Sajana Sains juusan Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univesitas Indonesia. Penulis menyadai bahwa skipsi ini tidaklah sempuna, banyak tedapat kekuangan dalam penulisan. Untuk itu penulis menghaapkan kitik dan saan guna menyempunakan skipsi ini. Penulis telah banyak dibantu dan dibimbing oleh pihak-pihak yang sangat bejasa mulai dai awal pekuliahan hingga penyusunan skipsi ini. Oleh kaena itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan teimakasih kepada:. Ibu dan Bapak penulis, Endang Retnowati dan Djoni Sunadjono, selaku oangtua penulis yang telah mencuahkan cinta dan kasih sayang, nasihat, seta untaian do a yang selalu mengiingi langkah penulis. Eyang uti seta keluaga besa penulis, teimakasih telah membeikan dukungan seta do a kepada penulis.. Ibu Da. Denny Riama Silaban, M.Kom selaku pembimbing skipsi yang telah banyak membantu, membeikan ilmu, masukan, seta motivasi kepada penulis dimulai dai masa pekuliahan hingga dapat menyelesaikan skipsi ini.. Ibu Da. Saskya May Soematojo, M.Si selaku pembimbing akademis yang telah membimbing dan mengaahkan penulis pada tiap semeste mulai dai awal pekuliahan hingga penulis menyelesaikan skipsi.. Bapak Ibu dosen pengaja di Depatemen Matematika, Bapak D. Yudhi Satia, M.T. selaku Ketua Depatemen Matematika, Ibu Rahmi Rusin, S.Si., M.ScTech. selaku Seketais Depatemen Matematika, Ibu Mila Novita selaku Koodinato Kemahasiswaan, dan Ibu D. Dian Lestai selaku v Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

6 Koodinato Pendidikan, Ibu D. Kiki Aiyanti Sugeng, Da. Suasih Utama, Pof. D. Belawati HW, Da. Noa Haiadi, M.Si., Da. Ida Fithiani, M.Si., Dhian Widya, S.Si, M.Kom., Fevi Novkaniza, S.Si, M.Si., Helen Buhan, S.Si., M.Si., Da. Rustina, Da. Siti Aminah, M.Kom., Da. Siti Nuohmah, Da. Si Haini, M.Kom., dan kepada Bapak Alhaji Akba, S.Si., M.Sc., Aie Wibowo, S.Si., M.Si., Pof. D. Djati Keami, Hengki Tasman, S.Si., M.Si., Ds. Suyadi Slamet, M.Sc., Ds. Suyadi MT, M.T., Ds. Zuheman Rustam, DEA., dan semua dosen yang tanpa menguangi asa homat tidak dapat disebutkan namanya satu pe satu, teima kasih telah membeikan ilmu seta saan dan kitik selama masa pekuliahan. 5. Seluuh kayawan di Depatemen Matematika, Mbak Santi, Pak Saliman, Pak Ansoi, Mas Salman, Mbak Rusmi, tanpa menguangi asa homat tidak dapat disebutkan namanya satu pe satu, teima kasih telah membantu penulis dalam uusan administasi dan peminjaman buku seta bantuan yang telah dibeikan kepada penulis. 6. Rekan sepejuangan penulis dalam menulis skipsi, Wulan dan Aief, yang telah bejuang besama, saling mendukung, membeikan ide, teman bebagi saat bingung gimana caa menuangkan ide yang ada dikepala kedalam tulisan, mendenga cuhatan mulai dai awal menyusun skipsi hingga skipsi ini dicetak, makasih banyak ya. We can do it guys. 7. Rekan-ekan satu almamate gaph labeling, Kak Aif yang sudah banyak membantu seta bebagi ilmu dan pengalaman menulis skipsi, Kak Hikma, Kak Siti, Kak Andi, Kak Cimz, (yang segea menyusul) Agnes, Ifah, Uchi dan Kak Noa yang udah bikin kelas bimbingan jadi ame dan seu, tetap semangat ya buat kita semua. 8. Raden Ahadian Ramadhan, yang selalu membeikan kasih sayang, pehatian, dukungan, seta bebagi suka duka. Teimakasih telah membuat hai-hai penulis lebih indah, bemakna dan bewana. 9. Keluaga kecil penulis: Agnes, Oline, Gen Resti, yang udah bebagi ceita, istilah bau, bahkan mempedebatkan hal yang tidak penting, Uyut : May, Umbu, Maul, Oma Cita, Nita, Mei, Risya yang telah menemani penulis vi Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

7 mengeja, menunggu keeta, dan mengobol sepanjang pejalanan, Maimun yang telah menjadi tuto buat penulis saat pekan ujian, Adhi, Bang Andy selaku Ketua Angkatan, Awe, Aman, Bowo, Kiki, Numa, Ibu Gondong Tuti, Ines, Bu Luah Ega, Agen Ade, Agen Dila, yang telah menjadi patne download, distibuto Running Man, dan film koea, Uchi yang sudah besedia membei tumpangan kama setiap mau ujian, Ifah, Mbak Yul, Anitchah, Yulian, Dheni, Aief, Sita, Mba Luthfa, Dhea, Aci, Cindy, Ijut, Danis, Puwo, Akies, Agy, Ko Hen, Mas Puput, Dede, Masyku, Juni, Wulan, Dewe, Siwi, Vika, Noa Tante Rambut Palsu, Janu, Eka, Emy, Icha, Dian, Uchi L, Ze, teima kasih telah membeikan pengalaman seta kenangan mulai dai PDM, kepanitiaan, seta momen-momen indah dan menaik yang tejadi setiap kebesamaan kita. Matematika 008: One Math, One Family! 0. Kakak - kakak angkatan 005, 006, 007, seta teman-teman 009, 00, dan 0 yang telah banyak membantu dan membagi pengalaman.. Sahabat-sahabat penulis di PMR, Atha, Ria, Inong, Onta, Inda, Tama, Budi, Yunia, Rahmat, teimakasih telah menjaga silatuahmi sampai detik ini.. Sahabat-sahabat HC, Tono, Uwi, Yapic, Oneng, Amel, Toge, Aji, Bang Ai, Awal, Mba Rina, yang selalu membawa keceiaan dan ceita bau setiap kali betemu. Teimakasih juga kepada pihak yang telah banyak membantu yang tidak dapat disebutkan satu pe satu. Akhi kata, mohon maaf jika tedapat kesalahan dan kekuangan pada skipsi ini, semoga skipsi ini dapat bemanfaat bagi pembaca. Penulis 0 vii Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

8 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivitas akademik Univesitas Indonesia, saya yang betanda tangan di bawah ini: Nama : Syaifani Rachmawati NPM : Pogam Studi : Sajana Matematika Depatemen : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jenis kaya : Skipsi demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk membeikan kepada Univesitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty Fee Right) atas kaya ilmiah saya yang bejudul : Pelabelan Total Busu Ajaib b-busu Beuutan pada Gaf Lobste L n (; ) dan L n (;, s) beseta peangkat yang ada (jika dipelukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Univesitas Indonesia behak menyimpan, mengalihmedia/fomat-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), meawat, dan memublikasikan tugas akhi saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian penyataan ini saya buat dengan sebenanya. viii Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

