BAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;"

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya; Contoh: b. dengan menyatakan sifat yang harus dipenuhi oleh anggotanya; Contoh: himpunan huruf vokal pada kata MATEMATIKA c. dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contoh: Berdasarkan jumlah anggotanya, himpunan dibagi menjadi tiga, yaitu: a. Himpunan kosong atau himpunan hampa Himpunan ini dilambangkan dengan, disebut himpunan kosong karena himpunan ini tidak memiliki anggota. b. Himpunan berhingga Himpunan ini mempunyai anggota yang banyaknya berhingga. Contoh : c. Himpunan tak berhingga Himpunan ini mempunyai anggota yang banyaknya tak berhingga. 4

2 5 2. Himpunan Bagian Terdapat himpunan dan himpunan, jika setiap anggota dari himpunan merupakan anggota dari himpunan, maka dapat dikatakan bahwa adalah himpunan bagian (subset) dari dan dilambangkan dengan. Jika merupakan himpunan bagian dari, dapat juga ditulis dengan dan dibaca adalah superset dari atau mengandung. Selanjutnya dan digunakan jika bukan himpunan bagian dari. Artinya terdapat satu atau lebih anggota himpunan yang bukan merupakan anggota himpunan. Himpunan kosong dianggap sebagai himpunan bagian dari setiap himpunan. Terdapat beberapa sumber yang membedakan antara himpunan bagian (subset) dan himpunan bagian murni (proper subset). Himpunan bagian murni didefinisikan sebagai berikut: himpunan merupakan himpunan bagian murni dari himpunan jika dan hanya jika dan. Penelitian ini menggunakan satu istilah saja yaitu himpunan bagian (subset). Contoh II.A.2 Diberikan,, dan. Karena setiap anggota himpunan merupakan anggota himpunan, maka atau dapat ditulis dengan. Sedangkan pada himpunan terdapat satu anggota himpunan yaitu yang bukan merupakan anggota himpunan maka.

3 6 Teorema II.A.2 Jika dan, maka. Bukti (i), maka berakibat (ii), maka berakibat Berdasarkan (i) dan (ii) maka berakibat, dengan kata lain terbukti bahwa. 3. Himpunan Kuasa Apabila suatu himpunan yang anggotanya berupa himpunan disebut dengan keluarga himpunan atau kelas himpunan. Himpunan dari seluruh himpunan bagian suatu himpunan merupakan salah satu contoh kelas himpunan atau keluarga himpunan. Secara spesifik keluarga dari semua himpunan bagian dari suatu himpunan disebut dengan himpunan kuasa dari, dan dilambangkan dengan. Jika terdapat suatu himpunan berhingga, misalkan banyaknya anggota himpunan adalah, maka himpunan kuasa dari mempunyai anggota sebanyak. (Lipschutz, 1981) 4. Himpunan Semesta Semua himpunan merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan tertentu. Himpunan tertentu yang dimaksud merupakan suatu himpunan yang dikenal dengan himpunan semesta. Himpunan semesta dinyatakan dengan notasi atau ( merupakan singkatan dari semesta, sedangkan merupakan singkatan dari universal).

4 7 5. Kesamaan Dua Himpunan Dua buah himpunan dikatakan sama apabila anggota-anggota himpunan dari kedua himpunan tersebut sama. Definisi II.A.5 Himpunan dan himpunan adalah sama jika dan hanya jika dan. (Theresia, 1989) 6. Operasi Himpunan Suatu himpunan dapat dikenai oleh operasi yang berlaku pada himpunan. Operasi-operasi yang berlaku dalam suatu himpunan yaitu: gabungan/union, irisan/intersect, komplemen, selisih/difference, dan jumlah/symmetry difference. a. Gabungan/Union Salah satu operasi yang berlaku pada himpunan adalah operasi gabungan/union. Definisi II.A.6.a Gabungan dari himpunan dan himpunan adalah himpunan semua anggota himpunan atau atau kedua-duanya. (Theresia, 1989) Gabungan dari himpunan dan ditulis dengan yang dibaca gabungan dari himpunan dan himpunan. Secara singkat definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut: Berdasarkan uraian tersebut, maka: (i).

