MASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D
|
|
- Yanti Sugiarto
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D Hendra Gunawan ITB Bandung Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, Indonesia Seminar Nasional Analisis Matematika IV 16 April 2011
2 Outline 1 Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi 2 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev 3
3 Interpolasi Linear Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Diberikan dua titik x 0 dan x 1 di R dengan x 0 < x 1, dan dua bilangan c 0, c 1 R, terdapat tepat sebuah garis lurus y = mx + k = f(x) sehingga f(x i ) = c i, i = 0, 1.
4 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi.
5 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi.
6 Interpolasi Linear Bagian demi Bagian Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Diberikan n titik x i R dan n bilangan c i R, i = 1,..., n, interpolan yang paling trivial adalah fungsi linear bagian demi bagian yang menghubungkan titik-titik (x i, c i ) tersebut.
7 Interpolasi Polinomial Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Diberikan tiga titik berbeda x 0, x 1 dan x 2 di R, dan tiga bilangan c 0, c 1, c 2 R, terdapat tepat sebuah parabola y = f(x) = ax 2 + bx + c sehingga f(x i ) = c i, i = 0, 1, 2.
8 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Secara umum, diberikan n + 1 titik berbeda x i R dan n + 1 bilangan real c i, terdapat tepat sebuah polinom berderajat n f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n yang grafiknya melalui titik-titik (x i, c i ), i = 1,..., n.
9 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Keluarga fungsi {1, x,..., x n } dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah interpolasi f(x i ) = c i, i = 0, 1,..., n, dengan x 0 < x 1 < < x n dan c i R sembarang. Apa kuncinya? Apakah karena {1, x,..., x n } bebas linear (selain banyak fungsinya sama dengan banyak data yang diberikan)?
10 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Bagaimana bila kita gunakan {1, x 2 } untuk menyelesaikan masalah interpolasi f( 1) = c 0, f(1) = c 1. Jika c 0 = c 1, maka terdapat banyak solusi, yakni semua fungsi f yang berbentuk f(x) = c 0 [λ + (1 λ)x 2 ]. Jika c 0 c 1, maka berapapun λ, µ R, fungsi f(x) = λ + µx 2 tidak akan menginterpolasi data tersebut.
11 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Mengapa {1, x 2 } gagal? Secara umum, misalkan kita ingin mencari f(x) = λ + µx 2 sehingga f(x i ) = c i, i = 0, 1. Maka, kita berhadapan dengan sistem persamaan λ + µx 2 i = c i, i = 0, 1. Eksistensi solusi sistem ini tergantung pada nilai determinan 1 x2 0 1 x 2 = x2 1 x Karena determinan mungkin bernilai nol, eksistensi solusi tidak dijamin. Kalaupun eksis, ketunggalan tidak dipenuhi.
12 Determinan Vandermonde Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Jadi kunci yang membuat {1, x,..., x n } dapat selalu menyelesaikan masalah interpolasi f(x i ) = c i, i = 0, 1,..., n, bukan karena mereka bebas linear, tapi karena 1 x 0 x n 0 1 x 1 x n = i x j ) 0.. j<i(x 1 x n x n n Determinan ini dikenal sebagai determinan Vandermonde.
13 Sistem Chebyshev Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Keluarga fungsi {φ 1,..., φ n } disebut sistem Chebyshev pada A R apabila det[φ j (x i )] 0 untuk sembarang x 1 < < x n di A. Contoh. {1, x,..., x n } merupakan sistem Chebyshev pada R.
