Relasi & Fungsi. Kuliah Matematika Diskrit 20 April Pusat Pengembangan Pendidikan - Universitas Gadjah Mada

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Relasi & Fungsi. Kuliah Matematika Diskrit 20 April Pusat Pengembangan Pendidikan - Universitas Gadjah Mada"

Sudomo Atmadja
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Relasi & Fungsi Kuliah Matematika Diskrit 20 April 2006

2 Hasil Kali Kartesian Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A dengan B (simbol: A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan (a, b) dengan a A dan b B. A x B {(a, b) a A, b B)} Secara umum, hasil kali Kartesian A 1, A 2,, A n didefinisikan sebagai : A 1 x A 2 x. x A n = {( a, a2,..., an) a1 A1, a2 A2,..., a 1 n n A }

3 Contoh: Misalkan : A = {a, b, c}; B = {1, 2, 3} Tentukan : A x B Penyelesaian : A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}

4 Relasi pada Himpunan Adalah cara memasangkan anggota suatu himpunan ke anggota himpunan yg lain. Contoh relasi: A B

5 Relasi Biner Relasi biner atau hubungan biner (binary relation) dari A ke B ialah suatu himpunan bagian dari A x B. Jika (a, b) A x B, maka a berelasi dengan b, dituliskan a R b. Jika a tidak berelasi dengan b dituliskan a R b. Jika R adalah suatu relasi biner dari A ke B dan jika pasangan terurut (a, b) ada di dalam R, maka dapat dikatakan bahwa unsur a berhubungan dengan unsur b. Contoh : A = {a, b, c, d} B = {1, 2, 3} A x B = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3), (d,1),(d,2),(d,3)} R = {(a, 1), (b, 3), (c, 1), (c, 3), (d, 2)} A x B, merupakan suatu relasi biner dari A ke B.

6 Contoh: A B C D Baris tabel menunjukkan unsur-unsur himpunan A dan kolom tabel menunjukkan unsur-unsur himpunan B. Tanda cek menandakan bahwa unsur di dalam baris yang mengandung petak itu berhubungan dengan unsur di dalam kolom.

7 Cara penggambaran yang lain: a b c 1 2 d 3 Titik sebelah kiri menggambarkan unsur-unsur himpunan A, dan himpunan B di titik sebelah kanan. Tanda panah menunjukkan bahwa unsur terkait di A berhubungan dengan unsur di B.

8 Domain dan Range Domain dari suatu relasi adalah himpunan yg terdiri dari elemen2 pertama pd pasangan (a, b) R. Range dari suatu relasi adalah himpunan yg terdiri dari elemen2 kedua pd pasangan (a, b) R. Jika R = {(a, b) a A, b B}, mk domain dari R merupakan himpunan bagian dari A, dan range dari R merupakan himpunan bagian dari B.

9 Relasi antara lebih dr 2 himpunan Relasi terner (ternary relation) menyatakan hubungan antara pasangan tiga himpunan, dan relasi kuarterner (quarternary relation)untuk menyatakan hubungan antara pasanganpasangan empat himpunan, dan seterusnya. Relasi antar 2 himpunan binary Relasi antar 3 himpunan ternary Relasi antar 4 himpunan quarternary Relasi antar n himpunan n-ary Relasi n-ary = subset dari A 1 x A 2 x x A n A 1 x A 2 x x A n = {(a 1, a 2,, a n ) a i A i }

10 Invers Relasi Jika R = {(a, b) a A, b B}, maka invers dari relasi R, disimbolkan dengan R -1, adalah {(b, a) b B, a A}

11 Operasi pada Relasi Misalkan R dan S adalah dua buah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Terdapat 4 macam operasi yang bisa dikenakan terhadap R dan S: Irisan Gabungan Selisih Beda simetris

12 Irisan R S = {(a,b) (a,b) R & (a,b) S} Contoh : A = {-1, 0, 1} B = {0, 1} Relasi R dan S dari himpunan A ke himpunan B adalah sebagai berikut : R = {(-1, 0), (-1, 1), (0, 1)} S = {(0, 0), (1, 1), (-1, 1)} Carilah R S. Penyelesaian: R S = {(-1, 1)}

13 Gabungan R S = {(a,b) (a,b) R atau (a,b) S} Contoh : A = {-1, 0, 1} B = {0, 1} Relasi R dan S dari himpunan A ke himpunan B: R = {(-1, 0), (-1, 1), (0, 1)} S = {(0, 0), (1, 1), (-1, 1)} Carilah R S. Penyelesaian: R S = {(-1, 0), (-1, 1), (0, 1), (0, 0), (1, 1)}

14 Selisih dan beda simetris Selisih relasi R dan S: R S = {(a,b) (a,b) R & (a,b) S} Beda simetris relasi R dan S: R + S = (R S) (R S)

15 Sifat Relasi Beberapa sifat relasi R : Refleksif, anti-refleksif relasi pada himpuna yg sama (A ke A) Simetris, anti-simetris Transitif

16 Refleksif Relasi biner pada himpunan A disebut refleksif jika a R a berlaku a A, atau (a, a) R utk setiap a A. Contoh: A = {1, 2, 3} R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} Maka R memiliki sifat refleksif. Relasi R dikatakan tidak refleksif jika terdapat a A di mana a R a Relasi R dikatakan anti-refleksif jika utk semua a A maka a R a

17 Simetris Relasi biner pada himpunan A disebut refleksif jika berlaku a R b maka b R a, utk setiap a, b A. Dengan cara lain: jika (a, b) R maka (b, a) R utk setiap a, b A. Relasi R dikatakan tidak simetris jika terdapat a, b A yang memiliki sifat a R b tetapi b R a. Relasi R dikatakan anti-simetris jika utk semua a, b A berlaku jika a R b dan b R a maka a = b

18 Transitif Relasi biner pada himpunan A disebut transitif jika berlaku a R b dan b R c maka a R c, utk setiap a, b, c A. Dengan cara lain: jika (a, b) R dan (b, c) R maka (a, c) R utk setiap a, b, c A.

19 Relasi ekuivalensi Adalah relasi yang memiliki sifat refleksif, simetris, dan transitif. Contoh : A = {a, b, c, d, e, f} Didefinisikan relasi R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (d, d), (d, e), (d, f), (e, d), (e, e), (e, f), (f, d), (f, e), (f, f)} Apakah R relasi ekuivalensi? Dapat dilihat dari tabel relasi.

dokumen-dokumen yang mirip

Matematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi

Matematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi RELASI 1 9/26/2017 Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan