RUANG VEKTOR BAGIAN RANK KONSTAN DARI BEBERAPA RUANG VEKTOR MATRIKS CONSTANT RANK VECTOR SUBSPACE OF SOME VECTOR SPACE MATRICES

Transkripsi

1 RUANG VEKTOR BAGIAN RANK KONSTAN DARI BEBERAPA RUANG VEKTOR MATRIKS CONSTANT RANK VECTOR SUBSPACE OF SOME VECTOR SPACE MATRICES Iin Karmila Putri Karsa Amir Kamal Amir Loeky Haryanto Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin Alamat Korespondensi: Iin Karmila Putri Karsa Jurusan Matematika Fakultas Matematika Universitas Hasanuddin Makassar 9245 HP:

2 Abstrak Suatu ruang vektor atas lapangan adalah suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang memenuhi syarat tertentu Penelitian ini bertujuan mengkaji pengembangan berdasarkan sifat atau teori tentang ruang vektor bagian Penelitian ini bekerja pada ruang vektor matriks Hermit atas bilangan kompleks dan matriks simetri atas bilangan riil Dengan melakukan pengembangan pada rank konstannya yaitu jika maka 2 Dikembangkan menjadi jika maka Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa jika subruang rank konstan dari ruang vektor matriks atas ℝ maka rank konstan (ℂ) 2 atas ℂ Dan jika rank konstan rank konstan bertipe positif atas ℝ Maka (ℝ) atas ℝ dan setiap elemen taknolnya Kata kunci: Ruang Vektor Subruang Vektor Rank Konstan Matriks Hermit Matriks Simetri Abstract A vector space over a field is a set which is equipped with the operations of addition and multiplication by a scalar who meet certain requirements This study examines development based on the properties or theory of constant rank vector subspace The development was made by determining the constant rank vector subspace of some vector space matrices so that they will be more established The research worked on vector space of Hermit matrices over complex numbers and symmetric matrices over real numbers The development was done on the constant rank If there is a subspace with constant rank then there is a subspace with constant rank 2 It was developed into if there is a subspace with constant rank then there is a subspace with constant rank The results of this research indicate that if a subspace with constant rank of a vector space matrices over ℝ then there is a subspace with constant rank has the dimension of of a vector space matrices (ℂ) with the dimension 2 over ℂ Furthermore if a subspace with constant rank of the vector space matrices over ℝ then there exists has the dimension (ℝ) and a dimension of over ℝ in a subspace with constant rank of vector space matrices each of its nonzero element is positive type Keywords: Vector Space Vector Subspace Constant Rank Hermit Matrices Symmetric Matrices

3 PENDAHULUAN Pada saat pertama kali teori vektor dikembangkan hanya dikenal vektor vektor di dan saja tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor vektor di ruang berdimensi 4 5 atau secara umum merupakan vektor vektor di geometris vektor vektor di (Haryanto dkk 212) Secara dan seterusnya belum bisa digambarkan tetapi dasar yang digunakan seperti operasi operasi vektor masih sama seperti operasi pada vektorvektor di dan (Herstein 1996) Konsep vektor pertama kali dijumpai pada School Of Euclid sekitar 3 sebelum masehi sehingga vektor vektor yang berada di dikenal sebagai vektor Euclidis sedangkan ruang vektornya disebut ruang n Euclidis Suatu ruang vektor atas lapangan dilengkapi dengan operasi penjumlahan jika Subhimpunan dan perkalian dengan skalar dari sebuah ruang vektor dinamakan subruang (subspace) itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang ruang vektor Jika maka adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah adalah subruang dari berikut berlaku yaitu jika dan jika bahwa yang yang memenuhi syarat tertentu (Spindler 1994) didefinisikan pada di adalah suatu himpunan dan jika dan hanya jika kondisi-kondisi adalah vektor-vektor pada adalah sebarang skalar dan maka adalah sebarang vektor pada berada di berada (Grillet 27) Kondisi-kondisi tersebut sering dijelaskan dengan menyatakan tertutup pada penambahan dan tertutup pada perkalian skalar Setiap ruang vektor pada mempunyai paling sedikit dua subruang sendiri adalah sebuah subruang dan himpunan {} yang terdiri dari vektor nol saja pada yang merupakan sebuah subruang yang dinamakan subruang nol (Lipschutz et al 24) Subruang yang direntang oleh vektor-vektor baris matriks A dinamakan ruang baris A dan Subruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom dinamakan ruang kolom A (Lidl et al 1994) Rank (A) adalah dimensi ruang baris atau ruang kolom dari suatu matriks A (Howard et al 25) Dalam hal ini dimensi ruang baris suatu matriks selalu sama dengan dimensi ruang kolom Pada sisi lain misalkan adalah subruang taknol (ℝ) Subruang suatu subruang jika semua unsur taknol dari yang sama (Gallian 199) dinamakan mempunyai rank