14 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Contoh lainnya Keluarga fungsi {sin πx,..., sin nπx} merupakan sistem Chebyshev pada (0, 1), sementara {1, cos πx,..., cos nπx} merupakan sistem Chebyshev pada [0, 1], dengan det[sin jπx i ] = 2 n(n 1)/2 n sin πx i (cos πx i cos πx j ). i=1 j<i det[cos jπx i ] = 2 n(n 1)/2 j<i(cos πx i cos πx j ). [Fajar Yuliawan (ITB)]
15 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Akibat. Jika {φ 1,..., φ n } adalah sistem Chebyshev pada A, maka untuk setiap x 1 < < x n di A dan sembarang bilangan c 1,..., c n R masalah interpolasi f(x i ) = c i, i = 1,..., n, mempunyai solusi tunggal f(x) = n α i φ i (x). i=1
16 Polinom Lagrange Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Dengan menggunakan {1, x,..., x n } sebagai sistem Chebyshev, masalah interpolasi f(x i ) = c i, i = 0, 1,..., n mempunyai solusi tunggal f(x) = n α i x i. i=0 Lagrange menemukan bahwa f dapat dinyatakan sebagai f(x) = n c i φ i (x) i=0 dengan φ i (x) := j i x x j x i x j. Perhatikan bahwa φ i (x i ) = 1 dan φ i (x j ) = 0 untuk j i.
17 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Masalah interpolasi secara umum dapat dinyatakan sebagai L i f = c i, i = 1,..., n, dengan L i menyatakan fungsional linear (yang memetakan fungsi f secara linear ke suatu bilangan L i f) dan c i R. Contoh. L i f = f(x i ) = nilai f di x i. L i f = b a xi f(x) dx = momen ke-i dari f pada [a, b]. L i f = f (i) (c) = turunan ke-i dari f di c.
18 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Bila kita gunakan {v 1,..., v n } sebagai basis untuk ruang interpolannya, maka sistem persamaan L i f = n a j L i v j = c j, i = 1,..., n, j=1 akan mempunyai solusi tunggal f = n a j v j jika dan hanya jika j=1 det[l i v j ] 0.
19 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Contoh. Masalah interpolasi momen L i f = 1 0 x i f(x) dx = c i, i = 0, 1,..., n, mempunyai solusi tunggal f(x) = n a i x i jika dan hanya jika det[l i v j ] = 1 i=0 0 dx 1 0 x dx x dx x2 dx xn dx 1 0 xn+1 dx 0 xn dx 0 xn+1 dx 1 0 x2n dx 0. (Di sini kita menggunakan v i (x) = x i, i = 0, 1,..., n sebagai basis untuk ruang interpolannya.)
20 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Perhatikan bahwa det[l i v j ] = v 0, v 0 v 0, v 1 v 0, v n v 1, v 0 v 1, v 1 v 1, v n v n, v 0 v n, v 1 v n, v n, dengan v i, v j := 1 0 v i(x)v j (x) dx.
21 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Determinan Gram Determinan tadi merupakan determinan Gram, yang dijamin tidak nol karena {v 0, v 1,..., v n } = {1, x,..., x n } bebas linear. (Secara geometris, determinan Gram di atas menyatakan kuadrat volume paralelpipedium yang direntang oleh v 0, v 1,..., v n.) Jadi masalah interpolasi momen L i f = 1 0 x i f(x) dx = c i, i = 0, 1,..., n, dijamin mempunyai solusi tunggal berbentuk f(x) = a i x i.
22 Who s who.. Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Masalah interpolasi telah dipelajari cukup lama, setidaknya sejak Newton (1675) dan Taylor (17xx), yang diikuti oleh Lagrange (1795), Legendre (17xx), Gauss, (18xx), Chebyshev (18xx), Lebesgue (18xx), Erdös (19xx), dst. Masalah interpolasi 2-D dipelajari antara lain oleh Zakhor pada akhir 1980-an [8, 9]. Pada 2005, Alghofari [1] mempelajari masalah interpolasi yang meminimumkan energi fungsional tertentu. Hasil Alghofari diperluas oleh Gunawan dkk dalam 3 tahun terakhir [2, 3, 7].
