RELASI SMTS 1101 / 3SKS
|
|
- Glenna Makmur
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 RELASI SMTS 0 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 6
2 DAFTAR ISI Cover pokok bahasan... 6 Daftar isi... 7 Judul Pokok Bahasan Pengantar Kompetensi Uraian Materi Pengertian Relasi Relasi Invers Penyajian Relasi Relasi ekivalensi Kelas Ekivalensi Relasi sebagai Himpunan Pergandaan Relasi Rangkuman Soal dan Penyelesaian Soal-soal Latihan
3 Dra. Noeryanti, M.Si R E L A S I 5.. Pengantar. Materi pokok ini merupakan kelanjutan dari materi sebelumnya, yaitu tentang hubungan antara anggota-anggota dari himpunan dengan himpunan lainnya yang disebut relasi binair. Topik yang diberikan meliputi konsep dasar dari relasi, relasi invers, macam-macam relasi, partisi, klas-klas ekivalensi, dan pergandaan suatu relasi Kompetensi: Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: a. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar suatu relasi secara benar. b. Mampu melakukan hitungan-hitungan yang berkaitan dengan operasi-operasi relasi, mengkaji suatu relasi dan membuat sketsa suatu relasi. c. Terampil dalam mengerjakan soal-soal kuis / latihan Uraian Materi Sebelum membahas tentang relasi, kita ingatkan kembali tentang (x,y) pergandaan himpunan yang didefinisikan sebagai: = { } AxB /x A y B. Jadi himpunan AxB mempunyai anggota semua pasangan terurut (x,y) dengan x sebagai urutan pertama dan y urutan yang kedua. Jika (x,y) AxB maka p(x,y) merupakan fungsi pernyataan yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduanya. Dan p(x,y) ini juga merupakan kalimat tebuka dengan dua perubah. Contoh(5.): Misalnya himpuna A = { pria }, himpunan B = { wanita } dan p(x,y) = x suami y Maka p(yohanes, Aminah) merupakan pasangan pria dan wanita yang mempunyai nilai kebenaran berdasarkan kenyataan yang ada (realitas). Di bawah ini diberikan definisi dan beberapa pengertian lain tentang suatu relasi. 8
4 5.3.. Pengertian Relasi Berdasarkan pengertian uraian di atas dan dari contoh (5.) maka jika p(a,b) bernilai benar dikatakan bahwa a berelasi dengan b dan dinyatakan sebagai a R b. Sebaliknya jika p(a,b) bernilai tidak benar (salah) dikatakan bahwa a tidak berelasi dengan b dan dinyatakan sebagai arb Dengan demikian suatu relasi R membutuhkan adanya suatu fungsi pernyataan p(a,b) yang mendefinisikan suatu relasi dari A ke B. Ada penulis yang menyebut fungsi pernyataan p(x,y) sebagai relasi. Definisi (5.): Jika A dan B adalah dua himpunan sembarang, maka suatu relasi R dari A ke B adalah sembarang subset dari A x B, termasuk himpunan kosong. yaitu R A B. Relasi R ini dinyatakan sebagai : R = { (a,b) / a berelasi dengan b } = { (a b) / a R b } Relasi R dari himpunan A ke himpunan B juga dikatakan sebagai Relasi binair yaitu suatu cara untuk menentukan pasangan (a,b) dalam A x B, sehingga dikatakan a berelasi dengan b ditulis a R b atau (a,b) R. Jika dikatakan a tidak berelasi dengan b ditulis arb atau (a,b) R. Relasi dari himpunan A ke himpunan A (ke dirinya sendiri) disebut relasi pada A atau a R a Relasi R dikatakan determinatif pada A jika untuk setiap a dan b berada dalam A. Misalkan A = himpunan bilangan-bilangan alam, maka relasi kelipatan adalah relasi yang determinatif. Sedangkan relasi mencintai adalah tidak determinatif, sebab pernyataan 9 mencintai 3 tidak bernilai benar atau bernilai salah. Dalam hal ini yang dibicarakan adalah relasi-relasi yang determinatif saja. Suatu relasi juga didefinisikan antara anggota-anggota diberlainan himpunan. Misalkan R suatu relasi dari A ke B. Jadi R adalah himpunan pasagan- 9
5 Dra. Noeryanti, M.Si pasangan elemen-elemen (a,b) dimana a A dan b B, dan R merupakan himpunan bagian dari A x B. Domain (daerah asal) dari relasi R adalah himpunan dari semua elemenelemen pertama dalam pasangan-pasangan terurut didalam R, yaitu: D = { a / a A, (a, b) R } Jangkauan/range dari relasi R terdiri atas semua elemen-elemen kedua yang muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu dari A yaitu D yaitu. E B E = { b / b B, (a, b) R } Jadi domain suatu relasi dari A ke B ditulis D, merupakan himpunan bagian A dan jangkauan dari R ditulis E adalah himpunan bagian dari B, Contoh (5.2): Diketahui: A = {, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}. Maka R = {(2, a), (3, c), (4, a)} adalah suatu relasi. A a B Perhatikan bahwa R A B 2 3 b Domain dari R = D = {2, 3, 4} Jangkauan dari R = E = {a, c} 4 c Contoh (5.3): Misalkan relasi R dalam bilangan-bilangan riil didefinisikan oleh kalimat terbuka 4x 2 + 9y 2 = 36. Relasi R ditunjukkan pada diagram koordinat R # x R # dibawah ini: R # adalah himpunan semua bilanganbilangan riil. Domain dari R adalah selang tertutup [-3, 3] dan jangkauan dari R adalah selang tertutup [-2, 2]
6 Contoh (5.4): Untuk setiap pasangan dua himpunan A dan himpunan B, selalu berlaku A B atau A B atau sebaliknya. Contoh (5.5): Perkawinan merupakan suatu relasi dari himpunan Pria (=P) ke himpunan wanita (=W) dalam semesta himpunan orang-orang. Jika ada seorang pria P maka berlaku bahwa P telah menikah dengan W atau P tidak menikah dengan W. Contoh (5.6): Kalimat x lebih kecil dari y ditulis x < y adalah suatu relasi pada himpunan bilangan-bilangan riil. Jika diberikan pasangan terurut (x,y) maka selalu berlaku x < y atau x < y atau juga sebaliknya. Contoh (5.7): Misalkan R suatu relasi dari A = {, 2, 3} ke B = {a, b} dengan R = {(, a), (, b), (3,a)}, maka Ra, 2Rb, / 3Ra dan 3Rb / Relasi R dapat ditunjukkan dengan diagram koordinat A x B berikut ini : b a B A x B = {(, a), (, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} R A x B R = {(, a), (, b), (3, a)} 2 3 A Contoh (5.8): Ambil himpunan A = {, 2, 3} seperti di atas. Relasi R pada A adalah himpunan semua pasangan dalam A x A. Disini R = A x A 2
7 Dra. Noeryanti, M.Si Relasi Identitas Relasi identitas pada himpunan A ditulis I A atau A adalah himpunan pasangan-pasangan (a, a) dengan a A, ditulis I A = {(a, a) /a A}. Relasi identitas ini juga disebut relasi diagonal, sebab anggota-anggota dari relasinya merupakan diagonal dari diagram koordinatnya. Contoh (5.9): A 3 2 Misalkan A = {, 2, 3} A x A = {(, ), (, 2), (, 3), (2, ), (2, 2), (2, 3), (3, ), (3, 2), (3, 3)} I A = {(, ), (2, 2), (3, 3)} 2 3 A Relasi Kosong Relasi kosong dari himpuanan A ditulis, adalah himpunan kosong dari A x A. Dimaksud relasi disini adalah himpunan kosong dari A x A. Contoh (5.0): A = maka A x A = R suatu relasi dari A ke A adalah R A x A R = Relasi Invers ditulis Misalkan R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R - R adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A, sedemikian hingga tiap pasangan terurut pada - R jika urutan anggota-anggotanya dibalik merupakan anggota dari R. Jadi - R = {(b,a) / (a,b) R} 22