4 Penelitian sebelumnya pada tahun 21 oleh Jean Guillaume Dumas Rod Gow dan John Sheekey dalam penelitian Rank Properties of Subspaces of Symmetric and Hermitian Matrices over Finite Fields menjelaskan mengenai sifat-sifat rank matriks dari suatu subruang matriks simetris dan matriks Hermit atas lapangan berhingga (Guillaume et al 21) Pada kesempatan berbeda pada tahun 211 Shekeey dalam penelitiannya yang berjudul On Rank Problems for Subspaces of Matrices over Finite Field membuktikan beberapa sifat tentang subruang vektor rank konstan dari beberapa ruang vektor matriks 2 Salah satu teori yang berlaku adalah jika ada subruang vektor rank konstan dengan rank maka dapat dibentuk subruang vektor rank konstan yang baru dengan rank 2 dan untuk dimensi dan tipe yang sama dengan ruang vektor sebelumnya (Sheekey 211) Sehingga penelitian ini bertujuan untuk menentukan ruang vektor bagian rank konstan dari beberapa ruang vektor matriks agar berlaku lebih luas yaitu jika ada subruang vektor rank konstan dengan rank maka dapat dibentuk subruang vektor rank konstan yang baru dengan rank METODE PENELITIAN Rancangan Penelitian Langkah awal dari penelitian adalah mengidentifikasi masalah yang bertujuan untuk menetapkan fokus permasalahan penelitian Studi pustaka dilakukan terhadap jurnal-jurnal penelitian yang berkaitan dengan bidang penelitian sebagai tahap melengkapi pengetahuan daftar peneliti untuk keperluan pelaksanaan penelitian Analisis Data Penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah yaitu mencermati sifat-sifat dan teori yang mendukung mengenai subruang vektor bagian rank konstan mengumpulkan sifat-sifat dan teori yang mendukung mengenai subruang vektor bagian rank konstan membuktikan sifat ruang vektor bagian rank konstan dengan rank berlaku untuk beberapa contoh membuktikan sifat ruang vektor bagian rank konstan dengan rank berlaku secara umum dan terakhir verifikasi hasil

5 HASIL PENELITIAN Teorema 1 Misalkan vektor matriks berdimensi 2 atas ℂ atas ℝ dengan 1 Dapat dilihat bahwa setiap elemen dari rank 2 Selanjutnya dibuktikan { maka dapat dilihat bahwa { adalah basis dari Misalkan dan misalkan Misalkan { (ℂ) yang adalah Hermit dan memiliki } } adalah basis dari } adalah subruang vektor dari matriks maka merupakan subruang berdimensi 2 atas ℂ adalah dengan < adalah himpunan dari matriks-matriks yang berbentuk Misalkan basis dari dari ruang 2 Bukti: Misalkan dengan berdimensi

6 Karena maka dan { } membangun Selanjutnya akan dibuktikan bahwa { sebagai berikut } } bebas linear dapat ditulis dengan kombinasi linear dari dimana Jadi { Jadi dapat ditulis Maka untuk setiap

7 Karena Maka Jika { dan hanya jika jika dan hanya jika } bebas linear Teorema 1 hanya berlaku untuk subruang Karena itu dari matriks-matriks yang berbentuk akan dikembangkan menjadi seperti pada teorema berikut ini: Teorema 2 Misalkan dari ruang atas ℝ dengan 1 < maka Teorema 3 Misalkan dari ruang atas ℝ dengan 1 < Maka vektor matriks berdimensi 2 atas ℂ vektor matriks berdimensi 2 atas ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe positif Bukti: Misalkan dengan Misalkan basis dari merupakan suatu subruang berdimensi adalah { maka dapat dilihat bahwa dengan adalah simetri dan memiliki rank 2 Maka untuk melihat bahwa elemen dari (ℝ) yang adalah himpunan matriks-matriks yang berbentuk Selanjutnya dibuktikan (ℂ) yang { } } atas ℝ

8 adalah basis dari Misalkan maka Jadi { } membangun Selanjutnya akan dibuktikan bahwa { } berdimensi berikut dapat ditulis dengan kombinasi linear dari dimana Jadi { dapat ditulis Maka untuk setiap } adalah basis dari Karena adalah subruang vektor dari matriks { dan misalkan Misalkan } bebas linear sebagai