9 Dibuat di : Depok Pada tanggal : Juni 0 Yang menyatakan (Syaifani Rachmawati) ix Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

10 ABSTRAK Nama Pogam Studi Judul : Syaifani Rachmawati : Matematika : Pelabelan Total Busu Ajaib b-busu Beuutan pada Gaf Lobste L n (; ) dan L n (;, s) Misalkan suatu gaf G = (V, E) dengan v = V simpul dan e = E busu adalah gaf behingga, sedehana, dan tidak beaah. Pelabelan total busu ajaib pada G adalah pemetaan bijektif f dai ke himpunan bilangan bulat * +, dimana tedapat suatu konstanta k sedemikian sehingga bobot busu untuk setiap. Pelabelan total busu ajaib b- busu beuutan pada G adalah pelabelan total busu ajaib dan * +. Pada skipsi ini dibeikan konstuksi pelabelan total busu ajaib b-busu beuutan pada gaf lobste (semi) teatu L n (; ) dan L n (;, s) dengan n,, dan s bilangan-bilangan bulat positif. Kata Kunci xv + 5 halaman : Pelabelan total busu ajaib, pelabelan total busu ajaib b-busu beuutan, gaf lobste, gaf teatu. ; gamba ; tabel Dafta Pustaka : 9 (986-0) x Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

11 ABSTRACT Name Study Pogam Title : Syaifani Rachmawati : Mathematics : A b-edge Consecutive Edge Magic Total Labeling on Lobste Gaph L n (; ) and L n (;, s) Let G = (V, E) with v = V vetices and e = E edges, be a finite, simple, and undiected gaph. An edge magic total labeling is a bijection f fom to the set of consecutive integes * + and thee exist a constant k such that the weights of the edges fo evey. A b-edge consecutive edge magic total labeling of G is an edge magic total labeling and * +. This skipsi constucts a b-edge consecutive edge magic total labeling on some classes of tee, that ae (semi) egula lobste gaph L n (; ) and L n (;, s), whee n,, and s ae positive integes. Keywods xv + 5 pages : b-edge consecutive edge magic total labeling, edge magic total labeling, lobste gaph, egula gaph. ; pictues; table Bibliogaphy : 9 (986; 0) xi Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

12 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... ii LEMBAR PERNYATAAN ORISINALITAS... iii LEMBAR PENGESAHAN... iv KATA PENGANTAR... v LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... viii ABSTRAK... x ABSTRACT... xi DAFTAR ISI... xii DAFTAR GAMBAR... xiv DAFTAR TABEL... xv BAB PENDAHULUAN.... Lata Belakang.... Pemasalahan dan Ruang Lingkup.... Jenis Penelitian dan Metode yang Digunakan.... Tujuan Penulisan... 5 BAB LANDASAN TEORI Definisi dan Istilah Dalam Teoi Gaf Jenis-Jenis Gaf Pelabelan Gaf.... Pelabelan Total Busu Ajaib b-busu Beuutan... BAB PELABELAN TOTAL BUSUR AJAIB b-busur BERURUTAN PADA GRAF LOBSTER PTBA b-busu Beuutan pada Gaf Lobste L n (; )... 8 xii Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

13 . PTBA b-busu Beuutan pada Gaf Lobste L n (; )... BAB KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA... 5 xiii Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

14 DAFTAR GAMBAR Gamba. Pesegi ajaib pada kua-kua... Gamba. Pesegi ajaib... Gamba. Gaf G... 6 Gamba. Gaf lingkaan C Gamba. Gaf lintasan P Gamba. Gaf bintang S Gamba.5 Gaf catepilla... 9 Gamba.6 Gaf lobste Gamba.7 Gaf lobste L (; 5,)... 0 Gamba.8 (a) Pelabelan simpul, (b) Pelabelan busu, (c) Pelabelan total pada gaf lobste L (; 5,)... Gamba.9 Pelabelan total busu ajaib pada gaf lintasan P... Gamba.0 PTBA -busu beuutan pada gaf lobste L (; )... Gamba. PTBA 6-busu beuutan pada gaf lobste L (; )... 5 Gamba. Penamaan simpul dan busu pada gaf lobste L n (; )... 8 Gamba. (a) Kasus, (b) Kasus, (c) Kasus, (d) Kasus, (e) Kasus Gamba. (a) Pembeian label simpul pada gaf lobste L 5 (; ), (b) Pembeian label simpul pada gaf lobste L 6 (; ), (c) PTBA 0-busu beuutan gaf lobste L 5 (; ), (d) PTBA 7-busu beuutan pada gaf lobste L 6 (; )... Gamba. (a) PTBA 5-busu beuutan gaf lobste L 5 (; ), (b) PTBA 7- busu beuutan pada gaf lobste L 6 (; )... Gamba.5 Penamaan simpul dan busu pada gaf lobste L n (;, s).... Gamba.6 (a) Kasus, (b) Kasus, (c) Kasus, (d) Kasus, (e) Kasus Gamba.7 (a) Pembeian label simpul pada gaf lobste L (;, 5), (b) Pembeian label simpul pada gaf lobste L (;, 5), (c) PTBA 0-busu beuutan gaf lobste L (;, 5), (d) PTBA 7- busu beuutan pada gaf lobste L (;, 5)... 7 xiv Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

15 Gamba.8 (a) PTBA 5-busu beuutan gaf lobste L (;, 5), (b) PTBA 7-busu beuutan pada gaf lobste L (;, 5)... 8 DAFTAR TABEL Tabel. Pelabelan total busu ajaib b-busu beuutan...50 xv Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

16 BAB I PENDAHULUAN. Lata Belakang Pelabelan gaf meupakan salah satu cabang yang dipelajai dalam teoi gaf. Tokoh yang mempekenalkan pelabelan gaf untuk petama kalinya adalah Sedláček pada tahun 96. Salah satu jenis pelabelan pada gaf ialah pelabelan ajaib. Pelabelan ajaib meupakan pengembangan dai pesegi ajaib. Sejaah pesegi ajaib dimulai sekita 800 sebelum masehi di Cina dan India. Masyaakat Cina pecaya bahwa pesegi ajaib x ini sebagai kekuatan pelindung dai oh jahat. Suatu hai banji besa melanda sungai Lo. Masyaakat mencoba mencai sesuatu untuk meedakan kemaahan dai Dewa sungai. Kemudian seeko kua-kua muncul dai sungai dengan pola pesegi ajaib pada tempuungnya. Angka-angka yang tesusun bepola x, pola sembilan kisi tesebut menghasilkan jumlah yang sama yaitu 5 pada setiap bais, kolom, dan diagonalnya. Sungai Lo mulai tenang sejak kemunculan kua-kua tesebut. Sejak peistiwa ini, masyaakat mulai pecaya bahwa pesegi ajaib ini dapat digunakan untuk mengontol sungai (Jahannathan, 005, p. &). Pola pesegi ajaib yang tedapat pada tempuung kua-kua tesebut ditunjukkan oleh Gamba.. Gamba. Pesegi ajaib pada kua-kua Pesegi ajaib adalah suatu pesegi dengan ukuan nxn petak dimana entinya adalah susunan himpunan bilangan bulat * +, jika elemen pada setiap bais, kolom, maupun diagonal utamanya dijumlahkan akan Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