8 Contoh(5.): Relasi R pada A = {, 2, 3} didefinisikan sebagai R = {(, 2), (, 3), (2, 3)}, maka - R = {(2, ), (3, ), (3, 2)} Penyajian Relasi Suatu relasi dapat disajikan dalam berbagai cara diantaranya melalui grafik pada bidang XOY, melalui matriks, dan melalui graf. (a). Penyajian dalam bentuk grafik Misal R suatu relasi dari A ke B. Himpunan A digambarkan pada sumbu mendatar X dan himpunan B digambarkan pada sumbu tegak y yang memotong sumbu x di titik 0. Setiap pasangan terurut di A x B dinyatakan oleh satu titik pada bidang XOY. Dengan demikian R adalah himpunan titik-titik (a,b) pada bidang XOY dimana (a,b) R Contoh(5.2): Relasi R dari A = {a, b, c, d, e} ke B = {, 2, 4} didefinisikan sebagai berikut: R = {(a,),(a,4),(b,2),(c,2),(c,4),(d,)}. Gambarkan grafik dari R! B a b c d e A Grafik R dinyatakan oleh titik-titik hitam pada grafik di atas 23
9 Dra. Noeryanti, M.Si Contoh(5.3): Relasi R, R 2 dan R 3 pada himpunan bilangan-bilangan riel R diberikan oleh: 2 2 R = {(x,y)/x + y 25,y 0} 2 2 R 2 = {(x,y)/(x + ) + y } 2 2 R 3 = {(x,y)/x + y 6} a). Grafik R adalah daerah yang di arsir b). Grafik R 2, daerah yang di arsir y y x x c). Grafik R 3 adalah daerah yang di arsir di bawah ini y x 24
10 (b). Penyajian dalam bentuk matriks Misalkan R suatu relasi pada A. Jika A merupakan himpunan hingga, maka R dapat disajikan dalam bentuk matriks. Matriks M yang menyatakan relasi R dapat dibentuk sebagai berikut: Misalkan m ij elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari M yang didefinisikan: m ij,bila irj = ; untuk setiap i dan j A 0,bilaiRj Contoh(5.4): Relasi R pada A = {a, b, c, d, e, f} didefinisikan sebagai berikut: R = {(a,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,b),(e,e)} Nyatakan R dalam bentuk matriks. Dalam setiap pasangan terurut, komponen pertama kita tuliskan sebagai baris dan komponen kedua sebagai kolom dari suatu matriks. Berdasarkan definisi R diatas kita dapat menyatakan tabel dalam bentuk matriks sebagai berikut: Komponen Kedua a b c d e f a Komponen Pertama b c d e Keterangan: f Karena (a,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,b),(e,e) R maka kita beri nilai Untuk pasangan yang lainnya kita beri nilai 0. Misalnya (a,a) R atau ara 25
11 Dra. Noeryanti, M.Si Contoh(5.5): berikut: Tentukan relasi R pada I ={, 2, 3, 4} yang dinyatakan oleh matriks M M = Karena m = m3 = m4 = m22 = m23 = m34 = m4 = m44 =, dan elemen-elemen lainnya bernilai 0. Maka untuk R I I adalah R = {(,),(,3),(,4),(2,2),(2,3),(3,4),(4,),(4,4)} (c). Penyajian dalam bentuk graf. Misalkan A himpunan sembarang yang berhingga. Suatu relasi R yang didefinisikan pada A dapat dinyatakan dalam bentuk graf. Graf G yang menyatakan relasi R diperoleh dengan menggambarkan: setiap elemen dari A sebagai titik apabila i dan j memenuhi irj atau (i,j) R, maka diberi tanda anak panah dari arah i ke j Contoh(5.6): Buatlah graf yang menyatakan relasi R seperti pada contoh (5.4). Dari contoh (5.4) A = {a, b, c, d, e, f} R = {(a,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,b),(e,e)} Graf untuk relasi R adalah sebagai berikut: 26
12 b d e a c f Titik-titik a, b, c, d, e, f digambarkan pada bidang kertas, sembarang. Titik f tidak berelasi dengan titik manapun, oleh karena itu tidak ada anak panah yang masuk maupun keluar. Contoh(5.7): Buatlah graf yang menyatakan relasi R seperti pada contoh (5.5). Dari contoh (5.5) relasi R = {(,),(,3),(,4),(2,2),(2,3),(3,4),(4,),(4,4)} Graf G yang sesuai dengan R adalah: Relasi Ekirvalensi Suatu relasi R dikatakan ekivalensi jika ia memiliki tiga sifat sekaligus, yaitu sifat refleksif, sifat simetris dan sifat transitif. Jadi relasi R ekivalensi jika dan 27
13 Dra. Noeryanti, M.Si hanya jika R memenuhi sifat refleksif, R memenuhi sifat Simetris, dan R memenuhi sifat transitif. (a). Suatu relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap a dalam A berlakulah ara. Dan relasi R disebut tidak refleksif jika dan hanya jika ada a dalam A sedemikian hingga ara. Sedangkan R dikatakan ir-refleksif jika dan hanya jika untuk setiap a dalam A berlaku ara. Dapat diringkas dengan simbol logika sebagai berikut: R refleksif «( a A) ar a R tidak refleksif ( a A) ara. R ir-refleksif ( a A) ara (b). Suatu relasi R pada himpunan A disebut simetris jika dan hanya jika untuk setiap a dan b dalam A maka berlaku arb bra. Dan relasi R disebut tidak simetris jika dan hanya jika ada a dan b dalam A sehingga berlaku arb bra / Relasi R dikatakan a-simetris jika dan hanya jika setiap a dan b dalam A sehingga berlaku arb arb. Sedangkan R dikatakan antisimetris jika untuk setiap a dan b dalam A berlaku arb br a a=b. Ditulis dengan simbol logika sebagai: R Simetri «( a, b A) arb bra R tidak simetri «( a, b A) arb bra R a-simetri «( a, b A) arb b Ra R anti-simetri «( a, b A) arb bra a = b (c). Suatu relasi R pada himpunan A disebut transitif jika dan hanya jika untuk setiap tiga anggota a, b, c dalam A sehingga arb dan brc maka berlaku arc. Relasi R pada himpunan A disebut tidak transitif jika dan hanya jika untuk ada a, b, c dalam A sedemikian hingga arb dan brc dan arc /. Dan relasi R pada himpunan A disebut in-transitif jika dan hanya jika untuk setiap a, b, c dalam A sedemikian hingga arb dan brc maka berlaku arc /. Dapat dinyatakan dengan simbol logika sebagai: 28
14 R transitif ( a,b,c A) arb brc arc R tidak transitif ( a, b, c A) arb brc arc / R in-transitif ( a,b,c A) arb brc arc / Contoh (5.8: Misalkan R adalah suatu relasi dalam bilangan-bilangan riil yang didefinisikan oleh kalimat terbuka lebih kecil atau sama dengan ditulis x y, maka:. relasi R adalah refleksif, sebab untuk setiap bilangan riil a, a a. 2. relasi R adalah tidak simetris sebab untuk setiap bilangan riil a dan b, a b dan b / a 3. relasi R adalah transitif sebab untuk setiap bilangan a, b dan c, a b dan b c maka a c Contoh (5.9): Misalkan R suatu relasi dalam bilangan-bilangan yang didefinisikan sebagi x lebih kecil dari pada y ditulis x < y, maka. R tidak reflektif, sebab untuk setiap bilangan riil a, a a. 2. R tidak simetris, sebab untuk setiap bilangan riil a, a < b dan. b a 3. R transitif. Sebab untuk setiap 3 bilangan riil a, b, dan c berlaku a < b dan b < c maka a < c Contoh (5.20): Misalkan M = {, 2, 3, 4} merupakan himpunan semesta dan suatu relasi R pada M didefinisikan sebagai R = {(,3), (4,2), (2,4), (2,3), (3,)}. Maka R tidak reflektif, sebab untuk setiap a M, (a,a) ˇ R. Misalnya untuk M, (,) ˇ R; untuk 2 M, (2,2) ˇ R dan lainya. R tidak simetris, sebab untuk setiap a,b M, (a,b) Rdan (b,a) ˇ R 29
15 Dra. Noeryanti, M.Si Misalnya untuk 2,3 M, (2,3) R (3,2) ˇ R, 2. R transitif. Sebab untuk setiap,2,3 M, (,3) R (3,) R (,) ˇ R Contoh (5.2): Misalkan M = {a, b, c} dan relasi R pada M didefinisikan sebagai R = {(a, b), (c, b), (b, a), (a, c)} maka. R tidak reflektif, sebab misalnya x mewakili elemen-elemen a,b dan c dalam M, maka stiap x M, (x,x) ˇ R 2. R tidak simetris, sebab untuk b,c M, (c,b) R (b,c) ˇ R, 3. R transitif. Sebab untuk a,b,c M, (a,b) R (b,a) R (a,a) ˇ R juga (c,b) R (b,a) R (c,a) ˇ R Contoh (5.22): Misal, M adalah himpunan garis-garis pada bidang datar. Relasi R didefinisikan sebagai relasi kesejajaran garis-garis pada M. Maka R adalah relasi ekivalensi. Contoh (5.23): Misal, M adalah segitiga-segitiga yang sebagun pada bidang datar. Dan relasi R didefinisikan sebagai relasi kesebangunan segitiga pada M. Maka R adalah relasi ekivalensi Kelas Ekivalensi Misalkan R merupakan suatu relasi ekivalensi pada himpunan A, maka untuk setiap a A berlaku M a = [a] = { x / (a,x) R }. Jadi M a adalah himpunan semua unsur dari A yang berelasi dengan a dan kemudian disebut dengan kelas ekivalensi dari himpunan A. Koleksi semua kelas ekivalensi dari A disebut Kuosien dari A oleh R ditulis A/R. 30
