Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Transkripsi

1 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012

2 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut. Himpunan merupakan koleksi takterurut objek-objek. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dinyatakan dengan /0 atau dengan { }. Keanggotaan himpunan ditulis dengan notasi x S berarti objek x anggota himpunan S. Representasi Himpunan Menuliskan semua anggotanya di antara dua kurung kurawal (braces), jika mungkin. Notasi A := {a, b, c, d} menyajikan himpunan dengan 4 anggota yaitu a, b, c dan d. Dalam hal ini a A, b A, c A dan d A. Menuliskan sebagian anggotanya dan menggunakan notasi ellipses ( ) untuk menyatakan anggota yang lainnya. Cara ini biasanya digunakan untuk himpunan yang anggotanya sangat banyak sehingga tidak memungkinkan ditulis satu per satu. Contoh: B := {1,2,,99} merupakan himpunan bilangan bulat yang kurang dari 100. Menuliskan sifat { keanggotaannya } atau pembangun himpunan (set builder). p Contoh: Q := p, q Z, q 0 menyatakan himpunan bilangan rasional. q Menggunakan diagram Venn, yaitu berupa persegi panjang untuk menyatakan semesta dan di dalamnya digambarkan lingkaran atau bangun lainnya untuk menyatakan himpunan yang dimaksud.

3 Lanjutan... Notasi set builder secara umum ditulis sebagai B = {x P(x)} dimana P(x) pernyataan tentang x, atau sifat yang dimiliki oleh x. Notasi dibaca di mana, atau dengan. Example Misalkan O himpunan bilangan ganjil maka cukup ditulis O = {2n 1 n Z}. Himpunan bilangan real dapat pula ditulis sebagai R ={x x bilangan real}. Berikut ini diberikan beberapa contoh himpunan bilangan dan notasi standar yang digunakan secara internasional: 1 N ={1, 2, 3, } himpunan bilangan asli 2 Z = {, 2, 1,0,1,2, } himpunan bilangan bulat { } 3 p Q := p, q Z, q 0 himpunan bilangan rasional q 4 R himpunan bilangan real 5 C = {a + bi a, b R} himpunan bilangan kompleks, di mana i = 1.

4 HIMPUNAN BAGIAN Denition Misalkan A dan B dua himpunan tertentu. 1 A dikatakan himpunan bagian (subset) dari B jika hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B, dan dilambangkan dengan A B. Dalam bahasa logika denisi ini dapat ditulis sebagai A B [ x (x A x B) TRUE] Notasi kadangkala digunakan juga untuk menyatakan himpunan bagian. 2 Himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jika dan hanya jika A B dan B A. 3 A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset) dari B jika A B dan A B, biasanya ditulis A B. Theorem Untuk sebarang himpunan S, maka berlaku 1 /0 S 2 S S.

5 Bukti Teorema dan kardinalitas himpunan 1 Untuk membuktikan /0 S cukup ditunjukkan bahwa kuantikasi x (x /0 x S) TRUE. Karena implikasi x /0 x S selalu TRUE dikarenakan pernyataan x /0 selalu FALSE (mengapa???) maka jelas x (x /0 x S) TRUE. Terbukti himpunan kosong adalah himpunan bagian dari himpunan apapun. Perhatikan di sini digunakan metoda pembuktian kosong (vacous proof ). 2 Pernyataan x S x S jelas bernilai TRUE. Jadi terbuktilah (2). Denition Misalkan S sebuah himpunan. Bila terdapat tepat n anggota berbeda di dalam S maka himpunan S dikatakan mempunyai kardinalitas n. Dengan kata lain, kardinalitas himpunan adalah banyaknya anggota himpunan tersebut. Kardinalitas S biasanya ditulis sebagai S. Himpunan takberhingga (innite set) adalah himpunan dengan kardinalitas takberhingga. Example S :=himpunan semua huruf latin, maka S = 26. Himpunan kosong mempunyai kardinalitas 0. Himpunan bilangan real, himpunan bilangan bulat positif, himpunan bilangan rasional merupakan himpunan takberhingga.

6 HIMPUNAN KUASA Denition Misalkan S sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari S adalah himpunan yang memuat semua himpunan bagian S. Himpunan kuasa S biasanya ditulis dengan P(S) atau 2 S. Example S = {a,1,2} maka himpunan bagian S adalah sebagai berikut. /0,{a,1,2},{a,1},{a,2},{1,2},{a},{1},{2}. Jadi P({a,1,2}) = {/0,{a,1,2},{a,1},{a,2},{1,2},{a},{1},{2}}. Fact Himpunan /0, S P(S) Terdapat indikasi P(S) = 2 S, karena pada contoh ini S = 3 dan P(S) = 8. Fakta pertama sudah dibuktikan sebelumnya. Fakta kedua belum, masih dalam bentuk konjektur. Untuk itu perlu dibuktikan teorema berikut.

