PIDATO ILMIAH. HENDRA GUNAWAN, Ph.D.

Transkripsi

1 PIDATO ILMIAH HENDRA GUNAWAN, Ph.D.

2 Garis Besar Pidato Mengapa perlu rumus sudut antara dua subruang Bagaimana memperoleh rumus tersebut (dari rumus-rumus lain yang telah dikenal sebelumnya) Bagaimana memaknai rumus tersebut Dalam bidang apa rumus tersebut dapat diaplikasikan

3 Regresi Linear & Sudut Antara Garis dan Bidang Regresi linear: Diberikan n titik data, (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),, (x n, y n ), ingin dicari suatu persamaan y = ax + b yang menghampiri data tersebut, dengan galat (error) sekecil-kecilnya. Persoalan ini lazim diselesaikan dengan Metode Kuadrat Terkecil, yang dipopulerkan oleh Carl-Friedrich Gauss ( ). Metode Kuadrat Terkecil dicetuskan pertama kali oleh Adrien-Marie Legendre ( ).

4 Metode Kuadrat Terkecil y = ax + b Galat total n ε = [ y i ax i + b ] 2. i=1 Galat minimum ketika b = a = n n i=1 i=1 n x i y i n i=1 x i n i=1 n x 2 i ( n i=1 x i ) 2 n i=1 2 x n i i=1 n n i=1 y i n i=1 x i 2 ( i=1 y i x i n i=1 x i y i n x i ) 2. Dengan koefisien a dan b di atas, garis y = ax + b merupakan hampiran linear terbaik untuk data yang diberikan.

5 Pendekatan Geometri Misal y = (y 1,, y n ), x = (x 1,, x n ), dan e = (1,, 1). Andai y berada dalam subruang yang direntang oleh x dan e, maka y = ax + be untuk a dan b (skalar) tertentu. Tetapi bagaimana jika y berada di luar subruang tersebut? Vektor y dipilih di antara vektor pada bidang yang direntang oleh x dan e sedemikian sehingga y y minimum. Dalam hal ini, vektor y membentuk sudut terkecil dengan vektor y.

6 Koefisien Korelasi Dalam statistika, terkait dengan data (x i, y i ), i = 1,, n, ada koefisien korelasi r yang mengukur seberapa kuat keterkaitan antara y = (y 1,, y n ) dan x = x 1,, x n : r = n n i=1 n n i=1 Dalam notasi vektor: n x i y i i=1 x i i=1 y i. x 2 i ( n i=1 x i ) 2 n n i=1 y 2 i ( n i=1 y i ) 2 i=1 n r = x x, y y x x y y dengan x = 1 x n i = nilai rata-rata dari x 1,, x n dan x, y = n i=1 x i y i = hasil kali dalam dari x dan y. Koefisien korelasi antara x dan y sama dengan nilai cosinus sudut antara vektor x x dan vektor y y. n

7 Sudut antara Dua Subruang Misalkan kita mempunyai dua himpunan vektor, yaitu {u 1,, u p } dan {v 1,, v q }, di suatu ruang hasil kali dalam X berdimensi n, dengan 1 p q n. (Mulai sekarang, vektor tidak lagi dituliskan dengan huruf tebal; sebagai contoh u 1 = u 11,, u 1n adalah vektor di ruang berdimensi n.) Bagaimana caranya menghitung besar sudut antara subruang U yang direntang oleh {u 1,, u p } dan subruang V yang direntang oleh {v 1,, v q }?

8 Sudut antara Dua Subruang Besar sudut tersebut merupakan ukuran seberapa mirip himpunan data {u 1,, u p } dan himpunan data {v 1,, v q } (bila p = q), atau seberapa baik kita dapat menghampiri himpunan data {u 1,, u p } dengan suatu himpunan p buah anggota subruang yang direntang oleh {v 1,, v q } (bila p q).

9 Seberapa Mirip Aktivitas Mereka? Di sini, terdapat dua himpunan vektor, U = {(4,3,2,1), (3,4,2,1)} dan V = {(4,3,1,2), (2,4,2,2)}. Bila kita dapat menghitung sudut antara subruang yang direntang oleh U dan subruang yang direntang oleh V, maka kita mempunyai suatu ukuran kemiripan aktivitas mereka.