23 Masalah Interpolasi k Titik Bentuk Umum Masalah Interpolasi Sebagai ilustrasi, fungsi f : [0, 1] R yang mengenterpolasi (x i, c i ), i = 1,..., n, pada pita [0, 1] R, dan meminimumkan energi potensial beban aksial E 1 := 1 0 f (x) 2 dx adalah fungsi linear bagian demi bagian yang menghubungkan n titik tersebut. Bila fungsinya harus meminimumkan kurvatur E 2 := 1 0 f (x) 2 dx, maka interpolannya merupakan fungsi kubik bagian demi bagian (lihat [2]).
24 Interpolasi 2-D Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Diberikan data berupa nilai c i di titik-titik p i = (x i, y i ), i = 1,..., N, pada D R 2, ingin dicari fungsi u = f(x, y) sehingga f(p i ) = c i, i = 1,..., N.
25 Interpolasi Polinomial 2-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Sebagai contoh, diberikan tiga titik (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ) di R 2 dan tiga bilangan c 1, c 2, c 3 R, kita ingin tahu apakah terdapat tepat sebuah polinom dua peubah u = a + bx + cy sehingga Jawabannya TIDAK SELALU. u(x i, y i ) = c i, i = 1, 2, 3.
26 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Perhatikan determinan 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 = 1 x 1 y 1 0 x 2 x 1 y 2 y 1 0 x 3 x 1 y 3 y 1. Bila (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) dan (x 3, y 3 ) segaris, maka determinan di atas bernilai nol (karena (x 3 x 1 )/(x 2 x 1 ) = (y 3 y 1 )/(y 2 y 1 )). Jadi eksistensi polinom u = a + bx + cy yang menginterpolasi ketiga titik tersebut tidak dijamin. Kalaupun eksis, tidak tunggal.
27 Sistem Chebyshev pada R 2? Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Bila kita mempunyai dua sistem Chebyshev, sebutlah Φ := {φ 1,..., φ m } dan Ψ := {ψ 1,..., ψ n }, apakah hasilkali tensornya, yakni {φ i (x)ψ j (y) : i = 1,..., m; j = 1,..., n}, membentuk sistem Chebyshev pada R 2? Dalam perkataan lain, diberikan mn titik di R 2, apakah senantiasa terdapat u = i j a ijφ i (x)ψ j (y) yang menginterpolasi data pada mn titik tersebut? Jawabannya NEGATIF. Hasil kali tensor dari dua buah sistem Chebyshev pada R secara umum bukan merupakan sistem Chebyshev pada R 2.
28 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Sebagai contoh, {φ 1 (x) := 1, φ 2 (x) := x} merupakan sistem Chebyshev pada R, namun {φ i (x)φ j (y) : i, j = 1, 2} = {1, x, y, xy} bukan merupakan sistem Chebyshev pada R 2 : Diberikan empat titik sembarang, tidak dijamin ada u = i j a ijφ i (x)φ j (y) yang menginterpolasi data pada empat titik tersebut.
29 Walau Demikian..[3] Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Teorema. Misal P := {p i = (x i, y i ) : i = 1,..., N} membentuk grid persegipanjang m n pada R 2, yakni P dapat dituliskan ulang sebagai {(x i, y j ) : i = 1,..., m; j = 1,..., n} dengan m n = N, a x 1 < < x m b, dan c y 1 < < y n d. Misal Φ := {φ 1,..., φ m } dan Ψ := {ψ 1,..., ψ n } berturut-turut adalah sistem Chebyshev pada [a, b] dan [c, d]. Maka, masalah interpolasi f(x i, y j ) = c ij, i = 1,..., m; j = 1,..., n, mempunyai solusi tunggal u = m i=1 j=1 n a ij φ i (x)ψ j (y).
30 Ide Pembuktian Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Sistem persamaan yang terkait dengan masalah interpolasi tadi adalah Ma = c dengan M = [φ k (x i )] [ψ l (y j )], yang merupakan hasil kali Kronecker dari matriks pertama yang terkait dengan sistem Chebyshev Φ dan matriks kedua yang terkait dengan sistem Chebyshev Ψ. Karena det M = ( det[φ k (x i )] ) n( det[ψl (y j )] ) m dan kedua determinan di ruas kanan tidak nol, maka det M 0, sehingga sistem persamaan di atas pasti mempunyai solusi tunggal.
