MATRIKS NAMA KELOMPOK

Transkripsi

1 MATRIKS NAMA KELOMPOK Akbr Budi Prsetyo Indr Yusrinto Putr M. Syhrizl Fjri Nsti Auli Rhmn Nind Prstiwi H Nur Ameli Anggreyeni Nurid Septiningsih Siti Yuliy Sri Syit Astil Yos Lisc XII IPA

2 KATA PENGANTAR Asslmulikum wrhmtullhi wbrktuh Puji dn syukur kmi pnjtkn kehdirt Allh SWT yng telh memberikn rhmt dn kruni-ny, sehingg penulis dpt menyelesikn mklh dengn judul MATRIKS. Dlm penyusunnny, penulis memperoleh bnyk bntun dri berbgi pihk, kren itu penulis mengucpkn terim ksih yng sebesr besrny kepd: Ibu Hstti, selku guru pembimbing peljrn mtemtik yng dengn seti telh mengjrkn kmi mteri tentng mtriks Orng tu dn temn seklin yng telh memberikn dukungn Pihk perpustkn Meskipun penulis berhrp mklh ini bebs dri kekurngn dn keslhn. Nmun pd kenytnny mklh ini juh dri sempurn. Oleh kren itu dihrpkn kritik dn srn yng dpt membngun bgi penulis untuk lebih bik. Akhir kt, penulis perhrp mklh ini dpt bermnft bgi pembc. Simpng Empt, 5 Desember 04 Penulis i

3 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... i ii BAB I PENDAHULUAN.... Ltr Belkng.... Btsn Mslh.... Rumusn Mslh....4 Tujun....5 Mnft... BAB II PEMBAHASAN Pengertin Mtriks, Notsi, Ordo, dn Jenis Mtriks Opersi Mtriks Determinn Mtriks Persegi Invers Mtriks Persegi....5 Apliksi Mtriks dlm Menyelesikn SPL Kegunn Mtriks dlm kehidupn... 5 BAB III PENUTUP Kesimpuln Srn... 6 DAFTAR PUSTAKA... 7 ii

4 BAB I PENDAHULUAN. LATAR BELAKANG Dlm kehidupn sehri hri kit sering berhdpn dengn persoln yng pbil kit telusuri ternyt merupkn mslh mtemtik. Sebgi contoh, bil kit menonton sirn olhrg sepk bol di TV pd Lig Itli Seri-A, sering dijumpi klsemen sementr hsil pertndingn. Dftr hsil pertndingn itu telh mengikuti turn pd mtriks yitu yng ditur pd bris dn kolom. Dengn mengubh persoln kedlm bhs tu persmn mtemtik mk persoln tersebut lebih mudh diselesikn. Tetpi terkdng sutu persoln sering kli memut lebih dri du persmn dn beberp vrible, sehingg kit menjdi kesulitn mencri hubungn ntr vrible vribelny. Bhkn di negr mju sering ditemukn model ekonomi yng hrus memechkn sutu system persmn dengn puluhn tu rtusn vrible yng niliny hrus ditentukn. Mtriks, pd dsrny merupkn sutu lt tu instrument yng cukup mpuh untuk memechkn persoln tersebut. Dengn menggunkn mtriks memudhkn kit untuk membut nlis nlis yng menckup hubungn vrible vrible dri sutu persoln. Pd wlny mtriks ditemukn dlm sebuh studi yng dilkukn oleh seorng ilmun yng bersl dri Inggris yng bernm Arthur Cyley (8-895) yng mn studi yng dilkukn untuk meneliti persmn linier dn trnsformsi linier, wl dri semu ini mtrix dinggp sebgi sebuh perminn kren mtrix dpt dipliksikn, sedngkn pd thun 95 mtriks digunkn sebgi kuntum dn pd perkembngnny mtriks digunkn dlm berbgi bidng. Oleh kren itu, kmi membut mklh ini untuk membhs lebih lnjut mengeni mtriks.

