PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF DAN GRAF

Transkripsi

1 PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF DAN GRAF SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA Oleh: NURUL MUSTIKA SIREGAR JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG 2012

2 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Warahmatullahi Wabarokatuh Segala puji bagi Allah Tuhan pencipta alam semesta yang telah memberikan rahmat hidayah dan kekuatan-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF DAN GRAF sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (SSi) di Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Andalas Selanjutnya tidak lupa shalawat dan salam penulis sampaikan kepada Nabi Besar Muhammad SAW Terima kasih yang sedalam-dalamnya penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini terutama kepada: 1 Bapak Dr Syafrizal Sy selaku pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan petunjuk masukan dan motivasi selama penyusunan skripsi ini 2 Ibu Nova Noliza Bakar MSi Ibu Dr Lyra Yulianti dan Bapak Zulakmal MSi selaku penguji yang telah membaca memberikan kritik dan saran pada seminar tugas akhir dan ujian sarjana 3 Bapak Drs Bukti Ginting selaku penasehat akademik 4 Seluruh staf pengajar Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas yang telah memberikan bekal ilmu yang sangat bermanfaat

3 5 Keluarga tercinta yang senantiasa memberikan dukungan dan semangat selama ini 6 Teman-teman mahasiswa di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas khususnya angkatan 2006 yang telah banyak menyumbangkan tenaga inspirasi dan motivasi selama penulis mengikuti studi Semoga Allah SWT melimpahkan rahmat-nya kepada mereka sebagai balasan atas semua kebaikan yang telah diberikan Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih mempunyai banyak kekurangan Oleh karena itu kritik dan saran sangat diharapkan demi penyempurnaannya Semoga skripsi ini dapat bermanfaat dalam perkembangan ilmu matematika khususnya di Universitas Andalas Padang Januari 2012 Penulis

4 ABSTRAK Pelabelan total sisi-ajaib (edge-magic total labelings) pada suatu graf dengan orde dan ukuran adalah fungsi bijektif sedemikian sehingga untuk sebarang sisi di berlaku untuk suatu konstanta Selanjutnya disebut konstanta ajaib pada graf Pelabelan total sisi-ajaib yang memetakan himpunan titik suatu graf ke himpunan disebut pelabelan sisi-ajaib super (super edge-magic labeling) Dalam tugas akhir ini akan ditunjukkan bahwa graf dan graf adalah graf dengan pelabelan total sisi-ajaib super dengan mengkonstruksi pelabelan titik dan sisinya sehingga didapatkan suatu konstanta ajaib Kata kunci : graf lintasan konstanta ajaib pelabelan total sisi-ajaib pelabelan total sisi-ajaib super

5 ABSTRACT An edge-magic total labeling on a graph with order and size is a bijection function with the properties that for each edge of where is a constant Then is called magic constant f graph An edge-magic total labeling with a function is called super edge-magic total labeling In this thesis we will show that the graph and graph is super edge-magic total labeling with constructed vertex labeling and edge labeling until get a magic constant Key words: path magic constant edge-magic total labeling super edge-magic total labeling

6 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ii ABSTRAK iv DAFTAR ISI vi DAFTAR GAMBAR viii BAB I PENDAHULUAN 1 11 Latar Belakang 1 12 Perumusan Masalah 2 13 Pembatasan Masalah 2 14 Tujuan Penulisan 3 15 Sistematika Penulisan 3 BAB II LANDASAN TEORI 4 21 Definisi Graf Definisi dan Terminologi Graf Jenis-Jenis Graf 6 22 Pelabelan Graf Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super 9

7 BAB III PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF DAN GRAF Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf untuk dengan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf untuk dengan 22 BAB IV KESIMPULAN 31 DAFTAR PUSTAKA 32

8 DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Graf 5 Gambar 2 Beberapa Graf Lengkap 6 Gambar 3 Beberapa Graf Lingkaran 7 Gambar 4 Beberapa Graf Lintasan 7 Gambar 5 Graf 10 Gambar 6 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf 11 Gambar 7 Pelabelan total sisi-ajaib super 11 Gambar 8 Pelabelan total sisi-ajaib 12 Gambar 9 Graf 13 Gambar 10 Graf 16 Gambar 11 Pelabelan total sisi-ajaib super pada graf 18 Gambar 12 Graf 19 Gambar 13 Pelabelan total sisi-ajaib super pada graf 21 Gambar 14 Graf 22 Gambar 15 Graf 25 Gambar 16 Pelabelan total sisi-ajaib super pada graf 27 Gambar 17 Graf 28 Gambar 18 Pelabelan total sisi-ajaib super pada graf 30

