KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN

Transkripsi

1 KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1) 1 N (2) Jika n N, maka n + 1 N Himpunan bilangan inilah yang kemudian dilambangkan sebagai N = {1, 2, 3,...}. Ketika kita hanya bicara N, kita tidak bicara struktur apapun karena tidak ada interaksi anggota di dalamnya. Yang kita lakukan hanyalah mencacah anggota-anggotanya. Untuk bicara struktur, kita definisikan operasi di N, yaitu operasi tambah: +: N N N (a, b) a + b Operasi tambah ini terdefinisi dengan baik, karena a + b N, a, b N Sistem (N, +) yang kita bangun ini ternyata mulai memunculkan masalah. Persamaan (1) a + x = b, a, b N tidak selalu memiliki jawab di N, sebagai contoh persamaan 2 + x = 1. Kita ingin agar persamaan (1) senantiasa memilik jawab. Untuk itulah kita perlu sistem yang lebih baik, yang memotivasi kita bicara tentang bilangan bulat Bilangan Bulat. Himpunan bilangan bulat, dinotasikan dengan Z adalah himpunan yang didefinisikan sebagai Z = N {0} N, yaitu himpunan yang memuat bilangan natural, nol, dan invers bilangan natural terhadap operasi tambah. Struktur (Z, +) membentuk grup komutatif, karena (1) a + b = b + a, a, b Z (2) (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c Z (3) e = 0 Z sehingga a Z, a + 0 = 0 + a = a (4) a Z, b = a Z a + b = b + a = 0 1

2 2 KEVIN MANDIRA LIMANTA Jika kita definisikan operasi baru di Z, yaitu operasi kali : N N N (a, b) a b kita bisa perluas struktur kita, menjadi (Z, +, ). Terhadap operasi tambah dan kali, Z membentuk gelanggang, karena (1) Terhadap operasi tambah, Z membentuk grup komutatif (2) Terhadap operasi kali, (a) a b = b a, a, b Z (b) (a b) c = a (b c), a, b, c Z (c) 1 0 Z sehingga a 1 = 1 a = a, a Z (3) Terhadap operasi tambah dan kali, (a) a (b + c) = a b + a c, a, b, c Z (b) (a + b) c = a c + b c, a, b, c Z Catatan: Terhadap operasi kali, Z membentuk semigrup. Permasalahan yang muncul setelah ini adalah persamaan (2) ax + b = c, a, b, c Z tidak selalu punya solusi di Z. Kita perlu sistem yang lebih baik lagi dari sekedar Z, sehingga dibangunlah sistem baru, yang nantinya akan dikenal sebagai sistem bilangan rasional Bilangan Rasional. Kita punya himpunan bilangan rasional, Q yang didefinisikan sebagai Definisikan operasi tambah di Q sebagai Q = { p q, p, q Z, q 0} dan operasi kali di Q sebagai +: Q Q Q ( a b, c d ) a b + c d = ad + bc cd : Q Q Q ( a b, c ac ) d bd

3 KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN 3 Perhatikan bahwa operasi tambah di Q berbeda dengan operasi tambah di Z, karena keduanya merupakan pemetaan yang berbeda. Hal yang sama juga berlaku untuk operasi kali. Perhatikan pula bahwa operasi tambah di Q terdefinisi dengan baik, karena untuk sebarang bilangan rasional a, b Q, berlaku a + b Q, begitu pula dengan operasi kali (buktikan!) Struktur aljabar dari Q terhadap operasi tambah dan kali, (Q, +, ) membentuk lapangan, yaitu struktur yang memenuhi (1) (Q, +) membentuk grup komutatif (2) (Q \ {0}, ) membentuk grup komutatif (3) Sifat distributif: (a) a (b + c) = a b + a c, a, b, c Q (b) (a + b) c = a c + b c, a, b, c Q 2. Sifat Kelengkapan Dalam bahasan kali ini, kita akan membicarakan sifat kelengkapan dari bilangan asli, yang kemudian diperluas ke bilangan bulat, rasional, dan bilangan real. Sebelum membahas lebih lanjut mengenai sifat kelengkapan, kita membutuhkan beberapa definisi: Definisi 1. Himpunan A X dikatakan terbatas atas jika terdapat x X sedemikian sehingga a x, a A. Dalam hal ini, x dikatakan batas atas bagi A. Definisi 2. Himpunan A X dikatakan terbatas bawah jika terdapat x X sedemikian sehingga x a, a A. Dalam hal ini, x dikatakan batas bawah bagi A. Definisi 3. Himpunan A X dikatakan terbatas jika A terbatas atas dan terbatas bawah, dengan kata lain, terdapat x X sedemikian sehingga a x. Sifat kelengkapan yang paling sederhana dapat kita temui di bilangan natural, yang dinyatakan dalam Sifat Terurut Rapi (Well-Ordering Property). Sifat Terurut Rapi. Setiap subset tak kosong dari N senantiasa memiliki unsur terkecil. Selain Sifat Terurut Rapi, bilangan natural juga memiliki Prinsip Induksi Matematika, yang banyak digunakan dalam pembuktian pernyataan-pernyataan matematika. Prinsip Induksi Matematika. Misalkan P (n) adalah proposisi yang bergantung pada n. Jika (1) P (1) benar (2) P (n) mengimplikasikan P (n + 1)