5 . Btsn Mslh Berdsrkn urin dits, btsn mslh dlm mklh ini ilh sebgi berikut :. Ap pengertin tu definisi dri mtriks, notsi, ordo dn jenis mtriks. Bgimn pengopersin mtriks. Ap yng dimksud dengn determinn mtriks persegi 4. Ap yng dimksud dengn invers mtriks persegi 5. Bgimn pliksi mtriks dlm menentukn penyelesin sistem persmn liner 6. Ap sj mnft mtriks dlm kehidupn sehri hri. Rumusn Mslh Berdsrkn urin dits, kmi menemukn permslhn sebgi berikut :. Ap pengertin tu definisi dri mtriks, notsi, ordo, dn jenis mtriks?. Bgimn pengopersin mtriks?. Ap yng dimksud dengn determinn mtriks persegi? 4. Ap yng dimksud dengn invers mtriks persegi? 5. Bgimn pliksi mtriks dlm menentukn penyelesin sistem persmn liner? 6. Ap sj mnft mtriks dlm kehidupn sehri hri?.4 Tujun Adpun tujun dri pembutn mklh ini ilh:. Untuk mengethui pengertin dri mtriks, notsi, ordo, dn jenis mtriks. Untuk mengethui opersi mtriks. Untuk mengethui determinn mtriks persegi 4. Untuk mengethui invers mtriks persegi

6 5. Untuk mengethui pliksi mtriks dlm menentukn penyelesin sistem persmn liner 6. Untuk mengethui mnft mtriks dlm kehidupn sehri hri.5 Mnft Adpun mnft dri pembutn mklh ini ilh:. Dpt mengethui pengertin dri mtriks, notsi, ordo, dn jenis mtriks. Dpt mengethui opersi mtriks. Dpt mengethui determinn mtriks persegi 4. Dpt mengethui invers mtriks persegi 5. Dpt mengethui pliksi mtriks dlm menentukn penyelesin sistem persmn liner 6. Dpt mengethui mnft mtriks dlm kehidupn sehri hri

7 BAB II PEMBAHASAN. Pengertin Mtriks, Notsi, Ordo, dn Jenis Mtriks Mtriks dlh sutu susunn elemen elemen (bilngn tu huruf) berbentuk persegi tu persegi pnjng yng ditur pd bris dn kolom sert ditemptkn dlm tnd kurung (kurung bis tu kurung siku) Sutu mtriks bisny diberi nm dengn huruf cpitl seperti A, B, C, tu yng linny. Mtriks yng mempunyi i bris dn j kolom ditulis A=(ij ), rtiny sutu mtriks A yng elemen-elemenny ij dimn indeks I menytkn bris ke i dn indeks j menytkn kolom ke j dri elemen tersebut. Bnykny bris dn kolom mtriks disebut ordo mtriks. Secr umum, mtriks A mempunyi i bris dn j kolom dpt ditulis dlm bentuk umum berikut ini : i.... :... i. :... i :. j. j. j ij elemen mtriks pd bris, kolom. elemen mtriks pd bris, kolom. elemen mtriks pd bris, kolom..... elemen mtriks pd bris i, kolom j i j 4

8 Jenis Mtriks Menurut ordony terdpt berbgi jenis mtriks, ntr lin.. Mtriks Persegi Yitu mtriks yng berordo nxn tu bnykny bris sm dengn bnykny kolom. Contoh: Bx = [ 4 7 ] Pd sutu mtriks persegi d yng dinmkn sebgi digonl utm dn digonl sekunder. Komponen-komponen yng terletk pd digonl utm pd mtriks tersebut dlh dn 7 yng bersl dri kiri ts ke knn bwh. Seblikny, komponen-komponen yng terletk pd digonl sekunder bersl dri kiri bwh ke knn ts. b. Mtriks Bris Yitu mtriks yng berordo xn tu hny memiliki stu bris. Contoh: Ax = 4 c. Mtriks Kolom Yitu mtriks yng hny memiliki stu kolom. Contoh Cx= d. Mtriks Tegk Yitu mtriks yng berordo mxn dengn m>n `Contoh: Q = e. Mtriks Dtr 4 4 6, Q berordo x sehingg mtriks Q tmpk tegk. Yitu mtriks yng berordo mxn dengn m<n Contoh: H= 65 6, H berordo x sehingg mtriks F tmpk dtr. Berdsrkn elemen-elemen penyusunny terdpt jenis mtriks, ntr lin. Mtriks Nol Yitu mtriks yng semu elemen penyusunny dlh nol dn dinotsikn sebgi O. 5