5 8 (ii) dan masing-masing adalah himpunan bagian dari gabungan keduanya. dan. Contoh: Diberikan himpunan dan, maka. b. Irisan/Intersect Selain operasi gabungan/union, dalam himpunan juga berlaku suatu operasi yang disebut dengan irisan/intersect. Definisi II.A.6.b Irisan dari himpunan dan adalah himpunan yang anggotaanggotanya adalah anggota himpunan dan himpunan. (Theresia, 1989) Irisan dari himpunan dan ditulis dengan yang dibaca irisan dan. Secara singkat definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut: Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa: (i). (ii) Setiap dan keduanya mengandung sebagai himpunan bagian. (iii) Jika tidak ada anggota yang dimiliki bersama oleh dan, maka Contoh: Diberikan himpunan dan, maka.

6 9 c. Komplemen Suatu Himpunan Suatu himpunan yang anggota-anggotanya bukan merupakan anggota dari suatu himpunan tetapi merupakan anggota himpunan semesta disebut dengan komplemen dari himpunan dan dinotasikan dengan atau. Komplemen dari suatu himpunan dapat ditulis sebagai berikut: Beberapa hal yang harus diperhatikan terkait dengan komplemen suatu himpunan yaitu: (i) Gabungan dari suatu himpunan dengan komplemennya merupakan himpunan semesta, maka. Himpunan dan merupakan himpunan yang saling lepas, maka. (ii) Komplemen dari himpunan semesta adalah himpunan kosong dan sebaliknya, maka dan. (iii) Komplemen dari komplemen himpunan adalah himpunan itu sendiri, maka. d. Selisih Dua Himpunan Operasi lain yang berlaku dalam himpunan adalah selisih. Selisih dua himpunan dan adalah irisan dari himpunan dan komplemen atau dapat ditulis sebagai berikut:

7 10 Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa: (i) Suatu himpunan mengandung himpunan atau dengan kata lain merupakan himpunan bagian dari, maka. (ii) Himpunan dan merupakan himpunanhimpunan yang saling lepas, sehingga irisan dari himpunanhimpunan tersebut merupakan himpunan kosong. e. Jumlah Dua Himpunan Jumlah himpunan dan himpunan ditulis dengan adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan atau tetapi bukan anggota irisan dari himpunan dan. Jumlah kedua himpunan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: Operasi-operasi yang berlaku dalam himpunan mempunyai beberapa sifat sederhana yang terdapat dalam teorema-teorema berikut. Teorema II.A.5.1 Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari, maka irisan dari himpunan dan himpunan adalah himpunan atau. Bukti Diketahui bahwa sehingga berlaku maka. Kemudian untuk menunjukkan bahwa maka ditunjukkan bahwa dan.

8 11 (i) Ambil sembarang maka dan. Karena maka untuk berakibat, dengan kata lain. (ii) Untuk sembarang maka karena, dengan kata lain. Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan berlaku, sehingga. Teorema II.A.5.2 Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari, maka gabungan himpunan dan himpunan adalah himpunan atau. Bukti Diketahui bahwa sehingga berlaku maka. Kemudian untuk menunjukkan bahwa maka ditunjukkan bahwa dan. (i) Ambil sembarang maka atau. Karena maka untuk berakibat, dengan kata lain (ii) Untuk sembarang maka karena, dengan kata lain Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan berlaku, sehingga.

9 12 Teorema II.A.5.3 Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari, maka komplemen dari himpunan merupakan himpunan bagian dari komplemen himpunan atau. Bukti Diketahui bahwa sehingga berlaku maka. Oleh karena itu apabila diambil sembarang maka, dengan kata lain. Teorema II.A.5.4 Jika himpunan merupakan himpunan bagian dari, maka gabungan antara himpunan dan selisih himpunan dengan himpunan adalah himpunan atau. Bukti Diketahui bahwa sehingga berlaku maka. Untuk membuktikan bahwa maka dibuktikan bahwa da. (i) Ambil sembarang, maka atau. Jika maka, karena. Sedangkan jika, maka tetapi. Oleh karena itu untuk sembarang berakibat, dengan kata lain berlaku.