16 A/R = {M a / a A} Kuosien himpunan A/R adalah suatu partisi pada A, sebab : (i) (ii) (iii) a a A a M a M a = M b jika dan hanya jika (a, b) R Jika M a M b, maka M a dan M b saling lepas. Contoh (5.24) Misalkan Z himpunan bilangan bulat, dan R 5 adalah suatau relasi ekivalensi pada Z yang didefinisikan oleh x y (mod 5), dibaca x kongruen dengan y modulo 5, artinya x y terbagi oleh 5. Maka R 5 suatu relasi ekivalensi dalam Z. Ada 5 kelas ekivalensi dalam Z/R 5, yaitu : A 0 = {.., -0, -5, 0, 5, 0, } A = {..., -9, -4,, 6,,. } A 2 = {..., -8, -3, 2, 7, 2,. } Perhatikan bahwa kelas-kelas ekivalensi tersebut saling lepas dan Z = A A 2 A 3 A 4 A 5 A 3 = {.., -7, -2, 3, 8, 3,. } A 4 = {.., -6, -, 4, 9, 4,. } Relasi Sebagai Himpunan Jika R dan S suatu relasi relasi pada A, maka R A A dan S A A. Karena R dan S merupakan himpunan bagian dari A A, sehingga banyak kemungkinan yang harus diketahui hubungan kedua relasi tersebut. Diantaranya : R S, R S, atau sebaliknya, R S, R S, dan c R Contoh(5.25): Misalkan himpunan A = {a, b}. Maka A A = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}. Didefinisikan relasi relasi R = {(a, b)} dan S = {(a, a), (b, b)}. 3
17 Dra. Noeryanti, M.Si Maka R S, R S =, R S = (a, b), (a, a), (b, b) dan c S = {(a, b), (b, a)} Pergandaan Relasi Diketahui R dan S relasi relasi pada A. Pergandaan dua relasi R dan S pada A, ditulis dengan RS, didefinisikan sebagai : ( ab, ) RS jika dan hanya jika ( c A) dengan ( ac, ) R ( cb, ) S Pada umumnya pergandaan relasi tidak bersifat komutatif yaitu RS SR, tetapi mempunyai sifat assosiatif, yaitu (RS)T = R(ST). Akan ditunjukan sebagai berikut: Ambil sembarang relasi-relasi R dan S pada A, maka (a). RS SR, sebab ( ab, ) RS jika dan hanya jika ( c A) dengan ( ac, ) R ( cb, ) S ( ab, ) SR jika dan hanya jika ( c A) dengan ( ac, ) S ( cb, ) R (b). (RS)T = R(ST), sebab ( ab, ) ( RS) Tjika dan hanya jika ( c A) ( ac, ) RS ( cb, ) T ( ab, ) ( RS) T ( c A) ( d A) Jadi (RS)T = R(ST) dengan ( ad, ) R ( dc, ) S ( cb, ) T ( d A) dengan ( ad, ) R ( db, ) ST ( ab, ) RST ( ) ; 32
18 Ringkasan. Jika A dan B adalah dua himpunan sembarang, maka suatu relasi R dari A ke B dinyatakan sebagai : R = { (a,b) / a berelasi dengan b } = { (a b) / a R b } 2. Relasi R dari himpunan A ke himpunan B dikatakan sebagai Relasi binair yaitu suatu cara untuk menentukan pasangan (a,b) dalam A x B, sehingga dikatakan a berelasi dengan b ditulis a R b atau (a,b) R. Jika dikatakan a tidak berelasi dengan b ditulis arb atau (a,b) R. 3. Suatu relasi juga didefinisikan antara anggota-anggota diberlainan himpunan. Misalkan R suatu relasi dari A ke B. Maka R adalah himpunan pasaganpasangan elemen-elemen (a,b) dimana a A dan b B, dan R merupakan himpunan bagian dari A x B. yaitu R A B 4. Domain (daerah asal) dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen-elemen pertama dalam pasangan-pasangan terurut didalam R, yaitu: D = { a / a A, (a, b) R } dan D A 5. Jangkauan dari relasi R terdiri atas semua elemen-elemen kedua yang muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu E = { b / b B, (a, b) R } dan E B 6. Relasi identitas pada himpunan A ditulis I A atau A adalah himpunan pasanganpasangan (a, a) dengan a A, ditulis I A = {(a, a) /a A}. 7. Relasi kosong dari himpuanan A ditulis adalah himpunan kosong dari A x A. Dimaksud relasi disini adalah himpunan kosong dari A x A. 8. Invers dari relasi R ditulis - R adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A, sedemikian hingga tiap pasangan terurut pada - R jika urutan anggotaanggotanya dibalik merupakan anggota dari R. Jadi - R = {(b,a) / (a,b) R} 33
19 Dra. Noeryanti, M.Si 9. Suatu relasi dapat disajikan dalam berbagai cara diantaranya: (a). Penyajian dalam bentuk grafik: Misal R suatu relasi dari A ke B. Himpunan A digambarkan pada sumbu mendatar X dan himpunan B digambarkan pada sumbu tegak y yang memotong sumbu x di titik 0. Setiap pasangan terurut di A x B dinyatakan oleh satu titik pada bidang XOY. Dengan demikian R adalah himpunan titik-titik (a,b) pada bidang XOY dimana (a,b) R (b). Penyajian dalam bentuk matriks: Misalkan R suatu relasi pada A. Jika A merupakan himpunan hingga, maka R dapat disajikan dalam bentuk matriks. Matriks M yang menyatakan relasi R dapat dibentuk misalkan elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari M yang didefinisikan: m ij,bila irj = ; untuk setiap i dan j A 0,bilaiRj (c). Penyajian dalam bentuk graf: misalkan A himpunan sembarang yang berhingga. Suatu relasi R yang didefinisikan pada A dapat dinyatakan dalam bentuk graf. Graf G yang menyatakan relasi R diperoleh dengan menggambarkan:(). setiap elemen dari A sebagai titik. (2). apabila i dan j memenuhi irj atau (i,j) R, maka diberi tanda anak panah dari arah i ke j 0. Suatu relasi R dikatakan ekivalensi jika ia memiliki tiga sifat sekaligus, yaitu sifat refleksif, sifat simetris dan sifat transitif. (). R refleksif «( a A) ar a (2). R Simetri «( a, b A) arb bra (3). R transitif ( a,b,c A) arb brc arc m ij. Misalkan R merupakan suatu relasi ekivalensi pada himpunan A, Kelas Ekivalensi dari himpunan A adalah himpunan semua unsur dari A yang berelasi dengan a dinyatakan sebagai M a = [a] = { x / (a,x) R }. Koleksi semua kelas ekivalensi dari A disebut Kuosien dari A oleh R ditulis A/R = {M a / a A} 2. Pergandaan dua relasi R dan S pada A, ditulis dengan RS, didefinisikan sebagai: ( ab, ) RS jika dan hanya jika ( c A) dengan( ac, ) R ( cb, ) S 34
20 SOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN. Misalkan A = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi R dari A ke B diberikan oleh R = {(,5),(4,5),(,4),(4,6),(3,7),(7,6)} Carilah: Domain, range (jangkauan) dan - R Domain dari R = D= {a / a A dan (a,b) R, b B} = {, 3, 4, 7} Range dari R = E = {b / b B dan (a,b) R, a A} = {4, 5, 6, 7} - R = {(b,a) / (a,b) R} = {(5,),(5,4),(4,),(6,4),(7,3),(6,7)} 2. Misalkan R suatu relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh R = {(x,y)/ x,y N, x+3y = 2}. Tentukan: (a) Tulis R dalam bentuk himpunan pasangan terurut. (b) Carilah domain, range dan invers dari R a). R sebagai himpunan pasangan terurut R = {(2,3),(6,2),(9,)} b). Domain dari R = D = {3, 6, 9} Range dari R = E = {, 2, 3} - R = {(b,a) / (a,b) R} = {(3,3),(2,6),(,9)} 3. Suatu relasi R dari himpunan A = {, 2, 3, 4} ke himpunan B = {, 3, 5}, yang didefinisikan oleh x lebih kecil dari y (c) Tulis R sebagai himpunan pasangan terurut. (d) Gambarkan R pada diagram koordinat A x B (e) Tentukan relasi invers R 35
21 Dra. Noeryanti, M.Si (a) x R y dibaca x lebih kecil y ditulis x < y. R = {(x, y) / x < y} = {(,3), (,5), (2,3), (2,5), (3,5), (4,5)} (b) Diagram koordinat A x B dari relasi R sebagai berikut : B 5 R merupakan himpunan titik-titik yang 4 3 tampak pada diagram koordinat A x B A (c) R = {(y, x) / (x, y) R) = {(3, ) (5, ) (3, 2) (5, 2) (5, 3) (5, 4)} 4. Suatu relasi R yang didefinisikan sebagai x pembagi y dari himpunan C = {2, 3, 4, 5} ke himpunan D = {3, 6, 7, 0} (a) Tentukan R sebagai himpunan pasangan terurut (b) Gambar R pada diagram koordinat C x D (c) Tentukan relasi invers Jawab : R (a) R = {(2, 6), (2, 0), (3, 3), (3, 6), (5, 0)} (b) Diagram koordinat R sebagai berikut : D (c). R = {(6, 2), (0, 2), (3, 3), (6, 3), (0, 5)} C
22 5. Misalkan M = {a, b, c, d} dan suatu relasi R pada M yang memuat titik-titik yang tampak pada diagram koordinat berikut ini. M d c b a a b c d M (a) Tentukan semua unsur di M yang (b) (c) berelasi dengan b, atau {x /{x, b) R} Tentukan semua unsur di M sehingga d merupakan relasinya, atau {x / (d, x) R} Tentukan relasi invers R Jawab : (a) Dari (a, b), (b, b) dan (d, b) diperoleh unsur-unsur pada M yang berelasi dengan b yaitu {a, b, d} (b) Dari (d, a) dan (d, b), diperoleh unsur-unsur di M yang memenuhi {x / (x, b) R} yaitu {a,b} (c) Karena R = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, d), (c, c), (d, a), (d, b)} maka R = {(b, a), (a, b), (b, b), (d, b), (c, c), (a, d), (b, d)} 6. Misalkan R suatu relasi yang didefinisikan sebagai relasi pada himpunan N = {, 2, 3,..}. Yaitu (a, b) R jika dan hanya jika a b. Tentukan apakah R : (a) refleksif, (b) simetris, (c) transitif, ataukah (d) ekivalensi. Jawab : (a) R refleksif, sebab ( a N) a a (b) R tidak simetris, sebab ( a, b N) 3 5, tetapi 5 3 (c) R transitif, sebab ( a, b, c N ) a b b c a c. (d) R tidak ekivalensi sebab R tidak simetris. R akan ekivalensi jika R bersifat refleksif, simetris dan sekaligus transitif. 37
23 Dra. Noeryanti, M.Si 7. Mislkan R adalah relasi pada himpunan A = { 2832,,, 4} dimana xr y menyatakan bahwa x membagi y untuk setiap x,y A. a. Tulis R sebagai pasangan terurut b. Buatlah relasi R dalam bentuk matriks c. Selidiki apakah R mempunyai sifat refleksif, simetris dan transitif. d. Buatlah graf untuk R a. R = {( 22, ),( 28, ),( 232, ),( 24, ),( 88, ),( 832, ),( 32, 32),( 44, ),( 48, ),( 432, )} b. R dalam bentuk matriks M c. (i) Karena semua elemen-elemen diagonalnya, maka R bersifat refleksif. yaitu (2,2) R, (8,8) R,(32,32) R, dan (4,4) R (ii) Dari matriks diatas tampak bahwa R mempunyai sifat Transitif, sebab untuk setiap i,j,k =, 2, 3, 4, berlaku m ij = dan m jk = maka m = (iii) Matriks M diatas tidak simetris, karena mij mji. Jadi R tidak mempunyai sifat simetris, dan R bersifat anti-simetris ik 38
24 d Misalkan W = {, 2, 3, 4}. Perhatikan relasi-relasi R, R 2, dan R 3 pada W berikut ini : R = {(, 2), (4, 3), (2, 2), (2, ), (3, )} R 2 = {(2, 2), (2, 3), (3, 2)} R 3 = {(, 3)} Tentukan relasi mana yang (a) Simetris, (b) Transitif. (a) Simetris: R dikatakan simetris «( a, b W ) (a, b) R (b, a) R R tidak simetris, sebab ( 3, 4 W) (4,3) R, tetapi (3,4) R. R 2 Simetris, sebab ( 2,3 W) (2,3) R 2 (3, 2) R 2 (2, 2) R 2 (2,2) R 2 R 3 tidak simetris, sebab (, 3 W ) (, 3) R 3.. (3, ) R 3 (b) Transitif: R dikatakan transitif jika dan hanya jika ( a, b, c W ) (a, b) R (b, c) R (a, c) R R tidak transitif, sebab (, 3, 4 W ) (4, 3) R (3, ) R (4, ) R R 2 tidak transitif, sebab ( 2, 3 W ) (3, 2) R 2 (2, 3) R 2 (3, 3) R 2 R 3 tidak transitif, sebab R 3 hanya mempunyai satu unsur yaitu (, 3) R 3 39
25 Dra. Noeryanti, M.Si 9. Suatu relasi R = {(,), (2, 3), (3, 2)} pada X = {, 2, 3}. Tentukan apakah R mempunyai sifat (a) refleksif (b) Simetris, ataukah (c) transitif. (a) R tidak refeksif, sebab 2 X, tetapi (2, 2) R (b) R Simetris, sebab R - = {(, ), (3, 2), (2, 3)} = R (c) R tidak transitif, sebab (3, 2) R dan (2, 3) R, tetapi (3,) R 0. Misalkan R adalah suatu relasi dari himpunan E = {2, 3, 4, 5} ke himpunan F = {3, 6, 7, 0} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "y habis dibagi oleh x". (a) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan-pasangan terurut, yaitu carilah himpunan jawab dari R. (b) Buatlah sketsa dari R pada diagrain koordinat E x F. (a) Pandang keenam belas elemen dalam E x F dan pilihlah pasanganpasangan terurut dimana elemen keduanya habis dibagi oleh elemen pertamanya; maka R = {(2, 6), (2, 0), (3, 3), (3, 6), (5, 0) E (b). Sketsa dari R pada diagram koordinat E x F diperlihatkan pada tabel berikut Diketahui M = {a, b, c, d} dan relasi R pada M didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang diperlihatkan pada diagram koordinat M x M dibawah ini. (a) Nyatakan apakah masing-masing berikut ini benar atau salah: (a) c R b, (b) d R a, (c) a R c, (d) b R b 40
26 (b) Carilah {x / (x,b) R}, yaitu semua elemen-elemen dalam M yang berelasi dengan b. (c) Carilah {x (d, x) R}, yaitu semua elemen-elemen dalam M yang berelasi dengan d. M d c b a a b c d M () Perhatikan bahwa x R y benar jika dan hanya jika (x, y) termasuk dalam R. (a) Salah, karena (c, b) R. (c) Benar, karena (a, c) R (b) Salah, karena (d, a) R. (d) Salah, karena (b, b) R. (2) Garis horizontal yang melalui b memuat semua titik dari R di mana b muncul sebagai elemen kedua; ia memuat pasangan-pasangan terurut (a, b), (b, b) dan (d, b) dari R. Oleh karena itu {x (x, b) R} = {a, b, d} (3) Garis vertikal yang melalui d memuat semua titik dari R dengan d muncul sebagai elemen pertama; yaitu titik-titik (d, a) dan (d, b) dari R. Jadi {x (d, x) R} = {a, b}. 2. Masing-masing kalimat terbuka berikut ini mendefinisikan suatu relasi dalam bilangan-bilangan riil. diagram koordinat dari R # x R #. () y = x 2 (4) y sin x (2) y x 2 (5) y x 3 (3) y < 3 x (6) y > x 3 Buatlah sketsa dari masing-masing relasi pada suatu 4
27 Dra. Noeryanti, M.Si Untuk membuat sketsa suatu relasi pada bilangan-bilangan riil yang didefinisikan oleh kalimat terbuka berbentuk (a) (b) (c) (d) (e) y = f(x) y > f(x) y f(x) y < f(x) (e) y f(x) Pertama-tama gambarkan kurva y = f(x). Maka relasinya, akan terdiri atas titiktitik. (a) (b) (c) (d) (e) pada y = f(x) di atas y = f(x) di atas dan pada y = f(x) di bawah y = f(x) di bawah dan pada y = f(x) (f) Jadi gambar-gambar berikut ini adalah sketsa-sketsa dari relasi-relasi di atas: () y = x 2 (2) y x 2 (3) y < x 2 - x -5 - (4) y sin x (5) y x 3 (6) y > x 3 x 3 42
28 Perhatikan bahwa, kurva y = f(x) digambarkan dengan garis terputus-putus jika titik-titik pada y = f(x) tidak termasuk dalam relasi. 3. Masing-masing kalimat terbuka berikut ini mendefinisikan suatu relasi dalam bilangan-bilangan riil. Buat sketsa masing-masing relasi pada di koordinat R x R Untuk membuat sketsa suatu relasi dalam bilangan-bilangan riil yang didefinisikan oleh kalimat terbuka berbentuk f (x, y) < 0 (atau, >, ), maka gambarkan f (x, y) = 0. Kurva f (x, y) = 0, akan membagi bidang dalam berbagai daerah-daerah. Relasi ini akan terdiri dari semua titik-titik dalam satu atau mungkin lebih daerah-daerah. Ujilah satu atau lebih titik-titik dalam tiap-tiap daerah untuk menentukan apakah semua titik dalam daerah itu termasuk dalam relasi atau tidak. Sketsa dari masing-masing relasi di atas hasilnya adalah sebagai berikut x 2 + y 2 6 < 0 2 x 2-4y x 2 + y x 2-4y 2 < 9 43