9 Contoh: Ox = [ ] b. Mtriks Digonl Yitu mtriks persegi yng semu elemen dits dn dibwh digonl utmny dlh nol. Contoh: Fx = [ 0 0 ] c. Mtriks Sklr Yitu mtriks digonl yng semu elemen pd digonlny sm dn elemen-elemen selin digonl utm dlh 0. Contoh: Fx = [ 0 0 ] d. Mtriks Simetri Yitu mtriks persegi yng setip elemenny selin elemen digonl dlh simetri terhdp digonl utm, tu mtriks dimn susunn elemen-elemen ntr mtriks dengn trnsposeny sm. C=C T ; mk C dlh mtriks simetris Contoh: Cx = 5 5 e. Mtriks Simetri Miring Yitu Mtriks simetri yng elemen-elemenny selin elemen digonl sling berlwnn. Contoh: Wx = 5 5 f. Mtriks Identits (stun) Yitu mtriks digonl yng semu elemen pd digonl utmny dlh stu dn elemen yng lin dlh nol dn dinotsikn sebgi I. 0 0 Contoh: Ix = [ 0 0] 0 0 g. Mtriks Segitig Ats Yitu diktkn segitig ts jik ij = 0 untuk i>j dengn kt lin mtriks persegi yng elemen-elemen di bwh digonl utmny dlh nol. 6

10 Contoh: Kx = [ 0 ] h. Mtriks Segitig Bwh Yitu diktkn segitig bwh jik ij = 0 untuk i<j dengn kt lin mtriks persegi yng elemen-elemen di ts digonl utmny dlh nol. 0 0 Contoh: Vx = [ 0] 8 i. Mtriks Trnspose yitu mtriks yng diperoleh dri memindhkn elemen-elemen bris menjdi elemen pd kolom tu seblikny. Trnspose sutu mtriks dilmbngkn dengn T, misl trnspose mtriks B dilmbngkn dengn B T Contoh: Bx = 0 4, mk BT = 0 4 Perhtikn bhw ordo dri B T dlh x. Sehingg pd mtriks trnspose bris menjdi kolom dn seblikny, kolom menjdi bris.. Opersi Mtriks. Kesmn du Mtriks Du mtriks diktkn sm jik, keduny mempunyi ordo yng sm dn elemen-elemen yng seletk jug sm. Contoh : A = B 5 4 = Contoh : Tentukn nili dn b dri kesmn mtriks berikut 4 4. b

11 = - b = 9 = -/ b = 9/ = -4 b = 4,5 b b = 4 = -5 = -5 = -5/ 6 = b + 6(-5/) = b + -5 = b + -6 = b + b = 8 b = 6. Penjumlhn Du Mtriks Du mtriks dpt dijumlhkn, jik keduny berordo sm, dengn cr menjumlhkn elemen-elemen yng seletk. Contoh :

12 . Pengurngn Du Mtriks Du mtriks dpt dikurngkn, jik keduny beorodo sm, dengn cr mengurngkn elemen-elemen yng seletk. Contoh : Perklin Mtriks dengn Sklr (k) Jik k dlh sutu bilngn sklr dn A=(ij ) mk mtriks ka=(kij ) yitu sutu mtriks ka yng diperoleh dengn menglikn semu elemen mtriks A dengn k. Menglikn mtriks dengn sklr dpt dituliskn di depn tu dibelkng mtriks. Mislny [C]=k[A]=[A]k dn (cij ) = (kij ) Contoh : 0-5 x x x x 0 x- x5 Pd perklin sklr berlku hukum distributif dimn k(a+b)=ka+kb. Contoh : 0 4 A= B= dengn k=, mk - K(A+B) = (A+B) = A+B (A+B) = - + = = A+B = + =