10 13 (ii) Untuk sembarang maka belum tentu anggota, karena Oleh karena itu, dengan kata lain. Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan berlaku, sehingga. Selain teorema-teorema di atas terdapat beberapa hukum-hukum aljabar himpunan. Hukum-hukum aljabar himpunan ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema-teorema yang lain. Hukum-hukum aljabar himpunan tersebut yaitu: a. Hukum Idempoten: dan b. Hukum Asosiatif: dan c. Hukum Komutatif: dan d. Hukum Distributif: dan e. Hukum Identitas: dan f. Hukum Komplemen: dan g. Hukum De Morgan: dan 7. Himpunan Berindeks Suatu himpunan dikatakan sebagai himpunan indeks jika untuk, terdapat suatu himpunan. Himpunan dari himpunan disebut

11 14 dengan himpunan berindeks. Operasi-operasi gabungan dan irisan telah didefinisikan untuk dua himpunan. Apabila banyaknya anggota himpunan berindeks berhingga, misalkan banyaknya adalah, maka: dan Kedua konsep berikut kemudian secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut: terdapat suatu sehingga dan untuk. B. Semigrup 1. Struktur Aljabar Definisi II.B.1 Suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan operasi-operasi biner dan memenuhi aksioma tertentu disebut dengan struktur aljabar atau himpunan yang berstruktur dan ditulis. (Riyanto, 2011) Contoh II.B.1 Struktur himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan, struktur himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi perkalian, atau struktur himpunan bilangan bulat yang dilengkapi oleh kedua operasi tersebut, penjumlahan dan perkalian.

12 15 2. Operasi Biner Definisi II.B.2 Suatu operasi pada himpunan tidak kosong disebut dengan operasi biner jika operasi tersebut bersifat tertutup, yaitu maka Contoh II.B.2. (Riyanto, 2011) Operasi penjumlahan matriks persegi ordo bersifat tertutup pada, dimana merupakan himpunan matriks persegi ordo yang elemen-elemen pada matriks tersebut merupakan anggota himpunan bilangan bulat. Hal tersebut dikarenakan, berlaku. Dalam mendefinisikan ketertutupan suatu operasi yang berlaku pada suatu struktur aljabar dapat menggunakan tabel Cayley jika himpunan dalam struktur tersebut merupakan himpunan berhingga. Suatu struktur aljabar mempunyai nama, agar dalam pendefinisiannya lebih jelas. Struktur aljabar yang satu dengan yang lainnya mempunyai nama yang berbeda-beda. Hal tersebut disesuaikan dengan aksioma-aksioma yang berlaku pada struktur tersebut. 3. Grupoid Definisi II.B.3 Struktur aljabar yang dilengkapi dengan satu jenis operasi biner disebut dengan grupoid. (Riyanto, 2011)

13 16 Contoh II.B.3 merupakan suatu grupoid, karena operasi bersifat Struktur aljabar tertutup pada himpunan bilangan bulat. 4. Semigrup Definisi II.B.4 Suatu himpunan tak kosong dengan dengan sebuah operasi dinotasikan, merupakan suatu semigrup jika memenuhi aksioma berikut.: (i) Tertutup, jika diambil sembarang dua anggota himpunan hasil operasinya juga merupakan anggota himpunan simbolis dapat ditulis (ii) Operasi maka. Secara maka bersifat asosiatif, maka Suatu semigrup. (Riyanto, 2011) disebut dengan semigrup berhingga jika semigrup tersebut mempunyai anggota yang banyaknya berhingga. Apabila terdapat suatu semigrup berlaku: maka untuk sembarang sebanyak dan faktor. Berikut ini disajikan beberapa contoh dari struktur semigrup. Contoh II.B.4.1 Diberikan suatu struktur dan operasi dimana adalah operasi perkalian matriks. Selidiki apakah merupakan semigrup?

