TEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung. M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

Transkripsi

1 PROSIDING ISBN : TEOREMA GORSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung A MVAny erawati,ssi,msi Program Studi Matematika niversitas Sanata Dharma Abstrak Darab langsung G dari grup G dan adalah grup terhadap perkalian per komponen Selain itu bila A adalah subgrup dari G dan C adalah subgrup dari, maka A C adalah subgrup dari G Sedangkan bila S T adalah subgrup dari G, belum tentu S merupakan subgrup dari G dan T merupakan subgrup dari Teorema Goursat memberikan prosedur yang sistematis untuk mencari semua subgrup dari suatu grup darab langsung Kata kunci : darab langsung, grup, subgrup Pendahuluan, Latar Belakang Masalah Dalam perkuliahan tentang teori grup, mahasiswa diperkenalkan dengan bermacam macam metode untuk mengkonstruksi contoh contoh yang merupakan grup atau bukan grup Apa yang kelihatannya luput dalam silabus perkuliahan teori grup adalah sebuah teorema, yang pertama kali dibuktikan oleh Edouard Jean_Baptiste Goursat (858 96) pada tahun 889, yang menunjukkan hubungan yang indah antara beberapa topik elementer dari teori grup Pembahasan tentang subgrup dari suatu darab langsung, bila ada, biasanya singkat dan tidak lengkap Goursat dikenal di kalangan matematikawan karena bukunya Cours d analyse mathematique ( A Course in Mathematical Analysis ), yang dalam buku tersebut Goursat memperbaiki teorema integral Cauchy, yang kemudian dikenal secara luas sebagai Teorema Cauchy Goursat Teorema tersebut menyatakan bahwa integral dari fungsi analitik pada kurva tertutup sederhana adalah nol Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA NY, 5 Desember 009

2 PROSIDING ISBN : Tulisan ini akan membahas teorema Goursat yang lain, yang secara lengkap menjelaskan tentang subgrup dari suatu darab langsung Selanjutnya teorema tersebut akan disebut sebagai Teorema Goursat Adapun bukti dari Teorema Goursat cukup didasarkan pada beberapa topik dasar dari teori grup: subgrup, subgrup normal, koset, grup kuosien, indeks, order,darab langsung, bijeksi, dan isomorfisma Dengan demikian mudah diterima oleh mahasiswa yang mengikuti perkuliahan aljabar abstrak, khususnya teori grup Di samping itu penulis akan mencoba menyusun kembali bukti Teorema Goursat tersebut dan Corollarynya ke dalam barisan teorema teorema yang dalam perkuliahan bisa dijadikan sebagai kumpulan soal soal latihan dengan maksud agar pada akhir semester, teorema tersebut dapat dipahami dan dibuktikan tanpa banyak kesulitan Digunakan notasi A< B untuk menyatakan A adalah subgrup normal dari B, notasi e G untuk menyatakan elemen identitas dari grup G (atau dengan e bila konteksnya jelas), dan notasi untuk menyatakan subgrup trivial dari G Notasi teori grup yang lainnya adalah standar Dalam tulisan ini untuk menyingkat penulisan, bukti teorema tidak disertakan Rumusan Masalah Berdasar uraian dalam latar belakang masalah di atas, dapat dituliskan rumusan masalah sebagai berikut : Bagaimana bunyi Teorema Goursat yang mengenai konstruksi subgrup dari grup darab langsung? Bagaimana langkah langkah pembuktian teorema tersebut? Tujuan dan Manfaat Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk memberikan kontribusi terhadap pengembangan matematika khususnya bidang aljabar abstrak dan pengajarannya Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA NY, 5 Desember 009

3 PROSIDING ISBN : Pembahasan Subgrup dari suatu darab langsung Teorema Bila A adalah subgrup dari G dan C adalah subgrup dari, maka adalah subgrup dari G A C Teorema Diagonal dari G G, yang didefinisikan dengan D = {( g, g) g D}, adalah subgrup dari G G ntuk melihat bahwa Teorema dan belum memberikan daftar yang lengkap dari subgrup subgrup, misalkan Z = x = { e, x, x }, dan perhatikan darab langsung Z Mudah diperiksa bahwa himpunan {( e, e),( x, x ),( x, x)} adalah subgrup Z yang bukan merupakan darab langsung dari subgrup subgrup, bukan pula subgrup diagonal Seperti yang dikatakan di depan bahwa Teorema Goursat akan memperlihatkan prosedur yang sistematis untuk memeriksa setiap subgrup dari darab langsung Teorema Goursat Kita akan menggunakan istilah grup kuosien atau disingkat kuosien, untuk bentuk A/ B, di mana A adalah grup dan B < A Bila A = B, maka A/ B disebut kuosien trivial karena isomorfis dengan grup trivial berorde Teorema Goursat Misal G dan adalah grup Maka terdapat bijeksi antara himpunan S yang terdiri dari subgrup dari G dan himpunan T yang terdiri dari semua tripel ( A / B, C / D, ϕ ) di mana A/ B adalah kuosien dalam G, C / D adalah kuosien dalam, dan ϕ : A / B C / D adalah isomorfisma Atau secara sederhana, Teorema Goursat mengatakan bahwa struktur subgrup dari darab langsung bergantung pada struktur kuosien dari grup faktor Penting dicatat Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA NY, 5 Desember 009 4