9 BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Teori graf adalah ilmu yang berkembang dengan sangat pesat didalam matematika dan ilmu komputer Salah satu masalah utama dalam teori graf adalah bagaimana cara memberikan label atau menandai suatu titik (vertex) dan sisi (edge) sedemikian sehingga setiap titik dan sisi yang saling bertetangga (adjacent) memiliki tanda yang berbeda Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan asli yang disebut label Pelabelan tersebut pertama kali diperkenalkan oleh Sedlàček (1964) kemudian Stewart (1966) Kotzig dan Rosa (1970) Hingga saat ini pemanfaatan teori pelabelan graf sangat dirasakan manfaatnya terutama pada sektor sistem komunikasi dan transportasi navigasi geografis radar penyimpanan data komputer dan desain integrated circuit pada komponen elektronik Pelabelan pada graf merupakan pemberian label pada elemen-elemen tertentu dari graf tersebut dengan menggunakan bilangan positif Berdasarkan elemen-elemen yang dilabeli maka pelabelan dibagi kedalam tiga jenis yaitu pelabelan titik pelabelan sisi dan pelabelan total Hingga kini dikenal beberapa jenis pelabelan pada graf antara lain pelabelan graceful pelabelan harmoni pelabelan total tak beraturan pelabelan ajaib dan pelabelan anti ajaib Dalam pengembangan pelabelan ajaib dikenal pula pelabelan total titik-ajaib pelabelan total titik ajaib super pelabelan total sisi-ajaib

10 dan pelabelan total sisi-ajaib super Beberapa kajian mengenai pelabelan total sisiajaib super antara lain Abdussakir (2005) yang mengkaji tentang pelabelan total sisiajaib super pada graf (untuk m bilangan asli ganjil) serta ET Baskoro (2003) yang mengkaji tentang pelabelan total sisi-ajaib super pada graf Dapat dilihat bahwa untuk graf dan graf merupakan permasalahan yang sangat menarik untuk dikaji 12 Perumusan Masalah Misalkan diberikan gabungan dua graf lintasan yaitu graf dan graf Maka masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah apakah graf dan graf merupakan graf dengan pelabelan total sisi-ajaib super 13 Pembatasan Masalah Dalam tulisan ini permasalahan dibatasi untuk menentukan pelabelan total sisiajaib super pada graf untuk dengan konstanta ajaib dan graf untuk dengan konstanta ajaib 14 Tujuan Penulisan Tulisan ini bertujuan untuk mengkaji pelabelan total sisi-ajaib super pada graf untuk dengan konstanta ajaib dan pada graf untuk dengan konstanta ajaib

11 15 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan dalam tugas akhir ini terbagi menjadi empat bab yaitu pada bab I diuraikan tentang latar belakang permasalahan pembatasan masalah tujuan dan sistematika penulisan Bab II berisikan definisi dan terminologi dalam graf serta lema pendukung Hasil utama dari penulisan tugas akhir ini dibahas pada bab III Sedangkan bab IV adalah penutup membahas mengenai kesimpulan dan saran dari hasil pembahasan

12 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar dan istilah dalam graf serta notasi-notasi yang digunakan pada bab-bab selanjutnya Kajian diawali dengan pendefinisian graf beberapa istilah dalam graf beberapa jenis graf defenisi dan beberapa jenis pelabelan graf 21 Graf 211 Definisi dan Terminologi Graf Definisi 2111 [3] : Graf adalah pasangan dengan dan dimana adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik dan E adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurut dari titik-titik berbeda di yang disebut sisi Banyak titik yang ada pada graf adalah dan disebut orde (order) dari sedangkan banyak sisi pada graf adalah dan disebut ukuran (size) dari Gambar 1 menunjukkan sebuah graf misalkan graf G mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi Sehingga dan

13 v 1 e 1 v 4 e 5 e 8 e 2 v 5 e 4 e 6 e 7 v 2 e 3 v 3 Gambar 1 Graf G Jika adalah titik pada graf G maka himpunan semua titik di G yang terhubung langsung dengan disebut lingkungan dari dan dinotasikan dengan Derajat dari titik di graf G disingkat menjadi Jika dikaitkan dengan konsep lingkungan derajat titik di adalah banyaknya anggota dalam maka dapat dituliskan Jalan (walk) dalam graf adalah barisan berhingga yang berselangseling antara titik dan sisi yang dimulai dari titik dan diakhiri dengan titik dengan untuk adalah sisi di disebut titik awal (initial vertex) disebut titik akhir (terminal vertex) titik disebut titik internal dan menyatakan panjang dari Jika maka disebut jalan terbuka Jika maka disebut jalan tertutup Jalan terbuka yang semua titiknya berbeda disebut lintasan (path)