14 17 Penyelesaian Diketahui himpunan dilengkapi dengan operasi perkalian matriks. Untuk menyelidiki bahwa merupakan semigrup maka diselidiki apakah operasi perkalian matriks tertutup dan asosiatif pada himpunan. Ambil sebarang dengan dan, maka (i) tertutup, berlaku, maka (ii) asosiatif tertutup terhadap operasi., berlaku (a) (b)

15 18 Berdasarkan pernyataan (a) dan (b), maka dengan kata lain terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku pada terhadap operasi. Berdasarkan (i) dan (ii), maka terbukti bahwa merupakan semigrup. Contoh II.B.4.2 Diberikan suatu struktur himpunan didefinisikan sebagai berikut, dimana adalah himpunan bilangan real. Apakah termasuk semigrup? Penyelesaian Himpunan dilengkapi dengan operasi perkalian biasa membentuk struktur. Kemudian untuk menyelidiki apakah merupakan semigrup, maka diselidiki apakah operasi perkalian biasa tertutup dan asosiatif pada himpunan. (i) Ambil sembarang dimana maka karena. Dengan kata lain operasi tertutup pada himpunan. (ii) Operasi bersifat asosiatif pada himpunan. Karena maka pada himpunan operasi juga bersifat asosiatif. 5. Subsemigrup Apabila terdapat suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu semigrup dapat disebut dengan subsemigrup apabila memenuhi aksioma tertentu. Berikut diberikan definisi subsemigrup.

16 19 Definisi II.B.5 Diberikan adalah semigrup dan merupakan himpunan bagian tak kosong dari, disebut subsemigrup dari jika dan hanya jika merupakan sebuah semigrup. Contoh II.B.5.1 Berdasarkan Contoh II.B.4.1 merupakan semigrup dengan. Jika diberikan struktur, dimana, maka buktikan bahwa merupakan subsemigrup dari. Penyelesaian Diketahui, maka dan. Kemudian untuk membuktikan bahwa merupakan subsemigrup dari, maka ditunjukkan bahwa operasi bersifat tertutup dan asosiatif pada. Ambil sembarang dengan dan. (i) Tertutup, maka

17 20 Karena, maka terbukti bahwa operasi tertutup pada himpunan. (ii) Asosiatif, maka (a) Ruas kiri (b) Ruas kanan Berdasarkan keterangan (a) dan (b) maka diperoleh bahwa, dengan kata lain operasi bersifat asosiatif pada. Menurut (i) dan (ii) maka diperoleh bahwa merupakan semigrup. Karena dan semigrup, maka terbukti bahwa merupakan subsemigrup dari semigrup.

18 21 Contoh II.B.5.2 Diberikan semigrup dengan merupakan himpunan bilangan asli dan operasi merupakan operasi penjumlahan biasa. Selidiki apakah merupakan subsemigrup dari, dengan. Penyelesaian Diketahui dan, kemudian untuk menyelidiki apakah merupakan subsemigrup dari, maka diselidiki apakah operasi tertutup dan asosiatif pada. (i) Ambil sembarang, dimana dan dengan, maka. Karena operasi tertutup pada maka, sehingga diperoleh bahwa operasi tertutup pada. (ii) Asosiatif Ambil sembarang, karena maka. Karena merupakan semigrup, maka operasi asosiatif pada, sehingga. Berdasarkan keterangan tersebut, maka diperoleh bahwa operasi asosiatif pada. Berdasarkan (i) dan (ii) maka diperoleh bahwa merupakan semigrup. Karena,, dan merupakan semigrup, maka merupakan subsemigrup dari.

