BUKU AJAR MATEMATIKA DASAR

Transkripsi

1 i

2 BUKU AJAR MATEMATIKA DASAR Mohmmd Fizl Amir, M.Pd. Byu Hri Prsojo, S.Si., M.Pd. UMSIDA PRESS Jl. Mojophit 666 B Sidorjo ISBN: ii

3 BUKU AJAR MATEMATIKA DASAR Mohmmd Fizl Amir, M.Pd. Byu Hri Prsojo, S.Si., M.Pd. Sidorjo, 016 Diteritkn ts Progrm Bntun Penulisn dn Peneritn Buku Ajr dn Modul Prktikum Universits Muhmmdiyh Sidorjo Thun 015/016 iii

4 BUKU AJAR MATEMATIKA DASAR PENULIS Mohmmd Fizl Amir, M.Pd. Byu Hri Prsojo, S.Si., M.Pd. Diteritkn Oleh: UMSIDA PRESS Jl. Mojophit 666 B Sidorjo ISBN: Copyright 016. Mohmmd Fizl Amir & Byu Hri Prsojo. All rights reserved. iv

5 KATA PENGANTAR Puji syukur kehdirt Allh SWT ts segl nugerh dn rhmt-ny, sehingg Buku Ajr Mtemtik Dsr untuk Tingkt Pergurun Tinggi ini dpt terselesikn dengn ik. Buku jr Mtemtik Dsr ini terdiri dri 8 B Mteri Perkulihn, yng terdiri dri (1) Sistem Bilngn Rel; () Himpunn; (3) Persmn dn Pertidksmn Liner; (4) Fungsi; (5) Mtriks; (6) Limit dn Kekontinun; (7) Turunn; (8) Integrl. Mteri ini merupkn stu kestun mteri yng dipeljri oleh mhsisw secr menyeluruh dn tk terpishkn selm stu semester kren merupkn stu kestun yng utuh dlm Cpin Kompetensi di Rencn Pemeljrn Semester. Tujun diteritkn uku ini untuk memntu mhsisw gr dpt mengusi konsep mtemtik dsr secr mudh, dn utuh. Di smping itu pul, uku ini dpt digunkn segi cun gi dosen yng mengmpu mt kulih Mtemtik Dsr tupun mt kulih mtemtik yng lin. Isi uku ini memut 5 komponen utm yitu; pendhulun, penyjin mteri, rngkumn, ltihn dn dftr pustk. Buku Ajr Mtemtik Dsr untuk Tingkt Pergurun Tinggi ini diteritkn oleh UMSIDA Press. Buku Ajr ini merupkn uku teritn edisi pertm yng tentuny msih utuh disempurnkn. Oleh kren itu, srn dn msukn oleh pr penggun sngt kmi hrpkn untuk kesempurnn isi uku jr ini di ms yng kn dtng. Semog Buku Ajr ini dpt ermnft gi mhsisw, dosen dn sip sj yng menggunknny untuk kemjun pendidikn di Universits Muhmmdiyh Sidorjo (UMSIDA) khususny dn kemjun pendidikn di Indonesi pd umumny. Sidorjo, Juni 016 Tim Penyusun 1

6 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR.. 1 DAFTAR ISI... BAB I SISTEM BILANGAN REAL Pendhulun... 4 A. Himpunn Bilngn... 4 B. Bentuk Pngkt Akr dn Logritm... 6 C. Rngkumn D. Ltihn BAB II HIMPUNAN A. Pendhulun B. Pengertin Himpunn C. Kenggotn Himpunn dn Bilngn D. Penulisn Himpunn E. Mcm-mcm Himpunn... 1 F. Relsi Antr Himpunn... 3 G. Opersi Himpunn... 6 H. Sift-sft Opersi pd Himpunn... 9 I. Rngkumn... 9 J. Ltihn BAB III PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER A. Pendhulun B. Persmn Linier Stu Vriel C. Persmn Ekuivlen D. Persmn Linier Bentuk Pechn Stu Vriel E. Pertidksmn Linier Stu Vriel F. Pertidksmn Linier Bentuk Pechn Stu Vriel G. Rngkumn H. Ltihn... 4 BAB IV FUNGSI A. Pendhulun B. Pengertin Fungsi C. Sift Fungsi D. Jenis Fungsi E. Rngkumn F. Ltihn BAB V MATRIKS A. Pendhulun B. Pengertin Mtriks C. Jenis-jenis Mtriks D. Opersi dn Sift-sift Mtriks E. Determinn F. Invers Mtriks G. Rngkumn H. Ltihn BAB VI LIMIT DAN KEKONTINUAN A. Pendhulun... 7 B. Pengertin Limit... 7

7 C. Sift-sift Limit D. Limit Bentuk Tk Tentu E. Limit Bentuk Trigonometri F. Kekontinun G. Rngkumn H. Ltihn BAB VII TURUNAN A. Pendhulun B. Pengertin Turunn C. Aturn-turn Turunn... 8 D. Turunn Trigonometri E. De L Hospitl F. Aturn Rnti G. Turunn Tingkt Tinggi H. Rngkumn I. Ltihn BAB VIII INTEGRAL A. Pendhulun B. Integrl Segi Anti Turunn C. Rumus Dsr Integrl D. Teknik Integrl Sustitusi E. Integrl Prsil F. Integrl Tentu G. Rngkumn H. Ltihn DAFTAR PUSTAKA INDEKS MATERI BIODATA PENULIS

8 BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Pendhulun Dlm Mtemtik Dsr terdpt konsep dri himpunn oyek-oyek, khususny tentng konsep himpunn dri ilngn-ilngn yng nyk sekli diterpkn untuk mtemtik leih lnjut mupun penerpn di idng-idng yng lin. Himpunn ilngn yng penting untuk dikethui dlh himpunn ilngn Asli, himpunn ilngn Cch, himpunn ilngn Bult, himpunn ilngn Rsionl, himpunn ilngn Irrsionl (tk terukur), dn himpunn ilngn Rel. Sift-sift dri ilngn ini kn digunkn dlm Bentuk Pngkt, Penrikn Akr, dn Logritm. Dihrpkn mhsisw dpt memhmi konsep himpunn ilngn yng penting untuk dikethui dn mmpu menggunkn sift-sift dri himpunn ilngn dintrny yitu Bentuk Pngkt, Penrikn Akr, dn Logritm. B. Himpunn Bilngn Konsep dri himpunn oyek-oyek yng pling penting dipeljri untuk mtemtik leih lnjut dlh konsep dri himpunn ilngn-ilngn. Beerp konsep dri himpunn ilngn-ilngn terseut dintrny dlh himpunn ilngn Asli, himpunn ilngn Cch, himpunn ilngn Bult, himpunn ilngn Rsionl, himpunn ilngn Irrsionl (tk terukur), dn himpunn ilngn Rel. 1. Himpunn ilngn Asli tu diseut jug himpunn ilngn ult positif dpt ditulis segi : N = {1,, 3, 4, }.. Himpunn ilngn Cch ditulis : W = {0, 1,, 3, 4, }. 3. Himpunn ilngn Bult ditulis : I = { -3, -, -1, 0, 1,, 3, }. 4. Himpunn ilngn Rsionl / Terukur ditulis : Q x x,, I, 0 yitu ilngn yng dpt dinytkn segi hsil gi ntr du ilngn ult (pechn) dengn syrt hw nili penyeut tidk sm dengn nol, contoh : 1, 1, 4 3 5, dn seginy

9 Dengn demikin ilngn rsionl dlh ilngn yng dpt ditulis dlm entuk pechn dengn dn ilngn ult dn 0. Adpun himpunn ilngn rsionl terdiri dri ilngn ult, ilngn pechn murni, dn ilngn pechn desiml. 5. Himpunn ilngn Irrsionl (tk terukur) ditulis : Q x x Q ' yitu ilngn yng tidk dpt dinytkn segi hsil gi ntr du ilngn ult (pechn), tpi dpt dinytkn dengn ilngn desiml tk tentu tu tk erulng, mislny : e =,7188, π = 3,14159, = 1,414 dn lin seginy. 6. Himpunn ilngn Rel (nyt) ditulis : R x x ilngn Rel. Bilngn rsionl dn Irrsionl merupkn himpunn ilngn rel. Dengn demikin, himpunn ilngn Asli dlh suset dri himpunn ilngn Cch. Himpunn ilngn Cch dlh suset dri himpunn ilngn Rsionl. Sedngkn himpunn ilngn ik Rsionl mupun Irrsionl diseut himpunn ilngn Rel. Himpunn ilngn yng tidk Rel dlh himpunn ilngn Imginer tupun himpunn ilngn Kompleks. Himpunn-himpunn ilngn di ts dpt ditulis dlm entuk suset segi erikut : N W I Q R Sift Ketidksmn Bilngn Rel. Semrng ilngn Rel dn, dpt terjdi slh stu dri tig hl yitu : <, <, tu =.. Jik < dn < c mk < c. c. Jik <, mk + c < + c untuk semrng nili c. d. Jik < dn c > 0 mk c < c. e. Jik < dn c < 0 mk c > c. Sistem ilngn Rel dientuk ts dsr sistem ilngn Asli, di mn semu sift-siftny dpt diturunkn. Jik x, y, dn z dlh ilngn Rel mk sift-sift ilngn Rel dlh :. Sift komuttif untuk penjumlhn x + y = y + x 5