14 212 Jenis-Jenis Graf Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus yang sering ditemukan pada pembahasan mengenai teori graf Berikut adalah definisi dari beberapa graf sederhana khusus 1 Graf lengkap (Complete graph) Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke semua titik lainnya [5] Graf lengkap berorde dinotasikan dengan K n Setiap titik pada K n berderajat Perhatikan gambar berikut : K 2 K 3 K 4 Gambar 2 Beberapa Graf Lengkap 2 Graf siklus (Cycle graph) Graf siklus adalah lintasan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama [5] Graf siklus dengan titik dilambangkan dengan C n dengan

15 C 3 C 4 C 5 Gambar 3 Beberapa Graf Lingkaran 3 Graf lintasan (Path) Lintasan yang panjangnya dari titik awal ke titik tujuan didalam graf G ialah barisan berselang-seling titik-titik dan sisi-sisi yang berbentuk sedemikian sehingga adalah sisi-sisi dari graf G [5] Graf lintasan dengan titik dinotasikan dengan Lintasan merupakan graf terhubung sederhana dengan dua titik berderajat satu yang disebut ujung dari lintasan dan titik berderajat dua Dengan kata lain graf lintasan dimana dan Graf lintasan memiliki sisi Gambar 4 Beberapa Graf Lintasan

16 22 Pelabelan Graf Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan (fungsi) bijektif yang memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan bulat positif [2] Jika domain dari fungsi adalah titik maka pelabelan disebut pelabelan titik (vertex labeling) Jika domainnya adalah sisi maka disebut pelabelan sisi (edge labeling) dan jika domainnya titik dan sisi maka disebut pelabelan total (total labeling) [4] Ide pelabelan graf diperumum dari ide persegi ajaib (magic square) Persegi ajaib (magic square) berorde n adalah susunan dari n 2 bilangan biasanya bilangan bulat dimana jumlah bilangan disetiap baris kolom dan diagonal-diagonalnya adalah sama dan disebut konstanta ajaib [2] Berikut ini beberapa jenis pelabelan ajaib pada suatu graf : a Misalkan graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi Banyaknya titik di adalah dan banyaknya sisi di adalah Pelabelan titik sisi ajaib (edge-magic vertex labeling) pada graf adalah fungsi bijektif sehingga untuk sebarang sisi di berlaku untuk suatu konstanta bilangan bulat Selanjutnya disebut bilangan ajaib pada dan disebut titik sisi ajaib [4] b Misalkan graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi Banyaknya titik di adalah dan banyak sisi di adalah Pelabelan total titik ajaib (vertex-magic total labeling) pada graf adalah fungsi bijektif sehingga untuk sebarang titik di dan di di berlaku

17 untuk suatu konstanta bilangan bulat Selanjutnya disebut bilangan ajaib pada dan disebut total titik ajaib [4] c Misalkan graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi Banyaknya titik di adalah dan banyak sisi di adalah Pelabelan sisi titik ajaib (vertex-magic edge labeling) pada graf adalah fungsi bijektif sehingga untuk sebarang titik di dan di berlaku untuk suatu konstanta bilangan bulat Selanjutnya disebut bilangan ajaib pada dan disebut sisi titik ajaib [4] 221 Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Misalkan graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi dengan banyaknya titik di adalah dan banyak sisi di adalah Definisi 2211 : [1] Pelabelan total sisi ajaib (edge-magic total labeling) pada graf adalah fungsi bijektif sedemikian sehingga untuk sebarang sisi di berlaku untuk suatu konstanta Selanjutnya disebut bilangan ajaib(konstanta ajaib) pada graf dan yang mempunyai sifat diatas disebut total sisi ajaib

18 Sebagai contoh perhatikan graf berikut dengan dan Diperoleh orde adalah dan ukuran adalah Akan ditunjukkan bahwa graf adalah total sisi ajaib H : Gambar 5 Graf H Dikonstruksikan pelabelan sebagai berikut : diperoleh :