17 menghasilkan jumlah yang sama (Wallis, 00, p. ). Contoh pesegi ajaib ditunjukkan oleh Gamba Gamba. Pesegi ajaib Suatu gaf G tedii dai himpunan behingga obyek-obyek yang disebut simpul-simpul besama dengan himpunan dai pasangan tak teuut simpul yang disebut busu. Ode dai dan adalah v dan e, masing-masing disebut ode dan ukuan dai G. Deajat atau valensi dai suatu simpul adalah banyaknya busu dimana x meupakan salah satu titik ujungnya (Wallis, 00, p. 8). Gaf lingkaan adalah gaf tehubung yang setiap simpulnya bedeajat dua. Gaf lingkaan dengan n simpul dinotasikan dengan. Suatu gaf yang dibentuk dai dengan menghapus satu busunya disebut gaf lintasan dengan n simpul, dinotasikan dengan (Wilson, 996, p. 7). Lingkaan adalah baisan behingga simpul dan busu dimana tidak ada simpul dan busu yang beulang, dengan simpul awal sama dengan simpul akhi. Suatu gaf disebut asiklik jika gaf tesebut tidak memiliki lingkaan; gaf asiklik yang tehubung disebut gaf pohon (Wallis, 00, p 0). Contoh dai gaf pohon ialah gaf catepilla, gaf lobste, dan gaf bintang. Gaf catepilla ialah gaf yang dibangun dai gaf lintasan dengan menambahkan sejumlah daun pada setiap simpul pada gaf lintasan (Sugeng & Mille, 008). Gaf catepilla teatu adalah gaf catepilla dimana banyak simpul daun yang dimiliki simpul pada gaf lintasan adalah sama.gaf lobste adalah gaf pohon yang tedii dai satu lintasan (dengan panjang maksimum) dimana setiap simpul lain pada lobste memiliki jaak paling banyak t tehadap lintasan, dengan t adalah suatu bilangan bulat (Khan, Pal dan Pal, 009). Pada definisi tesebut, yang dimaksud dengan jaak adalah jaak antaa simpul lain pada lobste dengan simpul tedekat pada lintasan. yang akan dibahas pada skipsi ini adalah gaf lobste dengan t =. Gaf lobste teatu adalah gaf yang dipeoleh dengan menambahkan sejumlah yang sama simpul daun pada setiap simpul daun dai gaf catepilla teatu. Gaf lobste teatu dinotasikan dengan L n (q; ), dengan n adalah banyak simpul pada lintasan, dimana q adalah banyak Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

18 simpul bejaak dai setiap simpul lintasan dan adalah banyak daun pada setiap simpul yang bejaak dai lintasan. Gaf lobste yang akan dibahas pada skipsi ini adalah gaf lobste teatu L n (; ) dan gaf lobste semi teatu L n (;, s), dimana menyatakan banyak simpul bejaak dai setiap simpul lintasan (kedua simpul ini disebut simpul petama dan simpul kedua), menyatakan banyak daun pada simpul petama dan s menyatakan banyak daun pada simpul kedua. Pelabelan gaf meupakan salah satu cabang yang dipelajai dalam teoi gaf. Pelabelan dai suatu gaf G adalah pemetaan setiap elemen gaf G ke himpunan bilangan (biasanya adalah himpunan bilangan bulat positif atau himpunan bilangan butlat nonnegatif) (Wallis, 00, p. 0). Pelabelan yang akan dibahas dalam skipsi ini ialah pelabelan yang menggunakan bilangan bulat positif. Jika domain dai pelabelan adalah himpunan simpul, maka pelabelannya disebut pelabelan simpul, sedangkan jika domainnya adalah himpunan busu, maka pelabelannya disebut pelabelan busu. Jika domain dai pelabelan adalah gabungan himpunan simpul dan busu, maka pelabelannya disebut pelabelan total Jumlah dai semua label yang tekait dengan suatu elemen gaf disebut bobot. Bobot busu xy didefinisikan sebagai (Wallis, 00, p. 0 & ). Pelabelan total busu ajaib pada gaf G adalah pemetaan bijektif f dai ke himpunan bilangan bulat * + dengan sifat bahwa jika dibeikan sembaang busu xy, maka bobot busu untuk suatu konstanta k (Wallis, 00, p. 7). Konstanta k ini disebut dengan konstanta ajaib. Pelabelan f disebut pelabelan total simpul ajaib jika setiap busunya memiliki bobot yang sama. Suatu pemetaan bijektif * + disebut pelabelan total a-simpul beuutan busu ajaib (PTBA a-simpul beuutan) dai suatu gaf jika f adalah pelabelan total busu ajaib dan * +. Suatu pemetaan bijektif * + disebut pelabelan total b-busu beuutan busu ajaib (PTBA b-busu beuutan) dai suatu gaf jika f adalah pelabelan total busu ajaib dan * +. Suatu gaf yang memiliki PTBA a-simpul beuutan (atau b-busu beuutan) disebut gaf a-simpul beuutan (atau b-busu beuutan) Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

19 busu ajaib. Jika suatu gaf tehubung G memiliki PTBA b-busu beuutan busu ajaib, dimana * +, maka G adalah gaf pohon (Sugeng & Mille, 008). Setiap gaf b-busu beuutan busu ajaib memiliki pelabelan simpul busu anti ajaib. Dual dai PTBA b-busu beuutan pada suatu gaf G adalah PTBA (nb)-busu beuutan. Setiap gaf catepilla memiliki pelabelan b-busu beuutan busu ajaib untuk setiap b (Sugeng dan Mille, 008). Banyak penelitian telah dilakukan mengenai PTBA b-busu beuutan pada suatu gaf G. Jenis gaf yang telah diteliti ialah gaf lingkaan, gaf matahai, gaf koona, gaf haiycyle, gaf dumbbell, dan gaf kecebong. Skipsi ini akan membahas tentang PTBA b-busu beuutan pada gaf lobste khusus, yaitu gaf lobste dengan t =, hal ini dikaenakan belum ada penelitian mengenai PTBA b- busu beuutan pada gaf lobste.. Pemasalahan dan Ruang Lingkup Skipsi ini membahas tentang bagaimana mengkonstuksi pelabelan total busu ajaib busu beuutan (PTBA b-busu beuutan) pada gaf lobste. Penelitian dibatasi pada gaf lobste L n (; ) dan gaf lobste L n (;, s).. Jenis Penelitian dan Metode yang Digunakan Jenis penelitian yang digunakan pada skipsi ini adalah penelitian dasa, yaitu penelitian yang melakukan pecobaan atau pekejaan teoitis untuk mempeoleh pengetahuan bau bagi pengembangan ilmu. Metode yang digunakan adalah mengkonstuksi pelabelan total busu ajaib b-busu beuutan pada gafgaf lobste beukuan kecil untuk mendapatkan pola pelabelan gaf lobste, meumuskan fungsi pelabelan, kemudian membuktikan bahwa fungsi pelabelan yang diumuskan belaku secaa umum. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