7 Kardinalitas Himpunan Kuasa Theorem Bila S mempunyai kardinalitas n maka P(S) mempunyai kardinalitas 2 n. Proof. Menggunakan PIM pada n, di mana P(n) : kardinalitas himpunan kuasa dari himpunan yang mempunyai kardinalitas n adalah 2 n, n = 1,2,. Untuk P(1): Misalkan S = {x} maka P(S) = {/0,{x}}. Jadi P(S) = 2 1 = 2. Selanjutnya dibuktikan langkah induktif berikut: jika P(k) TRUE maka ditunjukkan P(k + 1) TRUE. Misalkan S himpunan dengan kardinalitas k. Maka berdasarkan hipotesis induksi, P(S) = 2 k. Tulis P(S) = {P 1, P 2,, P 2 k }. Misalkan S adalah himpunan dengan kardinalitas k + 1. Tanpa mengurangi umumnya pembuktian, tulis S = {S, x} = {P 1, P 2,, P 2 k, x}. Maka himpunan kuasa dari S dapat ditulis sebagai berikut P(S ) = P 1, P 2,, P 2 k,{p 1, x},{p 2, x},,{p }{{} 2 k, x} }{{} 2 k elemen 2 k elemen Jadi himpunan dengan kardinalitas k + 1 mempunyai 2 k + 2 k = 2 2 k = 2 k+1 elemen. Bukti selesai by PIM.

8 Kardinalitas Himpunan Kosong Berdasarkan denisi, /0 = 0. Apakah teorema di atas berlaku. Coba diperhatikan fakta pertama bahwa himpunan kuasa minimal memuat 2 anggota, yaitu himpunan kosong dan dirinya sendiri. Jadi, P(/0) = {/0, /0} = {/0}, yaitu mempunyai 2 0 (= 1) anggota. Dengan demikian teorema di atas tetap berlaku untuk himpunan kosong. Beberapa fakta kritis yang melibatkan himpunan kosong: /0 dan {/0} adalah dua himpunan berbeda, mengapa?? Indentikasilah apakah pernyataan berikut TRUE 1 0 /0, /0 {0}, {0} {0}, /0 {/0},/0 {/0,{/0}},{/0} {{/0}}. 2 {0} /0,/0 {0}, {/0} {/0}, {0} {0}, {/0} {/0,{/0}}, {{/0}} {/0,{/0}}, {{/0}} {{/0,{/0}}}. Himpunan yang hanya memiliki 1 anggota biasa juga disebut singleton set. Contoh: S = {0}, B = {x}. Hati-hati dengan penggunaan notasi anggota dan notasi himpunan bagian.

9 Susunan Terurut dan Produk Kartesian Denition Susunan terurut n-elemen (a 1, a 2,, a n ) adalah koleksi objek-objek yang diurutkan, di mana a 1 urutan pertama, a 2 urutan kedua, dan seterusnya. Khusus n = 2 bentuk ini disebut pasangan terurut, yaitu (a, b). Berbeda dengan himpunan, di sini urutan menentukan kriteria. Susunan terurut menggunkan kurang biasa (bracket). Example 1 Himpunan {1, 2, 3} = {1, 3, 2} berdasarkan denisi kesamaan dua himpunan sebelumnya. 2 Susunan terurut (1,2,3) (1,3,2). Jadi secara umum 2 susunan terurut (a 1, a 2,, a n ) dan (b 1, b 2,, b n ) dikatakan sama jika hanya jika a i = b i untuk setiap i = 1,, n. Denition Misalkan A dan B dua buahn himpunan. Produk kartesian dari A dan B, ditulis A B adalah himpunan semua terurut (a, b) di mana a A dan b B. Jadi A B := {(a, b) a A, b B}.

10 Perluasan Produk Kartesian Denition Produk kartesian dapat diperumum untuk sebanyak berhingga himpunan, yaitu A 1 A 2 A n = {(a 1, a 2,, a n ) a i A i, i = 1,2,, n}. Soal-soal yang dipecahkan Halaman 85 dan 86 Nomor 1 s.d. 30.

11 Operasi Himpunan 1 Gabungan (union) A dan B: A B := {x x A x B} = {x x A} {x x B} = p q }{{}}{{} =p =q 2 Irisan (intersection) A dan B: A B := {x x A x B} = {x x A} {x x B}. Bila A B = /0 maka A dan B disebut saling asing (disjoint). 3 Komplemen A: A c := {x Ω x / A}, Ω: semesta. 4 Selisih A dari B: A \ B := {x x A x / B} 5 Selisih simetris A dan B: A B := {x x A} {x x B} Latihan mandiri: 1 Ilustrasikan ke-5 operasi himpunan di atas dalam bentuk diagram Venn. 2 Tuliskan sebanyak mungkin hubungan langsung di antara operasi himpunan tersebut. Prinsip inklusi-eksklusi: A B = A + B A B Bila A dan B saling asing maka berlaku A B = A + B.