4 PROSIDING ISBN : bahwa, di samping isomorfisma identitas, isomorfisma yang lain mungkin ada antara kuosien kuosien tak trivial yang isomorfis, masing masing berkorespondensi dengan subgrup tunggal dalam darab langsung Alasan mengapa Z Z memuat subgrup yang tidak dapat diperoleh dari Teorema dan (lihat paragraf di bawah Teorema ) adalah bahwa kedua teorema tersebut hanya meneliti subgrup subgrup yang berkorespondensi dengan isomorfisma trivial atau identitas Alat yang dipakai untuk membantu menggambarkan struktur subgrup dari suatu grup adalah diagram asse Dalam diagram asse, subgrup dinyatakan dengan titik, dan relasi termuat dinyatakan dengan garis yang menghubungkan subgrupsubgrup Dengan ketentuan bahwa subgrup yang memuat subgrup yang lain digambar lebih tinggi Diagram asse dalam Gambar menunjukkan subgrup subgrup yang relevan dengan subgrup dari tidak digambar G Subgrup subgrup antara dua subgrup di sana Gambar Visualisasi subgrup dari G Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA NY, 5 Desember 009 5

5 PROSIDING ISBN : Pembuktian Teorema Goursat Misal G dan adalah grup, misal S adalah himpunan semua subgrup dari G, dan misal T adalah himpunan semua tripel ( A / B, C / D, ϕ ) di mana B < A G, D < C, dan ϕ : A / B C / D adalah isomorfisma grup Teorema Misal ( A / B, C / D, ϕ ) adalah tripel dalam T, dan didefinisikan = {( g, h) A C ϕ( gb) = hd} ϕ Maka ϕ adalah subgrup dari G Teorema 4 ntuk subgrup dalam S, misalkan A = { g G ( g, h) untuk suatu h }, B = { g G ( g,) }, C = { h ( g, h) untuk suatu g G}, dan D = { h (, h) }, dan didefinisikan pemetaan ϕ : A / B C / D dengan ϕ ( gb ) = hd bila ( g, h) Maka (a) A adalah subgrup dari G dan kadang disebut proyeksi dari pada grup faktor ) (b) B adalah subgrup normal dari (c) ϕ adalah isomorfisma grup C adalah subgrup dari (Subgrup ini D adalah subgrup normal dari C Teorema 5 Didefinisikan pemetaan α : S T dan β : T S dengan α ( ) = A / B, C / D, ϕ ) dan ( β ( A / B, C / D, ϕ) = Maka α adalah bijeksi dengan invers β ϕ Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA NY, 5 Desember 009 6

6 PROSIDING ISBN : Teorema dan 4 menunjukkan bagaimana membentuk subgrup dalam S bila diberikan suatu tripel dalam T, dan sebaliknyayaitu, bila diberikan tripel ( A / B, C / D, ϕ ) dalam T, kita tentukan bayangan dari koset gb terhadap ϕ Maka ϕ tidak lain adalah himpunan semua pasangan terurut elemen elemen dari gb dan hd Sebaliknya, bila diberikan subgrup, himpunan koordinat pertamanya membentuk A, dan himpunan koordinat pertamanya yang dipasangkan dengan elemen identitas membentuk B; subgrup C dan D dibentuk dengan cara sama Isomorfisma ϕ kemudian dapat ditentukan Contoh contoh di bawah ini menunjukkan langkah langkah tersebut Contoh contoh Contoh Misal G = Z = x,dan misal = Z 9 = y Dalam G, enam subgrup,, Z 9, Z, y Z, dan Z Z 9 diperoleh dari kuosien trivial y Satu satunya kuosien tak trivial dari Z adalah Z /, yang isomorfis dengan kedua kuosien Z / y dan / 9 y dalam Z 9 Masing masing pasangan ini berkorespondensi dengan dua subgrup, yaitu yang diperoleh dari dua isomorfisma yang berbeda dari grup siklik berorde ke dirinya sendiri Diagram asse untuk Z Z 9 lengkapnya ditunjukkan dalam Gambar Gambar Diagram asse dari Z Z 9 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA NY, 5 Desember 009 7