10 Rumus Risteski & Trenčevski* Pada tahun 2001, Risteski and Trenčevski mendefinisikan sudut θ antara dua subruang U = span{u 1,, u p } dan V = span{v 1,, v q } via rumus cos 2 θ = det ( MM T ) det [ u i, u j ] det [ v k, v l ] (R0) dengan M = [ u i, v k ] matriks berukuran p q, M T matriks transpos dari M, [ u i, u j ] matriks berukuran p p, dan [ v k, v l ] matriks berukuran q q. *Risteski, I.B. & Trenčevski, K.G. Principal values and principal subspaces of two subspaces of vector spaces with inner product. Beitr age zur Algebra und Geometrie (2001),

11 Rumus Risteski & Trenčevski Rumus tadi mereka peroleh dengan terlebih dahulu membuktikan ketaksamaan berikut: det ( MM T ) det [ u i, u j ] det [ v k, v l ]. Untuk p = q = 1, ketaksamaan di atas tak lain adalah Ketaksamaan Cauchy-Schwarz: u, v 2 u 2 v 2. Ketaksamaan di atas merupakan perumuman dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, yang diperlukan untuk det (MM menjamin bahwa nilai T ) berada det [ u i,u j ] det [ v k,v l ] pada interval [0,1].

12 Kesalahan pada Rumus Risteski & Trenčevski Rumus Risteski & Trenčevski mengandung kesalahan serius. Sebagai contoh, tinjau X = R 3, yang dilengkapi dengan hasil kali dalam biasa, U = span{u} dengan u = (1,0,0), dan V = span{v 1, v 2 } dengan v 1 = ( 1 2, 1 2, 0) and v 2 = ( 1 2, 1 2, 1 2 ). Menurut ketaksamaan Risteksi & Trenčevski: u, v u, v 2 2 u 2 v 1, v 2 2, dengan v 1, v 2 = det [ v k, v l ]; yang setara dengan , yang tentu saja mustahil.

13 Bagaimana Memperbaikinya Misalkan X adalah ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam,. Diberikan dua subruang dari X, sebutlah U dan V, dengan dimensi p dan q, 1 p q dim X, kita ingin merumuskan sudut antara U dan V. Sebelum itu, kita tinjau terlebih dahulu dua kasus khusus, yaitu (a) dim(u) = 1, dim(v) = q sembarang; (b) dim(u) = dim(v) = p 2, dim(u V) = p 1.

14 Kasus (a) Rumus sudut θ antara U = span{u} dan V adalah cos 2 u, u 2 V θ = u 2 u V 2 dengan u V vektor proyeksi (ortogonal) dari u pada V, dan =, 1/2 menyatakan norm pada X. Dengan menuliskan u = u V + u V, dengan u V vektor komplemen ortogonal dari u pada V, rumus di atas menjadi cos 2 θ = u V 2 u 2 yang memperlihatkan bahwa nilai cos θ sama dengan rasio antara panjang vektor proyeksi u pada V dan panjang vektor u. θ u u V

15 Kasus (b) Misalkan U = span u, w 2,, w p, V = span{v, w 2,, w p }, dan W = U V = span{w 2,, w p }, dengan p 2. Rumus sudut θ antara U dan V adalah cos 2 u W, v 2 W θ = u W 2 v W 2 dengan u W dan v W vektor komplemen ortogonal dari u dan v pada W. Menggunakan sifat determinan, dapat diperiksa bahwa nilai cos θ sama dengan rasio antara volume paralelpipedium (berdimensi p) yang direntang oleh vektor-vektor proyeksi u, w 2,, w p pada V dan volume paralelpipedium yang direntang oleh vektor-vektor u, w 2,, w p.

16 Rumus Sudut antara Dua Subruang - I Berdasarkan pengamatan tadi, kita definisikan sudut antara subruang U = span{u 1,, u p } dan V = span{v 1,, v q }, dengan p q, via rumus cos 2 θ = proj Vu 1,, proj V u p 2 u 1,, u p 2 (R1) dengan proj V u i menyatakan vektor proyeksi dari u i pada V. Catatan. u 1,, u p menyatakan volume paralelpipedium berdimensi p yang direntang oleh vektor-vektor u 1,, u p.

17 Keajekan Rumus Proposisi berikut menyatakan bahwa rumus sudut antara dua subruang yang didefinisikan sebagai rasio tadi merupakan rumus yang ajek. Proposisi. Rasio di ruas kanan rumus (R1) merupakan suatu bilangan di interval [0,1] yang tak tergantung pada basis yang dipilih untuk U dan V.

18 Rumus Sudut antara Dua Subruang - II Menggunakan konsep hasil kali dalam-p x 0, x 1 x 2,, x p = dan norm-p x 0, x 1 x 0, x 2 x 0, x p x 2, x 1 x 2, x 2 x 2, x p x p, x 1 x p, x 2 x p, x p x 1, x 2,, x p = x 1, x 1 x 2,, x p 1/2 pada X, kita dapat memperoleh rumus sudut antara subruang U = span{u 1,, u p } dan V = span{v 1,, v q }, dengan p q, dalam bentuk yang lebih eksplisit.

19 Rumus Sudut antara Dua Subruang - II Untuk i = 1,, p, vektor proyeksi dari u i pada V dapat dituliskan sebagai dengan proj V u i = q k=1 α ik v k α ik = u i, v k v i2 (k),, v iq (k) v 1, v 2,, v q 2 dengan i 2 k,, i q k = 1,2,, q k, untuk k = 1, 2,, q.