13 0 5. Perklin Du Mtriks Du mtriks dpt diklikn jik bnykny kolom mtriks sebelh kiri sm dengn bnykny mtriks sebelh knn. Am x n. Bp x q = Cm x q n = p Contoh : ) ( 5) ( 0 ) ( ).( ).5 (.0 ). ( ).( = Determinn Mtriks Persegi Untuk setip mtriks persegi terdpt sutu bilngn tertentu yng disebut determinn. Determinn mtriks dlh jumlh semu hsil perklin elementer yng bertnd dri A dn dinytkn dengn det(a) tu A (Howrd Anton, 99 : hl 67). Yng dirtikn dengn sebuh hsil perklin elementer bertnd dri sutu mtriks A dlh sebuh hsil perklin elementer pd sutu kolom dengn + tu -. Untuk mengethui tnd + tu -dlm menentukn determinn sutu mtriks yitu dengn menggunkn permutsi sesui besr peringkt mtriks tersebut dn d tu

14 tidkny invers pd hsil permutsi peringkt mtriks tersebut. Invers terjdi pd sutu permutsi jik terdpt bilngn yng lebih besr mendhului bilngn yng lebih kecil pd kolom. Jik bnyk invers genp dn nol mk tnd + dn jik bnyk invers gnjil mk tnd -. Contoh untuk determinn ordo x [ ] permutsi dri bilngn bult dn dimbil bersm dlh! = yitu dn (untuk kolom) sedngkn bris menjdi ptokn dn sellu berurut. Sehingg determinn dri mtriks berordo x dlh +(.)-(.) =... jik mtriks dlm bentuk [ b c d ] mk untuk mencri determinnny lebih dikenl dengn bentuk d bc. Contoh: Jik mtriks A = [ ] mk det (A) = A = (x) (x4) = 6 4 = 4 Contoh untuk determinn ordo x Mk bentuk mtriks seperti [ ], permutsi dri bilngn bult, dn dimbil bersm dlh! = 6 yitu,,,,, dn (untuk kolom) sedngkn bris menjdi ptokn dn sellu berurut. Sehingg determinn dri mtriks berordo x dlh +(..)- (..)-(..)+(..)+(..)-(..). Untuk mempermudh dlm mencri determinn mk berlku : ) Metode Srrus b c b Misl mtriks A = [ d e f] d e g h i g h Mk A = ei + bfg + cdh ceg fh bdi. Cr ini hny berlku pd mtriks berordo x. Contoh: D = [ ]

15 Mk det (D) = D dlh [ ] D = (xx) + (xx) + (xx) (xx) (xx) (xx) = = 0 b) Metode Minor dn Kofktor Minor sutu mtriks A dilmbngkn dengn Mij dlh mtriks bgin dri A yng diperoleh dengn cr menghilngkn elemen-elemenny pd bris ke-i dn elemen-elemen pd kolom ke-j. Contoh: A= [ 0 ] mk : 0 M = [ 0 ] =[ 0 ] 0 M = [ 0 ] = [ 0 ] 0 M = [ 0 ] = [ 0 0 ] 0 M, M dn M merupkn submtriks hsil ekspnsi bris ke- dri mtriks A. Kofktor sutu elemen bris ke-i dn kolom ke-j dri mtriks A dilmbngkn dengn α ij = (-) i+j Mij, dri mtriks A tersebut kofktor dilmbngkn dengn α yitu (-) i+j Mij Untuk mencri det(a) dengn metode minor dn kofktor cukup mengmbil stu ekspnsi sj misl ekspnsi bris ke-tu kolom ke-. Contoh : H = [ 0 ], untuk mencri H dengn metode minor dn kofktor 0 dlh hrus mencri determinn minorny terlebih dhulu yng

16 diperoleh dri ekspnsi bris ke-, yitu det(m), det(m), det(m), mk, M = (x)-(x0) = 4 M = (0x)-(x) = - M = (0x0)-(x) = -4 H = hα + hα + hα = h.(-) + M + h.(-) + M + h.(-) + M = (.4) + (.(-.-)) + (.-4) = = 4.4 Invers Mtriks Persegi Invers mtriks A dinytkn dengn notsi A - d b = d bc c Jik d bc = 0, mk mtriks tidk mempunyi invers disebut mtriks singulr. Jik d bc 0, mk mtriks mempunyi invers disebut mtriks non singulr. Contoh : Dikethui A = Det A = d bc 5, Tentukn determinn dn invers mtriks A. =. 5. = 6 5 = A - d b = d bc c A = =