19 Diperoleh bahwa adalah pelabelan total sisi ajaib pada dengan konstanta ajaib Maka diperoleh pelabelan total sisi ajaib pada dapat digambarkan sebagai berikut 1 G: Gambar 6 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf H Pelabelan total sisi-ajaib yang memetakan himpunan titik suatu graf ke himpunan disebut pelabelan sisi-ajaib super (super edge magic labeling) Dengan demikian pelabelan sisi-ajaib super adalah suatu bentuk khusus dari pelabelan total sisi-ajaib Setiap pelabelan sisi-ajaib super pasti pelabelan total sisi-ajaib tetapi tidak sebaliknya Graf yang dapat dikenai pelabelan sisi-ajaib super disebut graf sisi-ajaib super [1] Perhatikan graf G berikut : G : Gambar 7 Pelabelan total sisi-ajaib super

20 G : Gambar 8 Pelabelan total sisi-ajaib Gambar 7 dan Gambar 8 di atas merupakan gambar graf dengan pelabelan total sisi-ajaib Meskipun demikian pelabelan pada Gambar 7 disebut pelabelan sisiajaib super sedangkan pada Gambar 8 bukan pelabelan sisi-ajaib super Hal ini karena pada Gambar 7 himpunan titik dipetakan ke himpunan sedangkan pada Gambar 8 himpunan label titiknya bukan ke himpunan

21 BAB III PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF GRAF DAN Pada bab ini akan dijelaskan hasil utama dari kajian skripsi yaitu pelabelan total sisi-ajaib super (super edge-magic total labelings) pada graf untuk dan untuk 31 Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf untuk dengan Pada teorema berikut akan dibuktikan bahwa graf untuk adalah graf dengan pelabelan total sisi-ajaib super dengan Perhatikan gambar berikut : Gambar 9 Graf

22 Teorema 311 [6] : Untuk setiap graf merupakan graf dengan pelabelan total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib Bukti : Notasikan: dan dimana untuk dan untuk Konstruksikan pelabelan titik dan sisi pada graf berdasarkan cara berikut Himpunan titik diberi label sebagai berikut Semantara himpunan sisi diberi label sebagai berikut Dari Definisi 2211 diperoleh bahwa untuk berlaku :

23 Sehingga dapat ditunjukkan sebagai berikut Maka untuk setiap Dari definisi 2211 diperoleh bahwa untuk berlaku : Sehingga dapat ditentukan sebagai berikut Untuk setiap Dengan demikian merupakan pelabelan total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib Contoh 1 : Misalkan diberikan suatu graf dengan Akan ditentukan apakah graf tersebut mempunyai pelabelan total sisi-ajaib super Jawab : Untuk dinotasikan

24 Perhatikan gambar berikut : Gambar 10 Graf Konstruksikan pelabelan titik sebagai berikut : sehingga diperoleh

25 Selanjutnya dikonstruksikan pelabelan sisi sebagai barikut : sehingga diperoleh Sehingga konstanta ajaib untuk graf adalah untuk setiap maka diperoleh : untuk setiap maka diperoleh :

26 Dari Teorema 311 diperoleh Maka pelabelan pada graf merupakan pelabelan total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib Dengan demikian pelabelan total sisi-ajaib super pada graf dapat diperlihatkan dengan gambar berikut : Gambar 11 Pelabelan total sisi-ajaib super pada Graf Contoh 2 : Misalkan suatu graf dengan Akan ditentukan apakah graf tersebut mempunyai pelabelan total sisi-ajaib super Jawab : Untuk dinotasikan Perhatikan gambar berikut :

27 Gambar 12 Graf Konstruksikan pelabelan titik sebagai berikut : sehingga diperoleh :

28 Selanjutnya dikonstruksikan pelabelan sisi sebagai berikut : sehingga diperoleh Sehingga konstanta ajaib untuk graf adalah untuk setiap maka diperoleh :

29 untuk setiap maka diperoleh : Dari Teorema 311 diperoleh Maka pelabelan pada graf merupakan pelabelan total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib Dengan demikian pelabelan total sisi-ajaib super pada graf dapat diperlihatkan dengan gambar berikut : 16 Gambar 13 Pelabelan total sisi-ajaib super pada Graf

30 32 Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf untuk dengan Akan dibuktikan bahwa graf untuk adalah graf dengan pelabelan total sisi-ajaib super dengan Perhatikan gambar berikut : Gambar 14 Graf Teorema 321 [6] : Untuk setiap graf merupakan graf dengan pelabelan total sisiajaib super dengan konstanta ajaib