20 5. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan skipsi ini adalah untuk mengkonstuksi pelabelan total busu ajaib b-busu beuutan (PTBA b-busu beuutan) pada gaf pohon, yaitu gaf lobste L n (; ) dan gaf lobste L n (;, s). Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

21 BAB LANDASAN TEORI. Definisi dan istilah dalam teoi gaf Suatu gaf G adalah himpunan tak kosong behingga dai objek-objek yang disebut simpul (vetex) besama dengan himpunan (mungkin kosong) tak teuut dai simpul-simpul yang bebeda pada G yang disebut busu (edge). Himpunan simpul (vetex set) pada gaf G dinotasikan sebagai V dan himpunan busu (edge set) pada G dinotasikan dengan E. Banyaknya anggota (cadinality) dai himpunan simpul pada G disebut ode dai G dan dinotasikan dengan v, sedangkan banyaknya anggota dai himpunan busu meupakan ukuan (size) dai G dan dinotasikan dengan e. Busu xy menghubungkan simpul x dan y. Jika e = xy adalah busu pada gaf G, maka x dan y meupakan simpul betetangga (adjacent), sedangkan e hadi (incident) pada x dan y. Jika e dan e adalah dua busu yang bebeda pada gaf G dan hadi pada simpul yang sama, maka e dan e adalah busu betetangga. Deajat (degee) dai simpul v pada gaf G adalah banyaknya busu yang hadi pada v dinotasikan sebagai deg(v). Suatu simpul bedeajat 0 pada gaf G disebut simpul teisolasi (isolated vetex) dan simpul yang bedeajat disebut simpul ujung (end-vetex) dai G. Suatu gaf G dikatakan teatu (egula) dengan deajat jika setiap simpul v pada G memiliki deajat yang sama, yaitu, deg(v) = (Chatand & Lesniak, 986. p. -9). Titik ujung (endpoint) dai busu xy adalah x dan y (Wallis, 00, p.8). v e e v 8 v v e e e 5 e 6 v v 5 v 6 v 7 Gamba.l Gaf G 6 Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

22 7 Beikut ini meupakan penjelasan dai Gamba.l. Contoh gaf G ditunjukkan oleh Gamba.l. Gaf G memiliki himpunan simpul * + dan himpunan busu * +. Banyaknya anggota himpunan simpul pada gaf G adalah dan banyaknya anggota himpunan busunya adalah. Busu e menghubungkan v dan v, maka v dan v adalah simpul betetangga. Pada gaf G, busu yang hadi pada simpul v adalah busu e, e 5 dan e 6, maka busu busu e, e 5 dan e 6 adalah busu betetangga. Deajat tiap simpul gaf G adalah,,,,,,,. Simpul v, v 5, v 6 dan v 7 meupakan simpul-simpul ujung kaena bedeajat, dan kaena v 8 bedeajat 0, maka v 8 meupakan simpul teisolasi. Titik ujung dai busu e adalah v dan v. Gaf G bukanlah gaf teatu kaena setiap simpulnya tidak memiliki deajat yang sama. Jalan (walk) pada suatu gaf G adalah baisan behingga dai simpul dan busu dai G dimana titik ujung dai adalah dan untuk setiap i. Jalan sedehana (simple walk) adalah jalan dimana tidak ada busu yang beulang. Lintasan (path) meupakan jalan dimana tidak ada simpul yang beulang; panjang (length) dai suatu lintasan adalah banyak busu pada lintasan tesebut. Suatu jalan disebut tetutup (closed) jika simpul awal dai jalan sama dengan simpul akhinya. Lingkaan (cycle) dengan panjang n adalah jalan tetutup sedehana dengan panjang n, n, dimana simpul meupakan simpul yang bebeda. Suatu gaf disebut asiklik (acyclic) jika gaf tesebut tidak memiliki lingkaan; gaf asiklik yang tehubung disebut pohon (tee) (Wallis, 00, p. 0). Contoh dai pohon ialah gaf bintang, gaf catepilla, dan gaf lobste. Suatu gaf disebut tehubung (connected) jika tedapat lintasan diantaa sembaang simpul pada gaf tesebut (Baca&Mille, 008, p. 7). Suatu gaf disebut gaf lengkap (complete gaph) jika setiap dua simpulnya betetangga. Suatu gaf G adalah n-patit (n-patite), n, jika dimungkinkan membagi V menjadi n subhimpunan (disebut himpunan patisi) sedemikian sehingga setiap elemen dai E menghubungkan Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

23 8 simpul pada ke simpul pada. Jika n =, maka gaf tesebut meupakan gaf bipatit (bipatite gaph). Suatu gaf lengkap n-patit adalah gaf n-patit dengan himpunan patisi ditambah dengan sifat bahwa jika dan, maka. Suatu gaf lengkap bipatit dengan himpunan patisi dan yang dinotasikan sebagai K(m, n), dimana pada adalah m dan pada adalah n (Chatand & Lesniak, 986. p. 9&0). Setelah dijelaskan mengenai definisi dan istilah dalam teoi gaf, selanjutnya yang akan dibahas pada Subbab. ialah mengenai jenis-jenis gaf.. Jenis - Jenis Gaf Gaf lingkaan adalah gaf tehubung yang setiap simpulnya bedeajat dua. Gaf lingkaan dengan n simpul dinotasikan dengan (Wilson, 996, p. 7). Contoh dai gaf lingkaan dengan 6 simpul ditunjukkan oleh Gamba.. Gamba. Gaf lingkaan C 6 Suatu gaf yang dibentuk dai dengan menghapus satu busunya disebut gaf lintasan dengan n simpul, dinotasikan dengan (Wilson, 996, p. 7). Contoh dai gaf lintasan dengan 6 simpul ditunjukkan oleh Gamba.. Gamba. Gaf lintasan P 6 Gaf bintang yang dinotasikan sebagai S n meupakan gaf K(, n), dimana simpul yang bedeajat n disebut pusat (cente) (Wallis, 00. p. 0). Contoh dai gaf bintang S 8 ditunjukkan oleh Gamba.. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

24 9 Gamba. Gaf bintang S 8 Gaf catepilla ialah gaf yang dibangun dai gaf lintasan dengan menambahkan sejumlah daun pada setiap simpul pada gaf lintasan (Sugeng & Mille, 006). Gaf catepilla teatu adalah gaf catepilla dimana banyak simpul daun yang dimiliki simpul pada gaf lintasan adalah sama. Contoh dai gaf catepilla ditunjukkan oleh Gamba.5. Gamba.5 Gaf Catepilla Gaf lobste adalah gaf pohon yang tedii dai satu lintasan (dengan panjang maksimum) dimana setiap simpul lain pada lobste memiliki jaak paling banyak t tehadap lintasan, dengan t adalah suatu bilangan bulat (Khan, Pal dan Pal, 009). Jaak yang dimaksud adalah jaak simpul lain pada lobste tehadap simpul tedekat pada lintasan. Pada Gamba.6 dibeikan contoh gaf lobste dengan t =. Simpul bejaak Simpul bejaak Simpul bejaak Simpul bejaak n = Gamba.6 Gaf lobste Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