4 4 KEVIN MANDIRA LIMANTA maka P (n) benar n N Sifat Terurut Rapi ini ekivalen dengan Prinsip Induksi Matematika, yang akan dibuktikan di bawah ini. Proposisi 1. Sifat Terurut Rapi ekivalen dengan Prinsip Induksi Matematika. Bukti: = Diberikan Sifat Terurut Rapi. Misalkan P (n) adalah proposisi yang bergantung pada n. Definisikan S := {n N P (n) salah}. Andaikan S, maka berdasarkan Sifat Terurut Rapi, S memiliki unsur terkecil, sebut s. Karena 1 / S maka s > 1, sehingga s 1 / S, karena s unsur terkecil di S. Karena s 1 / S, maka P (s 1) benar, sehingga P (s) benar, berdasarkan premis induksi. Namun ini kontradiksi dengan fakta bahwa s S, sehingga pengandaian bahwa S salah. Jadi S =, sehingga P (n) benar, n N. = Bukti diserahkan ke pembaca sebagai latihan. Setelah masuk ke sistem bilangan bulat, Prinsip Terurut Rapi yang ada di bilangan natural ternyata tidak bisa diterapkan. Sebagai contoh, himpunan A := {x Z x < 2} tidak kosong, namun tidak memiliki elemen terkecil (mengapa?). Untuk mempertahankan Prinsip Terurut Rapi yang semula sudah ada, kita perbaiki premis yang ada, menjadi Proposisi 2. Setiap subset tak kosong yang terbatas di Z senantiasa memiliki unsur terkecil. Untuk bicara tentang sifat kelengkapan di bilangan rasional, kita perlu definisi berikut. Definisi 4. Diberikan A Q himpunan terbatas atas. Unsur x Q dikatakan batas atas terkecil, atau supremum bagi A jika (1) x batas atas bagi A (2) Jika y Q batas atas bagi A, maka x y Dalam hal x supremum bagi A, kita tulis x = sup(a) Definisi 5. Diberikan A Q himpunan terbatas atas. Unsur y Q dikatakan batas bawah terbesar, atau infimum bagi A jika (1) y batas bawah bagi A (2) Jika x Q batas bawah bagi A, maka x y Dalam hal y infimum bagi A, kita tulis y = inf(a) Akan diperlihatkan bahwa Q tidak lengkap, yaitu terdapat A Q yang tidak memiliki supremum. Pandang A = {q Q q > 0, q 2 < 2} dan B = {q Q q > 0, 2 < q 2 < 4} Ambil p B, pandang

5 KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN 5 x = p p2 2 p + 2 = 2p + 2 p + 2 x = (p + 2) 2 (p2 2) Disimpulkan x B p B. Perhatikan bahwa jika p B, x < p. Dengan cara yang sama, jika p A, dapat disimpulkan x A p A. Setiap unsur di B adalah batas atas bagi A. Karena untuk setiap unsur di B dapat selalu ditemukan unsur yang lebih kecil darinya, A tidak memiliki batas atas terkecil. Faktanya, jika syarat keanggotaan A dan B diubah sehingga A dan B boleh memuat bilangan real, sup(a) ada, yaitu 2. Inilah yang memotivasi diciptakannya bilangan real, dinotasikan R. Bilangan real adalah himpunan yang lengkap, yang dinyatakan dalam Aksioma Kelengkapan (Completeness Axiom). Aksioma Kelengkapan. Setiap subset tak kosong dari R senantiasa memiliki supremum (dan infimum). 3. Lebih Lanjut Tentang Bilangan Real Untuk bicara tentang bilangan real, kita perlu memformalkan beberapa konsep. Konsep pertama mengenai bilangan positif, yang tertuang dalam Aksioma Urutan (Order Axiom). Aksioma Urutan. Diberikan X suatu lapangan. Pandang P X. Jika (1) p P, p / P, (2) p, q P, pq P, (3) Jika p X, tepat satu dari p P, p / P, p = 0, maka P dikatakan kelas positif bagi X. Kita tulis a > b a b P. Pandang suatu lapangan terurut (lapangan yang dilengkapi dengan kelas positif). R adalah lapangan terurut terkecil yang lengkap (memenuhi Aksioma Kelengkapan), dalam artian jika X adalah lapangan terurut lain yang lengkap, R X. Secara intuitif, dengan menuliskan garis bilangannya, R sangatlah padat, tidak ada lubang di dalamnya. Properti ini tidak dimiliki oleh Q, Z, dan N. Perluasan lapangan Q tidak akan menghasilkan R, dan harus dilakukan dengan cara lain. Sekurangkurangnya ada dua metode yang terkenal untuk mengonstruksi bilangan real, yaitu

6 6 KEVIN MANDIRA LIMANTA Potongan Dedekind (Dedekind Cut) dan Barisan Cauchy. Konstruksi bilangan real ini tidak akan dibahas disini.