Analisis Real. Johan Matheus Tuwankotta 1. December 3,
|
|
- Iwan Kurnia
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Analisis Real Johan Matheus Tuwankotta December 3, 200 Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no. 0, Bandung, Indonesia.
2 2
3 Daftar Isi Sistem Bilangan Real: Pendahuluan 5. Himpunan Struktur aljabar Himpunan Terurut Perluasan lapangan Konstruksi Bilangan Real
4 4 DAFTAR ISI
5 Bab Sistem Bilangan Real: Pendahuluan Faith is the substance of things hoped for, the evidence of things not seen. (Hebrew :) Memulai sebuat buku teks tentang Matematika, selalu sulit. Senantiasa sulit untuk menentukan bagian mana yang akan kita terima tanpa bukti, dan bagian mana yang akan kita buktikan secara lengkap. Bagi para matematikawan yang bekerja dengan Foundation of Mathematics dan Logika Matematika, Matematika adalah Teori Himpunan dan konsekuensinya. Bagi kaum analis matematika, teori himpunan dan konsep-konsep turunannya adalah alat yang kita gunakan untuk bekerja. Oleh karena itu kita akan memulai bab ini dengan pendahuluan tentang teori himpunan. Teori yang akan disajikan ini sangat sederhana dan singkat; pembaca yang tidak memiliki pengetahuan yang cukup tentang ini kami anjurkan untuk mencari literatur lain sebagai sumber. Tujuan dari bab ini adalah konstruksi himpunan bilangan real. Sekurang-kurangnya ada tiga pendekatan dalam mengkonstruksi bilangan real. Yang pertama adalah maha karya dari Richard Dedekind (872). Pendekatan ini sangat abstrak dan akan kami perlihatkan dalam bab ini.. Pendekatan kedua adalah menggunkan kelas ekivalen dari barisan-barisan Cauchy (akan diperlihatkan di Bab III). Pendekatan ketiga adalah pendekatan aksiomatis lapangan. Tentu saja ada pendekatan lain yaitu dengan mempercayai adanya bilangan real tanpa mempertanyakan bukti ataupun konstruksinya. Kita memperkenalkan struktur dalam himpunan melalui beberapa operasi yang didefinisikan padanya. Struktur yang akan diperkenalkan adalah: grup. gelanggang, lapangan dan ruang vektor. Meski kebutuhan kita adalah lapangan, demi alasan kelengkapan kami memilih untuk memperkenalkan kedua struktur sebelumnya. Konsep tentang ruang vektor diperlukan ketika kita ingin memperluas sebuah lapangan agar memuat lapangan tertentu.. Himpunan Himpunan merupakan suatu objek yang sangat sederhana dalam arti hanya ada keanggotaan di dalamnya, tidak ada interaksi antar anggota. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara:. mendaftarkan anggota-anggotanya: {, 2, 3, 4,...}, 2. menuliskan formula atau aturan yang mendefinisikannya: {2n n bilangan asli}. Setelah melihat konstruksi ini, kami berharap pembaca setuju bahwa bilangan real sesungguhnya sangat abstrak (tidak real) 5
6 6 BAB. SISTEM BILANGAN REAL: PENDAHULUAN Jika a anggota dari himpunan A, kita tuliskan a A. Jika A, B dua buah himpunan, maka A B jika: anggota A adalah anggota B. Kita memiliki sebuah himpunan yang istimewa yaitu:. Perhatikan bahwa karena tidak memiliki anggota, maka kalimat setiap anggotanya adalah anggota dari himpunan lain senantiasa dipenuhi. Lemma.. Himpunan adalah bagian dari semua himpunan. Definisi.2. Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan. Maka. gabungan dari A dan B: A B = {x x A atau x B}. 2. irisan dari A dan B: A B = {x x A dan x B}. 3. jumlah A dan B: A + B = {x x A atau x B, tetapi x / A B}. Operasi ini dikenal dengan exclusive or dalam logika matematika. 4. pengurangan A oleh B: A\B = A B = {x x A tetapi x / B}. 5. komplemen dari A: A c = {x x / A}. 6. hasil kali Cartesius: A B = {(α, β) α A dan β B}. Definisi.3. Misalkan A n, n N adalah himpunan-himpunan. Maka A n = {x n N sehingga x A n }, dan A n = {x x A n n N}. Definisi ini dapat diperluas dengan mudah untuk sebarang indeks. Definisi.4. Misalkan untuk setiap α A, A α adalah himpunan. Maka: A α = {x α A sehingga x A α }, α dan A α = {x x A α α α A}. Dalam Definisi.3 A dapat berupa interval subset dari himpunan bilangan real. Lemma.5. (Hukum de Morgan) Jika A dan B adalah dua buah himpunan, maka (A B) c = A c B c dan (A B) c = A c B c. Lebih umum, ( ( α A α ) c = α (A α ) c dan α A α ) c = α (A α ) c