10 . Sift komuttif untuk perklin x.y = y.x c. Sift ssositif untuk penjumlhn x + (y + z) = (x + y) + z d. Sift ssositif untuk perklin x (yz) = (xy) z e. Sift distriutif x (y + z) = xy + xz f. Jik x dn y du ilngn Rel, mk terdpt sutu ilngn Rel z sehingg x + z = y. Bilngn z ini kit nytkn dengn y x dn diseut selisih dri y dn x. Selisih x x kit nytkn dengn simol 0. Simol 0 ini selnjutny diseut nol. g. Terdpt pling sedikit stu ilngn rel x 0. Jik x dn y du ilngn Rel dengn x 0, mk terdpt sutu ilngn Rel z demikin sehingg x.z = y. y Bilngn z ini kit nytkn dengn dn diseut hsil gi dri y dn x. Hsil x gi x dn x dinytkn dengn simol 1, yng selnjutny diseut stu dn tidk ergntung pd x. C. Bentuk Pngkt, Akr dn Logritm 1. Bentuk Pngkt Bult Definisi Fungsi notsi pngkt slh stuny dlh untuk menyederhnkn penulisn tu meringks penulisn. Contoh, ,- dpt ditulis dengn notsi pngkt Notsi pngkt dpt menghemt tempt, sehingg notsi pngkt nyk digunkn dlm perumusn dn penyederhnkn perhitungn. Pngkt Bult Positif Perklin erulng dri sutu ilngn dpt dinytkn dlm entuk ilngn erpngkt ilngn ult positif. Contoh: = 1. =.. = 3... = 4 6

11 .... = = 6 Bentuk 6 dic du pngkt enm. 6 diseut ilngn erpngkt ult positif. Bilngn diseut ilngn pokok tu ilngn dsr dn ilngn 6 yng ditulis gk di ts diseut pngkt tu eksponen. Secr umum ilngn erpngkt dpt ditulis : Jik ilngn rel tu Є R dn n ilngn ult positif, mk n =.... diseut ilngn pokok dn n diseut pngkt. Contoh = 3. 3 = = = = = Contoh Tentukn nili dri persmn erikut untuk nili vriel yng ditentukn. 1. x 3 x 3x 4 untuk x = x y 3 3 x y 3xy 4 untuk x = - 1 dn y = Sift-sift Pngkt Bult Positif Pd ilngn erpngkt ult positif dpt dilkukn eerp opersi ljr seperti : perklin, pemngktn, dn pemgin untuk ilngn erpngkt ult positif. Perhtikn teorem-teorem untuk entuk perklin, pemngktn, dn pemgin dri ilngn erpngkt ult positif erikut:. Jik ilngn rel, p dn q dlh ilngn ult postitif mk p. q pq. Jik Є R dn 0, p dn q ilngn ult positif mk 7

12 8 q p p q q p p q q p q p q p jik ; 1 jik ; 1 jik ; : c. Jik ilngn rel, p dn q ilngn ult positif mk pq q p q p. d. Jik dn ilngn rel, p ilngn ult mk p p p Contoh 1.3 Sederhnkn : = 3+4 = 7. x. x 6 = x +6 = x ) ( 3 y x y x y x y x Contoh 1.4 Kliknlh 3 xy y x dengn 3 4 y x. Penyelesin ) 3( 4) ( 4 3 y x y x y x y x y x xy y x Pngkt Bult Negtif dn Nol Jik pd entuk perpngktn pngkt dri ilngn dsr kurng dri stu dn nol mk kn diperoleh pngkt ilngn ult negtif dn nol. Contoh ; 3 - ; 3-3 ; 3-4 ; 3-5 ; dn ; - ; -3 ; -4 ; -5 ; ; -n ; dn 0 Untuk mendefinisikn n dengn ilngn rel dn n ilngn ult negrif dn nol, mk dpt digunkn teorem-teorem perpngktn pd ilngn ult positif, seperti : 1 n n. Jik teorem q p q p digunkn mk kn diperoleh 0 1 n n n n dn untuk q = p + n mk diperoleh n n p p n p p q p ) (.

13 Dengn demikin mk terdpt teorem erikut,. Bentuk Akr Jik 0, ilngn rel dn n ilngn ult positif mk n 1 n dn 0 = 1. Tnd kr dinotsikn dengn entuk kr tu menytkn kr pngkt du yitu merupkn kelikn dri kudrt. Pernytn yng ditulis dengn tnd kr diseut entuk kr. Contoh Kren 5 = 5 mk 5 5. Kren 8 = 64 mk 64 8 Contoh 1.7 Bentuk-entuk erikut merupkn contoh entuk kr :, 3, 5, 1 dn seginy. Opersi ljr seperti penjumlhn, pengurngn, perklin, dn pemgin dpt jug dilkukn terhdp entuk kr. Opersi terseut digunkn untuk mersionlkn penyeut yng dinytkn dlm entuk kr. Opersi-opersi ljr terseut dlh segi erikut :. x x x. x x x c.. d.. e. : f. c d cd Contoh 1.8 Sederhnknlh (3 4) ( 4) 6 9

14 : Mersionlkn Pechn Bentuk Akr Sutu pechn yng penyeutny mengndung entuk kr dpt disederhnkn entukny dengn cr mersionlkn entuk kr yng d pd penyeutny. Untuk mersionlkn entuk pechn dri penyeut terseut mk pemilng dn penyeut hrus diklikn dengn entuk rsionl dri entuk kr yng d pd penyeutny. Di wh ini entuk-entuk rumusn untuk penyederhnn pechn yng mengndung entuk kr :... c c c c c c. c. c c c c c c. d. c c c c c c. e. c c c c c c. Contoh 1.9 Rsionlkn penyeut pechn erikut :

15 3. Pngkt Pechn Definisi Bilngn rel yng memenuhi persmn n =, diseut kr pngkt n dri dn ditulis dengn n. Akr pngkt n dri tu n dpt jug ditulis segi ilngn erpngkt pechn yitu 1 n. Demikin jug selikny, ilngn erpngkt pechn yitu 1 n dpt ditulis segi kr pngkt n dri tu n. Jdi 1 n n. Jik uknlh pngkt n dri sutu ilngn rsionl mk penentun dri n hsilny kn merupkn ilngn Irrsionl. Jik nili relny diperlukn mk seikny menggunkn lt hitung seperti klkultor tu komputer. Jik m dn n dlh ilngn sli dengn n 1 dn dlh ilngn rel yng tidk negtif mk : Contoh 1.10 m n 1 m n m n m n dn n n m 1 m Sift-sift Pngkt Pechn. Jik dlh ilngn rel, p dn q dlh ilngn rsionl mk p. q pq. Jik dlh ilngn rel, p dn q dlh ilngn rsionl mk p : q pq c. Jik dlh ilngn rel, p dn q dlh ilngn rsionl mk p q pq d. Jik dlh ilngn rel, 0 dn p dlh ilngn rsionl mk p 1 e. Jik dn dlh ilngn rel, p, q, dn r dlh ilngn rsionl mk p q r p r q r pr qr.. p 11

16 f. Jik dn dlh ilngn rel, 0 dn p, q, dn r dlh ilngn rsionl mk : p q r 4. Logritm Definisi Logritm merupkn invers tu kelikn dri eksponen tu perpngktn. pr qr Mislny 3 = 9 dpt ditulis dengn 3 log 9 = ; 3-1 = 3 1 dpt ditulis dengn 3 1 log 1. 3 Dengn demikin entuk logritm secr umum ditulis : Jik n = dengn > 0 dn 1 mk log = p Pengertin dri penulisn log, diseut ilngn pokok logritm. Nili hrus positif dn 1. Jik ilngn pokok ernili 10, mk ilngn pokok 10 ini isny tidk ditulis. Mislkn 10 log = log. Jik ilngn pokokny e tu ilngn euler dimn e =, mk nili logritm dinytkn dengn ln yitu singktn dri logritm nturl. Misl : e log = ln Contoh Jik 3 = 8 mk log 8 = Jik 3 - = mk 3 log Jik 10 4 = mk log = 4 4. Jik 10 - = 0,01 mk log 0,01 = - Sift-sift Logritm Sift-sift logritm digunkn untuk menyederhnkn entuk pernytn dlm logritm dn jug dpt memntu dlm penentun nili logritmny. Berikut ini dlh sift-sift logritm :. Logritm dri perklin log MN = log M + log N, dimn > 0, 1, M > 0 dn N > 0 Contoh log 0 + log 5 = log (0.5) = log 100 = 1

17 . Jik log = 0,3010 dn log 3 = 0,4771 mk tentukn log 6! log 6 = log (.3) = log + log 3 = 0, ,4771 = 0,7781. Logritm dri pemgin M log = log M - log N, dimn > 0, 1, M > 0 dn N > 0 N Contoh log 48 log 3 = log (48/3) = log16 = 4. Jik log = 0,3010 dn log 3 = 0,4771 mk tentukn log 1,5! log 1,5 = log (3/) = log 3 log = 0,4771 0,3010 = 0,1761 c. Logritm dri perpngktn log M p = p log M, dimn > 0, 1, M > 0 Contoh log 7 = log3 3 = 3 log3. Jik log = 0,3010 dn log 3 = 0,4771 mk tentukn log 36! log 36 = log (.3 ) = log + log3 = log + log 3 = (0,3010) + (0,4771) = 0, ,954 = 1,556 d. Menguh sis logritm M log N log N, dimn > 0, 1, M > 0 dn N > 0 log M Contoh log 5 log 5 log 3. Jik log = 0,3010 dn log 3 = 0,4771 mk tentukn log 3! log 3 log 3 log 0,4771 1,5850 0,3010 e. Perpngktn dengn logritm log M Contoh 1.16 M, dimn > 0, 1, M > 0 log log3 3 log3 log ( )

18 D. Rngkumn 1. Himpunn ilngn Rel (nyt) ditulis : x x ilngn Rel R Bilngn rsionl dn Irrsionl merupkn himpunn ilngn rel.. Sift Ketidksmn Bilngn Rel. Semrng ilngn Rel dn, dpt terjdi slh stu dri tig hl yitu : <, <, tu =.. Jik < dn < c mk < c. c. Jik <, mk + c < + c untuk semrng nili c. d. Jik < dn c > 0 mk c < c. e. Jik < dn c < 0 mk c > c 3. Pngkt Bult Positif Jik ilngn rel tu Є R dn n ilngn ult positif, mk n =.... diseut ilngn pokok dn n diseut pngkt 4. Sift Pngkt Bult Positif. Jik ilngn rel, p dn q dlh ilngn ult postitif mk p. q pq. Jik Є R dn 0, p dn q ilngn ult positif mk p : q p q pq 1 q p 1 ; ; jik p q ; jik q p jik p q c. Jik ilngn rel, p dn q ilngn ult positif mk p q p. q pq d. Jik dn ilngn rel, p ilngn ult mk p p p 5. Pngkt Bult Negtif dn Nol Jik 0, ilngn rel dn n ilngn ult positif mk n 6. Opersi ljr pd entuk kr. x x x 1 dn 0 = 1 n 14

19 15. x x x c.. d.. e. : f. cd d c 7. Mersionlkn pechn entuk kr... c c c c c c. c. c c c c c c. d. c c c c c c. e. c c c c c c. 8. Logritm merupkn invers tu kelikn dri eksponen tu perpngktn. Jik n = dengn > 0 dn 1 mk log = p 9. Sift-sift Logritm. Logritm dri perklin log MN = log M + log N, dimn > 0, 1, M > 0 dn N > 0. Logritm dri pemgin log N M = log M - log N, dimn > 0, 1, M > 0 dn N > 0 c. Logritm dri perpngktn log M p = p log M, dimn > 0, 1, M > 0 d. Menguh sis logritm M N N M log log log, dimn > 0, 1, M > 0 dn N > 0

20 e. Perpngktn dengn logritm log M M, dimn > 0, 1, M > 0 E. Ltihn 1. Gmrkn dlm sutu skem tentng pemgin sistem ilngn rel!. Selesikn sol erikut : (-3) 6. (-3) 5 5 3x y. 10xy c. 4 6x y 3. Kerjkn sol entuk kr erikut :. Sederhnkn c. Jik L. mk nili L untuk 100 dn 64 dlh x y d. Hitunglh 3 xy 9 3 e. Untuk hrg x = 1 mk tentukn nili dri 3 x 4. Kerjkn sol logritm erikut :. Urikn entuk log! c. Jik log 3 = dn log 5 = mk tentukn nili log 45! c. Jik log 5 = p mk tentukn nili log 40 d. Jik log = p dn log = q mk tentukn.! 16

21 BAB II HIMPUNAN A. Pendhulun Konsep himpunn merupkn sutu konsep yng telh nyk mendsri perkemngn ilmu pengethun, ik pd idng mtemtik itu sendiri mupun pd disiplin ilmu linny. Perkemngn pd disiplin ilmu linny terutm dlm hl pementukn model dihruskn menggunkn himpunn / kelompok dt oservsi dri lpngn. Dengn demikin terliht jels egitu penting pern dri konsep himpunn, dn segi wl dri hsn uku jr ini kn dihs pengertin himpunn, cr penyjin himpunn, mcm-mcm himpunn, relsi pd himpunn dn opersi-opersi himpunn. Dihrpkn mhsisw dpt mendeskripsikn pengertin himpunn, menuliskn himpunn dlm ergi cr penulisn himpunn, menyeutkn mcm-mcm himpunn, menentukn relsi pd himpunn dn menggunkn opersi-opersi himpunn. B. Pengertin Himpunn Istilh himpunn dlm mtemtik ersl dri kt set dlm hs Inggris. Kt lin yng sering digunkn untuk menytkn himpunn ntr lin kumpuln, kels, gugus, dn kelompok. Secr sederhn, rti dri himpunn dlh kumpuln ojek-ojek (rel tu strk). Segi contoh kumpuln ukuuku, kumpuln mteri, kumpuln mhsisw di kelsmu, dn seginy. Ojekojek yng dimsukn dlm stu kelompok hruslh mempunyi sift-sift tertentu yng sm. Sift tertentu yng sm dri sutu himpunn hrus didefinisikn secr tept, gr kit tidk slh mengumpulkn ojek-ojek yng termsuk dlm himpunn itu. Dengn kt lin, himpunn dlm pengertin mtemtik ojekny / nggotny hrus tertentu (well defined), jik tidk i ukn himpunn. Dengn demikin, kt himpunn tu kumpuln dlm pengertin sehri-hri d perednny dengn pengertin dlm mtemtik. Jik kumpuln itu nggotny tidk is ditentukn, mk i ukn himpunn dlm pengertin 17

22 mtemtik. Demikin jug dengn konsep himpunn kosong dlm mtemtik, tidk d istilh terseut dlm pengertin sehri-hri. Contoh kumpuln yng ukn himpunn dlm pengertin mtemtik dlh kumpuln ilngn, kumpuln lukisn indh, dn kumpuln mknn lezt Pd contoh di ts tmpk hw dlm sutu kumpuln d ojek. Ojek terseut is strk tu is jug kongkrit. Pengertin strk sendiri errti hny dpt dipikirkn, sedngkn pengertin kongkrit selin dpt dipikirkn mungkin i is diliht, dirs, dir, tu dipegng. Pd contoh (1) ojekny dlh ilngn (strk). Ojek terseut elum tertentu, se kit tidk is menentukn ilngn p sj yng termsuk dlm himpunn terseut. Pd contoh () dn (3), msing-msing ojekny dlh lukisn dn mknn, jdi i kongkrit. Nmun demikin kedu ojek terseut elum tertentu, se sift indh dn lezt dlh reltif, untuk setip orng is erlinn. Sekrng mrilh kit peljri contoh kumpuln yng merupkn himpunn dlm pengertin mtemtik. Misl (1) kumpuln ilngn sli, () kumpuln ilngn cch kurng dri 10, (3) kumpuln wrn pd ender RI, (4) kumpuln hewn erkki du, dn (5) kumpuln mnusi erkki lim Pd kelim contoh di ts kumpuln terseut memiliki ojek (strk tu kongkrit), dn semu ojek pd himpunn terseut dlh tertentu tu dpt ditentukn. Pd contoh (1), (), dn (3) ojekny strk, sedngkn pd contoh (4) dn (5) ojekny kongkrit. Khusus untuk contoh (5) nykny nggot 0 (nol), jdi i tertentu jug. Untuk hl yng terkhir ini is diseut himpunn kosong (empty set), sutu konsep himpunn yng didefinisikn dlm mtemtik. Pemicrn leih rinci mengeni himpunn kosong kn dihs pd gin lin. Terkit dengn pengertin himpunn, erikut dlh hl-hl yng hrus nd cermti dn ingt, yitu ojek-ojek dlm sutu himpunn mestilh ered, rtiny tidk terjdi pengulngn penulisn ojek yng sm. Segi contoh, mislkn A = {, c,,, d, c}. Himpunn A terseut tidk dipndng mempunyi jumlh nggot senyk 6, tetpi himpunn terseut dipndng segi A ={, c,, d} dengn jumlh nggot senyk 4. Urutn ojek dlm sutu himpunn tidklh dipentingkn. Mksudny himpunn {1,, 3, 4} dn {, 1, 4, 3} menytkn himpunn yng sm. 18