19 22 Contoh II.B.5.3 Pada Contoh II.B.4.2 telah diperoleh bahwa merupakan semigrup, dimana didefinisikan sebagai berikut. Jika, maka buktikan bahwa merupakan subsemigrup dari. Penyelesaian Diketahui sehingga dan kemudian untuk membuktikan bahwa merupakan subsemigrup dari, maka ditunjukkan bahwa merupakan semigrup. (i) Ambil sembarang diperoleh bahwa karena maka sehingga operasi tertutup pada. (ii) maka. Karena sifat asosiatif berlaku pada terhadap operasi dan maka sehingga, dengan kata lain sifat asosiatif berlaku pada terhadap operasi. Berdasarkan (i) dan (ii) maka merupakan semigrup. Karena dan semigrup, maka terbukti bahwa merupakan subsemigrup dari. Apabila terdapat dua buah himpunan yang merupakan subsemigrup, maka irisan dari kedua himpunan tersebut merupakan subsemigrup. Hal tersebut dituangkan dalam Lemma II.B.5 berikut.

20 23 Lemma II.B.5 Jika semigrup, dan subsemigrup dari, dan, maka merupakan subsemigrup dari. Bukti Diketahui merupakan semigrup sehingga operasi * bersifat tertutup dan asosiatif pada, struktur dan merupakan subsemigrup dari sehingga operasi * juga bersifat tertutup dan asosiatif pada himpunan dan. Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa subsemigrup dari, maka ditunjukkan bahwa tertutup dan asosiatif terhadap operasi. (i) Ambil sembarang maka dan, dan. Karena dan merupakan subsemigrup dari, maka dan sehingga. Dengan kata lain operasi tertutup pada. (ii) Ambil sembarang maka dan. Karena dan merupakan subsemigrup dari, maka sifat asosiatif berlaku pada dan terhadap operasi, sehingga berlaku dan. Oleh karena itu. Dengan kata lain sifat asosiatif berlaku pada terhadap operasi. Untuk selanjutnya, apabila terdapat suatu himpunan berindeks yang merupakan subsemigrup dari suatu himpunan, maka irisan dari himpunan

21 24 berindeks tersebut juga merupakan subsemigrup. Hal tersebut dituangkan dalam Teorema II.B.5 berikut. Teorema II.B.5 Jika semigrup, subsemigrup dari untuk (finite/infinite), dan, maka merupakan subsemigrup dari. Bukti Diketahui merupakan semigrup sehingga operasi * bersifat tertutup dan asosiatif pada, struktur merupakan subsemigrup dari untuk sehingga operasi * juga bersifat tertutup dan asosiatif pada himpunan, dan. Selanjutnya, untuk menunjukkan bahwa subsemigrup dari, ditunjukkan bahwa tertutup dan asosiatif terhadap operasi yang sama dengan operasi yang berlaku pada dan. (i) merupakan himpunan bagian dari dan merupakan subsemigrup dari, maka sifat asosiatif yang berlaku pada, juga berlaku pada. (ii) Selanjutnya, untuk menunjukkan ketertutupan terhadap operasi yang sama pada dan, ambil sembarang untuk. Karena maka. Diketahui bahwa merupakan subsemigrup dari, maka berlaku, dengan demikian. Jadi operasi tertutup pada himpunan.

22 25 C. Ideal 1. Pengertian Ideal Definisi II.C.1 Diberikan semigrup dan merupakan himpunan bagian tak kosong dari dengan, maka: (i) disebut ideal kiri dari, jika, (ii) disebut ideal kanan dari, jika, dan (iii) disebut ideal dua sisi (ideal) dari, jika berlaku keduanya (ideal kanan dan ideal kiri. (Harju, 1996) Pada Definisi II.C.1 poin (iii) disebutkan bahwa adalah ideal jika berlaku ideal kiri dan ideal kanan. Hal ini tidak harus berarti bahwa ideal kiri sama dengan ideal kanan. Lemma II.C.1 Sebuah himpunan bagian tak kosong dari semigrup adalah: (i) Ideal kiri dari semigrup, jika dan maka, (ii) Ideal kanan dari semigrup, jika dan maka, (iii) Ideal dari semigrup, jika dan maka dan. Bukti Diketahui bahwa dan, maka berdasarkan Definisi II.C.1 diperoleh bahwa: (i) ideal kiri jika berlaku. Ambil sembarang dan, maka terbukti bahwa,