7 .2. STRUKTUR ALJABAR 7.2 Struktur aljabar Sekarang kita ingin memberikan suatu struktur dalam sebuah himpunan. Hal ini dilakukan dengan memperkenalkan interaksi antar anggota dalam sebuah himpunan. Interaksi antar anggota dalam matematika biasanya terjadi melalui sebuah operasi. Operasi adalah fungsi dari produk Cartesius himpunan tersebut ke himpunan itu sendiri. Misalkan A adalah sebuah himpunan. Pada A didefinisikan sebuah operasi yaitu: Mari kita lihat beberapa contoh dibawah ini. : A A A (x, y) z := x y Contoh.6. Operasi penjumlahan yang telah kita kenal sejak di sekolah dasar adalah contoh dari operasi. Pandang: + : Z Z Z (m, n) m + n Jadi + : (2, 3) 5. Penulisan ini disingkat menjadi: = 5. Demikan pula untuk operasi perkalian. Pada bilangan bulat, operasi perkalian memiliki kaitan yang erat dengan penjumlahan. Generalisasi perkalian ke bilangan rasional, dan nantinya ke bilangan real juga memiliki cerita yang menarik, namun kita tidak akan membahasnya pada catatan kuliah ini. Diasumsikan kita memiliki pengetahuan yang memadai tentang operasi-operasi ini. Contoh.7. Misalkan A = {α, β, γ, δ}. Maka jelas A A = {(α, α), (α, β), (α, γ), (α, δ), (β, α),..., (δ, γ), (δ, δ)}. Definsikan pengaitan berikut: α β γ δ α α γ δ β β β α γ δ γ α δ γ β δ β α δ γ Maka pengaitan ini adalah sebuah fungsi pada A. Contoh ini hanyalah untuk memperlihatkan bahwa operasi pada suatu himpunan A tidak harus memiliki aturan yang biasa kita kenal. Selama kita dapat mendefinisikan suatu pengaitan antara anggota A A ke A, kita memiliki operasi. Kita akan memberikan suatu aturan pada operasi-operasi yang ada pada suatu himpunan A. Salah satunya adalah ketertutupan, yaitu hasil operasi dari dua buah buah elemen senantiasa berada di dalam himpunan yang sama. Ketika kita memberikan syarat pada sebuah operasi pada himpunan, ketika itulah kita memberikan sebuah struktur pada himpunan tersebut. Group Definisi.8. Pandang G dengan sebuah operasi, dinotasikan (G, ). memenuhi sifat-sifat berikut ini. Misalkan operasi (G ) Untuk setiap a, b G, a b = b a. (G 2 ) Untuk setiap a, b, c G, (a b) c = a (b c). (G 3 ) Terdapat sebuah elemen e G yang memenuhi: a e = a, untuk setiap a. (G 4 ) Untuk setiap a G terdapat sebuah elemen a G sehingga a a = e.
8 8 BAB. SISTEM BILANGAN REAL: PENDAHULUAN Maka himpunan G disebut sebuah grup komutatif terhadap operasi. Jika sifat-sifat di atas kecuali (G ) dipenuhi, maka G disebut sebuah grup. Elemen e pada (G 3 ) disebut elemen identitas, sedangkan elemen a disebut elemen invers. Jika sifat-sifat di atas dipenuhi kecuali sifat (G 4 ) maka G disebut semigrup. Model klasik dari sebuah group komutatif adalah himpunan bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan. Elemen identitas pada penjumlahan disebut 0 dan elemen invers penjumlahan dari a Z disebut a. Grup G dengan operasi penjumlahan adalah struktur yang mengakomodasi persamaan linear monik: x + a = b dengan a, b G dan x adalah variabel. Pada grup G semua persamaan linear monik seperti itu memiliki solusi 2. Contoh dari suatu grup adalah himpunan bilangan bulat Z. Gelanggang dan Lapangan Jika struktur tersebut lebih lengkap, berupa gelanggang, maka kita dapat berbicara tentang persamaan linear yang lebih umum yaitu: a x+b = c, dengan a, b, c G. Meskipun persamaan linear umum dapat diakomodasi oleh ring, struktur aljabar ring tidaklah cukup untuk memuat solusi dari persamaan linear umum. Struktur aljabar yang mengakomodasi solusi dari suatu persamaan linear umum seperti ini adalah Lapangan. Untuk persamaan linear umum dengan koefisien bilangan bulat Z, struktur yang tepat adalah lapangan bilangan rasional Q. Persamaan linear umum dengan koefisien bilangan rasional juga diakomodasi dengan baik oleh lapangan bilangan rasional. Definisi.9. Misalkan G dilengkapi dengan dua buah operasi, yaitu + dan. Misalkan sifat-sifat di bawah ini dipenuhi.. (G, +) membentuk suatu group komutatif dengan elemen identitas (G, ) membentuk semigroup. 3. Hukum distributif dipenuhi: (a (b + c) = ab + ac)) Maka himpunan G dengan kedua operasi: (G, +, ) membentuk struktur ring (gelanggang) dengan Satuan. Elemen identitas terhadap operasi disebut. Definisi.0. Misalkan G dilengkapi dengan dua buah operasi, yaitu + dan. Misalkan sifat-sifat di bawah ini dipenuhi.. (G, +, ) membentuk grup komutatif terhadap operasi (G\{0}, ) juga membentuk grup komutatif. 3. Hukum distributif dipenuhi: (a (b + c) = ab + ac)). Maka struktur aljabar yang dibentuk oleh G dengan kedua operasi tersebut adalah: lapangan. Contoh klasik untuk struktur gelanggang adalah bilangan bulat (Z, +, ). Juga himpunan semua polinomial juga memiliki struktur ini. Struktur Lapangan dimiliki oleh himpunan bilangan rasional: { } α Q = β α, β Z, β 0. 2 Menurut pendapat saya, pendekatan ini memberi alasan yang lebih natural tentang lahirnya konsep bilangan negatif.
9 .2. STRUKTUR ALJABAR 9 Ruang Vektor Misalkan (F, +, ): lapangan. Elemen identitas dari + adalah 0 dan α F adalah invers penjumlahan dari α F. Elemen identitas terhadap operasi adalah dan inversnya adalah α F, untuk 0 α F. Misalkan V adalah himpunan dari objek-objek tertentu (yang kita sebut vektor). Pada V kita definsikan operasi penjumlahan sebagai berikut: + : V V V (v, v 2 ) v + v 2. Kita mengasumsikan (V, +) membentuk grup komutatif dengan elemen identitas 0 (vektor nol). Untuk menghindari kerancuan notasi, kita menuliskan: v untuk invers penjumlahan dari elemen v. Jadi: v +v = 0. Kita juga mendefinisikan operasi lain, yang melibatkan F dan V yaitu perkalian skalar: Jika: : F V V (α, v) α v = αv.. α (v +v 2 ) = α v +α v 2 = αv +αv 2, 2. (α + β) v = α v +β v = αv +βv, 3. v = v, maka V membentuk suatu ruang vektor atas F. Kita dapat membentuk suatu ruang vektor dari sebuah lapangan F, dengan cara membentuk F n = F F... F. Operasi penjumlahan: + didefinisikan sebagai berikut. Misalkan u = (u, u 2,..., u n ) F n dan v = (v, v 2,..., v n ) F n u+v = (u + v, u 2 + v 2,..., u n + v n ), dengan penjumlahan u k + v k, k =,..., n adalah penjumlahan di F. Dengan cara yang sama: α v = (αv,..., αv n ), dengan αv k, k =,..., n adalah perkalian di F. Perhatikan bahwa kita dapat memandang lapangan F sebagai ruang vektor atas dirinya sendiri. Untuk mempermudah notasi, untuk selanjutnya kita akan menggunakan notasi yang sama untuk penjumlahan pada ruang vektor: + dengan penjumlahan pada F, yaitu: +; dan perkalian pada ruang vektor: dengan perkalian pada F. Kita juga menuliskan: v = v. Salah satu keuntungan yang kita miliki ketika bekerja dengan ruang vektor adalah adanya basis bagi ruang vektor. Di dalam sebuah ruang vektor, kombinasi linear adalah: α i v i, i dengan v i V, α i F, dan hampir semua α i = 0, i =, 2,...,. Ketika kita mengatakan hampir semua α i = 0, i =, 2,...,, berarti hanya berhingga buah i, yang memenuhi α i 0. Ini berakibat kombinasi linear dari vektor-vektor di V, tetap berada di V. Misalkan diberikan himpunan vektor V = {v, v 2,...} V. Definisikan: { } span (V) = v = i α i v i α i F hampir semuanya 0.
10 0 BAB. SISTEM BILANGAN REAL: PENDAHULUAN Jadi himpunan span(v) berisi semua kombinasi linear yang mungkin dari vekor-vektor di V. Dapat diperlihatkan bahwa kriteria ruang vektor dipenuhi oleh span(v). Jadi span(v) adalah subruang dari V, yaitu span(v) V (notasi yang sama kita gunakan untuk subset; pembaca diharapkan untuk membedakannya secara kontekstual). Himpunan vektor V di atas, dikatakan bebas linear jika semua kemungkinan kombinasi linear dari vector-vector di V ke nol, yaitu: α i v i = 0, i hanya dipenuhi oleh α i = 0. Suatu himpunan vektor V dikatakan membentuk basis bagi V jika V bebas linear, dan span(v) = V..3 Himpunan Terurut Kita dapat mendefinisikan sebuah urutan pada himpunan A. Urutan adalah suatu relasi (yaitu subset dari produk Cartesius; A A), dinotasikan oleh < yang memenuhi:. setiap pasang a dan b memenuhi: a < b atau b < a tetapi tidak keduanya. 2. tidak ada a di A yang memenuhi: a < a. 3. jika a < b dan b < c maka berlaku a < c. Jika setiap pasang (a, b) di A A terurut dengan baik (memenuhi definisi urutan), maka himpunan A dikatakan himpunan yang terurut secara linear (himpunan terurut total). Dengan urutan ini kita dapat mendefinisikan interval sebagai berikut. Definisi.. Misalkan a < b, maka interval (a, b) didefinisikan sebagai {x A a < x < b}. Definisi.2. Misalkan B A adalah sebuah himpunan.. Batas atas B adalah u A yang memenuhi u x untuk setiap x B. 2. Batas atas terkecil atau supremum adalah suatu batas atas u s yang memenuhi jika u adalah batas atas maka u u s., dinotasikan. Cara lain mendefinisikan supremum adalah sebagai berikut: u s adalah supremum dari B jika, u s adalah batas atas bagi B, dan untuk setiap 0 < ε, ada x B sehingga x > u s ε. Dengan cara yang serupa kita mendefinisikan batas bawah dan batas bawah terkecil atau infimum. Definisi.3. (Himpunan Lengkap) Suatu himpunan dikatakan lengkap jika setiap himpunan bagian terbatas darinya yang tak kosong dan yang bukan keseluruhan himpunan, senantiasa memiliki infimum dan supremum. Lapangan bilangan rasional dapat mengakomodasi persamaan linear umum dengan baik, namun lapangan tersebut tidaklah lengkap. Penemuan teorema Phytagoras memberikan informasi kepada kita tentang adanya bilangan-bilangan lain yang tidak rasional (irasional). Pandang sebuah segitiga sama kaki yang siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya. Maka panjang dari sisi miringnya adalah suatu bilangan: q yang memenuhi: q 2 = = 2. Kita ingin mencari sebuah bilangan rasonal yang memenuhi persamaan tersebut. Misalkan bilangan rasional tersebut adalah: q = a b, a, b Z dengan faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah (dengan perkataan lain, a dan b saling prima atau prima relatif). Persamaan q 2 = 2 identik dengan mengatakan a 2 = 2b 2. Akibatnya. a 2 adalah bilangan genap. Perhatikan bahwa jika a bilangan ganjil, maka a 2 = (2n + ) 2 = 4n 2 + 4n + = 2(2n 2 + 2n) +