17 Persmn Mtriks Berbentuk AX=B dn XA=B. A.X = B A -.A.X = A -.B I.X = A -.B X = A -.B Jdi jik A.X = B, mk X = A -.B. X.A = B X.A.A - = B.A - X.I = B.A - X = B.A - Jdi jik X.A = B, mk X = B.A -.5 Apliksi Mtriks dlm Menentukn Penyelesin Sistem Persmn Liner. Sistem Persmn Liner Du Vribel Penyelesin SPLDV dpt ditentukn dengn metode determinn mtriks. Metode ini dikenl sebgi turn Crmer. Penurunn turn Crmer diperoleh dengn memperhtikn penyelesin SPLDV secr eliminsi-subtitusi. Contoh : Tentukn penyelesin dri SPLDV dibwh ini dengn turn Crmer! 4x 5y = 0 x + 7y = 4 Jwb : [ ] [x y ] = [0 4 ] = 4 5 = = 4 7 x = 0 5 = = y = 4 0 = 56 0 = 6 4 4

18 x = Δx = 40 Δ 4 y = Δy = 6 Δ 4 jdi, Hp = {x, y} = { 40 4, 6 4 }. Sistem Persmn Liner Tig Vribel SPLTV dpt diselesikn dengn cr Srrus. Sebgi contoh: x + y z = 5 x y + 6z = -6 x + 4y z = 9 jwb : = 6 = = x = = = y = = = z = 6 = = x =, y = 0, z = - jdi, HP = {, 0, }.6 Kegunn Mtriks dlm Kehidupn Sehri hri Kegunn mtriks ilh:. Memudhkn dlm membut nlisis mengeni sutu mslh ekonomi yng mengndung berbgi mcm vrible. Digunkn dlm memechkn mslh opersi penyelidikn, mislny mslh opersi penyelidikn sumber sumber minyk bumi dn sebginy. Dikitkn dengn penggunn progrm liner, nlisis input output, bik dlm ekonomi, sttistik, mupun dlm bidng pendidik, mnjemen, kimi, dn bidng bidng teknologi linny. 5

19 BAB III PENUTUP. Kesimpuln Pd dsrny dlm kehidupn sehri hri kit sering berhdpn dengn persoln yng pbil kit telusuri ternyt merupkn mslh mtemtik. Dengn kt lin, kit sellu bersentuhn dengn persoln persoln yng berkitn dengn mtemtik, enth itu kit sdri tupun tidk. Agr mudh diphmi mk persoln tersebut diubh kedlm bhs tu persmn mtemtik supy persoln tersebut lebih mudh diselesikn. Tetpi terkdng sutu persolnsering kli memut lebih dri du persmn sehingg kit menglmi kesulitn untuk memhmi hubungn ntr vribelny. Adpun mtriks dlh sutu susunn elemen elemen (bilngn tu huruf) berbentuk persegi tu persegi pnjng yng ditur pd bris dn kolom sert ditemptkn dlm tnd kurung (kurung bis tu kurung siku).. Srn Mtemtik merupkn slh stu mt peljrn yng pling tidk disuki oleh sisw. Kenytn dilpngn membuktikn cukup bnyk sisw yng tidk menyuki bhkn membenci mtemtik. Dlm benk merek, mtemtik merupkn peljrn yng sngt sulit dimengerti bhkn membosnkn. Oleh kren itu, penulis berhrp pembeljrn mtemtik tidk sellu monoton hny dengn pndun guru dn buku. Untuk itu dihrpkn bgi pendidik dpt mengembngkn metode pembeljrn mtemtik sesui dengn pol piker sisw yng cenderung ingin bermin. Dengn ini, slh stu upy yng dpt dilkukn oleh pendidik ilh dengn menggunkn lt perg dlm menjelskn mteri, sehingg pesert didik kn mengnggp bhw mtemtik merupkn sutu perminn yng mengsyikkn, bukn sutu peljrn yng membosnkn. 6

20 DAFTAR PUSTAKA Sukino Mtemtik SMA. Jkrt : Erlngg Tim penyusun sol Detik-detik ujin nsionl. Klten: Intn Priwr Mtriks(online). ( dikses 5 Desember 04) Menyelesikn Persmn Liner dengn Mtriks. ( dikses 5 Desember 04) 7