29 Dra. Noeryanti, M.Si 4. Pandang relasi R = {(, 5), (4, 5), (, 4), (4, 6), (3, 7), (7, 6)}. Carilah () Domain dari R, (2) Jangkauan dari R, (3) invers dari R. Jawab : () Domain dari R terdiri atas himpunan dari elemen-elernen pertama dalam R; oleh karena itu domain dari R adalah {, 4, 3, 7} (2) Jangkauan dari R terdiri dari himpunan dari elemen-elemen kedua dalam R; oleh karena itu domain dari R adalah {5, 4, 6, 7} (3) Invers dari R terdiri dari pasangan elemen dalam R dengan urutannya di balik. Jadi R = {(5, ), (5, 4), (4, ), (6, 4), (7, 3), (6, 7)} 5. Misalkan T = {l, 2, 3, 4, 5} dan R suatu relasi dalam T merupakan himpunan titik-titik yang diperlihatkan dalam diagram koordinat T x T berikut ini: () Carilah domain dari R (2) Tentukan jangkauan dari R (3) Cari invers dari R. (4) Buatlah sketsa R pada diagram koordinat T x T. T () Elemen x T berada dalam domain T R jika dan hanya jika garis vertikal yang melalui x memuat sebuah titik dari R. Jadi domain dari R adalah himpunan {2,4,5}; karena garis vertikal yang melalui tiap-tiap elemen ini dan hanyalah elemen-elemen ini yang mengandung titik-titik dalam R. (2) Elemen x T berada dalam jangkauan R jika dan hanya jika garis horizontal yang melalui x memuat sebuah titik dari R. Jadi jangkauan dari R adalah himpunan {, 2, 4}, karena garis horizontal yang melalui tiap- 44
30 tiap elemen ini, dan hanyalah elemen-elemen ini yang memuat sekurangkurangnya satu titik dari R. Karena R = {(2, ), (2, 4), (4, 2), (4, 4), (5, 2)} (3) (4) R = {(, 2), (4, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 5)} R diperlihatkan pada diagram koordinat T x T sebagai berikut: T T 6. Misalkan R = {(x, y} x R #, y R #, 4x2 + gy2 = 36}. Sketsa dari R pada diagram koordinat R # x R # adalah sebagai berikut: Carilah: () Domain dari R, (2) jangkauan dari R, (3) R -2 () Domain dari R adalah selang [-3, 3] karena garis vertikal yang melalui tiaptiap bilangan ini dan hanyalah bilangan-bilangan ini, yang memuat sekurang-kurangnya satu titik dari R. (2) Jangkauan dari R adalah selang [-2, 2], karena garis horizontal yang melalui tiap-tiap elemen dan hanyalah elemen-elemen ini, yang memuat sekurang-kurangnya satu titik dari R. 45
31 Dra. Noeryanti, M.Si (3) Menurut definisi invers dari R diperoleh y dalam kalimat terbuka yang mendefinisikan R; yaitu: R = {(x, y) x R #, y R #, 9x 2 + 4y 2 = 36} R dengan mempertukarkan x dan 7. Apakah ada hubungan antara domain-jangkauan dari suatu relasi R, dan domain-jangkauan dari Karena R? R terdiri dari pasangan-pasangan yang sama seperti dalam R kecuali dalam urutan terbalik maka tiap-tiap elemen pertama dalam R akan menjadi elemen kedua dalam elemen pertama dalam R dan tiap-tiap elemen kedua dalam R akan menjadi R jangkauan dari R adalah domain. Maka domain R adalah jangkauanr dan R. 8. Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli N = {, 2,3, } yang didefinisikan oleh kalimat terbuka 2x + y = 0, yaitu R = {(x, y) x N, y N, 2x + y = 0}; Carilah : () domain dari R, (2) jangkauan dari R, (3) Pertama perhatikan bahwa himpunan jawaban dari 2x + y = 0 adalah R = {(, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)} meskipun terdapat tak-berhingga elemenelemen dalam N. () Domain dari R yang terdiri dari elemen-elemen pertama dari R adalah {l, 2, 3, 4}. (2) Jangkauan dari R yang terdiri dari elemen-elemen kedua dari R adalah (3) {8, 6, 4, 2). R R diperoleh dengan mempertukarkan x dan y dalam kalimat terbuka yang mendefinisikan R; jadi Juga karena R = {(x, y) x N, y N, x + 2y = 0} R terdiri dari pasangan-pasangan yang sama dalam R kecuali dalam urutan terbalik, maka R - dapat didefinisikan sebagai: R = {(8, l), (6, 2), (4, 3), (2, 4)} 46
32 9. Misalkan W = {, 2, 3, 4} dan relasi R = {(, ), (, 3), (2, 2), (3, ), (4, 4)}. Apakah R refleksif? R tidak refleksif karena 3 W dan (3,3) R. 20. Misalkan E = {, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E. R = {(, 2),(3, 2),(2, 2),(2, 3)} R 4 = {(l, 2)} R 2 = {(, 2),(2, 3),(, 3)} R 5 = E x E R 3 = {(l, ), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} Nyatakan apakah masing-masing relasi berikut adalah refleksif atau tidak. Jika suatu relasi dalam E adalah refleksif maka (, ), (2, 2) dan (3, 3) harus termasuk relasi R. Dengan demikian R 3 dan R 5 bersifat refleksif. 2. Misalkan V = {, 2, 3, 4) dan relasi R pada V yang didefinisikan sebagai R = {(,2), (3, 4), (2, ), (3, 3)}. Apakah R simetris? R tidaklah simetris, karena 3 V, 4 V, (3,4) R dan (4, 3) R. 22. Misalkan E = {, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E: R = {(l, ), (2, ), (2,2), (3,2), (2,3)} R 2 = {(l, )} R 3 = {(l, 2)} R 4 = {(l, ), (3, 2), (2, 3)} R 5 = E x E Nyatakan apakah relasi-relasi ini simetris atau tidak? () R tidaklah simetris karena (2, ) R tetapi (, 2) R (2) R 2 simetris. (3) R 3 tidaklah simetris karena (, 2) R 3 tetapi (2, ) R 3 (4) R 4 Simetris 47
33 Dra. Noeryanti, M.Si (5) R 5 Simetris 23. Bilamana suatu relasi R dalam himpunan A tidak anti-simetris? R tidaklah anti-simetris jika terdapat elemen-elemen a A, b A, a b sehingga (a, b) R dan (b, a) R. 24. Misalkan W = {, 2, 3, 4} dan R = {(, 2), (3, 4), (2, 2), (3, 3), (2, )}. Apakah R anti-simetris? R tidaklah anti-simeteris karena W, 2 W, 2, (, 2) R dan (2, ) R. 25. Misalkan E = {, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E : R = {(,), (2,), (2,2), (3,2), (2,3)} R 2 = {(l, )} R 3 = {(l, 2)} R 4 = {(,), (2,3), (3,2)} R 5 = E x E Nyatakan apakah masing-masing relasi ini anti-simetris atau tidak. () R tidaklah anti-simetris karena (3,2) R, dan (2,3) R. (2) R 2 anti-simetris (3) R 3 anti-simetris. (4) R 4 tidaklah anti-simetris karena (2.3) R 4 dan (3, 2) R 4 (5) R 5 tidak anti-simetris berdasarkan alasan yang sama sebagaimana untuk R Misalkan E = {, 2,3}. Berikan sebuah contoh dari suatu relasi R dalam E di mana R tidaklah simetris dan anti-simetris. 48
34 Relasi R = {(,2),(2,),(2,3)} tidak simetris karena (2,3) R tetapi (3,2) R. R juga tidak anti-simetris karena (, 2) R dan (2, ) R. 27. Misalkan himpunan W = {, 2, 3, 4} dan relasi R = {(l, 2), (4, 3), (2, 2), (2, ), (3, )}. Apakah R transitif? R tidaklah transitif karena (4, 3) R, (3, ) R tetapi (4, ) R. 28. Misalkan W = {, 2, 3, 4} dan R = {(2, 2), (2, 3), (, 4), (3, 2)}. Apakah R transitif? R tidaklah transitif karena (3,2) R, (2,3) R tetapi. (3,3) R. 29. Misalkan E = {, 2, 3}. Pandang relasi-relasi berikut dalam E : R = {(, 2), (2, 2)} R 4 = {(, )} R 2 = {(, 2), (2, 3), (, 3), (2, ), (, )} R 3 = {(,2)} R 5 = E x E Nyatakan apakah relasi-relasi ini transitif atau tidak. Masing-masing relasi ini transitif kecuali R 2, R 2 tidak transitif karena (2,) R 2, (,2) R 2, tetapi (2,2) R 2 30.Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R data bilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masingnya adalah suatu relasi refleksif atau tidak () lebih kecil atau sama dengan y (2) y habis dibagi oleh x (3) " z + y = 0" (4) " x dan y secara relatif bilangan prima". 49