11 .4. PERLUASAN LAPANGAN adalah bilangan ganjil juga. Jadi, haruslah a genap, yang akibatnya a = 2m untuk suatu m Z. Akibatnya, (2m) 2 = 4m 2 = 2b 2 = b 2 = 2m 2. Dengan argument yang sama kita menyimpulkan bahwa b haruslah genap. Tetapi tidak ada dua bilangan genap berbeda yang saling prima relatif. Jadi tidak ada bilangan rasional yang bisa memenuhi persamaan: q 2 = 2. Jadi bilangan q Q. Sekarang perhatikan L = { q Q 0 < q < 2 } dan G = { q Q 2 < q < 2 }. Keduanya adalah subset dari bilangan rasional yang terbatas. Misalkan 0 < p Q, dan pandang: q = p p2 2 p + 2 Akibatnya: q 2 2 = = ( ) 2 p p2 2 2 p + 2 ( ) 2 2p p + 2 = 4p2 + 8p + 4 (p + 2) 2 2p2 + 8p + 8 (p + 2) 2 = 2(p2 2) (p + 2) 2. Jadi, p L jika dan hanya jika q L (demikian pula p G jika dan hanya jika q G). Misalkan p L, maka p 2 2 < 0. Jadi q p = p2 2 p + 2 > 0. Akibatnya, untuk setiap p L, senantiasa ada q L sehingga q > p. Perhatikan bahwa p L berarti p adalah suatu batas bawah bagi G. Jadi kita telah memperlihatkan bahwa G tidak memiliki infimum meskipun G adalah subset terbatas dari Q. Dengan cara yang serupa, kita dapat memperlihatkan bahwa L tidak memiliki supremum. Jadi, himpunan bilangan rasional Q tidak lengkap. Teorema.4. Sifat Archimedes dari bilangan rasional. Untuk setiap bilangan rasional q > 0, ada n N sehingga n q n..4 Perluasan lapangan Kini kita ingin mengkonstruksi sebuah himpunan bilangan yang membentuk suatu lapangan dari lapangan bilangan rasional Q. Perluasan lapangan F dari F, didefinisikan sebagai, mencari lapangan F yang memuat F sebagai sublapangan proper. Perhatikan bahwa kita dapat memandang F sebagai ruang vektor atas F. Jika dim(f ) = n, maka kita katakan perluasan tersebut berderajat n. Dalam hal n berhingga, kita katakan perluasan lapangan tersebut algebraic. Definisikan: ( ) { Q 2 = p + q } 2 p, q Q. Himpunan ini dapat dituliskan dengan cara: ( ) Q 2 = {(p, q) p, q Q}.
12 2 BAB. SISTEM BILANGAN REAL: PENDAHULUAN Penjumlahan pada Q( 2) didefinisikan sebagai: sedangkan perkalian karena (p, q ) + (p 2, q 2 ) = (p + p 2, q + q 2 ), (p, q ) (p 2, q 2 ) = (p p 2 + 2q q 2, p q 2 + p 2 q ). (p + q 2) (p2 + q 2 2) = (p p 2 + 2q q 2 ) + (p q 2 + p 2 q ) 2 Keduanya terdefinisi dengan baik dalam himpunan Q( 2). Tidaklah sulit untuk melihat bahwa ( Q( 2), + ) membentuk grup komutatif. Juga bahwa ( Q( 2)/0, ) membentuk grup komutatif. Invers terhadap perkalian dari (p, q) adalah ( ) p p 2 2q 2, q p 2 2q 2 karena p + q 2 p q 2 p q 2 = p p 2 2q 2 q p 2 2q 2 2. Cukup mudah untuk memperlihatkan bahwa hukum distributif dipenuhi oleh himpunan Q( 2). Jadi himpunan Q( 2) membentuk lapangan. Sebagai ruang vektor atas Q, dim(q( 2)) = 2. Kini kita dapat memperluas bilangan rasional Q menjadi Q, sehingga memuat semua bilangan irasional dalam yang berbentuk: n q dan kombinasi linearnya terhadap Q. Himpunan Q membentuk suatu lapangan (karena ia merupakan perluasan lapangan atas Q) yang berisikan semua bilangan rasional dan semua bilangan irasional yang algebraic. Sebagai ruang vektor atas Q, Q memiliki dimensi tak hingga. Meskipun demikian, ruang sebesar itu masih tidak mencakup semua bilangan irasional yang mungkin. Pada tahun 85, Joseph Liouville membuktikan eksistensi dari bilangan-bilangan irasional yang tidak algebraic (lihat [4, 5]). Bilangan irasional yang tidak algebraic disebut transenden pertama kali oleh Leibniz. Salah satu contoh bilangan transenden yang dikonstruksi oleh Liouville adalah: , dengan banyaknya digit 0 di antara, bertambah mengikuti pola:!, 2!, 3!,.... Selain bilanganbilangan yang dikonstruksi oleh Liouville, Hermite menunjukkan bahwa e adalah bilangan transenden. Untuk buktinya, dapat dilihat pada [2]. Nama-nama besar dalam Matematika seperti David Hilbert, Lindemann, Gelfond and Schneider terlibat dalam membuktikan bahwa: π, 2 2, dan lain-lain adalah bilangan irasional yang transenden. Adanya bilangan-bilangan ini menyebabkan bahwa Q, mungkin tidaklah cukup untuk menjamin sifat kelengkapan. Pada Bab III nanti kita akan membuktikan bahwa lim n ( + n) n = e. Berapapun n N, ( + n) n Q. Pandang himpunan G = {q Q e < q < 4}. Perhatikan bahwa ( b n = + n) n < e, n N. Jadi b n adalah batas bawah bagi G untuk setiap n N. Tetapi G tidak memiliki batas bawah terbesar karena untuk setiap ε > 0, selalu ada m sehingga e b m < ε. Jadi Q tidak lengkap. Sayangnya teknik memperluas lapangan secara algebraic di atas, tidak memadai lagi.
