7. Transformasi Fourier

Transkripsi

1 Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi ransformasi Fourier Pada bab sebelumnya kita telah melihat bahwa setiap fungsi f L 1 ([0, 1] L ([0, 1] dapat dinyatakan sebagai deret Fourier f(x = n Z c n e πinx = n Z ( 1 0 f(ye πiny dy e πinx. Hal yang serupa juga berlaku di L 1 ([, ] L ([, ]. Misalkan f L1 ([, ] L ([, ]. Maka, g(x = f( (x 1 L1 ([0, 1] L ([0, 1], dan karenanya f( (x 1 = g(x = = = n= n= n= ( 1 ( 1 ( 1 g(ye πiny dy e πinx 0 / / / / Dengan substitusi peubah sekali lagi kita peroleh g ( t + 1 e πin( t + 1 dte πinx f(te πint/ dt e πin(x 1. (1 ( 1 f(x = n= / / f(ye πiny/ dy e πinx/. Bentuk ini mengingatkan kita akan jumlah iemann atas suatu partisi dengan lebar 1, yakni ( / f(ye πiξny dy e πiξnx ξ n, n= / dengan ξ n = n dan ξ n = 1. Berdasarkan hal ini, dengan mengambil, kita boleh menduga bahwa untuk f yang cukup bagus akan berlaku f(x = ( f(ye πiξy dy e πiξx dξ. ( Semua ini memotivasi kita untuk mendefinisikan transformasi Fourier sebagai berikut.

2 34 Hendra Gunawan 7.1 ransformasi Fourier dan inversnya Definisi Misalkan f L 1 (, yakni f 1 = f(x dx <. ransformasi Fourier dari f, yang kita tuliskan sebagai f, didefinisikan oleh f(ξ = f(xe πiξx dx, ξ. Seperti halnya dalam pembahasan deret Fourier, pertanyaan kita adalah bagaimana kita dapat memperoleh f kembali dari f. Kesamaan ( menyarankan kita untuk mendefinisikan invers transformasi Fourier dari g, yang dituliskan sebagai ǧ, sebagai ǧ(x = g(ξe πixξ dξ, x. eorema inversi Fourier, yang akan kita bahas nanti, menyatakan bahwa ( fˇ(x = f(x, h.d.m. asalkan f dan f terintegralkan. Sebelum sampai ke sana, kita mulai dengan teorema berikut ini. eorema 7.1. Jika f L 1 (, maka f kontinu pada. Bukti. Untuk setiap ξ dan h, sehingga f(ξ + h f(ξ = f(ξ + h f(ξ e πiξx (e πihx 1f(x dx, e πihx 1 f(x dx. Integran di ruas kanan didominasi oleh f(x dan menuju 0 apabila h 0. Jadi, menurut teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue, ruas kanan mestilah menuju 0 apabila h 0, dan akibatnya ruas kiri juga menuju 0 apabila h 0. eorema Jika f L 1 (, maka f terbatas pada. Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiap ξ berlaku f(ξ e πiξx f(x dx = Jadi f terbatas pada, dengan f f 1. eorema (iemann-lebesgue Jika f L 1 (, maka f(x dx = f 1. lim f(ξ = 0 h.d.m. ξ

3 Bukti. Mengingat f(ξ = peroleh sehingga Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi 35 f(ξ = f(ξ ( f(ξ = f(ξ f(xe πiξ(x+ 1 ξ dx = f(x 1 ξ e πiξx dx, kita ( f(x f ( x 1 e πiξx dx, ξ f(x f ( x 1 dx. ξ Karena f L 1 (, maka (menurut kekontinuan dalam norma di L 1 ( lihat Hewitt & Stromberg, eorema 13.4 ruas kanan menuju 0 apabila ξ. Dengan demikian ruas kiri pun mestilah menuju 0 apabila ξ. Akibat ransformasi Fourier memetakan L 1 ( ke C 0 (. Catatan. C 0 ( adalah ruang fungsi kontinu dan terbatas pada dengan limit nol di ±. Contoh Jika f(x = e πx, maka f(ξ = e πξ. πiξ sin πξ Contoh χ [0,1 (ξ = e πξ. 7. Konvolusi erkait erat dengan transformasi Fourier adalah operasi konvolusi yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 7..1 Untuk f, g L 1 (, kita definisikan konvolusi f g sebagai berikut f g(x = f(yg(x ydy, x. Konvolusi bersifat seperti perkalian pada L 1 (, yakni (i komutatif: f g = g f; (ii distributif (karena kelinearan integral: f (g + h = f g + f h (f + g h = f h + g h λ(f g = (λf g = f (λg dan (iii asosiatif (karena teorema Fubini: (f g h = f (g h.

4 36 Hendra Gunawan Jadi L 1 ( merupakan suatu aljabar komutatif terhadap konvolusi. Lebih jauh, teorema di bawah ini mengatakan bahwa L 1 ( merupakan aljabar Banach terhadap konvolusi. eorema 7.. Jika f, g L 1 (, maka f g L 1 ( dan f g 1 f 1 g 1. Bukti. Latihan. Selanjutnya kita mempunyai teorema berikut. eorema 7..3 Jika f, g L 1 (, maka (f g = fĝ. Bukti. Gunakan definisi dan teorema Fubini. Berdasarkan teorema ini kita dapat mengamati bahwa L 1 ( tidak mempunyai identitas terhadap konvolusi. Jika terdapat e L 1 ( sedemikian sehingga e f = f f L 1 (, maka haruslah ê f = f h.d.m. f L 1 (. Namun ini mengakibatkan ê(ξ = 1 h.d.m., bertentangan dengan eorema Walaupun demikian, kita mempunyai identitas hampiran, seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut. eorema 7..4 Misalkan φ 0 dan φ(x dx = 1. Untuk setiap ɛ > 0, definisikan φ ɛ (x = 1 ɛ φ( x ɛ. Maka, untuk setiap f L 1 (, kita mempunyai φ ɛ f f 1 0, ɛ 0. Bukti. Lihat Hewitt & Stromberg, eorema eorema inversi Fourier dan kesamaan Plancherel eorema (eorema inversi Fourier Misalkan f L 1 ( sedemikian sehingga f L 1 (. Maka, f(x = f(ξe πiξx dξ, h.d.m. yakni, f = ( fˇh.d.m. Bukti. Misalkan φ(x = e πx. Maka, φ(x dx = 1, sehingga menurut eorema 7..4, φ ɛ f f dalam norma di L 1 ( apabila ɛ 0. Selanjutnya kita akan menunjukkan bahwa φ ɛ f juga konvergen ke ( fˇtitik demi titik.

5 Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi 37 Ambil x sebarang dan sebut g ɛ (ξ = e πiξx πɛ ξ. Maka, Jadi (lihat Soal 3, φ ɛ f(x = ĝ ɛ (y = φ ɛ (x y. f(ye πixy πɛ y dy. Jika ɛ 0, maka e πɛ y 1, dan karenanya f(ye πixy πɛ y f(ye πixy (titik demi titik. Di samping itu, untuk setiap ɛ > 0 kita mempunyai f(ye πixy πɛ y = f(y e πɛ y f(y. Karena f L 1 (, maka menurut teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue φ ɛ f(x f(ye πixy dy = ( fˇ(x. Jadi kita peroleh φ ɛ f f dalam norma di L 1 ( dan pada saat yang sama φ ɛ f ( fˇtitik demi titik. Kita simpulkan bahwa ( fˇ= f hampir di mana-mana. Akibat 7.3. Jika f, g L 1 ( dan f = ĝ h.d.m., maka f = g h.d.m. Bukti. Jika f = ĝ h.d.m., maka f ĝ = 0 h.d.m., sehingga menurut teorema inversi Fourier f(x g(x = ( f(ξ ĝ(ξe πiξx dξ = 0, h.d.m. Catatan. Akibat 7.3. mengatakan bahwa merupakan pemetaan yang bersifat 1-1 atau injektif h.d.m. Jika deret Fourier memenuhi kesamaan Parseval, maka transformasi Fourier memenuhi kesamaan Plancherel, yakni eorema (Kesamaan Plancherel Jika f L 1 ( L (, maka f L ( dan f = f. Bukti. Lihat udin, eorema Lebih umum daripada itu, kita mempunyai eorema (Kesamaan Plancherel Jika f, g L 1 ( L (, maka f, g = f, ĝ. Bukti. Gunakan eorema

6 38 Hendra Gunawan 7.4 Soal-soal πiξ sin πξ 1. unjukkan bahwa χ [0,1 (ξ = e πξ.. Hitung χ [, ](ξ ( > Diketahui f(x = sin πx πx. entukan f(ξ. 4. unjukkan jika f(x = e πx, maka f(ξ = e πξ. (Petunjuk. Integralkan fungsi kompleks f(z = e πz sepanjang lintasan tertutup γ = [, ] + [, + iξ] + [ + iξ, + iξ] + [ + iξ, ], dan ambil. Ingat e πx dx = Buktikan jika f, g L 1 (, maka f(xg(x dx = f(xĝ(x dx. 6. Buktikan bahwa untuk setiap f dan g L 1 ([0, 1] berlaku (a f g = g f; (b (f g h = f (g h. 7. Misalkan χ = χ [0,1. entukan = χ χ. 8. Buktikan eorema Buktikan eorema Buktikan eorema

7 Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi ransformasi Fourier di L ( dan eorema Sampling Shannon 8.1 ransformasi Fourier di L ( L (, yang dilengkapi dengan hasilkali dalam f, g = f(xg(x dx, merupakan ruang Hilbert. Karena L ( bukan himpunan bagian dari L 1 (, definisi transformasi Fourier tidak langsung berlaku di L (. Namun demikian, dengan menggunakan fakta bahwa L 1 ( L ( padat di L (, transformasi Fourier dari fungsi f L ( dapat didefinisikan sebagai limit dari suatu barisan f n (dalam norma di L (, dengan f n L 1 ( L ( dan f n f (n dalam norma di L (. Semua ini dapat dilakukan sebagaimana dijamin oleh teorema berikut: eorema Misalkan f L (. Untuk n N, definisikan f n = χ [ n,n] f, yakni f n (x = { f(x, jika x n, 0, jika x > n. Maka, f n L 1 ( L ( dan f n L (, untuk setiap n N. Lebih jauh, f n f (n dalam norma di L ( dan ( f n konvergen (dalam norma di L ( ke suatu fungsi di L (. Bukti. Menurut ketaksamaan Holder, untuk setiap n N, kita mempunyai n f n (x dx = f(x dx n [ n n ] 1 [ n ] 1 f(x dx dx n f (n 1 <. ( Jadi, f n L 1 (. Kemudian mengingat f n (x f(x, kita peroleh pula f n L (. Dengan demikian, f n L 1 ( L ( dan, menurut Plancherel, f n L (. Perhatikan bahwa f n (x f(x (n titik demi titik. Berdasarkan teorema kekonvergenan monoton, lim n f n (x dx = yakni, f n f (n dalam norma di L (. f(x dx,

8 40 Hendra Gunawan Selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa ( f n konvergen (dalam norma di L ( ke suatu fungsi di L (. Mengingat L ( lengkap, cukup kita tunjukkan bahwa f m f n 0 (m, n. Namun f m f n adalah transformasi Fourier dari f m f n L 1 ( L (. Karena itu, menurut Plancherel, f m f n = f m f n = m n apabila m, n. Ini mengakhiri pembuktian. f(x dx + n m f(x dx 0, Definisi 8.1. Misalkan f L (. Kita definisikan transformasi Fourier dari f sebagai f = lim f n n (dalam norma di L (, di mana f n = χ [ n,n] f, n N. Catatan. Jika f L ( dan f n = χ [ n,n] f, n N, maka definisi di atas mengatakan bahwa lim f f n = 0. Mengingat f didefinisikan hanya sebagai anggota L (, n f(x hanya terdefinisi hampir di mana-mana. Selanjutnya, jika f L 1 ( L (, maka sekarang kita mempunyai dua definisi untuk f. Namun, kedua definisi ini konsisten karena limit dalam norma di L ( mestilah sama dengan limit titik demi titiknya. Sekali lagi kita jumpai kesamaan Plancherel. eorema (Kesamaan Plancherel Jika f L (, maka f = f ; yakni, transformasi Fourier merupakan suatu isometri pada L (. Bukti. Latihan. eorema merupakan kasus khusus dari eorema di bawah ini. eorema (Kesamaan Plancherel Jika f, g L (, maka f, ĝ = f, g. Bukti. Latihan. eorema (eorema inversi Fourier Jika f L (, maka n n Bukti. Lihat udin, hal eorema sampling Shannon f(ξe πiξx dξ f(x 0 (n. Kita telah mempelajari bagaimana sebuah fungsi dapat direkonstruksi dari barisan koefisien Fourier-nya. C. Shannon (1949 mengamati bahwa dalam hal khusus,

9 Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi 41 sebuah fungsi bahkan dapat direkonstruksi dari titik-titik sampel-nya, dengan menggunakan keluarga fungsi sinc (sinc x = sin x x. Persisnya, kita mempunyai teorema berikut. eorema 8..1 (eorema sampling Shannon Jika f L ( dan supp f [, ], maka f(x = f ( k sin π( x k π( x k k Z dalam norma di L (. Bukti. Mengingat f L 1 ([, ] L ([, ], kita dapat menguraikan f sebagai deret Fourier f(ξ = k Z c k e πikξ/, ξ [, ], dengan c k = 1 f(ξe πikξ/ dξ = 1 f(ξe πikξ/ dξ = 1 f( k. Menggunakan teorema inversi Fourier sekali lagi, kita peroleh f(x = = = 1 = 1 = k Z k Z k Z k Z f(ξe πixξ dξ = f(ξe πixξ dξ 1 f( k e πikξ/ e πixξ dξ f ( k e πi(x k ξ dξ f ( k e πi(x k ξ ] πi(x k f ( k di mana deret konvergen dalam norma di L (. sin π( x k, (3 π( x k Catatan. Himpunan bilangan {f ( k }k Z disebut sampel. eorema di atas mengatakan bahwa f dapat direkonstruksi dari sampel tersebut dengan menggunakan keluarga fungsi { sin π( x k } π( x k. Hal ini tidaklah mengejutkan, karena s k Z k(x := sin π( x k π( x k, yang merupakan invers dari ŝ k (ξ = χ [, ](ξe πikξ/, membentuk

10 4 Hendra Gunawan basis ortonormal untuk {f L ( supp f [, ]}. Berdasarkan fakta ini dan kesamaan Parseval, kita peroleh f = k Z f, s k s k = k Z f, ŝ k s k = k Z f( k sk. 8.3 Penggunaan dalam persamaan diferensial ransformasi Fourier sering digunakan dalam menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Sebagai contoh, tinjau masalah Dirichlet pada setengah bidang bagian atas: u x + u t = 0 dengan syarat awal u(x, 0 = f(x, x, t > 0. Lakukan transformasi Fourier dalam peubah x, yakni û(ξ, t = u(x, te πiξx dx. Maka sehingga masalahnya menjadi: ( u b x = (πiξ û ( u b t = û t, û t = (πξ û dengan syarat awal Dari sini kita peroleh û(ξ, 0 = f(ξ. û(ξ, t = C 1 (ξe πξt + C (ξe πξt, dengan Jika kita ambil dan C 1 (ξ = C 1 (ξ + C (ξ = f(ξ. { C (ξ = { f(ξ, jika ξ 0 0, jika ξ < 0, 0, jika ξ 0 f(ξ, jika ξ < 0,

11 Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi 43 maka kita peroleh û(ξ, t = f(ξe π ξ t. Jadi, menurut teorema inversi Fourier, u(x, t = (ûˇ(x, t = ( π t f( e ˇ(x. 8.4 Soal latihan 1. Buktikan eorema Buktikan eorema