35 Dra. Noeryanti, M.Si () Karena a a untuk setiap a N maka (a, a) R. Oleh karena itu R adalah refieksif. (2) Karena setiap bilangan habis dibagi oleh dirinya sendiri maka relasi ini refleksif. (3) Karena maka 3 tidaklah berhubungan dengan dirinya sendiri. Oleh karena itu R tidaklah refleksif. (4) Pembagi terbesar untuk 5 dan 5 adalah 5; jadi (6, 5) f R. Oleh karena itu R tidaklah retleksif. 3. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalam bilangan-bilangan asli A. Nyatakan apakah masing-masingnya adalah relasi simetris atau tidak. () x lebih kecil daripada atau sama dengan y (2) x habis dibagi oleh y (3) x + y = 0 (4) "x + 2y = 0 () Karena 3 5 tetapi 5 3, maka (3,5) R dan (5,3) R. Jadi R tidaklah simetris. (2) Karena 4 habis dibagi oleh 2 tetapi 2 tidak habis dibagi oleh 4, maka (2,4) R dan (4,2) R. Oleh karena itu R tidaklah simetris. (3) Jika a + b = 0 maka b + a = 0; atau dengan perkataan lain, jika (a, b) R maka (b, a) R. Oleh karena itu R adalah simetris. (4) Perhatikan bahwa (2, 4) R, tetapi (4, 2) R, yakni 2 + 2(4) = 0 tetapi 4 + 2(2) 0. Jadi R tidaklah simetris. 32. Buktikan: Misalkan R dan S adalah relasi-relasi simetris dalam himpunan A; maka R S adalah suatu relasi simetris dalam A. 50
36 Pertama perhatikan bahwa R dan S adalah subhimpunan dari A x A; oleh karena itu R S adalah juga subhimpunan dari A x A dan dengan demikian adalah suatu relasi dalam A. Misalkan (a, b) termasuk R S. Maka (a, b) R. dan (a, b) S. Karena R dan S adalah simetris, maka (b, a) juga termasuk R dan (b, a) juga termasuk S ; oleh karena itu (b, a) R S. Dengan memperlihatkan bahwa jika (a, b) R S maka (b, a) R S. oleh karena itu R S adalah simetris. 33. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalam bilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masing relasi ini antisimetris atau tidak. () "x lebih kecil daripada atau sama dengan y " (2) "x lebih kecil daripada y (3) "x + 2y = 0" (4) "x habis dibagi oleh y" () Karena a b dan b a menyatakan bahwa a = b, maka R anti-simetris. (2) Jika a b, maka a < b atau b < a; oleh karena itu R anti-simetris. (3) Himpunan jawab adalah R = {(2,4), (4,3), (6,2), (8,)}. Perhatikan bahwa R R - =, yang mana adalah subhimpunan dari "garis diagonal" N x N. Oleh karena itu R anti-simetris. (4) Karena b habis dibagi oleh a dan a habis dibagi oleh b menyatakan bahwa a = b, maka R anti-simetris. 34. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi R dalam bilangan-bilangan asli N. Nyatakan apakah masing-masing relasi ini transitif atau tidak. () "x lebih kecil daripada atau sama dengan y (2) "y habis dibagi oleh x 5
37 Dra. Noeryanti, M.Si (3) x + y = 0 (4) x + 2y = 5 () Karena a b dan b c menyatakan bahwa a c, maka relasi ini transitif. (2) Jika y habis dibagi oleh x dan z habis dibagi oleh y, maka z habis dibagi oleh x, yaitu; (x, y) R, (y, z) R menyatakan bahwa (x, z) R. Oleh karena itu R transitif (3) Perhatikan bahwa = 0, = 0 dan ; Yaitu, (2,8) R, (8,2) R tetapi (2,2) R Oleh karena itu R tidak transitif. (4) R tidak transitif, karena (3, ) R, (, 2) R tetapi (3,2) R; Yaitu, 3 + 2(l) = 5, + 2(2) = 5 tetapi 3 + 2(2) Buktikan jika suatu relasi R transitif, maka relasi invers Misalkan (a,b) dan (b,c) termasuk R - juga transitif R - ; maka (c,b) R dan (b,a) R. Karena transitif maka (c,a) juga termasuk R; oleh karena itu (a,c) Kita telah memperlihatkan bahwa jika (a,b) R - ; oleh karena itu R - transitif. R -, (b,c) R -. R - maka (a,c) 36. Misalkan R adalah relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "(x - y) dapat dibagi oleh 5"; yaitu misalkan R = {(x, y) x N, y N, (x - y) dapat dibagi oleh 5} Buktikan bahwa R suatu relasi ekivalen. Misalkan a N; maka (a - a) = 0 dapat dibagi oleh 5, dan oleh karena itu (a, a) R. Jadi R refleksif. 52
38 Misalkan (a, b) R ; maka (a - b) dapat dibagi oleh 5, dan oleh karena itu (b - a) = -(a - b) juga dapat dibagi oleh 5. Jadi (b, a) termasuk R. Karena jika (a, b) R maka (b, a) R. Jadi R simetris, Misalkan (a, b) R dan (b, c) R; maka (a - b) dan (b - c) masing-masing dapat dibagi oleh 5. Oleh karena itu (a - c) - (a - b) + (b - c) juga dapat dibagi oleh 5, yang berarti (a, c) termasuk R. Karena jika, (a, b) R dan (b, c) R maka (a, c) R. Jadi R adalah transitif. Karena R refleksif, simetris dan transitif maka menurut definisi R suatu relasi ekivalen. 37. Misalkan R dan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A. Buktikan kedua pernyataan berikut: () Jika R dan S simetris maka R S simetris. (2) Jika R refleksif dan S sebarang relasi maka R S refleksif. () Jika (a, b) R S, maka (a, b) termasuk R atau S, yang mana adalah simetris. Oleh karena itu (b,a) juga termasuk R atau S. Maka (b, a) R S dan dengan demikian R S simetris. (2) R refleksif jika dan hanya jika R memuat "garis diagonal" D dari A x A. Tetapi D R dan R R S maka D R S. Dengan demikian R S refleksif. 38. Misalkan R dan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A. Perlihatkan bahwa masing-masing pernyataan berikut salah dengan memberikan contoh berlawanannya yaitu suatu contoh di mana pernyataan ini tidak benar. () Jika R anti-simetris dan S anti-simetris maka R S anti-simetris, (2) Jika R transitif dan S transitif maka R S transitif. () R = {(l, 2)} dan S = {(2, )} masing-masingnya anti-simetris ; tetapi R S = {(, 2), (2, )} tidak anti-simetris. 53
39 Dra. Noeryanti, M.Si (2) R = {(, 2)} dan S = {(2, 3)} masing-masingnya transitif; tetapi R S = {(, 2), (2, 3)} tidak transitif. 39. Misalkan dua relasi R dan S yang didefinisikan sebagai R = {(x, y) x R #, y R #, y x 2 ), dan S = {(x,y) x R #, y R #, y x + 2) Perhatikan bahwa R dan S kedua-duanya adalah relasi dalam bilanganbilangan riil. () Buatlah sketsa relasi R S pada diagram koordinat R # x R # (2) Carilah domain R S. (3) Carilah jangkauan R S. () Buatlah sketsa R pada diagram koordinat R # x R #, berikan R arsiran dengan garis-garis miring yang condong ke kanan (////); dan pada diagram koordinat yang sama, buatlah sketsa S dengan garis-garis miring yang condong ke kiri (\\\\), seperti diperlihatkan dalam Gambar. Maka daerah bergaris silang adalah R S. Jadi R S adalah yang diperlihatkan dalam Gambar 2. (2, 4) (2, 4) (-,) (-,) R dan S yang disketsa Gambar Gambar 2 (2) Domain dari R S adalah [-, 2], karena sebuah garis vertikal yang melalui tiap-tiap titik dalam selang ini dan hanyalah titik-titik ini, akan memuat sebuah titik dari R S. (3) Jangkauan dari R S adalah [0, 4], karena sebuah garis horizontal yang melalui tiap-tiap titik dalam selang ini dan hanyalah titik-titik ini, akan memuat sekurang-kurangnya satu titik dari R S. 54
40 40. Buktikan jika S, T, dan para R i ( untuk semua i berjalan pada himpunan index I ) adalah relasi relasi pada A, maka berlaku (a) (b) (c) (ST) = T S i i = i i ( I R) I R i i = i i ( U R) U R Menggunakan definisi relasi sehingga diperoleh: (a). (a,b) (ST) jika dan hanya jika (b,a) ST ( c A)dengan(b,c) S (c,a) T ( c A)dengan(c,b) S (a,c) T ( c A)dengan (a,c) T (c,b) S (a,b) T S Jadi (ST) = T S (b). Ambil index set I = α, β, γ,... i i i i (a,b) ( I R) jikadanhanyajika(b,a) I R (b,a) R α (b,a) R β (b,a) R γ... α β γ (a,b) R (a,b) R (a,b) R... (a,b) I Jadi ( IiR) i = I iri i R i (c). Ambil index set I = α, β, γ,... (a,b) ( U R) jika dan hanya jika (b,a) U iri i i (b,a) R α (b,a) R β (b,a) R γ... α β γ (a,b) R (a,b) R (a,b) R... 55