9 Karena Maka Jika dan hanya jika linear Sekarang elemen jika dan hanya jika Karena itu { ( ) dari rank 2 berdimensi ( ) dari bertipe positif jika dan hanya jika (ℝ) yang total isotropik terhadap bentuk Hal ini menjelaskan bahwa subruang dari vektor ( kuadratik membentuk suatu subruang berdimensi ) yang total isotropik untuk setiap elemen (ℝ) taknol dari matriks simetri atas lapangan hingga Teorema 3 berlaku untuk subruang } bebas dengan matriks-matriks yang berbentuk akan dikembangkan menjadi Teorema 3 seperti berikut ini Teorema 4 Misalkan dari ruang atas ℝ dengan 1 < Maka vektor matriks berdimensi atas dan setiap elemen taknolnya bertipe positif (ℝ) yang PEMBAHASAN Berdasarkan hasil penelitian yang telah dikerjakan maka untuk Teorema 1 yaitu misalkan atas ℝ dengan 1 2 < maka (ℂ) 2 atas ℂdikembangkan menjadi Teorema 2 berikut yaitu misalkan ℝ dengan 1 < maka atas dari ruang

10 (ℂ) 2 atas ℂ berlaku secara umum untuk setiap vektor matriks nilai > 2 Begitupun untuk Teorema 3 yaitu misalkan konstan 1 < Maka (ℝ) matriks atas ℝ dengan 2 dengan rank dari ruang vektor atas ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe positif dilakukan pengembangan teorema tersebut pada rank konstannya dan berlaku secara umum pada Teorema 4 yaitu misalkan ruang vektor matriks Maka dari atas ℝ dengan 1 < (ℝ) atas ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe positif KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah penulis lakukan serta pengembangan teorema-teorema yang telah dibuktikan maka dapat diambil kesimpulan untuk teorema-teorema berikut terbukti dan berlaku secara umum yaitu misalkan berdimensi matriks rank konstan atas ℝ maka rank konstan (ℂ) 2 atas ℂ Dimana dari ruang vektor adalah bilangan genap positif yang lebih besar dari 2 dan kesimpulan kedua yaitu misalkan konstan berdimensi rank konstan yang rank atas ℝ Maka (ℝ) yang atas ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe positif Dimana adalah bilangan genap positif yang lebih besar dari 2 Mengacu pada hasil-hasil yang dicapai dan manfaat yang diharapkan dari hasil penelitian maka penulis menyarankan agar peneliti selanjutnya yang berminat dengan materi ini sebaiknya bekerja dalam ruang vektor matriks lain yaitu selain matris hermit (ℂ) dan matriks simetri (ℝ) Pada penelitian ini penulis bekerja pada bilangan real ℝ Jadi penulis menyarankan untuk penelitian lebih lanjut dapat bekerja dalam lapangan hingga dengan elemen yaitu ( ( )dan ( ))

11 UCAPAN TERIMA KASIH Penulis menyampaikan terima kasih kepada Mr John Sheekey yang telah memberikan pengarahan dan petunjuk melalui diskusi melalui dalam menyelesaikan jurnal ilmiah ini serta kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan dan fasilitas dalam penulisan jurnal ilmiah ini

12 DAFTAR PUSTAKA Gallian JA (199) Contemporary Abstract Algebra 2nd Edition Massachussets : DC Heath and Company Grillet P Antoine (27) Abstract Algebra 2nd Edition New York : Spgelangganger Science and Business Media LLC Guillaume Jean Gow Row McGuire Gary and Sheekey John (21) Subspaces Of Matrice with Special Rank Properties Journal Of Mathematic Science Foundation Ireland Grant 6/MI/6 Haryanto Loeky dan Amir Kamal Amir (212) Bahan Ajar Untuk Pasca Sarjana Aljabar Linear Lanjut Bagian I Universitas Hasanuddin: Jurusan Matematika Herstein I N (1996) Abstract Algebra 3rd Edition New Jersey : Prentice Hall InternationalInc Horward Anton and Chris Rorres (25) Elementary Linear Algebra Application Version John Wiley & Sons Lidl Rudolf and Harald Niederreiter (1994) Introduction to Finite fields and Their Applications United Kingdom : Cambridge University Press Lipschutz Seymour and Lipson Marc (24) Schaum s Outlines Linear Algebra Third Edition Mc Graw-Hill Sheekey John (211) On Rank Problems for Subspaces of Matrices over Finite Field Disertasi Ireland: Program Studi Doktor Matematika-Universitas Dublin Spindler Karlheinz (1994) Abstract Algebra with Applications In Two Volumes Volume II Germany: Darmstadt