23 C. Kenggotn Himpunn dn Bilngn Krdinl Sutu himpunn dinytkn dengn huruf kpitl, seperti A, B, C, D,, dn untuk menytkn himpunn itu sendiri dinotsikn dengn tnd kurung kurwl (qulde). Ojek yng diicrkn dlm himpunn terseut dinmkn nggot (elemen, unsur). Anggot-nggot dri sutu himpunn dinytkn dengn huruf kecil tu ngk-ngk dn erd di dlm tnd kurwl. Tnd kenggotn dinotsikn dengn, sedngkn tnd ukn nggot dinotsikn dengn. Jik x dlh nggot dri A mk dpt ditulis xa, dn jik y ukn nggot himpunn A mk ditulis dengn y A. Bnykny nggot dri sutu himpunn diseut dengn krdinl (ilngn krdinl) himpunn terseut. Jik A dlh sutu himpunn, mk nykny nggot dri A (ilngn krdinl A) ditulis dengn notsi n(a) tu A. Contoh.1 A = {,, c, d, e, f}, mk n(a) = 6 D. Penulisn Himpunn Ad empt cr tu metode untuk menytkn (menuliskn) sutu himpunn, yitu : 1. Cr Tulsi Cr ini sering diseut jug dengn cr pendftrn (roster method) tu enumersi, yitu cr menytkn sutu himpunn dengn menuliskn nggotny stu per stu. Untuk memedkn nggot yng stu dengn yng linny digunkn tnd kom (,). Jik nykny nggot himpunn itu cukup nyk tu tk hingg, untuk menyingkt tulisn isny digunkn tnd titik tig yng errti dn seterusny. Cr tulsi is digunkn jik nggot dri himpunn itu is ditunjukn stu perstu (diskrit), misl : (1) A = {0, 1,, 3, 4,...} () B = {0, 1, 4, 9, 16,..., 100} (3) C = {merh, jingg, kuning, hiju, iru} Pd contoh (1) nyk nggot dri himpunn A dlh tk hingg sehingg tidk mungkin dituliskn semu nggotny stu perstu, oleh kren itu digunkn titik tig setelh turn (pol) ilngn yng disjikn dpt diliht. Perhtikn hw kit tidk oleh menuliskn seperti A = {0,...} tu A = 19

24 {0, 1,...} untuk contoh (1) se elum tmpk polny. Penulisn seperti itu is mengndung interpretsi lin, sehingg tidk sesui dengn yng dimksudkn. Pd contoh (), jug digunkn tnd titik tig kren nyk nggotny cukup nyk dn turn ilngnny sudh tmpk, yitu kudrt dri ilngn cch. Krdinl dri setip himpunn di ts dlh n(a) = ~, n(b) = 11, dn n(c) = 5.. Cr Pencirin / Deskriptif Cr ini dikenl jug dengn rule method tu metode turn, tu diseut jug metode pementuk himpunn. Dlm menggunkn metode deskripsi ini, nggot dri sutu himpunn tidk diseutkn stu per stu, tetpi penyjin nggot himpunnny dilkukn dengn mendefinisikn sutu turn / rumusn yng merupkn tsn gi nggot-nggot himpunn. Himpunn yng nggotny diskrit dpt disjikn dengn cr deskripsi ini, kn tetpi sutu himpunn yng nggotny kontinu hny is disjikn dengn cr deskripsi, dn tidk is disjikn dengn cr tulsi. Contoh. 1. A = dlh himpun ilngn cch yng leih dri 1 dn kurng dri 8. Himpunn A, jik disjikn dengn cr tulsi didpt : A = {, 3, 4, 5, 6. 7} sedngkn jik disjikn dengn menggunkn metode deskripsi didpt : A = {x 1 < x < 8, x ilngn cch}. B = {x 1 < x < 8, x ilngn rel}. Himpunn terseut tidk is disjikn dengn cr tulsi, kren nggotny kontinu. Kedu himpunn terseut memiliki krdinlits yng ered, yitu n(a) = 6 sedngkn n(b) = ~. 3. Simol-simol Bku Beerp himpunn yng khusus dituliskn dengn simol-simol yng sudh ku. Terdpt sejumlh simol ku yng menytkn sutu himpunn, yng isny disjikn dengn menggunkn huruf kpitl dn dicetk tel. Berikut dlh contoh-contoh himpunn yng dinytkn dengn simol ku, yng sering kit dijumpi, yitu : N = himpunn ilngn sli = {1,, 3,...} 0

25 P = himpunn ilngn ult positif = {1,, 3,...} Z = himpunn ilngn ult {...,-, -1, 0, 1,, 3,...} Q = himpunn ilngn rsionl R = himpunn ilngn riil C = himpunn ilngn kompleks 4. Digrm Venn Dlm digrm venn, himpunn semest S digmrkn dengn persegi pnjng, sedngkn untuk himpunn linny digmrkn dengn lengkungn tertutup sederhn, dn nggotny digmrkn dengn nokth. Anggot dri sutu himpunn digmrkn dengn nokth yng terletk di dlm di dlm derh lengkungn tertutup sederhn itu, tu di dlm persegi pnjng untuk nggot yng tidk termsuk di dlm himpunn itu. Contoh.3 S = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1,, 5} ; B = {3, 4, 7, 8} Gmr.1 E. Mcm-mcm Himpunn Beerp konsep erkenn dengn himpunn yng didefinisikn dlm mtemtik. 1. Himpunn kosong Definisi Sutu himpunn A diktkn himpunn kosong jik dn hny jik n(a) = 0. Himpunn kosong dilmngkn dengn (dic phi). Kren ilngn krdinl dri sm dengn nol, mk himpunn tidk mempunyi nggot, sehingg = { }. 1

26 Pengertin jik dn hny jik pd definisi di ts errti : jik A himpunn kosong, mk n(a) = 0. Selikny, jik n(a) = 0 mk A dlh himpunn kosong. Berikut disjikn eerp contoh tentng himpunn kosong. Contoh.4 1. A = himpunn mhsisw Jurusn Ekonomi dn Bisnis Umsid ngktn 015/016 yng mempunyi tinggi dn di ts 3 meter.. B = {x 6 < x < 7, x ilngn ult} 3. C = {x x ilngn prim keliptn 6} 4. D = {x x < 0, x ilngn rel}. Himpunn Semest Definisi Himpunn semest S dlh himpunn yng memut semu nggot himpunn yng diicrkn. Jik nd cermti definisi di ts, tmpk hw sutu himpunn tertentu merupkn himpunn semest gi diriny sendiri. Himpunn semest dri sutu himpunn tertentu tidklh tunggl, tetpi mungkin leih dri stu. Co nd perhtikn contoh erikut : Mislkn A = {,, c}, mk himpunn semest dri A ntr lin dlh : S 1 = {,, c} S = {,, c, d} S 3 = {,, c, d, e} S 4 = {,, c, d, e, f} Dri contoh di ts, jels hw himpunn semest dri sutu himpunn tidklh tunggl. Sutu himpunn is merupkn himpunn semest gi himpunn tertentu slkn semu nggot dri himpunn tertentu itu menjdi nggot dri himpunn semest.

27 F. Relsi ntr Himpunn 1. Himpunn yng sm Definisi Du uh himpunn A dn B diktkn sm, dilmngkn A = B, jik dn hny jik setip nggot di A merupkn nggot di B, dn jug setip nggot di B merupkn nggot di A. Pd definisi di ts, digunkn perktn jik dn hny jik, ini mengndung rti hw :. jik himpunn A sm dengn B, mk setip nggot di A merupkn nggot di B, dn. jik terdpt du himpunn sedemikin hingg setip nggot pd himpunn pertm merupkn nggot pd himpunn kedu dn setip nggot pd himpunn kedu merupkn nggot pd himpunn pertm, mk diktkn hw kedu himpunn itu sm. Contoh.5 A = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dn B = {x x < 9, x ilngn cch} Himpunn B jik dituliskn dengn metode tulsi mk di dpt B ={0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Dengn memperhtikn nggot-nggot pd A dn B, mk jels hw A = B. Contoh.6 Mislkn C = {,, c, d} dn D = {c,, }. Meskipun setip nggot di D merupkn nggot di C, kn tetpi tidk setip nggot di C merupkn nggot di D. Dengn demikin C D.. Himpunn gin Definisi. A diktkn himpunn gin dri B, dilmngkn A B, jik dn hny jik setip nggot di A merupkn nggot di B. Jik A B digmrkn dengn menggunkn digrm venn, mk didptkn segi erikut. 3