13 .5. KONSTRUKSI BILANGAN REAL 3.5 Konstruksi Bilangan Real Konstruksi bilangan real dari bilangan rasional yang akan kita perlihatkan ini sangatlah abstrak. Ingat bahwa untuk mengkonstruksi bilangan real dari bilangan rasional, kita harus melupakan bahwa kita sudah mengetahui adanya bilangan irasional, baik yang algebraic maupun yang transenden. Definisi.5. Misalkan α Q yang memiliki tiga sifat berikut.. α dan α Q. 2. Jika p α, q Q, dan q < p, maka q α. 3. Jika p α, maka p < r untuk suatu r α. α disebut potongan (cut). Sifat (3) mengatakan bahwa α tidak memiliki elemen terbesar. Sifat yang kedua mengakibatkan. Jika p α dan q / α, maka p < q. 2. Jika r / α dan r < s maka s / α. Contoh.6. Misalkan α = {q Q q < 2 }. Definisikan R = {α α potongan}. Pada R kita definisikan urutan sebagai berikut: α < β jika α β..5. Kelengkapan R Proposisi.7. Himpunan R memenuhi Definisi.3. Bukti. Misalkan A R, dengan A dan A R. Misalkan pula A terbatas di atas oleh β R. Kita akan menunjukkan bahwa A memiliki supremum, yaitu batas atas terkecil. Untuk itu, definisikan γ = α, α A jadi γ memuat semua bilangan rasional p yang termuat sekurang-kurangnya di salah satu α R. Kita harus menunjukkan bahwa γ R, yaitu bahwa γ adalah potongan (memenuhi Definisi.5).. Karena A tidak kosong, maka γ juga tidak kosong. Ambil q γ sebarang, maka q α untuk suatu α A. Karena α β, untuk semua α A, maka α β sehingga q β. Jadi γ β. Karena β Q, maka γ Q. 2. Ambil p γ dan q Q dengan q < p. p γ berakibat bahwa p α untuk suatu α A. Karena α adalah potongan, maka q α. Jadi q γ. 3. Ambil p γ, maka p α untuk suatu α A. Karena α adalah potongan, maka ada r α, sehingga p < r. Karena r α maka r γ. Jadi ada r γ sehingga p < r. Jadi Definisi.5 dipenuhi oleh γ. Berarti, γ R. Dari definisi γ, jelas bahwa α γ untuk setiap α A. Jadi γ adalah batas atas bagi A. Sekarang tinggal memperlihatkan bahwa jika δ < γ, maka δ bukan batas atas bagi A. Misalkan δ < γ, maka ada r γ tetapi r / δ. Pilih α 2 A sehingga r α 2 (ini dapat dilakukan karena r γ). Karena r / δ, maka δ < α 2. Jadi δ bukan batas atas bagi A.
14 4 BAB. SISTEM BILANGAN REAL: PENDAHULUAN.5.2 Struktur Aljabar himpunan R Definisikan + yaitu operasi pada R sebagai berikut: α + β = {p + q p α, q β}. Agar pendefinisian ini valid, kita perlu menunjukkan bahwa α + β adalah potongan.. Jelas α + β tidak kosong. Misalkan r / α dan s / β. Jadi Akibatnya r > r, r α dan s > s, s β. r + s > r + s, r α, s β dan r + s > r + s, s β. Jadi r + s > r + s untuk setiap r α, s β. Jadi α + β Q. 2. Ambil p α + β dan q Q dengan q < p. Kita harus menunjukkan bahwa q α + β (yaitu dapat dituliskan sebagai jumlahan dari elemen-elemen di α dan β). Perhatikan bahwa p = r + s untuk suatu r α dan s β. Perhatikan bahwa q < p berarti q < r + s, yang berakibat q s < r α. Jadi q s α. Ini berarti: q = (q s) + s α + β. 3. Ambil p α + β, maka p = r + s untuk suatu r α dan s β. Karena α dan β masingmasing adalah potongan, maka ada r α dan s β, sehingga r < r dan s < s. Jadi ada r + s > r + s α + β. Jadi α + β adalah potongan. Pendefinisian operasi + pada R valid. Struktur grup dari R Karena α dan β memuat bilangan-bilangan rasional, maka tidaklah mengherankan bahwa penjumlahan + pada R juga memenuhi sifat komutatif dan asosiatif seperti bilangan rasional. Kita definisikan: θ = {q Q q < 0}. Himpunan θ ini akan memainkan peran elemen identitas di R. Ambil α R sebarang. α + θ = {p + q p α, q θ}. Perhatikan bahwa karena q < 0 maka p + q < p sehingga p + q α (karena α adalah potongan). Jadi α + θ α. Misalkan p α, karena α potongan, kita dapat memilih p > p dan p α. Ini berakibat p p θ sebab p p < 0. Jadi p = p + (p p ) α + θ. Jadi α α + θ. Jadi α + θ = α. Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa untuk setiap α R, terdapat β R sedemikian sehingga α + β = θ. Definisikan: β = {p r > 0, p r / α}. Kita harus memperlihatkan bahwa β R. Namun sebelum membuktikan bahwa β adalah invers penjumlahan dari α, mari kita pelajari dahulu himpunan ini. Pandang α = {q Q q < 0 atau q 2 2 < 0}. Perhatikan bahwa α c = {q Q q 0 dan q 2 2 0}. Jadi: β = {p Q r > 0, sehingga (p + r) α c }.