12 Soal Latihan Diberikan himpunan berikut: A = {a, b, 1, 2, 3}, B = {a, 2, 4, 5} 1 Tentukan A B, A B, A \ B, B \ A, A B. Apakah A \ B = B \ A? 2 Hitunglah A, B, A B, A B. Apakah berlaku prinsip inklusi-eksklusi? 3 Tentukan himpunan P(A B) dan P(A) P(B)? Apakah P(A) P(B) = P(A B)? 4 Apakah berlaku P(A) P(B) = P(A B)? 5 Bila pernyataan 3 dan 4 berlaku, buktikan kebenaran pernyataan ini secara umum!

13 Identitas Himpunan Kalau pada logika ada ekuivalensi logis, maka pada himpunan ada identitas himpunan. Identitas himpunan adalah relasi yang menyatakan kesamaan dua himpunan. 1 Hukum identitas: A /0 = A dan A Ω = A. 2 Hukum dominasi: A Ω = Ω dan A /0 = /0. 3 Hukum idempoten: A A = A dan A A = A. 4 Hukum komplemen ganda: (A c ) c = A. 5 Hukum komutatif: A B = B A dan A B = B A. 6 Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C dan A (B C) = (A B) C. 7 Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) dan A (B C) = (A B) (A C). 8 Hukum De Morgan: (A B) c = A c B c dan (A B) c = A c B c. 9 Hukum penyerapan: A (A B) = A dan A (A B) = A. 10 Hukum komplemen: A A c = Ω dan A A c = /0. Perhatikan penulisan ekuivalensi logis menggunakan, sedangkan pada identitas himpunan menggunakan =.

14 Pembuktian Hukum De Morgan (A B) c = A c B c Cara 1: Menggunakan denisi kesamaan dua himpunan Misalkan x (A B) c maka x / (A B). Diubah ke dalam kalimat logika, ini tidak benar bahwa x A B. Dengan kata lain (x A B), yaitu ekuivalen dengan (x A x B). Dengan menggunakan aturan De Morgan pada proposisi logika maka diperoleh (x A) (x B). Bentuk terakhir ini berarti tidak benar bahwa x A dan tidak benar bahwa x B. Dikembalikan lagi ke denisi himpunan diperoleh x / A x / B, yaitu x / A c B c. Ini berarti (A B) c A c B c. (*) Sebaliknya, misalkan x A c B c. Kita kerjakan dalam kalimat logika, yaitu (x A) (x B). Menerapkan De Morgan proposisi diperoleh (x A x B), yaitu (x A B). Akhirnya diperoleh x (A B) c. Ini berarti A c B c (A B) c. (**) Dengan menggunakan (*) dan (**) maka disimpulkan (A B) c = A c B c. Cara 2: Menggunakan sifat keanggotaan (A B) c = {x x / A B} = {x (x A B)} = {x (x A x B) = {x (x A) (x B)} = {x (x / A) (x / B)} = {x x A c x B c } = A c B c.

15 Bukti lanjutan... Cara 3: Menggunakan tabel keanggotaan. Misalkan Ω himpunan semesta himpunan dan A Ω. Nilai keanggotaan x Ω di dalam A adalah τ A (x) di mana τ A (x) = { 1 bila x A 0 bila x / A. Tabel keanggotaan: tabel yang memuat nilai keanggotaan himpunan. A B A c B c A B (A B) c A c B c A B (A B) c A c B c Perhatikan 2 kolom dengan warna merah dan 2 kolom warna biru, nilai keanggotaannya sama. Disimpulkan kedua himpunan ini sama.

16 Generalisasi Irisan dan Gabungan Misalkan A 1, A 2,, A n himpunan-himpunan yang diberikan. Maka berlaku denisi berikut: A 1 A 2 A n = n i=1 A i := {x x A k untuk suatu k = 1,2,, n}. A 1 A 2 A n = n i=1 A i := {x x A k untuk semua k = 1,2,, n} Bahan diskusi: 1 Misalkan A i = {i, i + 1, i + 2, }, tentukan 10 i=1 A i dan 10 i=1 A i. 2 Bila A i = (1 1 i,1 + 1 i ), tentukan A n := n i=1 A i dan B n := n i=1 B i. Bagaimana A n dan B n bila n? Tambahan: Representasi himpunan pada komputer Misalkan semesta Ω terdiri dari n elemen, katakan Ω = {a 1, a 2,, a n }. Himpunan A disajikan sebagai string-bit dengan panjang n, bernilai 1 jika a i A dan 0 jika a i / A. Example Misalkan Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} maka A = {1,7,9} disajikan sebagai A = , B = {2,5,8,10} disajikan sebagai B = Soal-soal yang dipecahkan : Hal