25 0 Pada Gamba.6 telihat bahwa jumlah simpul pada lintasan adalah n = dan jaak tejauh simpul pada lintasan tehadap simpul lain pada lobste ialah, sehingga gaf lobste tesebut meupakan gaf lobste dengan t =. Pada skipsi ini akan dibahas gaf lobste dengan t =. Gaf lobste dengan t = dapat juga dipandang sebagai gaf yang dipeoleh dai catepilla dengan menambahkan sejumlah daun pada daun dai catepilla. Gaf lobste teatu adalah gaf yang dipeoleh dengan menambahkan sejumlah yang sama simpul daun pada setiap simpul daun dai gaf catepilla teatu. Gaf lobste teatu dinotasikan dengan L n (q; ), dengan n adalah banyak simpul pada lintasan, q adalah banyak simpul lain yang tehubung pada setiap simpul lintasan atau dengan kata lain q adalah banyak simpul bejaak dai setiap simpul lintasan dan adalah banyak daun pada setiap simpul yang bejaak dai lintasan. Gaf lobste yang akan dibahas pada skipsi ini adalah gaf lobste teatu L n (; ) dan gaf lobste semi teatu L n (;, s), dimana menyatakan banyak simpul bejaak dai setiap simpul lintasan (kedua simpul ini disebut simpul petama dan simpul kedua), menyatakan banyak daun pada simpul petama dan s menyatakan banyak daun pada simpul kedua. Simpul petama Simpul kedua = 5 s = Gamba.7 Gaf lobste L (; 5, ) Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

26 Pada Gamba.7 dibeikan contoh gaf lobste L (; 5, ). Gamba.7 meupakan gaf lobste dengan t =, banyak simpul bejaak dai setiap lintasan adalah p =, banyak simpul daun pada simpul petama adalah = 5 dan banyak simpul daun pada simpul kedua adalah s =. Setelah membahas jenis-jenis gaf, pada Subbab. akan dibahas mengenai pelabelan gaf.. Pelabelan Gaf Pelabelan gaf meupakan salah satu cabang yang dipelajai dalam teoi gaf. Pelabelan dai suatu gaf G adalah pemetaan setiap elemen gaf G ke himpunan bilangan (biasanya adalah himpunan bilangan bulat positif atau himpunan bilangan bulat nonnegatif). Jika domain dai pelabelan adalah himpunan simpul, maka pelabelannya disebut pelabelan simpul, sedangkan jika domainnya adalah himpunan busu, maka pelabelannya disebut pelabelan busu. Jika domain dai pelabelan adalah gabungan himpunan simpul dan busu, maka pelabelannya disebut pelabelan total. Jumlah dai semua label yang tekait dengan suatu elemen gaf disebut bobot. Bobot busu xy didefinisikan sebagai (Wallis, 00, p. 0 & ). Contoh pelabelan simpul, pelabelan busu, dan pelabelan total pada gaf lobste L (; ) ditunjukkan oleh Gamba.8. Gamba.8 meupakan pelabelan pada gaf lobste L (; ), pebedaannya teletak pada elemen gaf yang dilabel. Pada Gamba.8 (a) yang dilabel adalah simpul sehingga disebut pelabelan simpul, pada Gamba.8 (b) yang dilabel adalah busu sehingga disebut pelabelan busu, dan Gamba.8 (c) disebut pelabelan total kaena yang dilabel adalah simpul dan busu gaf lobste. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

27 (a) 8 (b) Gamba.8 (a) Pelabelan simpul, (b) Pelabelan busu, 7 (c) (c) Pelabelan total pada gaf lobste L (; ) Pelabelan total busu ajaib pada gaf G adalah pemetaan bijektif f dai ke himpunan bilangan bulat * + dengan sifat bahwa jika dibeikan sembaang busu xy, maka bobot busu untuk suatu konstanta k (Wallis, 00, p. 7). Konstanta k disebut konstanta ajaib. Contoh pelabelan total busu ajaib pada gaf lintasan dengan k = 9 ditunjukkan oleh Gamba.7. 5 Gamba.9 Pelabelan total busu ajaib pada gaf lintasan P Pada Subbab. telah dibahas mengenai pelabelan total busu ajaib. Secaa lebih khusus, yang akan dibahas pada skipsi ini ialah mengenai pelabelan total busu ajaib b-busu beuutan yang akan dijelaskan pada Subbab.. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

28 . Pelabelan Total Busu Ajaib b-busu Beuutan Pemetaan * + adalah pelabelan total busu ajaib b-busu beuutan (PTBA b-busu beuutan) pada G jika f adalah pelabelan busu ajaib dan * +. Suatu gaf yang memiliki PTBA b-busu beuutan disebut gaf b-busu beuutan busu ajaib (Sugeng & Mille, 008). Gamba.0 meupakan contoh PTBA - busu beuutan pada gaf lobste L 7 (; ). Gaf lobste pada Gamba.0 memiliki pelabelan total kaena yang dilabel adalah gabungan himpunan simpul dan busu, dengan himpunan label simpul adalah * + * + dan himpunan label adalah * +. Bobot setiap busunya sama, yaitu k = yang disebut sebagai konstanta ajaib, dan label simpul tebesa pada himpunan petama b = Gamba.0 PTBA -busu beuutan pada gaf lobste L 7 (; ) Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

29 Sifat yang tekait dengan PTBA b-busu beuutan ditunjukkan oleh Teoema.. Teoema. Jika suatu gaf tehubung G memiliki PTBA b-busu beuutan busu ajaib, dimana * +, maka G adalah gaf pohon (Sugeng & Mille, 008). Pada pelabelan total busu ajaib didefinisikan pelabelan dual. Misal f adalah pelabelan total busu ajaib, maka pelabelan dual f didefinisikan sebagai untuk setiap simpul x, dan untuk setiap busu xy (Wallis, 008, p. 0). Teoema yang bekaitan dengan pelabelan dual ditunjukkan oleh Teoema.. Teoema. Dual dai PTBA b-busu beuutan pada gaf G adalah suatu PTBA (v-b)-busu beuutan (Sugeng & Mille, 008). Gamba. meupakan pelabelan dual dai PTBA -busu beuutan pada gaf lobste L 7 (; ), dan bedasakan Teoema., pelabelan pada Gamba. adalah PTBA 6-busu beuutan. Contoh PTBA -busu beuutan pada gaf lobste L 7 (;, ) dan pelabelan dualnya ditunjukkan oleh Gamba.0 dan Gamba.. Bedasakan definisi pelabelan dual, simpul yang belabel pada PTBA -busu beuutan menjadi belabel 97 pada pelabelan dualnya, hal ini juga belaku pada simpul-simpul lain dan busunya. Peubahan juga tejadi pada konstanta ajaib dan nilai b, pada PTBA -busu beuutan k = dan b =, sedangkan pada pelabelan dualnya k = 50 dan b = 6. Banyak penelitian telah dilakukan mengenai PTBA b-busu beuutan pada suatu gaf G. Jenis gaf yang telah diteliti ialah gaf bintang ganda, gaf catepilla, dan gaf fiecackes. Suatu gaf bintang ganda S n,n memiliki PTBA b-busu beuutan untuk bebeapa * + dan Jika b = maka S n,n adalah gaf bintang Jika b > maka b = n + (Sugeng& Mille, 008). Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