15 .5. KONSTRUKSI BILANGAN REAL 5 Ini berarti (p + r) dan p + r 0. Karena r > 0, haruslah p < 0. Jadi dalam kasus ini, kita dapatkan: p 2 2 < 0, dan p < 0. Jika α = {q Q q < }, maka p β ada r > 0 sehingga p r = (p + r). Jadi p + r. Karena r > 0 maka haruslah p <. Jadi: β = {p Q p < }. Sekarang kita siap untuk memperlihatkan bahwa α + β = θ. Untuk membuktikan bahwa β adalah invers pernjumlahan dari α, kita harus memperlihatkan bahwa β R. Yaitu membuktikan bahwa β adalah potongan. Jika s / α dan p = s, maka p = (s ) = s / α. Jadi β. Jika q α, maka q / β. Perhatikan bahwa jika q α, maka Jadi q / β sehingga β Q. Jadi β R. ( q + r) = q r < q, untuk setiap r > 0. Ambil p + q α + β sebarang. Tentu saja ini berarti p α dan q β. Perhatikan bahwa q β berarti ada r > 0 sehingga: (q + r) / α. Tetapi ini berarti (q + r) > p, sehingga: p + q < r < 0. Jadi p + q θ, yang berarti α + β θ. Sekarang, ambil t θ. Maka s = t 2 > 0. Pilih n N sedemikian sehingga ns α tetapi (n + )s / α. Definisikan: p = ns dan q = (n + 2)s. Karena: q s = (n + 2)s s = ns s = (n + )s / α, maka q β. Perhatikan bahwa: Jadi θ α + β. p + q = ns (n + 2)s = 2s = t. Selanjutnya, kita menuliskan θ = 0 sedangkan β = α. Sampai di sini, kita telah menunjukkan bahwa (R, +) membentuk grup komutatif, dengan elemen identitas θ dan invers penjumlahan dari sebarang α adalah α. Perkalian pada R Definisikan himpunan bagian dari R yaitu R + = {α R α > 0}. Kita definisikan operasi perkalian pada R +, sebagai berikut. Misalkan α R + dan β R +. Maka αβ = {q Q q < rs, untuk suatu r α dan s β}. Kita perlu menunjukkan bahwa αβ adalah potongan (yaitu αβ R).. Ambil p > 0 di α, dan q > 0 di β. Maka 0 < pq sehingga 0 αβ. Pilih p > p untuk semua p α, dan q > q untuk semua q β. Maka untuk semua p α dan q β. Jadi αβ Q. p q > p q > pq,
16 6 BAB. SISTEM BILANGAN REAL: PENDAHULUAN 2. Ambil p αβ, dan q Q, dengan q < p. Maka ada r α dan s β sehingga q < p < rs. Jadi q αβ. 3. Ambil p αβ. Maka terdapat r α dan s β sehingga p < rs. Karena r α, pilih r sedemikian sehingga r < r. Dengan argumen serupa kita memilih s > s. Maka rs < r s dengan r α dan s β. Jadi rs αβ. Jadi, αβ R. Jelas αβ R + karena αβ > 0. Kita definisikan pula = {q Q q < }. Sifat komutatif dan asosiatif dari perkalian di R + diturunkan langsung dari sifat komutatif dan asosiatif pada perkalian di Q. Perhatikan bahwa untuk sebarang α R +, Karena semua s <, jika s, maka α = {q Q q < rs, r α, s }. α = {q Q q < r, r α} = α. Bagaimana kita akan mendefinisikan invers terhadap perkalian? Kita ingin mendapatkan: β sedemikian sehingga: αβ =. Misalkan α = {q q < 3}. Secara intuitif, kita dapat membayangkan bahwa β = { q q < 3 }, karena αβ = {q q < rs, untuk suatu r α dan s β} Jadi kita mendefinisikan = { q q < 3 3 = } = β = { q Q } r >, qr / α. Untuk contoh di atas, yaitu jika α = {q Q q < 3}, maka β = { } q r >, qr / α = { } q r >, qr 3 = { q r >, qr } 3 = { q q < }. 3 Mari kita memperlihatkan bahwa αβ =. Ambil q αβ. Pilih p α dan r β sehingga, q < pr. Karena r β, maka pilih s > sehingga: rs / α yang berarti p < rs.