23 26 (ii) ideal kanan jika berlaku. Ambil sembarang dan, maka terbukti bahwa, dan (iii) ideal jika berlaku ideal kanan dan ideal kiri. Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa dan. 2. Pengertian Ideal Semu Berikut diberikan tentang definisi tentang himpunan yang merupakan hasil operasi himpunan-himpunan bagian dari semigrup dan definisi ideal semu dalam semigrup. Definisi II.C.2.1 Diberikan suatu semigrup dengan operasi, jika dan maka. Definisi II.C.2.2 Diberikan suatu semigrup, suatu himpunan disebut dengan ideal semu dalam semigrup jika merupakan himpunan bagian tak kosong dari dan berlaku. (Ansari, 2009)

HIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma

HIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya

Lebih terperinci

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. Himpunan. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen.

MATEMATIKA BISNIS. Himpunan. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen. MATEMATIKA BISNIS Modul ke: Himpunan Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Konsep Himpunan merupakan suatu konsep yang paling mendasar bagi

Lebih terperinci

BAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +

BAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi + 5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,

Lebih terperinci

Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan

Lebih terperinci

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh

Lebih terperinci

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan

Lebih terperinci

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota

Lebih terperinci

BAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}

BAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10} BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si

HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas

Lebih terperinci

Himpunan. Nur Hasanah, M.Cs

Himpunan. Nur Hasanah, M.Cs Himpunan Nur Hasanah, M.Cs 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B ={2, 4, 6, 8, 10}. C = {kucing, a, Amir,

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

Lebih terperinci

MATEMA TEMA IKA BISNIS BY : NINA SUDIBYO

MATEMA TEMA IKA BISNIS BY : NINA SUDIBYO MTEMTIK BISNIS BY : NIN SUDIBYO BB 1. HIMPUNN Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek yang harus didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan

Lebih terperinci

DEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

DEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. BAB 1 HIMPUNAN 1 DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat

Lebih terperinci

Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 HIMPUNAN DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMK adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa

Lebih terperinci

BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut

BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.

Lebih terperinci

TEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan

TEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi

Lebih terperinci

HIMPUNAN MEMBAHAS TENTANG:

HIMPUNAN MEMBAHAS TENTANG: Modul ke: HIMPUNAN MEMBAHAS TENTANG: Fakultas Ekonomi dan Bisnis Program Studi Akuntansi www.mercubuana.ac.id PENGERTIAN HIMPUNAN, PENYAJIAN HIMPUNAN, HIMPUNAN UNIVERSAL DAN HIMPUNAN KOSONG, OPERASI HIMPUNAN,

Lebih terperinci

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,

Lebih terperinci

LANDASAN MATEMATIKA Handout 2

LANDASAN MATEMATIKA Handout 2 LANDASAN MATEMATIKA Handout 2 (Himpunan bagian, kesamaan dua himpunan, comparable, himpunan kosong, himpunan kuasa, kardinalitas, himpunan hingga dan tak hingga) Tatik Retno Murniasih, S.Si., M.Pd. tretnom@unikama.ac.id

Lebih terperinci

Uraian Singkat Himpunan

Uraian Singkat Himpunan Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan

Lebih terperinci

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang

Lebih terperinci

Bab1. Himpunan. Gajah Merpati. Burung Nuri Jerapah

Bab1. Himpunan. Gajah Merpati. Burung Nuri Jerapah Bab1. Himpunan I. Pengantar Himpunan merupakan konsep yang sangat mendasar dalam ilmu matematika. Banyak sekali kegiatan-kegiatan dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan himpunan. Untuk memahami himpunan

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan

Lebih terperinci

HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI

HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI Himpunan Jenis-jenis himpunan Operasi Pada Himpunan Cara Menuliskan Himpunan Himpunan kosong & semesta Himpunan berhingga & tak berhingga

Lebih terperinci

MATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan

MATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan MATEMATIKA 1 Silabus: Logika, Teori Himpunan, Sistem Bilangan, Grup, Aljabar Linier, Matriks, Fungsi, Barisan dan deret, Beberapa Cara pembuktian Pengertian Himpunan Pengantar Teori Himpunan Himpunan adalah