31 Hasil Kali Kronecker Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Hasil kali Kronecker dari dua matriks M 1 := [a ij ] m m and M 2 := [b kl ] n n didefinisikan sebagai a 11 M 2 a 12 M 2 a 1m M 2 a 21 M 2 a 22 M 2 a 2m M 2 M 1 M 2 := a m1 M 2 a m2 M 2 a mm M 2 dengan p = mn. Fakta [6]. det M 1 M 2 = (det M 1 ) n (det M 2 ) m. p p
32 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Contoh. Misal kita ingin menginterpolasi data ( 1 4, 1 4, 1 2 ), ( 1 4, 1 2, 1), ( 1 4, 3 4, 2), ( 1 2, 1 4, 1), ( 1 2, 1 2, 2), ( 1 2, 3 4, 1), ( 3 4, 1 4, 1 2 ), ( 3 4, 1 2, 1), ( 3 4, 3 4, 1). Perhatikan bahwa titik-titik yang terkait dengan data tersebut membentuk grid persegi 3 3 pada (0, 1) (0, 1):.
33 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Jika kita menggunakan sistem Chebyshev {sin πx, sin 2πx, sin 3πx} dan {1, cos πy, cos 2πy}, maka interpolan-nya berbentuk u(x, y) =a 11 sin πx + a 12 sin πx cos πy + a 13 sin πx cos 2πy + a 21 sin 2πx + a 22 sin 2πx cos πy + a 23 sin 2πx cos 2πy + a 31 sin 3πx + a 32 sin 3πx cos πy + a 33 sin 3πx cos 2πy.
34 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Sistem persamaannya dapat disederhanakan dengan OBE menjadi
35 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Kita peroleh ( ) 2 u(x, y) = sin πx sin πx cos πy 1 sin πx cos 2πy sin 2πx 4 sin 2πx cos πy + 1 sin 2πx cos 2πy 4 ( ) sin 3πx sin 3πx cos πy + 1 sin 3πx cos 2πy 2 sebagai interpolan yang dikehendaki.
36 Lebih Jauh.. Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Misal G = {(a i, b i, c i ) : i = 1, 2,..., N} himpunan titik di A 1 A 2 R, dan H = {(x i, y j ) : i = 1,..., m; j = 1,..., n} adalah grid persegipanjang minimal yang memuat {(a i, b i ) : i = 1,..., N}. Di sini kita asumsikan bahwa {(a i, b i ) : i = 1,..., N} sendiri bukan grid persegipanjang, sehingga N < mn. Misal {φ 1,..., φ m } dan {ψ 1,..., ψ n } adalah sistem Chebyshev pada A 1 dan A 2 berturut-turut. Maka kita dapat menggunakan u(x, y) = m n a ij φ i (x)ψ j (y) (1) i=1 j=1 sebagai interpolan G.
37 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Substitusikan titik-titik pada G ke persamaan (1), kita peroleh sistem persamaan dengan N persamaan dan mn variabel. Karena rank matriksnya sama dengan N < mn, maka sistem mempunyai banyak solusi. Dalam hal ini terdapat banyak nilai a ij yang akan menjadikan fungsi u pada (1) sebagai interpolan G.
38 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Contoh. Misalkan kita ingin menginterpolasi data ( 1 4, 1 2, 2), ( 1 4, 3 4, 1), ( 1 2, 1 4, 2), ( 1 2, 1 2, 3), ( 1 2, 3 4, 2), ( 3 4, 1 4, 1), ( 3 4, 1 2, 2). Titik-titik yang terkait dengan data di atas termuat dalam grid persegi 3 3 pada (0, 1) (0, 1):
39 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Jika kita gunakan {sin πx, sin 2πx, sin 3πx} dan {1, cos πy, cos 2πy} sebagai sistem Chebyshev, maka interpolan-nya berbentuk u(x, y) =a 11 sin πx + a 12 sin πx cos πy + a 13 sin πx cos 2πy + a 21 sin 2πx + a 22 sin 2πx cos πy + a 23 sin 2πx cos 2πy + a 31 sin 3πx + a 32 sin 3πx cos πy + a 33 sin 3πx cos 2πy.
