BAB 1 PENDAHULUAN. 1 ; untuk k = n 0 ; untuk k n. e [n]

Transkripsi

1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada himpunan N = 0, 1, 2,.... Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah suatu fungsi x : N R dengan aturan k x(k) untuk setiap k N, dalam hal ini dapat ditulis x(k) = x k. Pada tulisan ini, barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (x k ). Karena tulisan ini membahas tentang barisan bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan bilangan real disebut barisan saja. Pada barisan x = (x k ), bilangan real x k disebut suku ke-k ( dari ) barisan x = (x k ). Suatu barisan yang ditulis dengan notasi e [n] = untuk n N, didefinisikan sebagai barisan dengan entrinya bernilai 1 hanya pada suku ke-n dan yang lain bernilai 0, yaitu e [n] k = 1 ; untuk k = n 0 ; untuk k n. Dengan kata lain, e [n] = (0,, 0, 1, 0, ) dengan entri 1 berada pada posisi ke-n. Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω; yaitu ω = x = (x k ) : x k R, k N. Sebarang ruang linier bagian dari ω disebut ruang barisan. Ruang-ruang barisan berikut yang ditulis dengan notasi c, c 0, dan l masingmasing disebut ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke nol, dan ruang barisan terbatas, yaitu c = x = (x k ) ω : ( l R) x k l, c 0 = x = (x k ) ω : x k 0, dan l = x = (x k ) ω : sup x k < k N. Selanjutnya, ruang barisan dengan deret mutlak-p konvergen untuk 1 p < e [n] k

2 2 ditulis dengan notasi l p ; yaitu l p = x = (x k ) ω : x k p <. Ruang-ruang barisan yang dinotasikan tersebut di atas merupakan salah satu bentuk ruang barisan klasik. Ruang barisan X dikatakan ruang Banach jika X merupakan ruang bernorma dan untuk setiap barisan Cauchy di dalamnya dapat diperoleh nilai kekonvergenannya. Ruang barisan X disebut ruang BK (Banach Kantorovich) jika X merupakan ruang Banach dan fungsi koordinat p k : X R dengan aturan x p k (x) = x k kontinu pada X untuk semua x = (x k ) X dan setiap k N. Ruang barisan c, c 0, dan l yang diberikan di atas masing-masing merupakan ruang BK terhadap norma supremum ; yaitu x = sup x k. k N Adapun ruang barisan l p dengan 1 p < merupakan ruang BK terhadap norma p ; yaitu ( ) 1/p x p = x k p untuk setiap x = (x k ) l p (Kamthan dan Gupta, 1981). Sifat-sifat topologi selain dari ruang-ruang barisan di atas terhadap norma yang diberikan telah dibicarakan para peneliti antara lain Maddox (1967), Kamthan dan Gupta (1981). Adapun salah satu applikasi dari ruang barisan adalah transformasi matriks. Transformasi matriks merupakan fungsi pada suatu ruang barisan ke ruang barisan yang sama atau berbeda dengan memanfaatkan matriks tak hingga A = (a nk ) dengan a nk R untuk setiap n, k N. Dengan kata lain, apabila diberikan ruang barisan X, Y, dan matriks tak hingga A = (a nk ), fungsi T : X Y dengan aturan x T (x) = Ax disebut transformasi matriks. Dalam hal ini barisan Ax = (A n (x)) n=0 Y, dengan A n (x) = a nk x k merupakan deret konvergen untuk setiap n N. Barisan ke-n dari matriks A ditulis dengan notasi A n ; yaitu A n = (a nk ) untuk setiap n N. Selan-

3 3 jutnya, koleksi semua transformasi matriks yang memetakan X ke Y ditulis dengan notasi (X, Y ). Oleh karena itu, A (X, Y ) jika dan hanya jika A n (x) konvergen untuk setiap n N dan untuk setiap x X, dan Ax Y untuk setiap x X. Penelitian tentang transformasi matriks pada ruang-ruang barisan klasik telah cukup lengkap dilakukan para peneliti (Maddox 1970; Wilansky 1984). Oleh karena itu, para peneliti mengalihkan perhatian mereka ke ruang barisan lain dengan membentuk ruang barisan baru. Salah satunya dengan memanfaatkan ruang barisan X dan matriks tak hingga A yang diberikan. Ruang barisan seperti ini disebut domain matriks dan ditulis dengan notasi X A ; yaitu X A = x = (x k ) ω : Ax X. Penelitian membentuk ruang barisan baru yang berbentuk domain matriks pada suatu ruang barisan dan matriks tertentu telah diselidiki oleh para peneliti (Maddox 1967, 1970; Malkowsky dan Savas 2004; Aydin dan Basar 2004, 2005; Altay dan Basar 2005; Malkowsky dan Rako cević 2007; Mursaleen dan Noman 2010). Selanjutnya, M. Mursaleen dan A.K. Noman (2010) memperkenalkan matriks Λ dan membentuk domain matriks pada ruang-ruang barisan c, c 0, dan l dengan matriks Λ tersebut. Berhasil diperlihatkan sifatsifat topologi terhadap norma yang diberikan, beberapa relasi inklusi, dual-α, -β, dan -γ, serta transformasi matriks antara ruang-ruang barisan berbentuk domain matriks tersebut. Pada sisi lain, Lindenstrauss dan Tzafriri (1971) memperkenalkan ruang barisan yang didefinisikan dengan menggunakan fungsi Orlicz. Fungsi Orlicz adalah suatu fungsi M : [0, ) [0, ) yang bersifat kontinu, naik, dan konveks, dengan M(0) = 0, M(x) > 0 untuk x > 0, dan M(x) untuk x. Ruang barisan ini ditulis dengan notasi l M, yaitu ruang barisan ( ) xk x = (x k ) dengan aturan M < untuk suatu ρ > 0. Dengan kata ρ k=1 lain, ( ) xk l M = x = (x k ) ω : ( ρ > 0) M <. ρ Berhasil diperlihatkan bahwa ruang l M merupakan ruang Banach dan disebut ruang barisan Orlicz. Lebih lanjut, penelitian tentang ruang barisan bernilai real merupakan salah satu penelitian yang sangat menarik. Apalagi kalau dihubungkan dengan masalah-masalah real yang dihadapi manusia, yang sebagian besar merupakan k=1

4 4 bagian suatu struktur atau ruang yang lebih umum daripada ruang barisan bilangan real. Hal ini antara lain dapat dilihat dalam teori transisi Markov kontinu dan teori Ergodic (Aliprantis dan Border, 2006). Sejauh yang penulis ketahui berdasarkan referensi jurnal maupun informasi para pakar, belum ditemukan adanya penelitian tentang domain matriks dari matriks Λ pada ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Generalisasi fungsi Orlicz adalah suatu fungsi M : [0, ) [0, ) yang bersifat kontinu, naik, dan konveks, dengan M(0) = 0, dan M(x) > 0 untuk x > 0. Oleh karena itu, berdasarkan ide dan hasil penelitian di atas, timbul pemikiran penulis untuk meneliti domain matriks dengan memanfaatkan matriks Λ pada ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penulis memilih judul skripsi, Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ Perumusan Masalah Berdasarkan referensi-referensi jurnal yang ada, informasi yang didapat dari internet maupun dari buku-buku yang terkait, serta informasi dari para pakar, belum adanya pembahasan mengenai ruang barisan yang berbentuk domain matriks dari suatu matriks tak hingga A = (a nk ) pada ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Oleh karena itu, penelitian ini difokuskan pada ruang lingkup tersebut. Adapun masalah yang akan dibahas dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Bagaimanakah ruang barisan yang dapat dibentuk dengan memanfaatkan generalisasi fungsi Orlicz terhadap ruang barisan klasik c, c 0, dan l. 2. Dengan menggunakan matriks tak hingga Λ yang diperkenalkan oleh M. Mursaleen dan A. K. Noman, apakah dapat dibentuk domain matriks dari matriks Λ terhadap ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. 3. Bagaimana sifat-sifat topologi pada ruang barisan yang berbentuk domain matriks tersebut terhadap norma yang didefinisikan. Dalam hal ini, sifat-sifat topologi yang dimaksud terkait dengan ruang Banach, ruang BK, dan ruang AK.

5 5 4. Bagaimana relasi inklusi yang terjadi pada ruang barisan yang berbentuk domain matriks tersebut. 5. Apakah yang menjadi syarat perlu dan cukup agar matriks tak hingga A = (a nk ) berada di dalam kelas transformasi matriks (X, Y ), untuk X dan Y merupakan ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz Batasan Masalah Penulis akan meneliti domain matriks dari matriks Λ pada ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Selanjutnya, sifat-sifat topologi yang akan diteliti pada ruang barisan yang akan diperkenalkan terkait dengan ruang Banach, ruang BK, dan ruang AK. Lebih lanjut, karakteristik dari kelas transformasi matriks yang akan diteliti, dibatasi pada beberapa ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz Tujuan Penelitian Berdasarkan latar belakang dan permasalahan yang telah dirumuskan di atas, tujuan penelitian ini adalah menyusun teori baru tentang ruang barisan dan transformasi matriks, khususnya tentang sifat-sifat topologi dan relasi inklusi dari ruang barisan yang diperkenalkan, serta karakteristik koleksi transformasi matriks yang dibangun oleh ruang barisan yang diperkenalkan Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari hasil penelitian ini, diharapkan dapat: 1. Memperkaya pengetahuan tentang ruang barisan, khususnya ruang barisan yang berbentuk domain matriks dari suatu matriks tak hingga A = (a nk ) terhadap ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Olicz. 2. Membuka peluang munculnya teori baru tentang ruang barisan, khususnya ruang barisan berbentuk domain matriks dari matriks tak hingga tertentu, seperti matriks Hausdorff, matriks Cesàro, matriks Euler, matriks Riesz, matriks Nörlund, dan matriks A r.

6 6 3. Membuka area baru penelitian di bidang analisis matematika dan ilmuilmu terkait, seperti statistika dan biologi. 4. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan terutama bagi mahasiswa yang akan melakukan penelitian serupa.