30 5 Setiap gaf catepilla memiliki suatu PTBA b-busu beuutan untuk setiap b, dimana : {. (Sugeng& Mille, 008). Setiap gaf fiecackes teatu memiliki suatu PTBA b-busu beuutan, dimana, dengan s meupakan banyak daun pada setiap simpul pusat (Sugeng & Silaban, 008) Gamba. Pelabelan PTBA 6-busu beuutan pada gaf lobste L 7 (; ) Pada bab beikutnya, akan dibahas PTBA b-busu beuutan pada gaf lobste L n (;, s) dan gaf lobste L n (;, s). Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

31 BAB PELABELAN TOTAL BUSUR AJAIB b-busur BERURUTAN PADA GRAF LOBSTER Pada bab ini akan dibahas mengenai konstuksi pelabelan total busu ajaib b-busu beuutan (PTBA b-busu beuutan) pada gaf lobste L n (; ) dan gaf lobste L n (;, s). Pemetaan * + adalah pelabelan total busu ajaib b-busu beuutan (PTBA b-busu beuutan) pada G jika f adalah pelabelan total busu ajaib dan * +. Suatu gaf yang memiliki PTBA b-busu beuutan disebut gaf b-busu beuutan busu ajaib (Sugeng & Mille, 008). Nilai b yang akan dibahas pada skipsi ini ialah. Lemma. digunakan untuk membuktikan suatu pelabelan pada gaf G adalah PTBA b-busu beuutan. Lemma. Suatu gaf G dengan v simpul dan e busu adalah suatu gaf b-busu beuutan busu ajaib jika dan hanya jika tedapat suatu pemetaan bijektif * + sedemikian sehingga * + * + dan himpunan * + tedii dai e bilangan bulat positif beuutan. Dalam kasus ini, f ditingkatkan menjadi PTBA b-busu beuutan pada G dengan konstanta ajaib dengan * + dan * + * + (Silaban & Sugeng, 00). Penyataan pada Lemma. adalah biimplikasi. Jika suatu gaf G dengan v simpul dan e busu adalah suatu gaf b-busu beuutan busu ajaib, maka tedapat suatu pemetaan bijektif * + sedemikian sehingga * + * + dan himpunan * + tedii dai e bilangan bulat positif beuutan, hal ini juga belaku sebaliknya. Penyataan pada Lemma. yang akan digunakan pada skipsi ini adalah aah sebaliknya. Untuk menunjukkan bahwa gaf G adalah gaf b-busu beuutan busu ajaib, akan ditunjukkan bahwa pada 6 Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

32 7 gaf G tedapat pemetaan bijektif * +, sedemikian sehingga * + * + dan himpunan * + tedii dai e bilangan bulat positif beuutan. Label simpul pada gaf G adalah * + * + Jika nilai b yang digunakan adalah, label simpul tebagi dalam himpunan bilangan beuutan yang bebeda, yaitu himpunan petama dai label simpul tesebut adalah * + dan himpunan kedua dai label simpul tesebut * +, himpunan petama dan himpunan kedua tepisah sejauh e, sehingga label simpul dapat ditulis sebagai * + * +. Selain itu, jika * + meupakan himpunan e bilangan bulat positif beuutan, maka himpunan bobot busu adalah konstan. * +. Kaena adalah himpunan e bilangan bulat positif beuutan dan juga himpunan e bilangan beuutan, dengan melakukan penguutan pada W dan penguutan tebalik pada, lalu menjumlahkan keduanya, akan didapat * +. Atinya, bobot setiap busu adalah k (konstan). Jika, maka. Pada skipsi ini akan ditunjukkan bahwa pada gaf lobste L n (; ) dan gaf lobste L n (;, s) adalah gaf b-busu beuutan busu ajaib. Sepeti yang telah dijelaskan sebelumnya, untuk membuktikan bahwa suatu gaf adalah gaf b-busu beuutan busu ajaib, maka alu pembuktiannya adalah sebagai beikut: Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

33 8 Definisikan fungsi pelabelan untuk simpul. Tunjukkan bahwa label simpul akan tebagi menjadi dua himpunan bilangan beuutan yang tepisah sejauh e. Tunjukkan bahwa himpunan * + tedii dai e bilangan bulat positif beuutan. Selanjutnya pada Subbab. akan dibahas hasil yang dipeoleh untuk PTBA b-busu beuutan pada gaf lobste L n (;).. PTBA b-busu Beuutan pada Gaf Lobste L n (; ) Gaf lobste L n (;), adalah gaf lobste teatu dengan n menyatakan banyak simpul pada lintasan, menyatakan banyak simpul bejaak dai setiap simpul lintasan dan adalah banyak daun pada simpul yang bejaak dai setiap simpul lintasan. v v v c u u u v v v v c u u u u v v v v c u u u u v u v i v i v n u n c n v n u n Gamba. Penamaan simpul dan busu pada gaf lobste L n (; ) Gamba. meupakan penamaan simpul dan busu pada gaf lobste L n (; ), adalah simpul ke-i pada lintasan, dan adalah simpul-simpul bejaak Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

34 9 dai simpul ke-i pada lintasan, dan adalah simpul daun ke-j pada simpul bejaak dai simpul ke-i pada lintasan. Banyaknya simpul pada gaf lobste L n (; ) adalah dan banyaknya busu adalah. Dibeikan hasil yang dipeoleh untuk PTBA b-busu beuutan pada gaf lobste L n (; ) yang ditunjukkan oleh Teoema.. Teoema. Setiap gaf lobste L n (; ) memiliki PTBA b-busu beuutan dengan {. Bukti : Nyatakan { ; * + * +. Beikut ini adalah label simpul dai gaf lobste L n (; ). { (.). { (.). { (.). { (.). Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

35 0 { (.5). Akan ditunjukkan bahwa himpunan label gaf lobste L n (; ), tebagi menjadi himpunan bilangan beuutan yang tepisah sejauh e. Beikut ini adalah himpunan label, dan dai gaf lobte L n (; ), dengan. * + { ( ) } { } * + { } { } * + { } { } * + { } { } Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

36 { } { } { } { } { } { } { } { } Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

37 { } { } { } { } * + { } { } * + { } { } Maka himpunan label simpul gaf lobste L n (; ) adalah Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

38 { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { { } { } (.6). Dai pesamaan (.6) didapat nilai b, yaitu {. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

39 Jika pada pesamaan (.6) disubstitusikan nilai {, didapat jaak antaa himpunan petama dan himpunan kedua label simpul, yaitu Untuk n ganjil ( ) Untuk n genap Telihat bahwa himpunan label simpul gaf lobste L n (; ) tebagi menjadi himpunan bilangan beuutan yang tepisah sejauh e. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa himpunan * + membentuk himpunan bilangan bulat positif beuutan. Pembuktian ini akan dibagi menjadi 5 kasus, yaitu :. untuk ;.. untuk.. untuk.. untuk ;. 5. untuk. Ilustasi untuk setiap kasus ditunjukkan oleh Gamba.. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

40 5 v u v u v u v v c u u v v c u u v v c u u v u v u v u v u v u v u v v c u u v v c u u v v c u u v u v u v u v v v c u u u v v v c u u u v v v c u u u v u v u v u v i v i v i v i v i vi ci v i v i vi ci c i v i v i v i (a) (b) (c) v v v c u u u v v v c u u u v u v u v v v c u u u v v v c u u u v u v u v v v c u u u v v v c u u u v u v u v i v i v i v i v i vi ci c i v i v i (d) (e) Gamba. (a) Kasus, (b) Kasus, (c) Kasus, (d) Kasus, (e) Kasus 5. Kasus : Busu dengan dan. Kasus ini akan dibagi menjadi bagian, yaitu untuk i ganjil dan i genap. Untuk i ganjil Untuk i genap Untuk i ganjil dan i genap didapat pesamaan yang sama, yaitu. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

41 6 Dengan mensubstitusi dan, didapat himpunan { } * +.. Kasus : Busu dengan. Kasus ini akan dibagi menjadi bagian, yaitu untuk i ganjil dan i genap. Untuk i ganjil Untuk i genap Untuk i ganjil dan i genap didapat pesamaan yang sama, yaitu. Dengan mensubstitusi, didapat himpunan * + * +. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

42 7. Kasus : Busu dengan. Kasus ini akan dibagi menjadi bagian, yaitu untuk i ganjil dan i genap. Untuk i ganjil Untuk i genap Untuk i ganjil dan i genap didapat pesamaan yang sama, yaitu. Dengan mensubstitusi, didapat himpunan * + * +.. Kasus : Busu dengan dan. Kasus ini akan dibagi menjadi bagian, yaitu untuk i ganjil dan i genap. Untuk i ganjil Untuk i genap Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

43 8 Untuk i ganjil dan i genap didapat pesamaan yang sama, yaitu. Dengan mensubstitusi dan, didapat himpunan { } * + * + 5. Kasus 5: Busu dengan. Kasus ini akan dibagi menjadi bagian, yaitu untuk i ganjil dan i genap. Untuk i ganjil. Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan i ganjil dan i+ genap. Untuk i genap. Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan i genap dan i+ ganjil. Untuk i ganjil dan i genap didapat pesamaan yang sama, yaitu. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

44 9 Dengan mensubstitusi, didapat himpunan * + * + Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa himpunan * + membentuk himpunan bilangan beuutan. * + * + * + * + * + * + (.7). Dai pesamaan (.7) telihat bahwa himpunan * + membentuk himpunan bilangan bulat positif beuutan, sehingga menuut Lemma. tebukti bahwa gaf lobste L n (; ) memiliki PTBA b- busu beuutan dengan {. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

45 0 Sepeti yang dibeikan oleh Lemma., pelabelan f dapat ditingkatkan menjadi PTBA b- busu beuutan dengan konstanta ajaib. Konstanta ajaib pada PTBA b- busu beuutan pada gaf lobste L n (; ) adalah, dimana dan {. { {. Contoh pembeian label pada gaf lobste L n (; ) dengan menggunakan pesamaan (.) sampai (.5) ditunjukkan oleh Gamba. (a) untuk n ganjil yaitu L 5 (; ) dan Gamba. (b) untuk n genap yaitu L 6 (; ). Pada gaf lobste L 5 (; ) disubstitusikan niai sehingga dipeoleh PTBA 0-busu beuutan busu ajaib gaf lobste L 5 (; ) sepeti pada Gamba. (c) dan pada L 6 (; ) disubstitusikan nilai sehingga dipeoleh PTBA b-busu beuutan busu ajaib gaf lobste L 5 (; ) sepeti pada Gamba. (d). Gaf lobste L 5 (; ) memiliki himpunan label simpul * + * +, himpunan label busu * +, dan konstanta ajaib k =0. Sedangkan gaf lobste L 6 (; ) memiliki himpunan label simpul * + * +, himpunan label busu * +, dan konstanta ajaib k =6. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

46 p p p 5 p 0 p p p 9 p 0 p p p 8 6 p 9 0 p p 7 5 p 8 9 p 0 (a) p 5 p 6 p p p 5 p p p p 5 p p p 5 p 0 p p p 9 p 0 p p p 8 0 p p p (b) p 9 p 8 0 p 6 p 7 p 5 p 6 p p p 5 p p p p (c) (d) Gamba. (a)pembeian label simpul pada gaf lobste L 5 (; ), (b) Pembeian label simpul pada gaf lobste L 6 (; ), (c) PTBA 0-busu beuutan pada gaf lobste L 5 (; ), (d) PTBA 7-busu beuutan pada gaf lobste L 6 (; ). Sepeti yang telah dijelaskan pada Teoema., bahwa dual dai PTBA b- busu beuutan pada gaf G adalah suatu PTBA (v-b)-busu beuutan. Pada Teoema. dibeikan PTBA b-busu beuutan pada gaf lobste L n (; ). Banyaknya simpul pada gaf lobste L n (; ) adalah dan Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

47 nilai b pada Teoema. adalah {, sehingga didapat { yang meupakan nilai b untuk pelabelan dual dai pelabelan yang dibeikan Teoema.. Dual dai PTBA b- busu beuutan pada gaf lobste L n (; ) ditunjukkan oleh Akibat.. Akibat. Setiap gaf lobste L n (; ) memiliki PTBA b-busu beuutan dengan {. Nilai konstanta ajaib pada pelabelan yang dibeikan Akibat. adalah { (a) Gamba. (a) PTBA 5-busu beuutan pada gaf lobste L 5 (; ), (b) PTBA 7-busu beuutan pada gaf lobste L 6 (; ) (b) Contoh pelabelan dual dai PTBA 0-busu beuutan gaf lobste L 5 (; ) yaitu PTBA 5-busu beuutan ditunjukkan oleh Gamba. (a) dan pelabelan dual dai PTBA 7-busu beuutan pada gaf lobstel 6 (; ) yaitu PTBA 7- busu beuutan ditunjukkan oleh Gamba. (b). Pada PTBA 0-busu beuutan Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

48 gaf lobste L 5 (; ), nilai dan, sedangkan pada pelabelan dualnya, nilai dan. Pada PTBA 7-busu beuutan gaf lobste L 5 (; ), nilai dan, sedangkan pada pelabelan dualnya, nilai dan. Selanjutnya pada Subbab. akan dibahas PTBA b-busu beuutan pada gaf lobste L n (;, s).. PTBA b-busu Beuutan pada Gaf Lobste L n (;, s) Pada subbab ini akan dibahas mengenai PTBA b-busu beuutan pada gaf lobste L n (;, s). Gaf lobste L n (;, s), adalah gaf lobste semi teatu dengan n menyatakan banyak simpul pada lintasan, menyatakan banyak simpul bejaak dai setiap simpul lintasan (kedua simpul ini disebut simpul petama dan simpul kedua), adalah banyak daun pada simpul petama dan s adalah banyak simpul daun pada simpul kedua. v v v v v v v v v v i v i v n v c u v c v v n c c n u u u n u u u u s u u u u u s u u u u u s u s u n Gamba.5 Penamaan simpul dan busu pada gaf lobste L n (;, s) Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