40 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Substitusikan data dan sederhanakan sistemnya dengan OBE:
41 Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Salah satu interpolan yang memenuhi sistem persamaan ini adalah: ( ) 1 1 ( ) u(x, y) = 2 + sin πx sin πx cos 2πy sin 2πx 2 2 ( ) sin 2πx cos 2πy. 2
42 Catatan Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Sebagian hasil yang disajikan merupakan hasil penelitian bersama dengan E. Rusyaman (Unpad). Hasil-hasil tersebut telah pula diperumum ke dimensi N oleh L. Ambarwati (Mhs S3 MA-ITB). Selain itu, ditemukan pula bahwa polinom dua peubah berderajat n selalu dapat menginterpolasi data pada 1 2 (n + 1)(n + 2) titik yang membentuk grid segitiga. Sebagian hasil penelitian ini telah dikirim ke beberapa jurnal di dalam dan luar negeri, dan sebagian lainnya masih sedang dalam proses penulisan.
43 Ucapan Terimakasih Masalah Interpolasi 1-D Interpolasi Polinomial Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev Penelitian ini didanai oleh Program Penguatan Riset Institusi Tahun 2010/2011.
44 A.R. Alghofari (2005), Problem in Analysis Related to Satellites, Ph.D. Thesis, UNSW, Sydney, Australia. H. Gunawan, F. Pranolo, E. Rusyaman (2008), An interpolation method that minimizes an energy integral of fractional order, in D. Kapur (Ed.): Asian Symposium on Computer Mathematics 2007, LNAI 5081, , Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. H. Gunawan, E. Rusyaman, L. Ambarwati (2009), Surfaces with prescribed nodes and minimum energy integral of fractional order, submitted. G.B. Lorenz (1966), Approximation of Functions, AMS Chelsea Publishing, USA. C.W. Patty (1993), Foundation of Topology, PWS Publishing Company, USA.
45 C.R. Rao and M.B. Rao (1998), Matrix Algebra and Its Applications to Statistics and Econometric, World Scientific, Singapore. E. Rusyaman, H. Gunawan, A.K. Supriatna, R.E. Siregar (2010), Eksistensi interpolan sinusoida berdimensi dua (in Indonesian), J. Mat. Sains. A. Zakhor (1987), Reconstruction of Multidimensional Signals from Multiple Level Threshold Crossings, Ph.D. Dissertation, MIT, USA. A. Zakhor and G. Alvstad (1992), Two-dimensional polynomial interpolation from nonuniform samples, IEEE Trans. Signal Processing 40,
9. Teori Aproksimasi
44 Hendra Gunawan 9 Teori Aproksimasi Mulai bab ini tema kita adalah aproksimasi fungsi dan interpolasi Diberikan sebuah fungsi f, baik secara utuh ataupun hanya beberapilai di titik-titik tertentu saja,
Lebih terperinci(MS.2) KEKONVERGENAN BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL
(MS.2) KEKONVERGENAN BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti, Iin Irianingsih Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor
Lebih terperinciModel Regresi Energi Potensial Minimum pada Permukaan Hasil Interpolasi
Jurnal Matematika Integratif ISSN 141-6184 Volume 10 No, Oktober 014, pp 77-84 Model Regresi Energi Potensial Minimum pada Permukaan Hasil Interpolasi Endang Rusyaman, Ema Carnia, Kankan Parmikanti Program
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciCourse Note Numerical Method : Interpolation
Course Note Numerical Method : Interpolation Pengantar Interpolasi. Kalimat y = f(x), xo x xn adalah kalimat yang mengkorespondensikan setiap nilai x di dalam interval x0 x xn dengan satu atau lebih nilai-nilai
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperincidimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari optimasi bersyarat dengan kendala persamaan menggunakan multiplier lagrange serta penerapannya yang akan digunakan sebagai landasan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci8. Deret Fourier yang Diperumum dan Hampiran Terbaik di L 2 (a, b)
8. Deret Fourier yang Diperumum dan Hampiran Terbaik di L (a, b) 8.1 Deret Fourier yang Diperumum Jika {ϕ n } 1 adalah basis ortonormal untuk L (a, b) dan f L (a, b), maka f, ϕ n disebut koefisien Fourier
Lebih terperinciOSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b
OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan adalah bilangan bulat genap tak negatif. n = F P B(a, b + KP K(a, b a b Solusi. Misalkan d = F P B(a, b,
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciPEMBENTUKAN POLINOMIAL ORTOGONAL MENGGUNAKAN PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR. Susilawati 1 ABSTRACT