Lebih terperinci

RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN

RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN Apakah himpunan itu? Tidak ada definisi himpunan, yang ada hanya sinonim-sinonim atau kesamaan kata. 1. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia: himpunan

Lebih terperinci

BAB 2. HIMPUNAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 17 Oktober 2016

BAB 2. HIMPUNAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 17 Oktober 2016 PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER BAB 2. HIMPUNAN ILHAM SAIFUDIN Senin, 17 Oktober 2016 Universitas Muhammadiyah Jember ILHAM SAIFUDIN MI HIMPUNAN 1 DASAR-DASAR

Lebih terperinci

1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1.

1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1. I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Aljabar Himpunan Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan

Lebih terperinci

Himpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Teori Himpunan 2011 Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. -

Lebih terperinci

Matematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB

Matematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB Matematika Komputasional Himpunan Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah

Lebih terperinci

Teori Himpunan. Author-IKN. MUG2B3/ Logika Matematika 9/8/15

Teori Himpunan. Author-IKN. MUG2B3/ Logika Matematika 9/8/15 Teori Himpunan Author-IKN 1 Materi Jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Hukum-Hukum Operasi Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan 2 Teori Himpunan Himpunan Sekumpulan elemen unik, terpisah,

Lebih terperinci

Aljabar Boole. Meliputi : Boole. Boole. 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar

Aljabar Boole. Meliputi : Boole. Boole. 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar Aljabar Boole Meliputi : 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar Boole 3. Teorema Dasar Aljabar Boole 4. Orde dalam sebuah Aljabar Boole Definisi Aljabar Boole Misalkan B adalah himpunan

Lebih terperinci

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 Himpunan Tujuan Mahasiswa memahami konsep dasar

Lebih terperinci

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan Enumerasi Simbol-simbol Baku Notasi

Lebih terperinci

BAB I HIMPUNAN. Matematika Infomatika. Universitas Gunadarma Halaman 1

BAB I HIMPUNAN. Matematika Infomatika. Universitas Gunadarma Halaman 1 BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur, anggota, elemen) yang dirumuskan secara jelas dan tegas, sehingga dapat dibeda-bedakan antara satu dengan

Lebih terperinci

1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat

Lebih terperinci

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan

Lebih terperinci

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang

Lebih terperinci

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan

Lebih terperinci

BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan

BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid BAB 2 SEMIGRUP DAN MONOID Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid Tujuan Instruksional Khusus : Setelah

Lebih terperinci

Urian Singkat Himpunan

Urian Singkat Himpunan Urian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com February 27, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi

Lebih terperinci

Himpunan. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa.

Lebih terperinci

Matematika Logika Aljabar Boolean

Matematika Logika Aljabar Boolean Pertemuan ke-3 Matematika Logika Aljabar Boolean Oleh : Mellia Liyanthy TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS PASUNDAN TAHUN AJARAN 2011/2012 Definisi Aljabar Boolean merupakan aljabar yang terdiri atas : suatu

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta diakhiri dengan sistematika penulisan. 1.1 Latar

Lebih terperinci

Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.

Lebih terperinci

FERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd. PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011

FERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd. PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 FERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd. PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan 4. Beda Setangkup

Lebih terperinci

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com

Lebih terperinci

BAB I H I M P U N A N

BAB I H I M P U N A N 1 BAB I H I M P U N A N Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan

Lebih terperinci

Modul ke: Penyajian Himpunan. operasi-operasi dasar himpunan. Sediyanto, ST. MM. 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika

Modul ke: Penyajian Himpunan. operasi-operasi dasar himpunan. Sediyanto, ST. MM. 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika Modul ke: 01Fakultas FASILKOM Penyajian Himpunan operasi-operasi dasar himpunan Sediyanto, ST. MM Program Studi Teknik Informatika Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

Lebih terperinci

Himpunan dan Sistem Bilangan Real

Himpunan dan Sistem Bilangan Real Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan

Lebih terperinci

Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union),

Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union), Lecture 1: ALGEBRA OF SETS Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union), A B = {x x A x B} Irisan (intersection),

Lebih terperinci

BAB V HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas.

