Matematika Komputasi RELASI. Gembong Edhi Setyawan

Transkripsi

1 Matematika Komputasi RELASI Gembong Edhi Setyawan

2 DEFINISI Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B Relasi Biner : Hubungan antara 2 buah objek

3 NOTASI Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A B Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range/codomain) dari R.

4 Cara Menyatakan Relasi Diagram panah Himpunan pasangan berurutan Diagram Cartesius Tabel Matriks Graph Berarah

5 Contoh Via Andre Ita : aku senang permen dan coklat : aku senang coklat dan es krim : aku senang es krim

6 Contoh Himpunan A : himpunan nama orang A={Via, Andre, Ita} Himpunan B : himpunan nama makanan B={es krim, coklat, permen} Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah Makanan Kesukaan

7 Diagram Panah A via R permen B Andre coklat Ita Es krim R={(x,y) x menyukai y; x A dan y B}

8 Himpunan Pasangan Berurutan R={(Via,permen), (Via,coklat), (Andre,coklat), (Andre,es krim), (Ita,es krim)}

9 Diagram Cartesius p e r m e n c o k la t e s k rim via andre ita

10 Tabel Nama Via Via Andre Andre Ita Makanan Permen Coklat Coklat Es Krim Es Krim

11 Matriks Baris = domain Kolom = kodomain permen coklat Es krim Via Andre Ita

12 Graph Berarah hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu himpunan (bukan antara dua himpuanan). Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex) Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc). Jika (a, b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex) Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut loop

13 Contoh Graph Berarah Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. R direpresentasikan dengan graf berarah sbb: a b c d

14 Sifat-Sifat Relasi Biner REFLEKSIF (REFLEXIVE) TRANSITIF (TRANSITIVE) SIMETRIK (SYMMETRIC) ASIMETRIK (ASYMMETRIC) ANTI SIMETRIK EQUIVALENT POSET

15 REFLEKSIF Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a A sedemikian sehingga (a, a) R.

16 Contoh Refleksif Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4). Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) R.

17 Ciri Sifat Refleksif Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m ii = 1, untuk i = 1, 2,, n, Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

18 Transitif (Menghantar) Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A

19 Contoh Transitif Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh : a R b jika dan hanya jika a membagi b, di mana a, b A, Jawab: Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka: R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)} Ketika (2, 4) R dan (4, 8) R terlihat bahwa (2, 8) R. Dengan demikian R bersifat transitif.

20 Ciri Sifat Transitif Sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh: Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c. Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya.

21 Simetrik Relasi R pada himpunan A disebut simetri jika (a, b) R, maka (b, a) R untuk a, b A. Contoh: A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat simetri karena jika (a, b) R maka (b, a) juga R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) R.

22 Asimetrik Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) R sedemikian sehingga (b, a) R. Contoh: Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } Asimetri karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R.

23 Anti Simetrik Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R hanya jika a = b untuk a, b A disebut tolak-setangkup. Contoh: Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } Anti Simetri karena 1 = 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R. Perhatikan bahwa R juga simetri

24 EQUIVALEN Sebuah relasi R dikatakan equivalen jika memenuhi syarat: Refleksif Simetrik Transitif

25 PARTIALLY ORDER SET (POSET) Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian (POSET) jika memenuhi syarat: Refleksif Antisimetri Transitif

26 Relasi Invers Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R 1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh R 1 = {(b, a) (a, b) R }

27 Kombinasi / Operasi Relasi Operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan penjumlahan (beda setangkup) juga berlaku pada relasi Jika R 1 dan R 2 masing-masing merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka R 1 R 2, R 1 R 2, R 1 R 2, dan R 1 R 2 juga adalah relasi dari A ke B.

28 Contoh Kombinasi Relasi Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R 1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} Relasi R 2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} Maka : R 1 R 2 = {(a, a)} R 1 R 2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} R 1 R 2 = {(b, b), (c, c)} R 2 R 1 = {(a, b), (a, c), (a, d)} R 1 R 2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

29 OPERASI DALAM BENTUK MATRIKS Misalkan bahwa relasi R 1 dan R 2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks Maka:

30 KOMPOSISI RELASI Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan T, dinotasikan dengan T ο R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh : T ο R = {(a, c) a A, c C, dan untuk suatu b B sehingga (a, b) R dan (b, c) T }

31 KOMPOSISI RELASI Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u} Relasi dari A ke B didefinisikan oleh : R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)} Relasi dari B ke C didefisikan oleh : T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} Maka komposisi relasi R dan T adalah T o R= {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

32 KOMPOSISI RELASI T o R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)}