7 PROSIDING ISBN : Contoh Misal G = Z 6 = x, dan misal adalah grup yang terdiri dari enam simetri dari segitiga samasisi di mana dua rotasi berorde dinyatakan dengan r dan pencerminan berdorde dengan s, s, dan yang dipakai s r, dan Tabel mendaftar kuosien kuosien Tabel Kuosien kuosien untuk Contoh Kuosien dalam G Orde Kuosien dalam Orde G / G / x / x r x / x r / s / s / s / s s / s / G / x / r x / s / s / s / G / x r / x / G/ 6 / 6 Misalkan kita akan mencari subgrup yang berkorespondensi dengan tripel ( G / x, r /,ϕ ), di mana ϕ : G / x / r didefinisikan dengan ϕ ( x x ) = r Karena ϕ ({ e, x }) = { }, G e Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA NY, 5 Desember 009 8

8 PROSIDING ISBN : ϕ ({ x, x }) = { r }, 5 ϕ ({ x, x }) = { r}, 4 5 maka = {( e, e ),( x, e ),( x, r ),( x, r ),( x, r),( x, r)} G Sebaliknya, misal diberikan subgrup V, akan dicari tripel yang berkorespondensi dengan subgrup tersebut Sebagai contoh, bila V = {( e G, e ), ( e G,r), ( e G, r ), ( x, s ), ( x, s ), ( x, s ), ( x, e ), ( x,r), ( x, r ), ( x, s ), ( x, s ), ( x, s ), ( x, e ), ( x,r), ( x, r ), ( x, s ), ( x, s ), ( x, s )}, maka A adalah himpunan semua koordinat pertama, B adalah himpunan semua koordinat petama yang dipasangkan dengan e, C adalah himpunan semua koordinat kedua, dan D adalah himpunan semua koordinat kedua yang dipasangkan dengan e G Dngan demikian A = { e G, x, x, x, 4 x, 5 x } = G B = { e G, x, 4 x } = x C = { e, r, D = { e, r, r, s, s, s } = r } Karena A/B dan C/D berorde, isomorfisma ϕ harus isomorfisma identitas Maka, subgrup V berkorespondensi dengan tripel (G / x, / r, ϕ ), di mana ϕ : G / x / r didefinisikan dengan ϕ ( x ) = s r x Perhatikan bahwa kuosien yang berorde 6 hanyalah G / dan /, yang tidak isomorfis, sehingga kuosien kuosien ini G tidak mempunyai subgrup yang berkorespondensi dengan 4Aplikasi Teorema Goursat Kita dapat membentuk subgrup dari suatu darab langsung bila diberikan dua kuosien yang isomorfis yaitu dengan mencari semua pasangan terurut yang mungkin yang koordinat pertamanya diambil dari A dan koordinat keduanya diambil dari bayangan koset A / B dalam C / D Cara tersebut mempermudah kita untuk mencari Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA NY, 5 Desember 009 9

9 PROSIDING ISBN : orde dan indeks subgrup dari suatu darab langsung berhingga, seperti yang dinyatakan dalam Teorema 6 berikut, yang diambil dari buku [ ] Teorema 6 Misal G dan adalah grup berhingga, dan misal adalah subgrup dari G Maka : (a) A D = = B C (b) G : A ][ : D ] = [ G : ] = G : B ] G : C ] [ [ [ Teorema 7 Misal G = n adalah grup berhingga di mana orde subgrup i dan adalah relatif prima bila i j Bila adalah subgrup dari G, maka j i = I I n Kesimpulan dan Saran Bila A adalah subgrup dari G dan C adalah subgrup dari, maka subgrup dari A C adalah G Selain itu diagonal dari G G, yang didefinisikan dengan D = {( g, g) g D}, juga merupakan subgrup dari G G Akan tetapi subgrup dari suatu darab langsung belum tentu merupakan darab langsung dari subgrup subgrup Teorema Goursat yang intinya mengatakan bahwa struktur subgrup dari suatu darab langsung bergantung pada struktur kuosien dari grup faktor, memberikan prosedur yang sistematis untuk mencari semua subgrup dari suatu darab langsung Dan secara persisnya diperoleh bahwa bila G = n adalah grup berhingga di mana orde subgrup i dan adalah relatif prima bila i j Bila adalah subgrup dari G, maka j i = I I n Disarankan mengingat keterbatasan waktu dalam perkuliahan, materi tersebut dibahas dalam bentuk kumpulan soal soal latihan dan dijadikan tugas kelompok dengan maksud agar pada akhir semester, teorema tersebut dapat dipahami dan dibuktikan tanpa banyak kesulitan Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA NY, 5 Desember 009 0

10 PROSIDING ISBN : Daftar Pustaka Crawford, RR and Wallace, KD, On the number of subgrup of index two an application of Goursat s theorem, MathMag48 (975) 7 74 Gallian, JA, Contemporary Abstract Algebra, 4 th ed, oughton Mifflin, Boston, 998 ungerford, TW, Abstract Algebra: An Introduction, nd Grove CA, 997 ed, Brooks/Cole, Pacific Petrillo, J, Goursat s Other Theorem, The College Mathematics Journal, Vol40, No (009) 9 4 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA NY, 5 Desember 009