41 Dra. Noeryanti, M.Si (a,b) U ir i Jadi i i = i i ( U R) U R SOAL SOAL LATIHAN. Misalkan R relasi pada A = {2, 3, 4, 5} di definisikan oleh x dan y relatif prima yaitu pembagi bersama dari x dan y hanyalah bilangan satu (a) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan terurut. (b) Gambarkan R pada diagram koordinat A x A (c) Tentukan R Misalkan N = {, 2, 3,..} dan R relasi di N yang didefinisikan sebagai x + 2y = 8, yakni R = {(x, y) / x, y N, x + 2y = 8} (a) Tulis R sebagai himpunan pasangan terurut. (b) Tentukan R Misalkan W = {, 2, 3, 4}. Perhatikan relasi-relasi dalam W berikut ini : R = {(,), (,2)} R 2 = {(,), (2,3), (4,)} R 3 = {(,2), (2,4)} R 4 = {(,), (2,2), (3,3)} R 5 = W x W R 6 = Selidiki apakah masing-masing relasi diatas bersifat (a) refleksif (b) simetris (c) transitif 4. Misalkan R relasi tegak lurus pada himpunan garis pada bidang. Tentukan apakah R : (i) refleksif (ii) Simetris (iii) transitif atau (iv) ekivalensi. 5. Misalkan W = {, 2, 3, 4, 5, 6}. Tentukan apakah masing-masing berikut ini merupakan partisi pada W atau bukan: 56
42 (a) [{,3,5}, {2,4}, {3,6}] (c). [{,5}, {2}, {4}, {,5}, {3,6}] (b) [{,5}, {2}, {3,6}] (d). [ {,2,3,4,5,6}] 6. Tentukan semua partisi dari A = {,2,3} 7. Misalkan R adalah relasi dalam B = {2, 3, 4, 5, 6} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka " x - y dapat dibagi oleh 3 Tuliskan R sebagai himpunan dari pasangan-pasangan terurut. 8. Misalkan C = {, 2, 3, 4, 5}, dan relasi R dalam C adalah himpunan titik-titik yang diperlihatkan dalam diagram koordinat C x C berikut. C C (a) Nyatakan apakah masing-masing pernyataan benar atau salah: (a) R 4, (b) 2 R 5, (c) 3 R, (d) 5 R 3. (b) Tuliskan masing-masing subhimpunan C berikut dalam bentuk pendaftaran: {x 3 R x} {x (4, x) R} {x (x, 2) R} {x x R 5) (c) Carilah domain dari R, (d) Tentukan jangkauan R, (e) Definisikan R - 9. Diketahui R = {(x, y) x R #, y R #, x 2 + 4y 2 6}. (a) Buatlah sketsa R pada diagram koordinat R # x R #. 57
43 Dra. Noeryanti, M.Si (b) Carilah ranah dari R, (c) Tentukan jangkauan R. 0. Jika R = {(x, y) x R #, y R #, x 2 y 2 4}, maka: (a) Buatlah sketsa R pada diagram koordinat R # x R #. (b) Carilah ranah dari R, (c) Tentukan jangkauan darir. (d) Definisikan R -.. Suatu relasi R pada bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "x + 3y = 2" dinyatakan sebagai : R = {(x, y) x N, y N, x + 3y = 2} (a) Tuliskan R sebagai himpunan pasangan-pasangan terurut. (b) Carilah ranah dari R, (c). Tentukan jangkauan dari R, (d) Definisikan R - 2. Misalkan R suatu relasi dalam bilangan-bilangan asli N yang didefinisikan sebagai 2x + 4y = 5. (a) Tuliskan R sebagai himpumn pasangan-pasangan terurut. (b) Carilah ranah dari R, (c) Tentukan jangkauan darir, (d) Definisikan relasi invers R - 3. Nyatakan masing-msing pernyataan berikut benar atau salah. Anggaplah R dan S adalah relasi-relasi dalam himpunan A. (a) Jika R simetris maka R - simetris. (b) Jika R anti-simetris, maka (c) Jika R refleksif, maka R (d) Jika R simetris, maka R R - anti-simetris. R -. R -. (e) Jika R transitif dan S transitif, maka R S transitif. (f) Jika R transitif dan S transitif, maka R S transitif. 58
44 (g) Jika R anti-simetris dan S anti-simetris maka R S anti-simetris. (h) Jika R anti-simetris dan S anti-simetris maka R S anti-simetris. (i) (j) Jika R refleksif dan S refleksif, maka R S refleksif. Jika R refleksif dan S refleksif, maka R S refleksif. 4. Misalkan L adalah himpunan dari garis-garis dalam bidang Euclid dan R adalah relasi dalam L yang didefinisikan oleh "x sejajar y". Nyatakan apakah relasi R () refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif, ataukah tidak. (Anggap sebuah garis sejajar dirinya sendiri). 5. Misalkan L himpunan dari garis-garis dalam bidang Euclid dan R adalah relasi dalam L yang didefinisikan oleh "x tegak lurus y". Nyatakan apakah R () refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif. 6. Misalkan A keluarga himpunan-himpunan dan R adalah relasi dalam A yang didefinisikan oleh "x terpisah dari y". Nyatakan apakah R () refleksif, (2) simetris, (3) anti-simetris, (4) transitif, ataukah tidak. 7. Masing-masing kalimat terbuka berikut mendefinisikan suatu relasi dalam bilangan-bilangan asli N. (a) x lebih besar daripada y (b) "x adalah kelipatan y" (c) x kali y adalah kuadrat dari sebuah bilangan. (d) "x + 3y = 2" Nyatakan apakah masing-masing relasi tersebut (a) refleksif, (b) simetris, (c) anti-simetris, (d) transitif, ataukah tidak. 8. Pandang relasi-relasi dalam bilangan-bilangan riil berikut ini: R = {(x, y) x R #, y R #, x 2 + y # 25} S = {(x, y) x R #, y R #, y 4x 2 /9} (a) Buatlah sketsa relasi R R' pada diagram koordinat R # x R #. (b) Carilah ranah dari R S (c) Tentukan jangkauan dari R S. 59
45 Dra. Noeryanti, M.Si 9. Pandang masing-masing himpunan dari pasangan-pasangan bilangan riil berikut merupakan relasi-relasi dalam R #. (a) {(x, y) x 2 + y 2 25} {(x, y) y 3x / 4} (b) {(x, y) x 2 + y 2 25} {(x, y) y 4x 2 / 9} (c) {(x, y) x 2 + y 2 25} {(x, y) y 4x 2 / 9} (d) {(x, y) x 2 + y 2 < 25} {{x, y) y < 3x/4} Buatlah sketsa masing-masing relasi diatas pada diagram koordinat R # x R # dan nyatakan ranah dan jangkauannya. 20. Misalkan A adalah himpunan orang-orang. Setiap kalimat terbuka di bawah ini mendefinisikan suatu relasi dalam A. Untuk masing-masing relasi dibawah ini, carilah suatu kalimat terbuka yang disebut "kalimat invers", yang mendefinisikan relasi invers. (a) "x suami dari y" (d) "x lebih kaya daripada y" (b) "x, lebih tua daripada y" (e). "x lebih cerdas daripada y" (c) "x lebih tinggi daripada y" 2. Misalkan N bilangan-bilangan asli. Masing-masing kalimat terbuka di bawah ini mendefinisikan suatu relasi dalam N. Carilah suatu kalimat terbuka yang mana mendefinisikan relasi invers untuk masing-masing relasi ini. (a) "x lebih besar daripada y" (b) "x lebih berat daripada atau sama dengan y" (c) "x adalah kelipatan y" (d) "2x + 3y = 30" 22. Matriks M berikut menyatakan relasi R pada I = {, 2, 3, 4, 5, 6} M =
46 a). Tulis R sebagai pasagan terurut b). Tentukan domain, range dan relasi invers dari R 23. Buatlah graf untuk R pada soal no 22 6
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi R dari A ke B diberikan oleh R = {(1,5),(4,5),(1,4),(4,6),(3,7),(7,6)}
SOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN 1'1) Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi R dari A ke B diberikan oleh R = {(1,5),(4,5),(1,4),(4,6),(3,7),(7,6)} Carilah: Domain, range Uangkauan)
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciRELASI. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
RELASI 1. Pasangan Berurutan 2. Fungsi Proposisi dan Kalimat Terbuka 3. Himpunan Jawaban dan Grafik Relasi 4. Jenis-jenis Relasi 5. Domain dan Range suatu Relasi Pasangan Berurutan (cartesian Product)
Lebih terperinciHimpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan Dra. Kusrini, M.Pd. PENDAHULUAN D alam Modul 1 ini ada 3 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1, Kegiatan Belajar 2, dan Kegiatan Belajar 3. Dalam Kegiatan Belajar 1, Anda akan mempelajari
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN LOGIKA MATEMATIKA
TEORI HIMPUNN SMTS 1101 / 3SKS LOGIK MTEMTIK Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 87 Dra. Noeryanti, M.Si DFTR ISI Cover pokok bahasan... 87 Daftar isi... 88 Judul Pokok Bahasan... 89 4.1. Pengantar...
