ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR) MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM)

Transkripsi

1 ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR) MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM) oleh MIKA ASRINI M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2013 i

2 SKRIPSI ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR) MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM) yang disiapkan dan disusun oleh MIKA ASRINI M Pembimbing I, dibimbing oleh Pembimbing II, Winita Sulandari, M.Si. NIP Drs. Santoso B. W., M.Si. NIP telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Jumat, tanggal 27 September 2013 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1. Dr. Sri Subanti, M.Si. 1. NIP Dra. Mania Roswitha, M.Si. 2. NIP Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Surakarta, 4 Oktober 2013 Dekan, Ketua Jurusan Matematika, Prof. Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc., (Hons)., Ph.D. NIP Irwan Susanto, S.Si., DEA NIP ii

3 ABSTRAK Mika Asrini, ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR) MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Model mixture autoregressive (MAR) merupakan model gabungan beberapa komponen Gaussian autoregressive (AR). Model MAR mampu memodelkan data runtun waktu yang nonlinier dan cenderung bersifat multimodal. Multimodal merupakan pengamatan jika digambarkan memiliki lebih dari satu puncak dalam histogram. Model MAR dapat dibentuk dengan mengestimasi nilai setiap parameter. Model MAR adalah model gabungan yang mengakibatkan parameternya tidak bisa diestimasi menggunakan maksimum likelihood secara langsung. Parameter model MAR dapat diestimasi menggunakan algoritma ekspektasi maksimisasi (EM) yang memiliki dua tahap yaitu tahap ekspektasi dan tahap maksimisasi. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji kembali dan menurunkan ulang berkaitan dengan estimasi parameter pada model MAR menggunakan algoritma EM. Contoh kasus yang diterapkan pada penelitian ini adalah data produksi jagung nasional. Hasil penelitian menunjukan bahwa proses estimasi parameter model MAR diawali dengan identifikasi model dan inisiasi parameter. Identifikasi model merupakan tahap penentuan komponen dan orde menggunakan histogram dan plot autokorelasi parsial. Pada tahap inisiasi parameter, nilai awal parameter ditentukan secara sembarang. Tahap inti dari estimasi parameter model MAR yaitu tahap ekspektasi dan maksimisasi yang meliputi penghitungan ekspektasi data hilang, penentuan fungsi log likelihood data lengkap, dan penentuan estimator parameter dengan memaksimalkan fungsi tersebut. Identifikasi model pada contoh kasus produksi jagung nasional memberikan dua alternatif model yaitu model MAR dengan dua komponen dan tiga komponen. Berdasarkan pada penghitungan Bayes Information Criterion (BIC), model MAR dua komponen lebih sesuai dari tiga komponen. Kata kunci: mixture autoregressive, algoritma EM, Produksi Jagung Nasional, BIC iii

4 ABSTRACT Mika Asrini, PARAMETER ESTIMATION OF MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR) MODEL USING THE EXPECTATION MAXIMIZATION (EM) ALGORITHM. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University. Mixture autoregressive (MAR) Model is a mixture of komponen Gaussian autoregressive (AR). The mixture model is capable for modelling of nonlinear time series with multimodality conditional. MAR model can be established by estimating the value of each parameter. MAR model is a combined model that resulted in the parameters can not be estimated using maximum likelihood directly. MAR model parameters can be estimated using the expectation maximization (EM) algorithm which has two phases are expectation and maximization stage. The objectives of this study is to examine the lower back and re-estimate parameters of MAR model using EM algorithm. The case in applied to this research is national maize production. The aim of this study is to process of parameter estimation of MAR model starts with the model identification and parameter initiation. Model identification is the stage of determining component and order using histogram and partial autocorrelation plot. The parameter initiation stage, initial parameter values are determined arbitrarily. The parameter estimation main stages of the MAR model are expectation and maximization which includes calculation of missing data expectation, determination of complete data log likelihood function, and determination of parameter estimator by maximizing the function. The model identification of the case to national maize production data gives two alternative models those are MAR models with two components and three components. Based on the Bayes Information Criterion (BIC) calculation, MAR model with two components is more appropriate than three components. Key words: : mixture autoregressive, EM algorithm, national maize production, BIC. iv

5 MOTO Seseorang yang beruntung adalah seseorang yang tidak pernah berhenti untuk berdo a dan berusaha. Semangat adalah gunung berapi yang dipuncaknya rumput keragu-raguan tidak dapat tumbuh. (Kahlil Gibran) v

6 PERSEMBAHAN Karya ini saya persembahkan kepada: Mama dan Ayah tersayang yang tak henti-hentinya memberiku doa, kasih sayang, dan dukungan (baik moril maupun materiil) selama ini. Mas Dony dan dek Rahman tercinta, terima kasih atas doa dan dukungannya. vi

7 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Keberhasilan dalam penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan banyak pihak. Penulis menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan dukungan, bimbingan, petunjuk dan juga saran selama penyusunan skripsi ini, antara lain kepada 1. Ibu Winita Sulandari, M.Si. yang telah memberikan saran, arahan, dukungan semangat dan bimbingan dalam penulisan skripsi ini. 2. Bapak Drs. Santoso B.W., M.Si. yang telah dengan sabar, memberikan bimbingan dalam penulisan skripsi ini. 3. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Penulis menyadari sebagai manusia tidak luput dari kekurangan dan kekhilafan sehingga saran-saran dan kritik yang membangun bagi kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat. Surakarta, September 2013 Penulis vii

8 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL i HALAMAN PENGESAHAN.. ii ABSTRAK iii ABSTRACT... iv MOTO v PERSEMBAHAN.... vi KATA PENGANTAR.. vii DAFTAR ISI. viii DAFTAR TABEL. x DAFTAR GAMBAR xi DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL. xii BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 3 BAB II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Autoregressive (AR) Fungsi Autokorelasi (ACF) Fungsi Autokorelasi pasial (PACF) Metode Maksimum Likelihood Algoritma Ekspektasi Maksimisasi (EM) Bayes Information Criterion (BIC) Kerangka Pemikiran. 9 BAB III METODE PENELITIAN BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Model Mixture Autoregressive commit (MAR) to user. 12 viii

9 4.2. Estimasi Parameter Model MAR Contoh Kasus Model MAR (2:1,1) Model MAR (3:1,1,1) Pemilihan Model Terbaik. 30 BAB V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN ix

10 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1. Data Produksi Jagung Nasional Tabel 4.2. Nilai Parameter dan Nilai BIC Model MAR (2;1,1) dan MAR (3;1,1,1).. 33 x

11 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 4.1. Data Produksi Jagung Nasional Gambar 4.2. Autokorelasi Untuk Produksi Jagung Nasional Gambar 4.3. Produksi Jagung Nasional Diferensiasi Gambar 4.4. Histogram Data Produksi Jagung Nasional Gambar 4.5. Autokorelasi Parsial Untuk Produksi Jagung Nasional.. 24 xi

12 DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL : harga mutlak : sigma, operator penjumlahan : koefisien AR, dengan : backward shift operator : mean atau rata-rata populasi : eror random ke-t : fungsi autokovarian pada lag-k : fungsi autokorelasi pada lag-k : fungsi autokorelasi parsial : parameter rata-rata bergerak : Ekspektasi data hilang komponen ke-k waktu ke-t : proporsi masing-masing komponen gabungan ke : deviasi standar masing-masing komponen ke : koefisien model MAR masing masing komponen orde ke 0, 1,., : distribusi kumulatif normal standar : orde AR komponen ke- : orde AR maksimal dari keseluruhan komponen : data runtun waktu terobservasi waktu ke-t : data hilang waktu ke-t : data lengkap xii