BAB V HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas. BAB V HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas. Contoh: 1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11. Anggota

Lebih terperinci

[HIMPUNAN] MODUL MATEMATIKA SMP KELAS VII KURIKULUM 2013 RAJASOAL..COM. istiyanto

[HIMPUNAN] MODUL MATEMATIKA SMP KELAS VII KURIKULUM 2013 RAJASOAL..COM. istiyanto 2014 MODUL MATEMATIKA SMP KELAS VII RAJASOAL..COM KURIKULUM 2013 istiyanto [HIMPUNAN] Modul ini berisi rangkuman materi mengenai Himpunan untuk siswa SMP kelas VII. Modul ini disusun sesuai dengan kurikulum

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah

Lebih terperinci

Logika Matematika Teori Himpunan

Logika Matematika Teori Himpunan Pertemuan ke-2 Logika Matematika Teori Himpunan Oleh : Mellia Liyanthy TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS PASUNDAN TAHUN AJARAN 2007/2008 Perampatan Operasi Himpunan A1 A2... An = Ai A1 U A2 U... U An = U

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING

PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem

Lebih terperinci

IDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP

IDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP Vol 2 No 2 Bulan Desember 2017 Jurnal Silogisme Kajian Ilmu Matematika dan Pembelajarannya http://journal.umpo.ac.id/index.php/silogisme IDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP Info Artikel Article History: Accepted

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);

II. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif); II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

Pertemuan 6. Operasi Himpunan

Pertemuan 6. Operasi Himpunan Pertemuan 6 Operasi Himpunan Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika

Lebih terperinci

Pengertian Himpunan. a. kumpulan makanan lezat b. kumpulan batu-batu besar c. kumpulan lukisan indah. 1. Kumpulan yang bukan merupakan himpunan

Pengertian Himpunan. a. kumpulan makanan lezat b. kumpulan batu-batu besar c. kumpulan lukisan indah. 1. Kumpulan yang bukan merupakan himpunan Pengertian Himpunan Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang

Lebih terperinci

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan

Lebih terperinci

BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan

BAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

BAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI

BAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari

Lebih terperinci

PENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

PENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup

Lebih terperinci

BAB V HIMPUNAN ( ( dan dibaca : himpunan semua sedemikian hingga mempunyai sifat.

BAB V HIMPUNAN ( ( dan dibaca : himpunan semua sedemikian hingga mempunyai sifat. BAB V HIMPUNAN 5.1 Pendahuluan Pengertian himpunan dan menjadi anggota suatu himpunan merupakan hal yang mendasar dalam matematika. Orang tidak mungkin mengadakan diskusi matematika dengan tidak menyangkut

Lebih terperinci

DEFINISI. Himpunan (set): Dengan kata lain : Elemen dari himpunan : Kumpulan objek-objek yang berbeda.

DEFINISI. Himpunan (set): Dengan kata lain : Elemen dari himpunan : Kumpulan objek-objek yang berbeda. HIMPUNN Himpunan (set): DEFINISI Kumpulan objek-objek yang berbeda. Dengan kata lain : Kumpulan dari objek-objek tertentu yang merupakan suatu kesatuan. Elemen dari himpunan : Obyek-obyek itu sendiri.

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H

MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,

Lebih terperinci

TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP

TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP KELOMPOK 8 1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093) 2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094) 3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123) 4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)

Lebih terperinci

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik ( )

Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik ( ) Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik (20110060311101) Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik Program

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan

Lebih terperinci

Modul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Modul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN K-1 Kelas X matematika WAJIB PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear

Lebih terperinci

Logika Matematika Modul ke: Himpunan

Logika Matematika Modul ke: Himpunan Logika Matematika Modul ke: Himpunan Fakultas FASILKOM Syukri Nazar. M.Kom Program Studi Teknik Informatika Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut

Lebih terperinci

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada

Lebih terperinci

Matematika Diskrit 1

Matematika Diskrit 1 Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai

Lebih terperinci

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian

Lebih terperinci