28 S Gmr. A B Segi contoh hw {,, c} {,, c, d} dn {, 4, 6, 8} {0,, 4, 6, 8, 10, 1, 14}. And pstiny jug setuju hw A B dlh ekivlen dengn B A. Penulisn B A lzimny dimkni segi B superset dri A. Definisi. A diktkn himpunn gin sejti (proper suset) dri B, A B, jik dn hny jik setip nggot di A merupkn nggot di B dn pling sedikit terdpt stu nggot di B yng ukn merupkn nggot A. Segi contoh, perhtikn hw {1,, 3, 4, 5}{0, 1,, 3, 4, 5, 6} kn tetpi {,, c} {c,, }. 3. Himpunn Leps Definisi A dn B diktkn leps (disjoint) jik dn hny jik tidk terdpt nggot ersm pd A dn B, tu dengn kt lin A dn B diktkn leps jik A B. Simol A B menytkn irisn dri A dn B. Berikut dlh deskripsi dri A leps dengn B. Gmr.3 A B Contoh.7 Mislkn A = {,, c, d, e} dn B = {f, h, i, j, k} mk didptkn hw A B. Kren A B mk A dn B merupkn himpunn yng leps. 4

29 4. Himpunn Bersilngn Definisi A ersilngn dengn B jik dn hny jik A B, tu dengn kt lin irisn dri kedu himpunn terseut tidk kosong. Berikut dlh deskripsi dri A ersilngn dengn B. Contoh.8 Gmr.4 A B Mislkn A = {,, c, d, e, f} dn B = {d, e, f, g, h, i} mk didptkn hw A B = {d, e, f}. Kren A B himpunn yng ersilngn. 5. Himpunn Ekuivlen Definisi = {d, e, f} mk A dn B merupkn A ekuivlen dengn himpunn B, dilmngkn A~B, jik dn hny jik nykny nggot dri A sm dengn nykny nggot B, tu n(a) = n(b). Contoh.9 A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } B = {,, c, d, e, f } n(a) = 6 dn n(b) = 6 Mk A ~ B 6. Himpunn Kus (Power Set) Definisi Himpunn Kus dri himpunn A, dilmngkn P(A), dlh sutu himpunn yng nggotny merupkn semu himpunn gin dri A, termsuk himpunn kosong dn himpunn A sendiri. Contoh.10 A = {,, c}. Himpunn gin dri A dlh, {}, {}, {c}, {, }, {, c}, {, c}, {,, c}. Sehingg P(A) = {, {}, {}, {c}, {, }, {, c}, {,c}, {,, c}} 5

30 G. Opersi Himpunn 1. Irisn (Intersection) Definisi Irisn dri A dn B, dilmngkn A B, dlh himpunn yng nggotnggotny merupkn nggot dri himpunn A dn sekligus nggot himpunn B. A B x x Adn x B Contoh.11 Gmr.5 A B Mislkn A = {,, c, d, e, f} dn B = {, e, g} mk Digrm venn-ny dlh segi erikut. A B = {, e}. Contoh.1 Gmr.6 Derh yng dirsir menytkn Mislkn A = {,, c, d, e, f} dn B = { g, h, i, j} mk Digrm venn-ny dlh segi erikut A B A B. Kren Gmr.7 A B mk tidk d derh yng dirsir 6

31 . Gungn (Union) Definisi Gungn ntr himpunn A dn himpunn B dilmngkn A B, dlh himpunn yng nggot-nggotny merupkn nggot himpunn A tu nggot himpunn B. A B x x Atu x B Contoh.13 Gmr.8 A B Mislkn A = {,, c, d, e, f} dn B = {, e, g} mk Digrm venn-ny dlh segi erikut. A B = {,, c, d, e, f, g}. Contoh.14 Gmr.9 Derh yng dirsir menytkn Mislkn A = {,, c, d, e, f} dn B = { g, h, i, j} mk i, j}. Digrm venn-ny dlh segi erikut. A B. A B = {,, c, d, e, f, g, h, Gmr.10 Derh yng dirsir menytkn A B 7

32 3. Komplemen Definisi Dierikn himpunn universl (semest) S dn himpunn A. A S, komplemen dri A, dilmngkn A, dlh himpunn semu ojek di S yng tidk termsuk di A. A' x x S dn x A Gmr.11 Contoh.16 Mislkn S = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dn B = {1, 3, 5, 7, 9} mk B dlh himpunn ilngn S selin B, yitu B = {0,, 4, 6, 8, 10}. 4. Selisih Himpunn Selisih dri A dn B, dilmngkn A B, dlh himpunn yng nggotnggotny merupkn nggot dri himpunn A tetpi ukn merupkn nggot dri himpunn B. A B x x Adn x B Gmr.1 Contoh.17 Mislkn A = {,, c, d, e, f} dn B = {, e, g} mk A - B = {, c, d, f}. Digrm venn-ny dlh segi erikut. Gmr.13 Derh yng dirsir menytkn A B 8

33 H. Sift-sift Opersi pd Himpunn 1. Sift Identits A A. Sift Dominsi A 3. Sift Komplemen A A' S 4. Sift Idempoten A A A 5. Sift Penyerpn A A B A 6. Sift Komuttif A B B A tu A B B A 7. Sift Asositif B C A B C A B C A B C A tu 8. Sift Distriutif B C A B A C tu A B C A B A C A Sift De-Morgn A B' A' B' tu A B ' A' B' 9. Sift Komplemen ke- ' S tu S' I. Rngkumn 1. Himpunn dlm pengertin mtemtik ojekny / nggotny hrus tertentu (well defined), jik tidk i ukn himpunn.. Penulisn Himpunn. Ad empt metode dlm menuliskn himpunn :. Cr Tulsi Cr ini sering diseut jug dengn cr pendftrn (roster method) tu enumersi, yitu cr menytkn sutu himpunn dengn menuliskn nggotny stu per stu. Untuk memedkn nggot yng stu dengn yng linny digunkn tnd kom (,). Jik nykny nggot himpunn itu 9

34 cukup nyk tu tk hingg, untuk menyingkt tulisn lzimny dengn menggunkn tnd titik tig yng errti dn seterusny, sl turnny sudh tmpk pd pernytn nggot yng telh dituliskn.. Cr Pencirin / Deskriptif Cr ini dikenl jug dengn rule method tu metode turn, tu diseut jug metode pementuk himpunn. Dlm menggunkn metode deskripsi ini, nggot dri sutu himpunn tidk diseutkn stu per stu, tetpi penyjin nggot himpunnny dilkukn dengn mendefinisikn sutu turn/rumusn yng merupkn tsn gi nggot-nggot himpunn. c. Simol-simol Bku Berikut dlh contoh-contoh himpunn yng dinytkn dengn simol ku, yng sering kit dijumpi, yitu : N = himpunn ilngn sli = {1,, 3,...} P = himpunn ilngn ult positif = {1,, 3,...} Z = himpunn ilngn ult {...,-, -1, 0, 1,, 3,...} Q = himpunn ilngn rsionl R = himpunn ilngn riil C = himpunn ilngn kompleks d. Digrm Venn Dlm digrm venn himpunn semest S digmrkn dengn persegi pnjng, sedngkn untuk himpunn linny digmrkn dengn lengkungn tertutup sederhn, dn nggotny digmrkn dengn nokth. Anggot dri sutu himpunn digmrkn dengn nokth yng terletk di dlm di dlm derh lengkungn tertutup sederhn itu, tu di dlm persegi pnjng untuk nggot yng tidk termsuk di dlm himpunn itu. 3. Beerp konsep mcm-mcm himpunn :. Himpunn Kosong Sutu himpunn A diktkn himpunn kosong jik dn hny jik n(a) = 0. Himpunn kosong dilmngkn dengn (dic phi). Kren ilngn krdinl dri sm dengn nol, mk himpunn tidk mempunyi nggot, sehingg = { } 30

35 . Himpunn Semest Himpunn semest S dlh himpunn yng memut semu nggot himpunn yng diicrkn 4. Relsi ntr Himpunn :. Himpunn yng sm Du uh himpunn A dn B diktkn sm, dilmngkn A = B, jik dn hny jik setip nggot di A merupkn nggot di B, dn jug setip nggot di B merupkn nggot di A.. Himpunn Bgin A diktkn himpunn gin dri B, dilmngkn A B, jik dn hny jik setip nggot di A merupkn nggot di B. c. Himpunn Leps A dn B diktkn leps (disjoint) jik dn hny jik tidk terdpt nggot ersm pd A dn B, tu dengn kt lin A dn B diktkn leps jik A B d. Himpunn Bersilngn A ersilngn dengn B jik dn hny jik A B, tu dengn kt lin irisn dri kedu himpunn terseut tidk kosong e. Himpunn Ekuivlen A ekivlen dengn himpunn B, dilmngkn A~B, jik dn hny jik nykny nggot dri A sm dengn nykny nggot B, tu n(a) = n(b). f. Himpunn Kus (Power Set) Himpunn Kus dri himpunn A, dilmngkn P(A), dlh sutu himpunn yng nggotny merupkn semu himpunn gin dri A, termsuk himpunn kosong dn himpunn A sendiri. 5. Opersi Himpunn. Irisn (Intersection) Irisn dri A dn B, dilmngkn A B, dlh himpunn yng nggotnggotny merupkn nggot dri himpunn A dn sekligus nggot himpunn B. A B x x Adn x B 31