Lebih terperinciHasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk a A dan b B.
III Relasi Banyak hal yang dibicarakan berkaitan dengan relasi. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah relasi bisnis, relasi pertemanan, relasi antara dosen-mahasiswa yang disebut perwalian
Lebih terperinciBAB I PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN RELASI
BAB I PEMBAHASAN 1. PENGERTIAN RELASI Misalkan relasi pada himpunan A dan B adalah dua himpunan sebarang, suatu relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B yaitu pasangan terurut (a,b) dimana
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT BAB 2 RELASI
BAB 2 RELASI Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta, Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di Surabaya, Ali di Jakarta,
Lebih terperinciMatematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi
Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi RELASI 1 9/26/2017 Hasil Kali Kartesian Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A = a a M a 2 m a a a 2 22 M m 2
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang
Lebih terperinciBAB 2 RELASI. 1. Produk Cartesian
BAB 2 RELASI 1. Produk Cartesian Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian : (a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b; (a 1, a 2,, a n ) n-tuple dari elemen-elemen a 1,, a n ; A x B = {(a,
Lebih terperinciPERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI
RELASI Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi. Contoh Misalkan M = {Ami, Budi, Candra, Dita} dan
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciBAB V RELASI DAN FUNGSI
BAB V RELASI DAN FUNGSI 6.1 Pendahuluan Relasi atau hubungan antara himpunan merupakan suatu aturan pengawasan antar himpunan tersebut, sebagai contohnya kalimat adalah ayah b atau kalimat 4 habis diabgi
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciKUANTOR SMTS 1101 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA. Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 31 MODUL LOGIKA MATEMATIKA
KUANTOR SMTS 1101 / 3SKS LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. Noeryanti, M.Si 31 DAFTAR ISI Cover pokok bahasan... 31 Daftar isi.... 3 Judul Pokok Bahasan... 33.1. Pengantar... 33.. Kompetensi... 33.3
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI
RELASI MATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciMATEMATIKA SISTEM INFORMASI 1
RELASI MATEMATIKA SISTEM INFORMASI Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. RELASI R : A B, artinya R relasi dari himpunan A ke
Lebih terperinciMatriks. Contoh matriks simetri. Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Contoh matriks 0/1:
MATRIKS & RELASI Matriks Matriks adalah adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan kolom. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m n) adalah: A a a a 2 m a a a 2 22 m2 a a a
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciYang akan dibicarakan adalah relasi-relasi yang determinatif.
Lecture 3: Relation A A. Pengertian Relasi Definisi 3.1 (a). Relasi R yang didefinisikan pada suatu semesta U, misal U = {x, y, } disebut determinatif pada U jika dan hanya jika ( x, yεu) kalimat xry merupakan
Lebih terperinciBagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB III HIMPUNAN DAN FUNGSI A. Konsep Dasar Himpunan dan Fungsi Himpunan dan fungsi merupakan obyek dasar dari semua obyek yang dipelajari dalam matematika. Pada saat seseorang belajar matematika, baik
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinci22 Matematika Diskrit
.. Relasi Ekivalen Definisi : Sebuah relasi pada sebuah himpunan A disebut relasi ekivalen jika dan hanya jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Dua elemen yang dihubungkan dengan
Lebih terperinciBAB II RELASI DAN FUNGSI
9 BAB II RELASI DAN FUNGSI Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur dalam suatu kelompok. Misalkan, hubungan antara suatu urusan dengan nomor telepon, antara
Lebih terperinci9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES
CHAPTER 9 RELATION 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciDEFINISI. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
BAB 3 RELASI DEFINISI Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 015 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 016 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : 1. 015 = 5 13 31 Banyaknya faktor
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor
BAB 5 GRUP FAKTOR Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciBAB V HIMPUNAN Pendahuluan
BAB V HIMPUNAN 5.1. Pendahuluan Bab ini memuat materi tentang pengertian himpunan, operasi irisan, gabungan, komplemen, selisih dan simetri, dan aljabar himpunan yang meliputi sifat dan rumus-rumus. Selain
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinciRelasi & Fungsi. Kuliah Matematika Diskrit 20 April Pusat Pengembangan Pendidikan - Universitas Gadjah Mada
Relasi & Fungsi Kuliah Matematika Diskrit 20 April 2006 Hasil Kali Kartesian Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A dengan B (simbol: A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
8/29/24 Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 8/29/24 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/24 8/29/24 Relasi dan Fungsi Tujuan Mahasiswa memahami
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan
Lebih terperinciKALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
KALKULUS (Relasi Ekivalen) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Relasi Ekivalen Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyek-obyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi.
Lebih terperinciSOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar.
SOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar. Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang tanpa sudut siku-siku pada
Lebih terperinciK L P Q 1 2 10 2 2 4 13 4 3 8 18 8. Gambar 4.10 Gambar 4.11
B. Relasi Sebelum mendefinisikan produk Cartesius, terlebih dahulu Anda perlu mengenal pengertian pasangan terurut. Dalam sistem koordinat Cartesius dengan sumbu x dan sumbu y, kita mengetahui bahwa titik
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional
SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciRelasi. Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B).
Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT RELASI
MATEMATIKA DISKRIT RELASI Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B. Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
Lebih terperinciPERTEMUAN Relasi dan Fungsi
4-1 PERTEMUAN 4 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengampu : Dr. Suparman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 081328201198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 4. Relasi dan
Lebih terperinciProduk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI
Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperinciSOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2014 TINGKAT PROVINSI
HAK CIPTA DILINDUNGI UNDANG-UNDANG SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2014 TINGKAT PROVINSI BIDANG MATEMATIKA Waktu : 210 menit KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2006 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!!
SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 006 TINGKAT PROVINSI TAHUN 005 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciFUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciPengantar Analisis Real
Modul Pengantar Analisis Real Dr Endang Cahya, MA, MSi P PENDAHULUAN ada Modul ini disajikan beberapa topik pengantar mata kuliah Analisis Real, yang terbagi dalam beberapa kegiatan belajar yang harus
Lebih terperinciMODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank
1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2008
Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2008 Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 202 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 203 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : BAGIAN PERTAMA. Tanpa mengurangi keumuman misalkan
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 TINGKAT PROVINSI
SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 TINGKAT PROVINSI Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
Lebih terperinciOPERASI BINER. Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
OPERASI BINER Yus Mochamad Cholily Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 4, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Relasi 3 3 Fungsi 4 4 Operasi Biner
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 013
Lebih terperinciContoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciHimpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)
Lebih terperinciSOAL DAN SOLUSI PENYISIHAN KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011
SOAL DAN SOLUSI PENYISIHAN KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 011 (90 menit) 1. Misalkan 1995 a. ( x) x 9 1 1995. Maka nilai dari... x 9 3... 1995 1995 b. c. d. e. 3 4 3 4 ( x) 9 9 x x 3 (1
Lebih terperinciBAB I SET DAN RELASI
BAB I SET DAN RELASI 1.1. SET, ELEMEN (UNSUR) Set adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu set adalah sesuatu yang didefinisikan dengan
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciZulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
Lebih terperinciDefinisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.
RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis a R
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1979
Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciBab II TINJAUAN PUSTAKA. Aksioma-aksioma yang membentuk geometri Affin disebut dengan aksioma playfair
Bab II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Geometri Affin ( Rawuh, 2009) Aksioma-aksioma yang membentuk geometri Affin disebut dengan aksioma playfair yaitu aksioma yang menyatakan bahwa melalui suatu titik
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 2
Relasi Relasi antara himpunan A dan himpunan B didefinisikan sebagai cara pengawanan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. ilustrasi grafis dapat dilihat sebagai berikut: - Relasi Biner Relasi
Lebih terperinciOLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI
OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI SESI III (ISIAN SINGKAT DAN ESSAY) WAKTU : 180 MENIT ============================================================
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciBAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi
Lebih terperinciTUGAS HIMPUNAN DAN FUNGSI OLEH ARNASARI MERDEKAWATI HADI EKA REZEKI AMALIA DIAH RAHMAWATI HANIYAH MATKOM II A
TUGAS HIMPUNAN DAN FUNGSI OLEH ARNASARI MERDEKAWATI HADI 06320003 EKA REZEKI AMALIA 06320004 DIAH RAHMAWATI 06320027 HANIYAH 06320029 MATKOM II A JURUSAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI FAKULTAS KEGURUAN DAN
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN 2009/2010 MATEMATIKA (E-4.2) SMK
UJIAN NASIONAL TAHUN 009/00 MATEMATIKA (E-.) SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran (P UTAMA). Konveksi milik Bu Nina mengerjakan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciPeta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus
PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciDiketahui : A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {1,2,3,5,6,12} C = {2,4,8,12,20} (A B) C = {1,3,5,6} {x x ϵ A dan x ϵ B} (B C) = {2,12}
KELAS A =========================================================================== 1. Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {1,2,3,5,6,12}, dan C = {2,4,8,12,20}. Tentukan hasil dari operasi himpunan berikut
Lebih terperinci