17 .5. KONSTRUKSI BILANGAN REAL 7 Karena kita bekerja di R +, maka r > 0 sehingga berlaku: pr < s <. Jadi, karena q < pr maka q. Mari kita asumsikan α >. Maka β <. Ambil q, maka q > 0. Pilih < r α sedemikian sehingga r + / α. Pandang s = r+. r s = q + ( q) r + = qr + q r qr r + Ambil r sebarang, maka 0 < r <. Karena 0 α, maka pilih 0 < s α. Untuk ε = s ( r) r > 0, pilih s 2 α, sehingga s 2 + ε / α. Pilih s = max{s, s 2 }, maka s + ε > 0, dan s + ε / α. Akibatnya: Tetapi: Jadi αβ. s + ε β sehingga s s + ε αβ. s s + ε s = s + s( r) r s > s + s( r) r = r. Sekarang kita perlu memperluas definisi perkalian di R + ini ke seluruh R. Ini di lakukan dengan mendefinisikan aturan sebagai berikut: ( α)( β) jika α < 0, β < 0 αβ = (( α)β) jika α < 0, β > 0 (α( β)) jika α > 0, β < 0 Rekapitulasi Sampai di sini, kita sudah mendapatkan bahwa (R, +) memiliki struktur grup komutatif terhadap operasi penjumlahan. Juga terhadap (R, ) memiliki struktur grup komutatif terhadap operasi perkalian. Agar struktur lapangan dari R didapatkan, kita perlu memeriksa α(β + γ) = αβ + αγ, α, β, dan γ R. Ini dapat diperlihatkan dengan cukup sederhana dengan memeriksa beberapa kasus. Teorema.8. Kita memadankan setiap bilangan rasional r Q dengan α r = {q Q q < r}. Maka:
18 8 BAB. SISTEM BILANGAN REAL: PENDAHULUAN. α r + α s = α r+s, 2. α r α s = α rs, dan 3. α r < α s jika dan hanya jika r < s. Bukti dari teorema ini ditinggalkan sebagai latihan. Dengan Teorema.8 kita dapat memandang Q sebagai sublapangan dari R. pandang Q = {α r = {q Q q < r} r Q}. Maka R adalah sebuah lapangan yang memuat Q sebagai sublapangannya. Definisikan: φ : Q Q = φ(q) α r r Q Secara persis, Pemetaan ini adalah pemetaan satu-satu pada. Perhatikan bahwa R lengkap, dalam arti setiap himpunan bagian terbatas darinya memiliki supremum dan infimum. Karena anggota-anggota dari R adalah himpunan-himpunan bagian dari Q maka supremum dan infimumnya dapat dikonstruksi dengan jelas, melalui operasi gabungan dan irisan. Dengan memperluas pemetaan φ secara kontinu, yaitu dengan mendefinisikan: φ ( ) α rn = lim sup r n, n kita mendapatkan φ(r) sebagai himpunan yang kita sebut: bilangan real R. Sebagai contoh, misalkan { α n = q Q ( q < + ) n } R. n Dengan mendefinisikan: α = α n, kita mendapatkan supremum dari {α n n N}. Supremum inilah yang kemudian dipadankan dengan suatu bilangan, yaitu: φ(α) = e. Pandang Kita mendefinisikan 2 = φ(α). α = {q Q q 0 atau q 2 2 < 0}.
19 Daftar Pustaka [] Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book co., Singapore, 976. [2] Herstein, I.N., Topics in Algebra, 2nd ed., John Wiley & Sons, 975, New York etc. [3] Hilbert, David Über die Transcendenz der Zahlen e und π, Mathematische Annalen 43:2629 (893). [4] Kempner, Aubrey J., On Transcendental Numbers. Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 7 (4): , (October 96). [5] J. Liouville, Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n est ni algébrique, ni mėme rėductible â des irrationnelles algėbriques, J. Math. Pures et Appl. 8, , and 90-9, (844). [6] Niven, I., A simple proof of the irrationality of π, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 53 (947), pp
Analisis Real A: Teori Ukuran dan Integral
Analisis Real A: Teori Ukuran dan Integral Johan Matheus Tuwankotta 1 February 2, 2012 1 Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no. 10, Bandung, Indonesia. mailto:theo@math.itb.ac.id
Lebih terperinciAnalisis Real. Johan Matheus Tuwankotta 1. December 3,
Analisis Real Johan Matheus Tuwankotta 1 December 3, 010 1 Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no. 10, Bandung, Indonesia. mailto:theo@dns.math.itb.ac.id Daftar Isi 1
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciAnalisis Real A: Teori Ukuran dan Integral
Analisis Real A: Teori Ukuran dan Integral Johan Matheus Tuwankotta March 5, 203 Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha no. 0, Bandung, Indonesia. mailto:theo@math.itb.ac.id
Lebih terperinciI. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)
I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBAB III PERLUASAN INTEGRAL
BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinci5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciRUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh
Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciORDER UNSUR DARI GRUP S 4
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 142 147 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 FEBYOLA, YANITA, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciHimpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit
Lebih terperinciModul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.
Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinci1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1.