36 . Gungn (Union) Gungn ntr himpunn A dn himpunn B dilmngkn A B, dlh himpunn yng nggot-nggotny merupkn nggot himpunn A tu nggot himpunn B. A B x x Atu x B c. Komplemen Dierikn himpunn universl (semest) S dn himpunn A. A S, komplemen dri A, dilmngkn A, dlh himpunn semu ojek di S yng tidk termsuk di A. A' x x S dn x A d. Selisih Selisih dri A dn B, dilmngkn A B, dlh himpunn yng nggotnggotny merupkn nggot dri himpunn A tetpi ukn merupkn nggot dri himpunn B. A B 6. Sift-sift Opersi pd Himpunn. Sift Identits A A. Sift Dominsi A c. Sift Komplemen A A' S d. Sift Idempoten x x Adn x B e. Sift Penyerpn A A A A A B A f. Sift Komuttif A B B A g. Sift Asositif tu A B B A A B C A B C tu A B C A B C 3

37 h. Sift Distriutif A B C A B A C tu A B C A B A C i. Sift De-Morgn A B' A' B' tu A B ' A' B' j. Sift Komplemen ke- ' S tu S' J. Ltihn 1. Mislkn S = {1,, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {, 3, 4}. Dengn menggunkn cr tulsi tentukn himpunn erikut :. A B. A B c. A B' d. A B' e. A f. B g. A ' B' h. A ' B' i. Apkh A B ' A' B'? j. Apkh A B ' A' B'?. Dengn menggunkn digrm venn tunjukkn hw :. A B C A B A C. A B C A B A C 3. Dri 100 orng mhsisw, 60 mhsisw mengikuti kulih Bhs Inggris, 50 mhsisw mengikuti kulih Sttistik, 30 mhsisw mengikuti kulih Mtemtik Dsr, 30 mhsisw mengikuti kulih Bhs Inggris dn Sttistik, 16 mhsisw mengikuti kulih Bhs Inggris dn Mtemtik Dsr, 10 mhsisw mengikuti kulih Sttistik dn Mtemtik Dsr, dn 6 mhsisw mengikuti kulih ketig-tigny. Berp nyk mhsisw yng mengikuti kulih Bhs Inggris, tu Sttistik, tu Mtemtik Dsr? 4. Mnkh dri himpunn erikut ini, yng merupkn himpunn kosong? Jelskn! 33

38 . {x x nm huruf vokl selin, i, u, e, o di dlm lfetl}. {x x = 9 dn x = 4} c. {x x x} d. {x x + 6 = 6, x ilngn sli} 5. Mislkn A = {1,, 3}, B = {0, 1, }, C = {3, 1, }, D = {,, c}, E = {1, }, F = {0, 1,, 3}, dn G = {ilngn cch ntr 0 dn 4}. Himpunn mnkh yng sm dengn A?. Himpunn mnkh yng ekivlen dengn A? c. Jik H dn I dlh himpunn, sedemikin sehingg erlku H = I, pkh H ~ I? Jelskn! d. Jik J dn K dlh himpunn, sedemikin sehingg erlku J ~ K, pkh J = K? Jelskn! 6. Mislkn A = {, {4,5}, 4}. Mnkh pernytn yng slh? Jelskn!. {4, 5} A. {4, 5} A c. {{4, 5}} A 34

39 BAB III PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR A. Pendhulun Dsr dri sutu persmn dlh seuh pernytn mtemtik yng terdiri dri du ungkpn pd rus knn dn rus kiri yng dipishkn oleh tnd = (dic sm dengn). Hl yng tk dikethui dlm seuh persmn diseut vriel. Dn seuh penyelesin dri sutu persmn erup nili yng jik disustitusikn pd vriel menghsilkn seuh pernytn yng enr. Sementr itu, istilh-istilh seperti leih dri, kurng dri, leih esr, leih kecil, leih tinggi, leih rendh, tidk sm sudh menjdi hs sehri-hri dlm msyrkt. Istilh-istilh terseut digunkn untuk menentukn nili mksimum tu nili minimum dri sutu permslhn tu pernytn yng dpt dimodelkn secr mtemtis. Dihrpkn mhsisw dpt menentukn penyelesin dri persmn liner stu vriel dn himpunn penyelesin dri pertidksmn liner stu vriel. B. Persmn Liner Stu Vriel Definisi Sutu persmn yng memut stu vriel erpngkt stu. Contoh x = 9. 5x + 4 = x = x + 4 Seuh penyelesin untuk sutu persmn dlh serng ilngn yng memut persmn itu enr jik ilngn itu disustitusikn pd vriel. Contoh x = 1 Persmn ini mempunyi penyelesin ilngn 7, kren 3(7) = 1 dlh enr. Sementr ilngn 5 ukn seuh penyelesin dri 3x = 1, kren 3(5) = 1 dlh slh. 35

40 . 3x = x + 4 Jik persmn ini diselesikn mk mempunyi penyelesin ilngn 13, kren 3(13) = Prinsip Penjumlhn dn Perklin Ad du prinsip yng diperolehkn untuk menyelesikn ermcm-mcm persmn. Pertm, Prinsip Penjumlhn Untuk serng ilngn rel, dn c, jik = mk erlku +c = + c c = c Kedu, Prinsip Perklin Untuk serng ilngn rel, dn c, jik = mk erlku. c =. c, enr dengn c 0. c c Contoh 3.3 Tentukn penyelesin dri 3x 31. Penyelesin : 3x 31 3x 31 3x x x 11 Contoh 3.4 menggunk n prinsip penjumlh n, kedu rus ditmh 1 menggunk n prinsip perklin, kedu rus dikli 3 Tentukn penyelesin dri 3x x 5 Penyelesin : x x 5 3 3x x 5 sift distriutif 3x 4 5x 0 3x 4 4 5x 0 4 kedu rus ditmh 4 3x 5x 16 3x 5x 5x 5x 16 kedu rus ditmh 5x 8x 16 36

41 x. 16 kedu rus dikli x = - C. Persmn Ekuivlen Definisi Persmn Ekuivlen dlh persmn yng mempunyi himpunn penyelesin yng sm. Contoh 3.5 (1) x = 1 () - 5x = - 30 (3) 3x + 5 = 3 (4) x 5 = x + 1 Keempt persmn terseut ekuivlen kren mempunyi himpunn penyelesin yng sm yitu x = 4. D. Persmn Liner Bentuk Pechn Stu Vriel Yitu persmn yng memut pechn. Untuk menyelesikn persmn pechn ini digunkn perklin dengn vriel. Contoh 3.6 Tentukn penyelesin dri Penyelesin : x x

42 x x x x x x x 6 5x 3 8x 6 3 8x x x x 8 E. Pertidksmn Liner Stu Vriel Definisi kedu rus dikli 15 sift distriuti kedu rus ditmh kedu rus dikli Sutu pertidksmn yng hny mempunyi stu vriel dengn pngkt tertinggi vrielny stu. Contoh x < 9. 5x + 4 > x < x + 4 Pd prinsipny penyelesin pertidksmn liner mirip dengn persmn liner. Hl ini dpt diliht pd tel perndingn erikut. No Penyelesin Persmn Penyelesin Pertidksmn 1. Prinsip Penjumlhn Prinsip Penjumlhn Menmh dengn Menmh dengn ilngn yng sm ilngn yng sm pd pd kedu rus.. kedu rus. Prinsip Perklin Prinsip Perklin Kedu rus diklikn 1. Jik kedu rus diklikn dengn dengn ilngn yng ilngn positif yng sm mk sm. tnd pertidksmn tidk eruh.. Jik kedu rus diklikn dengn ilngn negtif yng sm, tnd pertidksmn eruh dri < menjdi >, dri menjdi dn selikny. f

43 Contoh 3.8 Tentukn penyelesin dri x 4 6. Penyelesin : x 4 6 x x x 10 x 5 Jdi himpunn penyelesinny x x 5 kedu rus ditmh kedu rus dikli Contoh 3.9 Tentukn penyelesin dri 3x 5 x 7. Penyelesin : 3x 5 5 x 7 5 3x x 1 3x x x x 1 x x 1 x 6 Jdi himpunn penyelesinny x x 6. kedu rus ditmh kedu rus ditmh kedu rus dikli 1 5 x Contoh 3.10 Tentukn penyelesin dri 3 x 7 3 x 4 x. Penyelesin : 3x x 7 3 x 3x 4x 14 6 x 4 x 14 x x x 14 x x 1 x x 1 3x x x 4 sift distriuti kedu rus ditmh 14 kedu rus ditmh x kedu rus dikli f

44 Jdi himpunn penyelesinny x x 4 Contoh 3.11 Tentukn himpunn penyelesin dri 3 x Penyelesin : 3 x 7 11 Untuk menyelesikn sol ini menggunkn du lngkh kren menyelesiknny menggunkn kominsi pertidksmn. Lngkh I. 3 x x x x 4 Lngkh II. x 7 11 x x 4 kedu rus ditmh 7...(1) kedu rus ditmh 7...() Dri (1) dn () dikominssikn mk himpunn penyelesinny x 4 x 4 F. Pertidksmn Liner Bentuk Pechn Stu Vriel Yitu pertidksmn yng memut pechn. Untuk menyelesikn pertidksmn pechn ini digunkn perklin vriel. Contoh 3.1 Tentukn himpunn penyelesin dri Penyelesin : x x x x x 1 3x 4x 3x 1 3x 3x x 1 x x kedu rus dikli 1 Jdi himpunn penyelesinny x x 1 kedu rus ditmh 3x 40

45 G. Rngkumn 1. Persmn dlh seuh pernytn mtemtik yng terdiri dri du ungkpn pd rus knn dn rus kiri yng dipishkn oleh tnd = (dic sm dengn). Penyelesin untuk sutu persmn dlh serng ilngn yng memut persmn itu enr jik ilngn itu disustitusikn pd vriel. 3. Untuk setip,, c R Jik = mk + c = + c 4. Untuk setip,, c R Jik = mk. c =. c 5. Untuk setip,, c R Jik = mk, c 0 c c Jik. = 0 mk = 0 tu = 0 Jik = 0 tu = 0 mk = 0 6. Persmn-persmn yng mempunyi himpunn penyelesin yng sm diseut persmn ekuivlen 7. Lmng dri pertidksmn <,, >,. 8. Prinsip-prinsip untuk menyelesikn pertidksmn :. Prinsip Penjumlhn, kedu rus ditmh dengn ilngn yng sm.. Prinsip Perklin, kedu rus diklikn dengn ilngn yng sm. 1) Jik diklikn dengn ilngn positif tnd pertidksmn tidk eruh. ) Jik diklikn dengn ilngn negtif tnd pertidksmn eruh keliknny. 41

46 H. Ltihn 1. Tentukn penyelesin dri persmn erikut :. x 1 = x x x = x c. (3x ) (6 x) = 1 d. 3(7 x) + (x 1) 5( x) = x + 1. Tentukn penyelesin dri persmn erikut :.. c. 1 3 x 4 x x x x 4 x 3. Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn erikut :. - 4x < 8. (3x ) (6 x) > 1 c. 3(7 x) + (x 1) 5( x) x Tentukn himpunn penyelesin dri pertidksmn erikut : 1. x 1. 3 x x x c. 3 x 4 d x Himpunn penyelesin dri pertidksmn x 1 dlh. 4 4

47 BAB IV FUNGSI A. Pendhulun Slh stu konsep dlm mtemtik yng pling penting dlh konsep fungsi. Dengn konsep fungsi, pr mtemtikwn mupun pr hli di idng yng lin dengn jels dpt mengethui pkh sutu struktur identik dengn struktur yng lin. Dn hmpir semu cng mtemtik menggunkn konsep fungsi dlm pengemngnny. Fungsi liner dn fungsi kudrt merupkn slh stu fungsi yng nyk digunkn dlm kehidupn. Bnyk mslh sehri-hri menjdi leih mudh diselesikn dengn menggunkn konsep fungsi liner dn fungsi kudrt. Dihrpkn mhsisw dpt menerpkn konsep fungsi ik fungsi liner mupun fungsi kudrt dlm ergi permslhn sehri-hri dn ergi idng pengemngn ilmu yng lin B. Pengertin Fungsi Definisi Sutu fungsi f dri himpunn A ke himpunn B dlh sutu relsi yng memsngkn setip elemen dri A secr tunggl, dengn elemen pd B. Apil f memetkn sutu elemen x A ke sutu y B diktkn hw y dlh pet dri x oleh f dn pet ini dinytkn dengn notsi f(x), dn is ditulis dengn f : x f(x), sedngkn x is diseut prpet dri f(x). Himpunn A dinmkn derh sl (domin) dri fungsi f, sedngkn himpunn B diseut derh kwn (kodomin) sedngkn himpunn dri semu pet di B dinmkn derh hsil (rnge) dri fungsi f terseut. Contoh 4.1 Gmr

48 Digrm segimn pd Gmr 1 di ts dlh fungsi kren pertm, terdpt relsi (yng melitkn du himpunn ykni A dn B) dn kedu, pemsngn setip elemen A dlh secr tunggl. Contoh 4. Gmr 4. Digrm 4. ukn merupkn fungsi kren d elemen A yng dipsngkn tidk secr tunggl dengn elemen pd B. C. Sift Fungsi Dengn memperhtikn gimn elemen-elemen pd msing-msing himpunn A dn B yng direlsikn dlm sutu fungsi, mk kit mengenl tig sift fungsi ykni segi erikut : 1. Injektif (Stu-stu) Mislkn fungsi f menytkn A ke B mk fungsi f diseut sutu fungsi stustu (injektif), pil setip du elemen yng erlinn di A kn dipetkn pd du elemen yng ered di B. Selnjutny secr singkt dpt diktkn hw f : A B dlh fungsi injektif pil erkit f() f( ) tu ekuivlen, jik f() = f( ) mk kitny =. Contoh Fungsi f pd R yng didefinisikn dengn f(x) = x ukn sutu fungsi stu-stu se f(-) = f().. Perhtikn gmr erikut. Gmr

49 Adpun fungsi pd A = {ilngn sli} yng didefinisikn dengn f(x) = x dlh fungsi stu-stu, se keliptn du dri setip du ilngn yng erlinn dlh erlinn pul.. Surjektif (Onto) Mislkn f dlh sutu fungsi yng memetkn A ke B mk derh hsil f(a) dri fungsi f dlh himpunn gin dri B, tu f(a) B. Apil f(a) = B, yng errti setip elemen di B psti merupkn pet dri sekurng-kurngny stu elemen di A mk kit ktkn f dlh sutu fungsi surjektif tu f memetkn A Onto B. Contoh Fungsi f : R R yng didefinisikn dengn rumus f(x) = x ukn fungsi yng onto kren himpunn ilngn negtif tidk dimut oleh hsil fungsi terseut.. Perhtikn gmr erikut. Gmr 4.4 Misl A = {,, c, d} dn B = {x, y, z} dn fungsi f : A B yng didefinisikn dengn digrm pnh dlh sutu fungsi yng surjektif kren derh hsil f dlh sm dengn kodomin dri f (himpunn B). 3. Bijektif (Korespondensi Stu-stu) Sutu pemetn f : A B sedemikin rup sehingg f merupkn fungsi yng injektif dn surjektif sekligus, mk diktkn f dlh fungsi yng ijektif tu A dn B erd dlm korespondensi stu-stu. 45

50 Contoh Perhtikn gmr erikut. Gmr 4.5 Relsi dri himpunn A = {,, c} ke himpunn B = {p, q, r} yng didefinisikn segi digrm di smping dlh sutu fungsi yng ijektif.. Fungsi f yng memsngkn setip negr di duni dengn iu kot negrnegr di duni dlh fungsi korespondensi stu-stu (fungsi ijektif), kren tidk d stu kotpun yng menjdi iu kot du negr yng erlinn. D. Jenis Fungsi Jik sutu fungsi f mempunyi derh sl dn derh kwn yng sm, mislny D, mk sering diktkn fungsi f pd D. Jik derh sl dri fungsi tidk dinytkn mk yng dimksud dlh himpunn semu ilngn rel (R). Untuk fungsi-fungsi pd R kit kenl eerp fungsi ntr lin segi erikut. 1. Fungsi Konstn Definisi f : x C dengn C konstn diseut fungsi konstn (tetp). Fungsi f memetkn setip ilngn rel dengn C. Contoh 4.6 Fungsi f : x 3 f(-) = 3, f(0) = 3, f(5) = 3. Gmr

51 . Fungsi Identits Definisi Fungsi R R yng didefinisikn segi f : x x diseut fungsi identits. Gmr 4.7 f(1) = 1, f() =, f(3) = 3 3. Fungsi Liner Definisi Fungsi pd ilngn rel yng didefinisikn f(x) = x +, dn konstn dengn 0 diseut fungsi liner. Grfik fungsi linier erup gris lurus. Untuk menggmr grfik fungsi linier is dilkukn dengn du cr yitu dengn memut tel dn dengn menentukn titik potong dengn sumu-x dn sumu-y. Contoh 4.7 Gmrlh grfik fungsi y = x + 3 Penyelesin : Dengn memut tel : y = x + 3 x y Gmr

52 Dri tel diperoleh titik-titik erup psngn koordint, kit gmr titik terseut dlm idng Crtesius kemudin dihuungkn, sehingg tmpk mementuk gris lurus. Dengn menentukn titik-titik potong dengn sumu-x dn sumu-y y = x + 3 Titik potong grfik dengn sumu-x : y = 0 0 = x + 3 x = 3 3 x 3 sehingg titik potong grfik dengn sumu x dlh, 0 Titik potong grfik dengn sumu-y : x = 0 y = x + 3 y = y = y = 3 sehingg titik potong grfik dengn sumu-y dlh (0,3) Kedu titik potong terseut digmr dlm idng Crtesius kemudin dihuungkn sehingg tmpk mementuk gris lurus. Gmr

53 Beerp hl penting dlm Fungsi Liner. Grdien Grdien tu koefisien rh (m) dlh konstnt yng menunjukkn tingkt kemiringn sutu gris. Perhtikn gmr erikut ini : Gmr 4.10 m y x y x y1 f ( x ) f ( x1) x 1 x x 1 Persmn gris y = mx + c, dengn m, c R, c dlh konstnt, dengn m melmngkn grdien / koefisien rh gris lurus. Pd gmr di ts, mislkn α dlh sudut ntr gris horisontl (sejjr sumu x) dn grfik fungsi linier dengn rh putrn erlwnn rh dengn rh putrn jrum jm, mk grdien dpt pul didefinisikn segi Cttn : y m x tn 1) Jik m = 0 mk grfik sejjr dengn sumu-x dn ini sering diseut segi fungsi konstn. ) Jik m > 0 mk grfik miring ke knn (0 < α < 90 ) 3) Jik m < 0 mk grfik miring ke kiri (90 < α < 180 ). Menentukn Persmn Gris mellui Stu Titik dn grdien m Mislkn gris y = mx + c mellui titik P (x 1, y 1 ), setelh nili koordint titik P disustitusikn ke persmn gris terseut diperoleh: y = mx + c y 1 = mx 1 + c 49

54 y y 1 = m (x x 1 ) Jdi persmn gris mellui titik P (x 1, y 1 ), dn ergrdien m dlh y y 1 = m (x x 1 ) c. Menentukn Persmn Gris mellui Du Titik Persmn gris mellui du titik A (x 1, y 1 ) dn B (x, y ) dpt dicri dengn lngkh segi erikut : Persmn gris mellui titik A (x 1, y 1 ) dengn memislkn grdienny m dlh y y 1 = m (x x 1 )... (i) kren gris ini jug mellui titik B (x, y ), mk y y 1 = m (x x 1 ), sehingg diperoleh grdienny m y 1 (ii) x y x persmn (ii) disustitusikn ke persmn (i) diperoleh 1 y y y 1 y 1 x x x 1 x 1 Jdi persmn gris mellui du titik A (x 1, y 1 ) dn B (x, y ) dlh y y y 1 y 1 x x x 1 x 1 d. Menentukn Titik Potong ntr Du Gris Mislkn du gris g 1 dn g sling erpotongn di titik P (x, y) mk nili x dn y hrus memenuhi kedu persmn gris terseut. Titik potong du gris dpt dicri dengn metode sustitusi, eliminsi, tu memut skets grfikny. e. Huungn Grdien dri Du Gris 1) Gris g 1 yng ergrdien m 1 diktkn sejjr dengn gris g yng ergrdien m jik memenuhi m 1 = m. ) Gris g 1 yng ergrdien m 1 diktkn tegk lurus dengn gris g yng ergrdien m jik memenuhi m 1. m = 1. 50

55 4. Fungsi Kudrt Definisi Bentuk umum fungsi kudrt dlh y = x + x + c dengn,, c R dn 0. Grfik fungsi kudrt erentuk prol mk sering jug diseut fungsi prol. Jik > 0, prol teruk ke ts sehingg mempunyi titik lik minimum, dn jik < 0 prol teruk ke wh sehingg mempunyi titik lik mksimum. Lngkh-lngkh dlm menggmr grfik fungsi kudrt y = x + x + c. Tentukn pemut nol fungsi y = 0 tu f(x) = 0 Pemut nol fungsi dri persmn kudrt y = x + x + c diperoleh jik x + x + c = 0. Sehingg diperoleh nili x yng memenuhi x + x + c = 0. Nili ini tidk lin dlh sis titik potong dengn sumu-x, sedngkn untuk menentukn titik potong dengn sumu-y, dpt dilkukn dengn mensustitusikn nili x tdi pd persmn kudrt semul.. Tentukn sumu simetri x c. Tentukn titik punck P (x, y) dengn D 4c. x dn D y, dengn nili 4 Jik ditinju dri nili dn D mk skets grfik prol segi erikut : 51

56 Cttn : Persmn Kudrt x + x + c = 0 dpt dicri kr-krny dengn: 1) Pemfktorn ) Melengkpi entuk kudrt sempurn 3) Rumus c : x Contoh c Gmrlh skets grfik fungsi y = x 6x + 5 Penyelesin :. Menentukn pemut nol fungsi, dengn pemfktorn diperoleh x 6x + 5 = 0 (x 1) (x 5) = 0 x = 1 tu x = 5 6. Menentukn sumu simetri x 3 (1) c. Menentukn titik punck P (x, y) Kren nili x sudh diperoleh mk tinggl mencri nili y dengn sustitusi x = 3 pd fungsi semul y = 3 6 (3) + 5 = = 4 Jdi punck prol dlh titik (3, 4) sehingg skets grfikny seperti pd gmr di wh ini. 5

57 E. Rngkumn 1. Pengertin fungsi Sutu fungsi f dri himpunn A ke himpunn B dlh sutu relsi yng memsngkn setip elemen dri A secr tunggl, dengn elemen pd B.. Sift-sift Fungsi. Injektif (Stu-stu) f : A B dlh fungsi injektif pil erkit f() f( ) tu ekuivlen, jik f() = f( ) mk kitny =.. Surjektif (Onto) f dlh sutu fungsi yng memetkn A ke B mk derh hsil f(a) dri fungsi f dlh himpunn gin dri B, tu f(a) B. Apil f(a) = B, yng errti setip elemen di B psti merupkn pet dri sekurng-kurngny stu elemen di A mk kit ktkn f dlh sutu fungsi surjektif tu f memetkn A Onto B c. Bijektif (Korespondensi stu-stu) f : A B sedemikin rup sehingg f merupkn fungsi yng injektif dn surjektif sekligus, mk diktkn f dlh fungsi yng ijektif tu A dn B erd dlm korespondensi stu-stu 3. Jenis Fungsi. Fungsi Konstn Fungsi f : x C dengn C konstn diseut fungsi konstn (tetp). Fungsi f memetkn setip ilngn rel dengn C.. Fungsi Identits Fungsi R R yng didefinisikn segi f : x x diseut fungsi identits. c. Fungsi Liner Fungsi pd ilngn rel yng didefinisikn f(x) = x +, dn konstn dengn 0 diseut fungsi liner. d. Fungsi Kudrt Bentuk umum fungsi kudrt dlh y = x + x + c dengn,, c R dn 0. Grfik fungsi kudrt erentuk prol mk sering jug diseut fungsi prol. Jik > 0, prol teruk ke ts sehingg mempunyi titik lik minimum, dn jik < 0 prol teruk ke wh sehingg mempunyi titik lik mksimum. 53

58 4. Beerp hl penting dlm fungsi liner. Grdien Grdien tu koefisien rh (m) dlh konstnt yng menunjukkn tingkt kemiringn sutu gris. y m x y x y1 f ( x ) f ( x1) x 1 x x. Menentukn Persmn Gris mellui Stu Titik dn grdien m Persmn gris mellui titik P (x 1, y 1 ), dn ergrdien m dlh y y 1 = m (x x 1 ) c. Menentukn Persmn Gris mellui Du Titik Persmn gris mellui du titik A (x 1, y 1 ) dn B (x, y ) dlh y y y 1 y 1 x x x 1 x d. Menentukn Titik Potong ntr Du Gris 1 Mislkn du gris g 1 dn g sling erpotongn di titik P (x, y) mk nili x dn y hrus memenuhi kedu persmn gris terseut. Titik potong du gris dpt dicri dengn metode sustitusi, eliminsi, tu memut skets grfikny e. Huungn Grdien dri Du Gris 1) Gris g 1 yng ergrdien m 1 diktkn sejjr dengn gris g yng ergrdien m jik memenuhi m 1 = m. ) Gris g 1 yng ergrdien m 1 diktkn tegk lurus dengn gris g yng ergrdien m jik memenuhi m 1. m = 1 5. Lngkh-lngkh dlm menggmr grfik fungsi kudrt y = x + x + c. Tentukn pemut nol fungsi y = 0 tu f(x) = 0. Tentukn sumu simetri x 1 54