20 Rumus Sudut antara Dua Subruang - II Karena itu proj V u 1,, proj V u p 2 = k=1 dengan q q q k=1 α 1k u 1, v k k=1 α pk α 1k u p, v k q α pk k=1 u 1, v k u p, v k = det ( M M T ) v 1,, v q 2p M = u i, v k dan M = [ u i, v k v i2 (k),, v iq (k) ] dan i 2 (k),, i q (k) seperti tadi.

21 Rumus Sudut antara Dua Subruang - II Rumus (R1) untuk cosinus sudut antara U dan V sekarang dapat dituliskan sebagai cos 2 θ = det ( M M T ) det [ u i, u j ] det p [ v k, v l ]. (R2) Rumus ini merupakan koreksi terhadap rumus Risteski dan Trenčevski, yang kami publikasikan di BAG (2005).** **Gunawan, H., Neswan, O. & Setya-Budhi, W. A formula for angles between two subspaces of inner product spaces. Beiträge zur Algebra und Geometrie (2005).

22 Rumus Sudut antara Dua Subruang - II Catatan. Jika {u 1,, u p } dan {v 1,, v q } ortonormal, maka cos 2 θ = det ( MM T ). Lebih jauh, jika p = q, maka cos θ = det M = u 1, v 1 u 1, v 2 u 1, v p u 2, v 1 u 2, v 2 u 2, v p. u p, v 1 u p, v 2 u p, v p

23 Seberapa Mirip Aktivitas Mereka? Dalam hal ini kita mempunyai dua subruang dari R 4, yaitu U = span{(4,3,2,1), (3,4,2,1)} dan V = span{(4,3,1,2), (2,4,2,2)}. Dengan rumus (R2), kita dapatkan cos θ = 0,853, sehingga θ = 31, 5. Dengan sudut θ < 45, kita dapat mengatakan bahwa aktivitas anak-anak di kedua keluarga tersebut mirip.

24 Seberapa Mirip Aktivitas Mereka? Beda dengan contoh sebelumnya, di sini kita mempunyai U = span{(4,3,2,1), (3,4,2,1)} dan V = span{(4,3,1,2), (2,4,2,2)}. Dengan rumus (R2), kita dapatkan cos θ = 0,507, sehingga θ = 59, 5. Dengan sudut θ > 45, kita dapat mengatakan bahwa aktivitas anak-anak di kedua keluarga tersebut berbeda.

25 Potensi Aplikasi dalam Bidang Biokimia David, C.C. & Jacobs, D.J. Characterizing protein motions from structure. Journal of Molecular Graphics and Modelling (2011). David, C.C. & Jacobs, D.J. Principal component analysis: A method for determining the essential dynamics of proteins. Methods in Molecular Biology (2014).

26 Potensi Aplikasi dalam Bidang Fisika Bosetti, H., dkk. Time-reversal symmetry and covariant Lyapunov vectors for simple particle models in and out of thermal equilibrium. Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics (2010). Chella, F., dkk. Calibration of a multichannel MEG system based on the Signal Space Separation method. Physics in Medicine and Biology (2012).

27 Potensi Aplikasi dalam Bidang Grafika Komputer Cao, W.M., dkk. Content-based image retrieval using highdimensional information geometry. Science China Information Sciences (2014). Kaveh, A. Optimal Analysis of Structures by Concepts of Symmetry and Regularity. Springer-Verlag, Wien (2013). Kaveh, A. & Fazli, H. Approximate eigensolution of locally modified regular structures using a substructuring technique. Computers and Structures (2011). Liwicki, S., dkk. Euler principal component analysis. International Journal of Computer Vision (2013). Liwicki, S., dkk. Online kernel slow feature analysis for temporal video segmentation and tracking. IEEE Transactions on Image Processing (2015). Peikert, R. & Sadlo, F. Height ridge computation and filtering for visualization. IEEE Pacific Visualisation Symposium 2008, PacificVis - Proceedings (2008).

28 Potensi Aplikasi dalam Bidang Optimisasi Haesen, S., dkk. On the extrinsic principal directions of Riemannian submanifolds. Note di Matematica (2009). Pustylnik, E., dkk. Convergence of infinite products of nonexpansive operators in Hilbert space. Journal of Nonlinear and Convex Analysis (2010).

29 Potensi Aplikasi dalam Bidang Vehicular Technology Nam, S., dkk. A PF scheduling with low complexity for downlink multi-user MIMO systems. IEEE Vehicular Technology Conference (2013). Nam, S., dkk. A user selection algorithm using angle between subspaces for downlink MU-MIMO systems. IEEE Transactions on Communications (2014). Yi, X. & Au, E.K.S. User scheduling for heterogeneous multiuser MIMO systems: A subspace viewpoint. IEEE Transactions on Vehicular Technology (2011).

30 Penutup TERIMA KASIH..