49 Gamba.5 meupakan penamaan simpul dan busu pada gaf lobste L n (;, s), adalah simpul ke-i pada lintasan, dan adalah simpul-simpul bejaak dai simpul ke-i pada lintasan, dan adalah simpul daun ke-j pada simpul bejaak dai simpul ke-i pada lintasan. Banyaknya simpul pada gaf lobste L n (;, s) adalah dan bayaknya busu adalah. Dibeikan hasil yang dipeoleh untuk PTBA b-busu beuutan pada gaf lobste L n (;, s) yang ditunjukkan oleh Teoema.. Teoema. Setiap gaf lobste L n (;, s) memiliki PTBA b-busu beuutan dengan {. Bukti : Nyatakan { * + * + * +. Label simpul dai gaf lobste L n (;, s) adalah sebagai beikut: { (.8). { (.9). { (.0). { (.). Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

50 5 { (.). Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa himpunan label simpul gaf lobste L n (;, s) tebagi menjadi himpunan bilangan beuutan yang tepisan sejauh e. Petama akan dibeikan himpunan label, dan dai gaf lobte L n (;, s). * + { } { } * + { } { } * + { } { } * + { } { } Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

51 6 { } { ( ) } { } { } { } { ( ) } { } { } Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

52 7 { } { } { +} { ) } ( * + { } { } * + { } { } Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

53 8 Maka himpunan label simpul gaf lobste L n (;, s) adalah { } { } { } { } { } { } { } { ( ) } { } { } { } { } { } { } { (.). Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

54 9 Pada pesamaan (.) didapat nilai {. Jika pada pesamaan (.) disubstitusikan nilai { akan didapat jaak antaa himpunan petama dan himpunan kedua pada label simpul, yaitu Untuk n ganjil ( ) Untuk n genap ( ). Dapat dilihat bahwa himpunan label simpul gaf lobste L n (;, s) tebagi menjadi himpunan bilangan beuutan yang tepisah sejauh e. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa himpunan * + membentuk himpunan e bilangan bulat positif beuutan. Pembuktian ini akan dibagi menjadi 5 kasus, yaitu :. untuk ;.. untuk.. untuk.. untuk ;. 5. untuk. Ilustasi untuk setiap kasus ditunjukkan oleh Gamba.6. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

55 0 u u u v u v u v u v v c u u u v v c u u u v v c u u u v s u u v s u u v s u u v u v u v u v v c u u u v v c u u u v v c u u u v s u v s u v s u u u u v u v u v u v v c u u u v v c u u u v v c u u u v s u v s u v s u v i v i v n v n u i v i v i u n u i v i v n u n v i v n c n c n c n s v u n v n s (a) n (b) u (c) n u n s u n u u v u v u v v c u u u v v c u u u v s u u v s u u v u v u v v c u u u v v c u u u v s u v s u u u v u v u v v c u u u v v c u u u v s u v s u v i v i v n v n c n (d) u n s u n v i v i v n v n c n (e) u n s u n Gamba.6 (a) Kasus, (b) Kasus, (c) Kasus, (d) Kasus, (e) Kasus 5. Kasus :Busu dengan dan. Kasus ini akan dibagi menjadi bagian, yaitu untuk i ganjil dan i genap. Untuk i ganjil Dengan mensubstitusi dan, didapat himpunan { } * ( ) ( ) Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

56 +. * + Untuk i genap Dengan mensubstitusi dan, didapat himpunan { } * +. Kasus : Busu dengan. Kasus ini akan dibagi menjadi bagian, yaitu untuk i ganjil dan i genap. Untuk i ganjil Dengan mensubstitusi, didapat himpunan * + * + Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

57 Untuk i genap Dengan mensubstitusi, didapat himpunan * + * +. Kasus : Busu dengan. Kasus ini akan dibagi menjadi bagian, yaitu untuk i ganjil dan i genap. Untuk i ganjil Dengan mensubstitusi dan didapat himpunan * + * ( ) + Untuk i genap Dengan mensubstitusi dan didapat himpunan * + * + Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

58 . Kasus : Busu dengan dan. Kasus ini akan dibagi menjadi bagian, yaitu untuk i ganjil dan i genap. Untuk i ganjil Dengan mensubstitusi dan, didapat himpunan { } * + * +. Untuk i genap Dengan mensubstitusi dan, didapat himpunan { } * Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

59 + 5. Kasus 5: Busu dengan. Kasus ini akan dibagi menjadi bagian, yaitu untuk i genap dan i ganjil. Untuk i ganjil. Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan i ganjil dan i+ genap. Untuk i genap. Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan i genap dan i+ ganjil. Untuk i ganjil dan i genap didapat pesamaan yang sama, yaitu. Dengan mensubstitusi dan didapat himpunan * + * + Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa bobot busu * + membentuk himpunan e bilangan bulat positif beuutan. * + * ( Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

60 5 ) + * + * + * + * ( ) + * + * + * + * + (.). Dai pesamaan (.) dapat dilihat bahwa himpunan * + membentuk himpunan e bilangan bulat positif beuutan, sehingga menuut Lemma. tebukti bahwa gaf lobste L n (;, s) memiliki PTBA b-busu beuutan dengan {. Sepeti yang dibeikan oleh Lemma., pelabelan f dapat ditingkatkan menjadi PTBA b- busu beuutan dengan konstanta ajaib. Konstanta ajaib pada PTBA b- busu beuutan pada gaf lobste L n (;, s) adalah Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0

61 6, dimana dan { { {. Contoh pembeian label pada gaf lobste L n (;, s) dengan menggunakan pesamaan (.8) sampai (.) ditunjukkan oleh Gamba.7 (a) untuk n ganjil yaitu L (;, 5) dan Gamba.7 (b) untuk n genap yaitu L (;, 5). Pada gaf lobste L (;, 5) disubstitusikan nilai ( ) sehingga dipeoleh PTBA -busu beuutan busu ajaib gaf lobste L (;, 5) sepeti yang ditunjukkan oleh Gamba.7 (c) dan pada gaf lobste L (;, 5) disubstitusikan nilai ( ) sehingga dipeoleh PTBA -busu beuutan busu ajaib gaf lobste L (;, 5) sepeti yang ditunjukkan oleh Gamba.7 (d). Gaf lobste pada L (;, 5) memiliki himpunan label simpul * + * +, himpunan label busu * + dan konstanta ajaib k = 9. Sedangkan gaf lobste L (;, 5) memiliki himpunan label simpul * + * +, himpunan label busu * +, dan konstanta ajaib k =. Univesitas Indonesia Pelabelan total..., Syaifani Rachmawati, FMIPA UI, 0