31 Bukti : Notasikan : dan dimana untuk dan untuk Konstruksikan pelabelan titik dan sisi pada graf berdasarkan cara berikut Himpunan titik diberi label sebagai berikut Sementara himpunan sisi diberi label sebagai berikut Dari Definisi 2211 diperoleh bahwa untuk berlaku : Sehingga dapat ditentukan sebagai berikut Maka untuk setiap

32 Dari definisi 2211 diperoleh bahwa untuk berlaku Sehingga dapat ditentukan sebagai berikut Untuk setiap Dengan demikian merupakan pelabelan total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib Contoh 3 : Misalkan suatu graf dengan Akan ditentukan apakah graf tersebut mempunyai pelabelan total sisi-ajaib super Jawab : Untuk dinotasikan

33 Gambar 15 Graf Konstruksikan pelabelan titik sebagai berikut sehingga diperoleh

34 Selanjutnya dikonstruksikan pelabelan sisi sebagai berikut sehingga diperoleh : Sehingga konstanta ajaib untuk graf adalah untuk setiap maka diperoleh : untuk setiap maka diperoleh : Dari Teorema 311 diperoleh Maka pelabelan pada graf merupakan pelabelan total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib

35 Dengan demikian pelabelan total sisi-ajaib super pada graf dapat diperlihatkan dengan gambar berikut : Gambar 16 Pelabelan total sisi-ajaib super pada Graf Contoh 4 : Misalkan suatu graf dengan Akan ditentukan apakah graf tersebut mempunyai pelabelan total sisi-ajaib super Jawab : Untuk dinotasikan : Perhatikan gambar berikut :

36 Gambar 17 Graf Konstruksikan pelabelan titik sebagai berikut : sehingga diperoleh :

37 Selanjutnya dikonstruksikan pelabelan sisi sebagai berikut : sehingga diperoleh : Sehingga konstanta ajaib untuk graf adalah untuk setiap maka diperoleh :

38 untuk setiap maka diperoleh : Dari Teorema 311 diperoleh Maka pelabelan pada graf merupakan pelabelan total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib Dengan demikian pelabelan total sisi-ajaib super pada graf dapat diperlihatkan dengan gambar berikut : Gambar 18 Pelabelan total sisi-ajaib super pada Graf

39 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Berdasarkan hasil yang telah diperoleh pada Bab III dapat disimpulkan bahwa : 1 Graf untuk dengan dan merupakan graf dengan pelabelan total sisi-ajaib super yang dipeoleh dari beberapa proses yaitu dengan melabelkan semua titik dan sisinya sehingga didapatkan konstanta ajaib 2 Graf untuk dengan dan merupakan graf dengan pelabelan total sisi-ajaib super yang dipeoleh dari beberapa proses yaitu dengan melabelkan semua titik dan sisinya sehingga didapatkan konstanta ajaib

40 DAFTAR PUSTAKA [1] Abdussakir Edge-Magic Total Labeling pada Graph mp 2 (m bilangan asli ganjil) Jurnal Saintika Edisi Khusus Dies Natalies I UIN Malang Juni (2005) [2] Baca Martin dan Miller Mirka 2008 Super Edge-Antimagic Graph : A Wealth of Problems and Solutions Brown Walker Press Boca Raton Florida USA [3] Chartrand G dan Lesniak L 1986 Graph and Digraph 2 nd Edition California : Wadsworth Inc [4] Miller Mirka 2000Open Problems in Graph Theory : Labeling and Extremal Graph Prosiding Konferensi Nasional Himpunan Matematika Indonesia X di Institut Teknologi Bandung Juli [5] Munir R 2005 Matematika Diskrit Edisi ke 3 Informatika : Bandung [6] Sudarsana I W Baskoro ET Ismaimuza D dan AssiyatunH Creating new super edge-magic total labelings from old ones J Combin Math Combin Comput 55 (2005) 83-90

41 RIWAYAT HIDUP PENULIS Penulis bernama Nurul Mustika Siregar dilahirkan di Padangsidimpuan pada tanggal 04 Oktober 1987 anak pertama dari lima bersaudara buah hati dari pasangan Muslim Siregar dan Erna Sri Atika Harahap Penulis menamatkan pendidikan dasar di SDN 26 Padangsidimpuan pada tahun 2000 kemudian melanjutkan ke SLTPN 4 Padangsidimpuan dan menamatkannya pada tahun 2003 Penulis melanjutkan pendidikan ke SMAN 4 Padangsidimpuan dan selesai pada tahun 2006 Di tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Andalas melalui jalur PMDK Selama menjadi mahasiswa di jurusan Matematika FMIPA UNAND penulis ikut aktif dalam kegiatan dari Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA)