Outline. Bagian 0: Motivasi. Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker. Bagian 2: Sequential Quadratic Programming

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Outline. Bagian 0: Motivasi. Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker. Bagian 2: Sequential Quadratic Programming"

Veronika Agusalim
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Outline Bagian 0: Motivasi Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker Bagian 2: Sequential Quadratic Programming Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di erensial Biasa Beberapa definisi elementer Masalah kendali optimal Metode Langsung UNKO, Compact Course, August 21,

2 Beberapa definisi elementer Misal X adalah ruang vektor atas lapangan R. Ruang X, k k X adalah sebuah ruang norm. Barisan (x k ) k X dikatakan sebagai barisan Cauchy jika untuk setiap >0 terdapat K 2 N sehingga kx k x l k X apple for all k, l > K. Konvergen =) Cauchy. Tidak harus Cauchy =) konvergen! Jika X, k k X memenuhi maka X, k k X kita katakan complete. X, k k X kita sebut sebagai ruang Banach, jikacomplete. Pemetaan h, i : X X! R dikatakan sebagai hasil kali dalam jika untuk setiap x, y, z 2 X dan a, b 2 R, hx, xi 0 and hx, xi =0, x =0, (definit positif) hx, yi = hy, xi, hax + by, zi = a hx, zi + b hy, zi, (simetri) (linieritas) terpenuhi. Diberikan hasil kali dalam h, i X di X,ruang X, h, i X dikatakan sebagai ruang hasil kali dalam atau ruang pre-hilbert. Jikasebuahruang pre-hilbert X, h, i X complete dengan norm k k X := p h, i X,makaitu dikatakan ruang Hilbert. UNKO, Compact Course, August 21,

3 Beberapa definisi elementer Sekarang perhatikan R n,sebuahsubhimpunanu R n dan f : U! R : x 7! f (x). Ruang semua fungsi kontinu f yang memetakan U pada R dinotasikan dengan C(U; R) Misal 2 Z n + dan definisikan := k k 1,dimanak k 1 = n menotasikan 1 norm dari. Definisikan D f (x) :=@ f (x)/@x 1 n.kita definisikan dengan C k (U) ruang semua fungsi f : U! R dimana D f untuk semua applek kontinu di U. C k (U), k k C k (U),dimanakfk C k (U) = P applek kd f k C(U) dan kf k C(U) =max U f,mendefinisikansebuahruangbanach Untuk k = 1, kitamendapatkanc 1 (U) = T 1 k=0 C k (U) ruang semua fungsi yang terdi erensiasi takhingga di U. Semua fungsi f di C k (U) dengansupport kompak supp(f ):={x 2 U : f (x) 6= 0}, diklasifikasikandalamruangc k 0 (U). UNKO, Compact Course, August 21,

4 Beberapa definisi elementer Ruang Lebesgue L p (U), dimana 1 apple p apple1adalah ruang dari semua fungsi terintegrasi Lebesgue f : U! R yang memenuhi kf k L p (U) < 1 Norm yang disebutkan didefinisikan sebagai ( R kf k L p (U) := f U p dx 1/p, 1 apple p < 1, ess sup U f =inf µ(e)=0 sup U\E f, p = 1. Dalam formulasi terakhir µ(e) menotasikanukuranlebesgue dari subhimpunan E. untuk semua p, i.e.p =1, 1 (resp. 1 < p < 1), L p, k k L p (U) mendefinisikan ruang Banach (refleksif) Untuk p =2,kitamendapatkanruangHilbert L 2 (U), h, i L 2 (U) dengan mendefinisikan hf, gi L 2 (U) := R fg dx untuk setiap f, g 2 U L2 (U) Kita menotasikan L p loc (U) sebagai ruang semua fungsi terintegrasi Lebesgue f sehingga f 2 L p (V )untuksetiapv c U. CatatbahwaL 1 loc(u) tidakharus terdi erensiasi di seluruh bagian dari U. UNKO, Compact Course, August 21,

5 Beberapa definisi elementer Untuk kasus f 2 L 1 loc(u), kita katakan g : U! R sebagai turunan lemah dari f untuk spesifik 2 Z n + jika Z Z fd h dx =( 1) gh dx 8h 2 C0 1 (U) U terpenuhi Dengan menggunakan kembali D f untuk semua turunan lemah dari f,kita menotasikan W k,p (U) sebagai ruang semua fungsi f 2 L p (U) dengansemua turunan lemah D f in L p (U) untuksemua applek. P Bersamaan dengan kf k W k,p (U) := R 1/p, applek U D f dx p ruang W k,p (U), k k W k,p (U) mendefinisikan ruang Banach. Jika p = 1, makanormtersimplikasimenjadi kf k W k,1 (U) =max applek kd f k L 1 (U). Semua ruang W k,p (U) biasanyadisebutsebagairuangsobolev. Untuk p =2,kitabiasamenuliskanW k,2 (U) =:H k (U). Ruang H 1 (U) hanyamenggunakanjacobian dan, bersama dengan hasil kali dalam hf, gi H 1 (U) := R fg dx + R U U ru0 rg dx, mendefinisikanruanghilbert. U UNKO, Compact Course, August 21,

6 Outline Bagian 0: Motivasi Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker Bagian 2: Sequential Quadratic Programming Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di erensial Biasa Beberapa definisi elementer Masalah kendali optimal Metode Langsung UNKO, Compact Course, August 21,

7 Kendali Optimal Definisi Diberikan sebuah interval waktu := [t 0, T ] variabel kendali u yang didefinisikan di himpunan semua kendali yang diperbolehkan U, bisajadil 1 ( ), L 2 ( ), atau C( ) himpunan semua keadaan x yang memungkinkan dinotasikan X,bisajadiC k ( ), W k,1 ( ) atau H k ( ) dimana k 1. Definisikan S := {x 2 X :ẋ = f (t, x, u), t 2, x(t 0)=x 0, u 2 U} sebagai himpunan semua keadaan x yang diperbolehkan. Maka masalah kendali optimal didefinisikan sebagai min J(x, u) := (T, x(t )), (Mayer) min J(x, u) := J 0(x(t), u(t)) dt, Z min J(x, u) := (T, x(t )) + J 0(x(t), u(t)) dt. Z (Lagrange) (Bolza) dimana J 0 : R n R m! R disebut distributional cost and pay o. : R R n! R terminal UNKO, Compact Course, August 21,

8 Beberapa contoh masalah kendali optimal min (T, x(t )) + J 0(x(t), u(t)) dt Standard problem Z min T t0 Minimal time problem min (T, x(t )) + J 0(x(t), u(t)) dt Z Variable time problem s.t. T t 0 s.t. Z min (T, x(t )) + J 0(x(t), u(t)) dt Z s.t. x 0 arbitrary min (T, x(t )) + J 0(x(t), u(t)) dt Z s.t. g(t, x, u) 5 0, h(t, x, u) 0 min (T, x(t )) + J 0(x(t), u(t)) dt Z Z g(x(t), u(t)) dt apple C g, h(x(t), u(t)) dt = C h Free initial condition problem Mixed constraints problem soperimetric problem. UNKO, Compact Course, August 21,

9 Outline Bagian 0: Motivasi Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker Bagian 2: Sequential Quadratic Programming Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di erensial Biasa Beberapa definisi elementer Masalah kendali optimal Metode Langsung UNKO, Compact Course, August 21,

10 Metode Langsung Z min (T, x(t )) + J 0(x(t), u(t)) dt s.t. ẋ = f (x, u), t 2, x(t 0)=x 0, u 2 U, Z g ig (t, x, u) apple 0, h ih (t, x, u) =0, p ip (t, x, u)dt apple c ip, Z q iq (t, x, u)dt = d iq, i g 2{1,, n g }, i h 2{1,, n h }, i p 2{1,, n p}, i q 2{1,, n q}. Berasal dari ide dikritisasi kemudian optimasi. Kuncinya: diskretisasi t i = t 0 + ih : h = T N Akibatnya t0, i =0,, N, N 2 N. x (x 0, x 1,, x N ) 2 R n (N+1) dan u (u 0, u 1,, u N ) 2 R m (N+1). UNKO, Compact Course, August 21,

11 Metode Langsung ntergrasi numerik Z T 0 p(t, x, u)dt diskritisasi! NX a k p(t k, x k, u k ). dimana koefisien-koefisien a 0, a 1,, a N mengidentifikasi skema numerik tertentu. Masalah kendali optimal diskrit sekarang menjadi k=0 min (t N, x N )+ R n N R m (N+1) NX a k J 0(x k, u k )s.t. k=0 x k+1 = (t k, t k+1, x k, x k+1, u k, u k+1 ), k =0,, N 1, x 0 = x 0, g ig (t k, x k, u k ) apple 0, h ih (t k, x k, u k )=0, k =0,, N, NX NX a k p ip (t k, x k, u k ) apple c ip, a k q iq (t k, x k, u k )=d iq, k=0 k=0 i g 2{1,, n g }, i h 2{1,, n h }, i p 2{1,, n p}, i q 2{1,, n q}. UNKO, Compact Course, August 21,

12 Diskritisasi persamaan di erensial... Metode Runge Kutta eksplisit order r c 1 a 8 11 x k+1 = x k + P r c 2 a 21 a 22 i=1 >< b i' i... ' i = f t k + c i h, x k + h P i 1... j=1! a ij' j i =1,, r c r a r1 a r2 a rr >: b 1 b 2 b k =0,, N 1 r Metode Runge Kutta implisit order r c 1 a 11 a 12 a 8 1r x k+1 = x k + P r c 2 a 21 a 22 a 2r i=1 >< b i' i ' i = f t k + c i h, x k + h P r.. j=1! a ij' j i =1,, r c r a r1 a r2 a rr >: b 1 b 2 b k =0,, N 1 r Menentukan Butcher tableau c A b membutuhkan definisi konsistensi dengan order r! N besar, r kecil besar tapi sparse ; N kecil, r besar kecil tapi padat UNKO, Compact Course, August 21,

13 Diskritisasi persamaan di erensial... Runge Kutta eksplisit order 1: Metode Euler 0 0 1! Runge Kutta eksplisit order ! ( x k+1 = x k + hf (t k, x k ) k =0,, N 1 8 >< x k+1 = x k + h 1 >: k =0,, N f (t k, x k ) f (t k + h, x k + hf (t k, x k )) =1! Metode Heun! Runge Kutta implisit order 2: Metode Trapesium 8 x k+1 = x k + h >< ' '2 1 1 ' 1 = f (t k, x k ) 1 2 2! 1 1 ' 2 = f t k + h, x k >: 1 h('1 + '2)) 2 k =0,, N 1 ( x k+1 = x k + h 2! (f (t k, x k )+f(t k+1, x k+1 )) k =0,, N 1 UNKO, Compact Course, August 21,

14 Metode Langsung Dengan metode langsung min (t N, x N )+ R n N R m (N+1) NX a k J 0(x k, u k )s.t. k=0 x k+1 = (t k, t k+1, x k, x k+1, u k, u k+1 ), k =0,, N 1, x 0 = x 0, g ig (t k, x k, u k ) apple 0, h ih (t k, x k, u k )=0, k =0,, N, NX NX a k p ip (t k, x k, u k ) apple c ip, a k q iq (t k, x k, u k )=d iq, k=0 k=0 i g 2{1,, n g }, i h 2{1,, n h }, i p 2{1,, n p}, i q 2{1,, n q}. kita menyelesaikan masalah optimasi min f (x) x2s dengan jumlah kendala N +(N +1)(n g + n h )+n p + n q dan jumlah variabel nn + m(n +1)! UNKO, Compact Course, August 21,

15 EXERCSE 1. Perhatikan model R berikut = (N R) + N Ṙ = µr. ( + µ), 1.1 Estimasi sebagai variable bebas yang bervariasi setiap waktu dengan membandingkan dan data 1.2 Estimasi 0, 1,, m,! 1,,! m pada mx (t) = 0 + i cos(! i t) untuk m =1andm =3denganmembandingkan dan data i=1 UNKO, Compact Course, August 21,

16 EXERCSE 2 Lakukan hal yang sama untuk model berikut d dt S i = S i i + R i + µ( S) i N d dt i = S i i i + pµ( ) i N d dt R i = i R i + µ( R) i untuk i =1,, 5. Gunakan data berikut: =1/36, p =0.2, =1/3, µ=0.7 dan = B A UNKO, Compact Course, August 21,

dokumen-dokumen yang mirip

Workshop Memecahkan Masalah Kendali Optimal dengan Metode Langsung

Workshop Memecahkan Masalah Kendali Optimal dengan Metode Langsung Karunia Putra Wijaya Mathematical nstitute University of Koblenz Landau Dipresentasikan di Universitas ndonesia Kampus Depok, May, 27