BAB I PENDAHULUAN. penerbangan, kedokteran, teknik mesin, software komputer, bahkan militer

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Statistika merupakan salah satu ilmu matematika yang terus berkembang dari waktu ke waktu. Di dalamnya mencakup berbagai sub pokok-sub pokok materi yang sangat bermanfaat penerapannya dalam kehidupan sehari-hari di berbagai bidang. Salah satunya adalah teori probabilitas yang memuat variabel random dan distribusinya. Variabel random dan distribusinya sangat berguna di bidang produksi, peramalan, penerbangan, kedokteran, teknik mesin, software komputer, bahkan militer (Walpole dan Myers, 2007). Variabel random tidak dapat terbentuk tanpa adanya ruang sampel karena variabel random merupakan fungsi yang terdefinisi dalam ruang sampel. Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Variabel random dibagi menjadi variabel random diskrit dan variabel random kontinu. Variabel random-variabel random tersebut dapat dibentuk distribusinya. Fungsi yang berkaitan dengan variabel random disebut probability density function ( ) atau fungsi kepadatan peluang. Dari tersebut dapat diperoleh ukuran lain seperti ekspektasi dan variansinya. Variabel random kontinu merupakan fungsi yang terdefinisi dalam ruang sampel kontinu, yaitu ruang sampel tak berhingga yang berupa ruas bilangan/ interval. Variabel random kontinu memiliki distribusi kontinu. 1

2 2 Distribusi Gamma dan distribusi Beta merupakan distribusi kontinu yang berturut-turut dibentuk dari fungsi Gamma dan fungsi Beta. Jika merupakan variabel random kontinu berdistribusi Gamma dengan parameter bentuk dan parameter skala maka dapat dinotasikan dengan. Jika merupakan variabel random kontinu berdistribusi Beta dengan parameter bentuk dan maka dapat dinotasikan dengan. Masing-masing dari distribusi tersebut dapat diperoleh fungsi kepadatan peluang (probability density function/ ) sehingga dapat diturunkan ukuran lain pula seperti ekspektasi dan variansinya. Distribusi Gamma dan distribusi Beta memiliki kaitan yang sangat erat karena distribusi Beta dibangun dari dua variabel random kontinu yang berdistribusi Gamma. Jika diketahui dan, dan U X X Y, dengan menggunakan metode transformasi Jacobian, maka diperoleh. Distribusi yang dibentuk dari dua variabel random dalam ruang sampel yang sama disebut distribusi bivariat. Jika terdiri dari tiga variabel random disebut distribusi trivariat. Sedangkan jika lebih dari tiga variabel random disebut distribusi multivariat. Distribusi-distribusi tersebut sering dinamakan sebagai distribusi bersama (joint distribution). Fungsi yang berkaitan dengan variabel random-variabel random tersebut disebut bersama. Selain pdf bersama, dapat diperoleh ekspektasi, variansi, dan momennya. Namun apabila variabel random-variabel random tersebut tidak

3 3 bebas/ bergantung (dependent), maka diperoleh pula variansi dari varibelvariabel random tersebut yang disebut dengan kovarian. Salah satu macam distribusi bivariat adalah distribusi Gamma Bivariat. Sesuai dengan namanya, maka distribusi Gamma Bivariat disyaratkan mempunyai dua variabel random, misal sebagai variabel random pertama dan sebagai variabel random ke dua, dimana dan merupakan variabel random yang memiliki distribusi yang sama yaitu berdistribusi Gamma. Apabila variabel random-variabel random yang diberikan tidak semuanya berdistribusi Gamma, syarat terbentuknya distribusi Gamma Bivariat tentunya tidak terpenuhi. Namun pada kasus ini, jika diberikan variabel random kontinu yang berdistribusi Gamma dan Beta, maka berdasarkan kaitan antara distribusi Gamma dan Beta, variabel random dapat ditransformasikan ke dalam dan sedemikian rupa sehingga masing-masing dan berdistribusi Gamma. Dalam hal ini, dapat dibentuk distribusi Gamma Bivariat dari dan jika diberikan variabel random dan yang berdistribusi Gamma dan Beta. Berdasarkan uraian di atas maka perlu dikaji bagaimana cara membangun distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan distribusi Beta. Selanjutnya akan dibangun pula bersama, ekspektasi, dan kovarian dari distribusi Gamma Bivariat tersebut.

4 4 B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan yang timbul adalah: 1. Bagaimana membangun distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan distribusi Beta? 2. Bagaimana membangun bersama, ekspektasi, dan kovarian dari distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan distribusi Beta? C. Tujuan Penelitian Tujuan dalam penelitian ini adalah: 1. Membangun distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan distribusi Beta 2. Membangun bersama, ekspektasi, dan kovarian dari distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan Beta. D. Manfaat Penelitian 1. Bagi Peneliti Sebagai tambahan referensi tentang distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan distribusi Beta serta bersama, ekspektasi, dan kovarian dari distribusi Gamma Bivariat tersebut.

5 5 2. Bagi Pembaca Sebagai tambahan pengetahuan bidang matematika statistika mengenai distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan distribusi Beta.