I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Aljabar Himpunan Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan
Lebih terperinciBAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciUraian Singkat Himpunan
Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciElvri Teresia br Sembiring adalah Guru Matematika SMA Negeri 1 Berastagi
PENERAPAN SIFAT-SIFAT GRUP PENJUMLAHAN MODULO 12 DAN 24 PADA JAM Elvri Teresia br Sembiring Abstrak Makalah ini membahas mengenai penerapan sifat-sifat grup penjumlahan modulo 12 (Z 12 ) dan modulo 24
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciAPOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika. Volume 2, Nomor 2 Juli 2016 p ISSN BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE
APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika Volume 2 Nomor 2 Juli 2016 p 63-75 ISSN 2407-8840 BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE Moh Affaf Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI BANGKALAN
Lebih terperinci03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa
0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah 2 30/8/2014 2
30/8/2014 1 Aljabar Linier Kuliah 2 30/8/2014 2 Bab 1 Subpokok Bahasan Ruang Vektor Subruang Subruang Lattice Jumlah Langsung Himpunan Pembangun dan Bebas Linier Dimensi Ruang Vektor Basis Terurut dan
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciIDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP
Vol 2 No 2 Bulan Desember 2017 Jurnal Silogisme Kajian Ilmu Matematika dan Pembelajarannya http://journal.umpo.ac.id/index.php/silogisme IDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP Info Artikel Article History: Accepted
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom
BAB 9 RING POLINOM Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciSIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP
SIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP oleh : Mulvi Ludiana (1) Cece Kustiawan (2) Sumanang Muhtar Gozali (2) ABSTRAK Dari suatu ring dan grup, dapat dikonstruksi suatu ring baru yang disebut ring
Lebih terperinciSifat Lapangan pada Bilangan Kompleks
Jurnal Analisa 3 (1) (2017) 70-75 p-issn: 2549-5135 http://journal.uinsgd.ac.id/index.php/analisa/index e-issn: 2549-5143 Sifat Lapangan pada Bilangan Kompleks Ida Nuraida 1,a) 1 Prodi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciTOPOLOGI RUANG LINEAR
TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Jalan KHA. Dahlan 3 Purworejo e-mail: kurniasih.nila@yahoo.co.id Abstrak Tulisan ini bertujuan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah 3. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand
Aljabar Linier Kuliah 3 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 3 Jumlah Langsung, Hasilkali Langsung Himpunan Pembangun (Spans) dan Bebas Linier 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciHIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone,
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Sekarang ini teknologi untuk berkomunikasi sangatlah mudah. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone, internet, dan berbagai macam peralatan
Lebih terperinciHUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP
HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680,
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan Matematika & Analisis Real Matematika berurusan dengan gagasan, yang mungkin merupakan abstraksi atau sari dari sesuatu yang terdapat
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Pada bab ini dibahas landasan teori yang akan digunakan untuk menentukan ciri-ciri dari polinomial permutasi atas finite field.
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas landasan teori yang akan digunakan untuk menentukan ciri-ciri dari polinomial permutasi atas finite field. Hal ini dimulai dengan memberikan pengertian dari group
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
Lebih terperinciJurnal Apotema Vol.2 No. 2 62
Jurnal Apotema Vol.2 No. 2 62 Sudjana. 2005). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito. Sugianto, D. 2014). Perbedaan Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Jigsaw Dan Sta Ditinjau Dari Kemampuan Penalaran
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo October 29, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciSUATU BUKTI DARI WEDDERBURN S LITTLE THEOREM
Jurnal Matematika UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 66 70 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SUATU BUKTI DARI WEDDERBURN S LITTLE THEOREM PUTRI ANGGRAYNI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN REAL (SUATU PENDEKATAN AKSIOMATIK) C. JACOB
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN REAL (SUATU PENDEKATAN AKSIOMATIK) C. JACOB Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Jl. DR. Setiabudhi 9, Bandung 4154 Email: cjacob@ upi.edu ABSTRAK Suatu sistem aljabar terbentuk,
Lebih terperinciTEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung. M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.
PROSIDING ISBN : 978 979 65 TEOREMA GORSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung A MVAny erawati,ssi,msi Program Studi Matematika niversitas Sanata Dharma Abstrak Darab langsung G dari grup G dan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciKajian Teori Ideal Perluasan Subtraktif Pada Semiring Ternari
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 6, No.1, (2017) 2337-3520 (2301-928X Print) A 12 Kajian Teori Ideal Perluasan Subtraktif Pada Semiring Ternari Nur Qomariah dan Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, Fakultas
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciTeori himpunan. 2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:
Teori himpunan Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk: Teori himpunan naif, dan Teori himpunan aksiomatik, yang
Lebih terperinciGELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciEKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmailcom Info: Jurnal MSA Vol 3 No 1 Edisi: Januari
Lebih terperinciKARAKTERISTIK GELANGGANG BILANGAN BULAT DAN PENGAITANNYA DENGAN TIGA STRUKTUR KHUSUS DAERAH INTEGRAL
ARATERISTI GELANGGANG BILANGAN BULAT DAN PENGAITANNYA DENGAN TIGA STRUTUR HUSUS DAERAH INTEGRAL Eka Susilowati Fakultas eguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas PGRI Adi Buana Surabaya eka250@gmailcom
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinci1.6 RULES OF INFERENCE
1.6 RULES OF INFERENCE 1 Argumen Argumen dalam logika adalah kumpulan sejumlah proposisi. Seluruh proposisi dalam suatu argumen, kecuali proposisi terakhir, disebut premis. Sedangkan proposisi terakhir
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciJURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No., (203) -6 Kajian Ukuran Keirasionalan pada Bilangan Real Taurusita Kartika Imayanti dan Sunarsini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciTeori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciUrian Singkat Himpunan
Urian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com February 27, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis
1 I. PENDAHULUAN 1.2 Latar Belakang dan Masalah Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun
Lebih terperinci