PEMBENTUKAN POLINOMIAL ORTOGONAL MENGGUNAKAN PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR Susilawati 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciInterpolasi. Metode Numerik POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Interpolasi Metode Numerik Zulhaydar Fairozal Akbar zfakbar@pens.ac.id 2017 TOPIK Pengenalan
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciFourier Analysis & Its Applications in PDEs - Part II
Fourier Analysis & Its Applications in PDEs Hendra Gunawan http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA WIDE 2010 5-6 August
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciInterpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan
Jurnal Sains Matematika dan Statistika Vol No Juli 5 ISSN 46-454 Interpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan Riska Yeni Syamsudhuha M D H Gamal 3 Jurusan Matematika Fakultas Mipa Universitas Riau Jl HR
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II )
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II ) D. FAKTORISASI MATRIKS D2 2. METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN SPL D3 3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN D4 4. POWER METHOD Beserta contoh soal untuk setiap subbab 2
Lebih terperinciSuatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Lebih terperinciHendra Gunawan. 16 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 16 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Diketahui g(x) = x 3 /3, x є [ 2,2]. Hitung nilai rata rata g pada [ 2,2] dan tentukan c є ( 2,2)
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciInterpolasi Polinom dan Applikasi pada Model Autoregresif
Interpolasi Polinom dan Applikasi pada Model Autoregresif Rio Cahya Dwiyanto 13506041 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Lebih terperinciLOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.
LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com
Lebih terperinciRuang Norm-n Berdimensi Hingga
Jurnal Matematika Integratif. Vol. 3, No. 2 (207), pp. 95 04. p-issn:42-684, e-issn:2549-903 doi:0.2498/jmi.v3.n2.986.95-04 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga Moh. Januar Ismail Burhan Jurusan Matematika dan
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciuntuk i = 0, 1, 2,..., n
RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. Interpolasi linear a. Interpolasi Polinomial Lagrange Suatu fungsi f dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciTeorema Faktor. Misalkan P (x) suatu polynomial, (x k) merupakan faktor dari P (x) jika dan hanya jika P (k) = 0
Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Teorema ini cukup terkenal dan sangat berguna untuk menyelesaikan soal - soal baik level sekolah maupun soal level olimpiade. Berikut
Lebih terperinciPEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK. Nurul Ain Farhana 1, Imran M. 2 ABSTRACT
PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK Nurul Ain Farhana, Imran M Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5 KUANTOR II: METODE MEMILIH (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Masih Berurusan dengan Kuantor Sekarang kita akan membahas metode memilih,
Lebih terperinciMenentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift
Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 1(A) 14103 Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Yuli Andriani Jurusan Matematika FMIPA,
Lebih terperinciBAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciPertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi. Metode Newton Metode Spline
Pertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi Metode Newton Metode Spline Pertemuan 9 : Interpolasi 2 Interpolasi Newton Polinomial Maclaurin dan polinomial Taylor menggunakan satu titik pusat, x 0 untuk
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6 No. 02 (2017), hal 69 76. MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR Mahmul, Mariatul Kiftiah, Yudhi
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciMETODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK ABSTRACT
METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK Risvi Ayu Imtihana 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab
BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B
Lebih terperinciRUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinciBAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen
Lebih terperinciTEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
Lebih terperinciPengintegralan Fungsi Rasional
Pengintegralan Fungsi Rasional Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember 25 Maret 2014 Pengintegralan Fungsi Rasional 1 Pengintegralan Fungsi Rasional 2
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 3. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 3 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 27 Daftar
Lebih terperinciKetaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan Kesamaan Parseval di Ruang n-hasilkali Dalam Baku. Hendra Gunawan
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan Kesamaan Parseval di Ruang n-hasilkali Dalam Baku Hendra Gunawan Departemen Matematika, ITB, Bandung 40132 hgunawan@dns.math.itb.ac.id 1 Abstrak Beberapa
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Nama Siswa LEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK : Kelas : KOMPETENSI DASAR: 3.2 Mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan serta
Lebih terperinciAPROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI
APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciSistem-sistem Persamaan (Linear dan Non Linear)
Sistem-sistem Persamaan (Linear dan Non Linear) Pendekatan Menu Restoran Oleh: Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. 27 Bab 3 Sistem-Sistem Persamaan A. Pengantar Di dalam Aljabar representasi suatu besaran
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva
PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva Permasalahan dan
Lebih terperinciEdisi Juni 2011 Volume V No. 1-2 ISSN SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS
SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS Sri Maryani Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto Email : sri.maryani@unsoed.ac.id Abstract Inner
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciSOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH. Jurusan Matematika FMIPA UT ABSTRAK
SOLUSI PERIODIK TUNGGAL SUATU PERSAMAAN RAYLEIGH Sugimin Jurusan Matematika FMIPA UT ugi@mail.ut.ac.id ABSTRAK Suatu persamaan vektor berbentuk x & = f (x dengan variabel bebas t yang tidak dinyatakan
Lebih terperinciModifikasi Kontrol untuk Sistem Tak Linier Input Tunggal-Output Tunggal
Vol 7, No2, 118-123, Januari 2011 Modifikasi Kontrol untuk Sistem Tak Linier Input Tunggal-Output Tunggal Abstrak Dalam tulisan ini diuraikan sebuah kontrol umpan balik dinamik Dari kontrol yang diperoleh
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT
PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciDalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL Dra.Sri Rejeki Dwi Putranti, M.Kes. Fakultas Teknik - Universitaas Yos Soedarso Surabaya Email : riccayusticia@gmail.com Abstrak Hubungan antara Differensial dan
Lebih terperinciSYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciSolusi Sistem Persamaan Linear Ax = b
Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b Kie Van Ivanky Saputra April 27, 2009 K V I Saputra (Analisis Numerik) Kuliah Sistem Persamaan Linier c April 27, 2009 1 / 9 Review 1 Substitusi mundur pada sistem
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciMENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE
MENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE Rini Pratiwi 1*, Rolan Pane 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciINVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS FIELD A(s) [ s] mxn. Wardi Syafmen (Dosen Pendidikan Matematika PMIPA FKIP Universitas Jambi) Abstrak
INVERS TERGENERALISASI MATRIKS ATAS FIELD A( [ s] mxn Wardi Syafmen (Dosen Pendidikan Matematika PMIPA FKIP Universitas Jambi) Abstrak Bila A( [ s] mxn maka invers tergenerasi dilambangkan dengan A( +
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciEKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmailcom Info: Jurnal MSA Vol 3 No 1 Edisi: Januari
Lebih terperinciHendra Gunawan. 30 Agustus 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 30 Agustus 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) Selesaikan pertaksamaan berikut: 1. x + 1 < 2/x. (sudah dijawab) 2. x 3 < x + 1. 8/30/2013 (c) Hendra
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciOperasi Eliminasi Gauss. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
Operasi Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciJikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5
Soal Babak Penyisihan OMITS 011 BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan A. Bulat B. Asli C. Rasional
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinci