BAB V PROGRAMA LINIER : MODEL TRANSPORTASI

Transkripsi

1 BAB V PROGRAMA LINIER : MODEL TRANSPORTASI Model transportasi berkaitan dengan penentuan rencana berbiaya rendah untuk mengirimkan satu barang dari seumlah sumber (misalnya, pabrik) ke seumlah tuuan (misalnya, gudang). Model ini dapat diperluas secara langsung untuk mencakup situasi-situasi praktis dalam bidang pengendalian mutu, penadwalan dan penugasan kera, di antara bidangbidang lainnya. Model transportasi pada dasarnya merupakan sebuah programa linier yang dipecahkan oleh metode simpleks biasa. Tetapi, strukturnya yang khusus memungkinkan pengembangan sebuah prosedur pemecahan, yang disebut teknik trasportasi, yang lebih efisien dalam hal perhitungan. Ciri-ciri khusus persoalan transportasi adalah : 1. Terdapat seumlah sumber dan seumlah tuuan tertentu. 2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tuuan, besarnya tertentu. 3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tuuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber. 4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tuuan, besarnya tertentu. 5.1 Definisi dan Aplikasi Model Transportasi Dalam arti sederhana, model transportasi berusaha menentukan sebuah rencana transportasi sebuah barang dari seumlah sumber ke seumlah tuuan. Data dalam model ini mencakup : 1. Tingkat penawaran di setiap sumber dan seumlah permintaan di setiap tuuan. 2. Biaya transportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tuuan. 1

2 Tuuan dari model ini adalah menentukan umlah yang harus dikirimkan dari setiap sumber ke setiap tuuan sedemikian rupa sehingga biaya transportasi total diminimumkan. Asumsi dasar dari model ini ialah bahwa biaya transportasi di sebuah rute tertentu adalah proporsional secara langsung dengan umlah unit yang dikirimkan. Gambar 5.1 memperlihatkan sebuah model transportasi dari sebuah aringan dengan m sumber dan n tuuan. Sebuah sumber atau tuuan diwakili dengan sebuh node. Busur yang menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tuuan mewakili rute pengiriman barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber i adalah a i dan permintaan di tuuan adalah b i. Biaya unit transportasi antara sumber i dan tuuan adalah c. Sumber Tuuan c 11 : 11 a b 1 Unit penawaran a b 2 Unit permintaan a 1 m c mn : mn n b n Gambar 5.1 Model Transportasi dari Sebuah Jaringan Anggaplah mewakili umlah barang yang dikirimkan dari sumber i ke tuuan ; maka model programa linier yang mewakili masalah transportasi adalah sebagai berikut : Memin imumkan z m n i 1 1 c 2

3 Dengan batasan : n m i 1 1 a, i b, i 1,2,..., m 1,2,..., n 0, untuk semua i dan Kelompok batasan pertama menetapkan bahwa umlah pengiriman dari sebuah sumber tidak dapat melebihi penawarannya ; demikian pula, kelompok batasan kedua mengharuskan bahwa umlah pengiriman ke sebuah tuuan harus memenuhi permintaannya. Model diatas menyiratkan bahwa penawaran total 1 harus n setidaknya sama dengan permintaan total b m i ai 1. Ketika penawaran total sama dengan permintaan total m i ( 1 = 1 ), formulasi yang ai n b dihasilkan disebut model transportasi berimbang (balanced transportation model). Model ini berbeda dengan model diatas hanya dengan fakta bahwa semua batasan adalah persamaan yaitu : n m i 1 1 a, i b i 1,2,..., m 1,2,..., n Dalam kehidupan nyata tidak selalu dapat dipastikan bahwa penawaran sama dengan permintaan atau melebihinya. Tetapi, sebuah model transportasi dapat selalu berimbang. Pengimbangan ini, disamping kegunaannya dalam pemodelan situasi praktis tertentu, adalah penting untuk pengembangan sebuah metode pemecahan yang sepenuhnya memanfaatkan struktur khusus dari model tranportasi ini. 3

4 5.2 Pemecahan Masalah Transportasi Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan langkahlangkah sebagai berikut : 1. Tentukan pemecahan awal yang layak. 2. Tentukan variabel masuk (entering variabel) dari variabel-variabel nonbasis. Bila semua variabel sudah memenuhi kondisi optimum, STOP. Bila belum, lanutkan langkah Tentukan variabel keluar (leaving variabel) di antara variabel-variabe basis yang ada, kemudian hitung solusi yang baru. Kembali ke langkah 2. Langkah 1 : Menentukan solusi fisibel basis awal Ada tiga metode yang biasa digunakan untuk menentukan solusi fisibel basis awal yaitu : Metode pook kiri atas-pook kanan bawah (northwest corner rule / NCR) Prosedur yang digunakan dalam menyelesaikan persoalan transportasi dengan metode NCR adalah sebagai berikut : Mulai dari pook kiri atas, alokasikan sebesar 11 = min (a 1, b 1 ). Artinya : ika b 1 a 1 maka 11 = b 1 ; ika b 1 a 1, maka 11 = a 1. Kalau 11 = b 1, maka selanutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah 12 sebesar min (a 1 - b 1, b 2 ) ; kalau 11 = a 1 (atau b 1 a 1 ), maka selanutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah 21 sebesar min (b 1 - a 1, a 2 ). Demikian seterusnya. Contoh : 4

5 Tabel Contoh Pemakaian Metode NCR Tuuan a Sumber b a 1 = 15 ; b 1 = 5 11 = min (15, 5) = 5 a 1 - b 1 = 10 ; b 2 = = min (10, 15) = 10 Langkah selanutnya ialah mengisi b 2 sampai penuh dengan mengalokasikan sebesar 5 pada 22, yaitu umlah kekurangan yang teradi dalam pemenuhan kebutuhan pada b 2. Dengan melanutkan prosedur diatas, maka akan diperoleh berturut-turut : 23 = 15, 24 = 5, dan 34 = 5, yang bersama-sama dengan 11, 12, dan 22 membentuk solusi fisibel basis awal. Sehingga biaya trasportasi totalnya adalah : = Metode biaya terendah (least cost) Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengalokasian pada tempat yang mempunyai satuan ongkos terkecil. Dengan mengambil contoh diatas, kita lihat c 12 = c 31 = 0 adalah ongkos terkecil dari keseluruhan tabel. Maka 12 dan 31 mendapat prioritas pengalokasian pertama kali. Jumlah unit yang dialokasikan masing-masing adalah 12 = min (a 1, b 2 ) = 15 dan 31 = min (a 3, b 1 ) = 5. Selanutnya lihat ongkos terkecil berikutnya, yaitu c 22 = 7. Tetapi, karena tuuan kedua (b 2 ) telah terisi penuh, maka lihat ongkos terkecil 5

6 berikutnya, diperoleh c 23 = 9. Alokasikan 23 sebesar min (a 2, b 3 ) = min (25, 15) = 15. Dengan menalankan prosedur diatas, diperoleh 24 = 10. Maka 12, 31, 23 dan 24 bersama-sama membentuk solusi fisibel basis awal. Tabel Contoh Pemakaian Metode Least Cost Tuuan Sumber Biaya total = = 335. Hasil yang dicapai pada metode least cost ternyata lebih baik (lebih rendah) daripada yang diperoleh dengan metode NCR Metode Pendekatan Vogel (Vogel s Approimation Method /VAM) Cara ini merupakan cara terbaik dibandingkan dengan kedua cara diatas. Langkah-langkah pengeraannya adalah : 1. Hitung penalty untuk tiap kolom dan baris dengan alan mengurangkan elemen ongkos terkecil dari yang kedua terkecil. 2. Selidiki kolom/baris dengan penalty terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin pada variabel dengan ongkos terkecil, sesuaikan supply dengan demand, kemudian tandai kolom atau baris yang sudah terpenuhi. Kalau ada 2 buah baris/kolom yang terpenuhi secara simultan, pilih salah satu untuk ditandai, sehingga supply/demand pada baris/kolom yang tidak terpilih adalah nol. Setiap baris/kolom dengan supply/demand sama dengan nol, tidak akan terbawa lagi pada perhitungan penalty berikutnya. 6

7 3. a. Bila tinggal 1 kolom/baris yang belum ditandai, STOP. b. Bila tinggal 1 kolom/baris dengan supply/demand positip yang belum ditandai, tentukan variabel basis pada kolom/baris dengan cara ongkos terkecil (least cost). c. Bila semua baris dan kolom yang belum ditandai mempunyai supply dan demand sama dengan nol, tentukan variabel-variabel basis yang berharga nol dengan cara ongkos terkecil. Kemudian STOP. d. Jika 3a, b dan c tidak teradi, hitung kembali penalty untuk baris/kolom yang belum ditandai. Kembali ke nomor 2. Contoh : Penalty Kolom Penalty Baris * Karena baris ketiga memiliki penalty terbesar (= 14) dan karena c 31 = 0 merupakan ongkos terkecil di dalam barisnya, maka alokasikan 31 = 5. Dengan demikian, baris 3 dan kolom 1 sudah terpenuhi secara simultan. Dalam hal ini kita bisa memilih baris 3 atau kolom 1 yang akan ditandai. Misalkan dipilih kolom 1 untuk ditandai, maka sisa supply untuk baris 3 menadi 0. Tabel baru menadi : 7

8 Penalty Kolom Penalty Baris 15 11* Selanutnya kita ulangi menghitung penalty. Kita lihat bahwa baris 1 dan kolom 3 mempunyai penalty yang sama (= 11) sehingga kembali kita dapat memilih salah satu untuk ditandai. Misalkan dipilih kolom 3 untuk ditandai, maka alokasikan 23 = 15. Supply untuk baris 2 sekarang menadi 10. Penalty Kolom Penalty Baris * Dengan menghitung penalty yang baru, diperoleh penalty terbesar untuk baris 2 (= 13) sehingga alokasikan 22 = 10. Kemudian tandai baris

9 Supply yang masih tersedia adalah 15 (baris 1), sedangkan demand yang belum terpenuhi adalah kolom 2 sebanyak 5 dan kolom 4 sebanyak 10. Karena tidak ada pilihan lain, maka alokasikan 12 = 5 dan 14 = 10. Pengisian tabel selesai dengan solusi fisibel basis awal : 12 = 5, 14 = 10, 22 = 10, 23 = 15 dan 31 = 5. Dari hasil perhitungan diatas, maka tabel optimumnya adalah : Biaya total = = 315 Langkah 2 dan 3 : Menentukan entering variabel dan leaving variabel Menentukan entering dan leaving variabel adalah tahap berikutnya dari teknik pemecahan persoalan transportasi, setelah solusi fisibel basis awal diperoleh. Ada dua cara yang bisa digunakan dalam menentukan entering dan leaving variable ini, yaitu dengan menggunakan metode stepping stone atau metode multipliers Metode Stepping Stone Untuk menentukan entering dan leaving variable ini, terlebih dahulu haris dibuat suatu loop tertutup bagi setiap variabel nonbasis. Loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel nonbasis tadi, di mana tiap sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel trasportasi. Sebagai contoh, kita lihat kembali tabel terakhir yang diperoleh dari cara NCR, Tabel berikut ini : 9

10 Tabel Solusi fisibel Basis Awal dengan Metode NCR Dari tabel diatas diperoleh variabel basis awal 11, 12, 22, 23, 24, dan 34, masing-masing dengan harga 5, 10, 5, 15, 5, dan 5. Sampai disini diperoleh solusi awal z = (5) (10) + (10) (0) + (5) (7) + (15) (9) + (5) (20) + (5) (18) = 410 Dalam hal ini loop digunakan untuk memeriksa apakah bisa diperoleh penurunan ongkos (z) ika variabel nonbasis dimasukkan menadi variabel basis. Dengan cara memeriksa semua variabel nonbasis yang terdapat dalam suatu iterasi itulah kita dapat menentukan entering variabel. Sebagai contoh, kita kembali pada Tabel Misalkan kita akan memeriksa apakah variabel nonbasis 21 dapat dimasukkan menadi variabel basis sehingga ongkos totalnya berkurang. Untuk itu alokasikan sebanyak 1 satuan barang kepada 21 (atau 21 = 1). Mengingat bahwa kuantitas barang pada masing-masing baris atau kolom harus tetap, maka perubahan harga 21 dari 0 menadi 1 mengakibatkan perubahan pada harga variabel basis 11 (yang berada pada kolom 1) sebesar 1 sehingga 11 menadi = 4. Demikian pula halnya dengan variabel yang berada pada baris 2 sehingga 22 berubah menadi 4. Perubahan yang teradi pada z adalah : z = (4) (10) + (11) (0) + (1) (12) + (4) (7) + (15) (9) + (5) (20) + (5) (18) = 405 Dibandingkan dengan solusi sebelumnya (z = 410), maka elaslah bahwa 21 dapat dimasukkan sebagai entering variabel, dimana pengalokasian 1 unit barang kepada 21 akan mengakibatkan penurunan ongkos sebesar 5 (lihat Tabel ). 10

11 Tabel Pemasukan Variabel Nonbasis 21 Menadi Variabel Basis Untuk memudahkan perhitungan, buatlah sebuah loop tertutup untuk masingmasing pengecekan. Misalnya untuk variabel 21 tadi (lihat Tabel ). Kalau kita pandang 1 unit pengalokasian kepada 21 berasal dari pemindahan 1 unit pada kolom 2 ke kolom 1, maka untuk menaga agar kuantitasl total pada kolom ke 2 tidak berubah dan kuantitas pada kolom 1 tidak berlebih, haruslah dari kolom 1 dipindahkan ke kolom 2 sebesar 1 unit pula. Misalkan yang berubah itu adalah 11 menadi 4, dan 1 unit dipindahkan dari 11 kepada 12 sehingga 12 menadi 11. Dengan cara yang sama 21 menadi 1 dan 22 menadi 4 sebagai perimbangannya (lihat Tabel ). Tabel Loop tertutup untuk Variabel Nonbasis Akibat perpindahan antar kolom ini terhadap ongkos total hanyalah berkisar pada elemen-elemen ongkos tempat dilakukannya perpindahan tersebut, yaitu c 11, c 12, c 21, dan c 22. Dalam hal ini, akibat perpindahan dari 11

12 11 kepada 12 sebesar 1 unit, maka teradi penurunan ongkos sebesar c 11 c 12. Begitu pula yang teradi pada perpindahan dari 22 kepada 21, penurunan ongkosnya adalah sebesar c 22 c 21. Kalau penurunan ongkos ini diberi tanda minus (-) dan pertambahan ongkos diberi tanda plus (+), maka perubahan total ongkos yang teradi, bila dialokasikan sebanyak 1 unit terhadap variabel nonbasis 21, adalah : [(c 11 c 12 ) + (c 22 c 21 )] = - [(10 0) + (7 12)] = - 5 Perubahan harga variabel-variabel basis dan nonbasis ini tentu saa dapat pula dipandang sebagai perpindahan antarbasis dan tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan. Bahkan ada kalanya dibutuhkan perpindahan antarkolom sekaligus perpindahan antar baris, misalnya untuk memeriksa 31. Jika c = perubahan ongkos akibat pengalokasian 1 unit produk ke variabel nonbasis, maka dengan cara yang sama akan diperoleh berturut-turut : c 13 = 18, c 14 = - 2, c 31 = - 15, c 32 = 9, dan c 33 = 9, sehingga diperoleh Tabel Tabel Penambahan dan Penurunan Ongkos Transportasi per unit untuk masing-masing Variabel Nonbasis (18) (-2) (-5) (-15) (9) (9) Selanutnya dipilih variabel nonbasis yang akan menyebabkan penurunan ongkos terbesar sebagai entering variabel. Dari iterasi diatas dipilih 31 sebagai entering variable karena memberikan penurunan ongkos yang terbesar yaitu sebanyak 15 satuan ongkos per unit. Dengan demikian, kita 12

13 dapat membuat sebuah loop yang berawal dan berakhir pada variabel 31 (lihat Tabel ) Tabel Loop dari Variabel (-) (+) (-) (+) (+) (-) Tanda (-) dan (-) menyatakan bahwa variabel yang bersangkutan (pada masing-masing kotak) akan bertambah atau berkurang besarnya sebagai akibat perpindahan kolom dan perpindahan baris. Leaving variable dipilih dari variabel-variabel sudut loop yang bertanda (-). Pada contoh diatas, dimana telah terpilih sebagai entering variable, calon-calon leaving variable-nya adalah 11, 22, dan 34. Dari calon-calon ini, pilihlah salah satu yang nilainya paling kecil. Pada contoh di atas kebetulan ketiganya bernilai sama (= 5) sehingga kita bisa memilih salah satu untuk dadikan leaving variable. Misalkan 34 dipilih sebagai leaving variable, maka nilai 31 naik 5 dan nilai-nilai variabel basis yang di sudut loop uga berubah (bertambah atau berkurang 5 sesuai dengan tanda (+) atau (-) ). Tabel solusi baru ini adalah seperti pada Tabel dengan ongkos transportasi sebesar : (0 10) + (15 0) + (0 7) + (15 9) + (10 20) + (5 0) =

14 Tabel Tabel solusi baru setelah 31 terpilih sebagai entering variable dan 34 menadi leaving variable Bandingkan dengan solusi awal pada Tabel yang ongkos transportasinya = 410. Selisih ongkos transportasi ( = 75) sama dengan hasil perkalian antara : Jumlah unit yang ditambahkan pada 31 X penurunan ongkos per unit (5) X (15) Perhatikan : Angka 0 pada 11 dan 22 adalah variabel basis yang berharga 0. Jadi, tidak boleh dihilangkan karena ia tidak sama dengan kotak-kotak lain yang tidak ada angkanya (variabel nonbasis). Sampai disini kita masih harus memeriksa, barangkali nilai fungsi tuuan masih bisa diperbaiki. Untuk itu lakukanlah kembali langkah-langkah yang sudah kita kerakan, dengan menggunakan Tabel sebagai solusi awal (pengganti Tabel ). Kita dapatkan : Variabel nonbasis Perubahan ongkos per unit 13 c 13 = c 14 = - 2 X 21 c 21 = - 5 X 32 c 32 = +24 X 33 c 33 = c 34 =

15 Dengan demikian kita memilih 21 sebagai entering variable. Tabel (-) (+) (+) (-) Tabel (-) (+) (+) (-) Pada loop yang berasal dan berakhir pada 21 ini, leaving variable-nya ada dua, yaitu 11 dan 22. Karena keduanya berharga 0, kita bisa memilih salah satu untuk dadikan leaving variablenya. Misalkan 11 adalah leaving variable, maka 21 = 0 dengan ongkos transportasi tetap 335. Karena itu, kita coba membuat loop dari variabel nonbasis yang lain, yang uga dapat menurunkan ongkos transportasi per unit (yaitu 14 ). Kita dapatkan : c 11 = +5; c 32 = +19; c 13 = +18; c 33 = +19; c 34 = +10; c 14 = - 2. Dari Tabel terlihat bahwa leaving variable adalah 24 sehingga 14 = 10; 22 = 10; dan 12 = 5. Solusi optimalnya adalah : 15

16 Tabel Solusi Optimal Dengan ongkos transportasi sebesar : (5 0) + (10 11) + ( 0 12) + (10 7) + (15 9) + (5 0) = Metode Multiplier Cara ini iterasinya sama seperti stepping stone. Perbedaan utama teradi pada cara pengevaluasian variabel nonbasis, atau penentuan penurunan ongkos transpor per unit untuk tiap variabel. Cara ini dikembangkan berdasarkan teori dualitas. Untuk tiap basis i dari tabel trasformasi dikenal suatu multiplier u i, dan untuk kolom disebut multiplier v sehingga untuk tiap variabel basis didapat persamaan : u i + v + c Dari persamaan di atas kita dapat menghitung berapa penurunan ongkos transportasi per unit untuk tiap variabel nonbasis sebagai berikut : c = u i - v Langkah berikutnya adalah seperti iterasi yang dilakukan oleh metode stepping stone. Sebagai contoh kita lihat lagi solusi fisibel basis awal dari Tabel u i v v 1 v 2 v 3 v 4 u u u

17 Basis awal : 11 : u 1 + v 1 = c 11 = : u 1 + v 2 = c 12 = 0 22 : u 2 + v 2 = c 22 = 7 23 : u 2 + v 3 = c 23 = 9 24 : u 2 + v 4 = c 24 = : u 3 + v 4 = c 34 = 18 Dengan menentukan u i = 0, maka harga-harga multiplier yang lain dapat dicari sebagai berikut : u 1 + v 1 = 10 v 1 = 10 u 1 + v 2 = 0 v 2 = 0 u 2 + v 2 = 7 u 2 = 7 u 2 + v 3 = 9 v 3 = 2 u 2 + v 4 = 20 v 4 = 13 u 3 + v 4 = 18 u 3 = 5 u i v v 1 = 10 v 2 = 0 v 3 = 2 v 4 = 13 u 1 = u 2 = u 3 = Untuk menentukan entering variabel : c 21 = c 21 v 1 u 2 = - 5 c 31 = c 31 v 3 v 1 = - 15 c 13 = c 13 u 1 v 3 = 18 c 14 = c 14 u 1 v 4 = - 2 c 32 = c 32 u 3 v 2 = 9 c 33 = c 33 u 3 v 3 = 9 17

18 Entering variabel adalah 13 (karena memberikan penurunan ongkos per unit yang terbesar). Selanutnya iterasinya sama dengan metode stepping stone. 5.3 Model Penugasan (Assigment Model) Model penugasan merupakan kasus khusus dari model transportasi, dimana seumlah m sumber ditugaskan kepada seumlah n tuuan (satu sumber untuk satu tuuan) sedemikian sehingga didapat ongkos total yang minimum. Biasanya yang dimaksud dengan sumber ialah pekeraan (atau pekera), sedangkan yang dimaksud dengan tuuan ialah mesin-mesin. Jadi, dalam hal ini, ada m pekeraan yang ditugaskan pada n mesin, di mana apabila pekeraan i ( i = 1, 2,., m) ditugaskan kepada mesin ( = 1, 2,, n) akan muncul ongkos penugasan c i. Karena satu pekeraan ditugaskan hanya pada satu mesin, maka supply yang dapat digunakan pada setiap sumber adalah 1 (atau a i = 1, untuk seluruh i). Demikian pula halnya dengan mesin-mesin ; karena satu mesin hanya dapat menerima satu pekeraan, maka demand dari setiap tuuan adalah 1 (atau b = 1, untuk seluruh ). Jika ada suatu pekeraan yang tidak dapat ditugaskan pada mesin tertentu, maka c yang berkorespondensi dengannya dinyatakan dengan M, yang merupakan ongkos yang sangat tinggi. Penggambaran umum persoalan penugasan ini adalah sebagai berikut : Tabel Penggambaran Umum Persoalan Penugasan Mesin 1 2 n 1 c 11 c 12 c 1n 1 Pekeraan 2 c 21 c 22 c 2n m c m1 c m2 c mn

19 Sebelum model ini dapat dipecahkan dengan teknik trasportasi, terlebih dahulu persoalannya harus diseimbangkan dengan menambahkan pekeraanpekeraan atau mesin-mesin khayalan, bergantung pada apakah m n atau m n. Dengan demikian, diasumsikan bahwa m = n. Model penugasan dapat diekspresikan secara matematis sebagai berikut : 0, ika peker aan i tidak ditugaskan ke mesin 1, ika peker aan i ditugaskan ke mesin Jadi model ini diketahui Minimumkan z n i 1 1 c Dengan batasan n 1 n i 1 1, 1, i 1,2,..., n 1,2,..., n 0 atau 1 Suatu ciri khas persoalan penugasan ialah bahwa solusi optimum akan tetap sama bila suatu konstanta ditambahkan atau dikurangkan kepada baris atau kolom yang manapun dari matriks ongkosnya. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut : Jika p i dan q merupakan konstanta pengurang terhadap baris i dan kolom, maka elemen ongkos yang baru adalah : c = c p i - q 19

20 Sehingga fungsi tuuan baru menadi : z' i i Karena c c ' i i p i i q c p q i 1, maka z' z konstanta i Hal ini menunukkan bahwa meminimumkan z akan menghasilkan solusi yang sama dengan meminimumkan z. Suatu hal yang menarik ialah bahwa ika kita melakukan operasi pengurangan p i dan q terhadap matriks ongkos akan diperoleh zero entries, yaitu elemen-elemen ongkos dalam matriks yang berharga nol, yang uga merupakan variabel-variabel yang menghasilkan solusi optimum bagi z sehingga, berdasarkan pembuktian diatas, merupakan solusi optimal bagi z. Sebagai ilustrasi, perhatikanlah sebuah persoalan penugasan berikut ini: Tabel Model Persoalan Penugasan Mesin Pekeraan

21 Tabel Solusi Awal Contoh Persoalan Penugasan Mesin Pekeraan Pada tabel 5.3.3, elemen-elemen nol dibuat dengan mengurangkan elemen terkecil masing-masing baris (kolom) dari baris (kolom) yang bersangkutan. Dengan demikian, matriks c yang baru adalah : Tabel Matriks c (Matrisk Ongkos yang Baru) p 1 = p 2 = p 3 = 13 Matriks terakhir dapat dibuat untuk memperbanyak elemen matriks yang berharga nol dengan cara mengurangkan q 3 = 2 dari kolom ketiga. Hasilnya adalah sebagai berikut : Tabel Solusi Akhir * * 3 2 0* 1 Segi empat pada tabel merupakan penugasan yang fisibel yang sekaligus optimum, yaitu (1, 1), (2, 3), dan (3,2 ) dengan ongkos penugasan sebesar = 30. Perhatikan bahwa besarnya ongkos ini sama dengan p 1 + p 2 + p 3 + q 3 21

22 Penugasan yang fisibel seperti diatas tidak selalu dapat kita peroleh. Karena itu, diperlukan suatu aturan untuk mencapai solusi optimum yang akan delaskan melalui ilustrasi sebagai berikut : berikut : Perhatikan suatu persoalan penugasan yang digambarkan sebagai Tabel Persoalan Penugasan Dengan proses pengurangan seperti diatas diperoleh : Tabel Proses Pengurangan I Tabel Proses Pengurangan II Dalam kasus ini penugasan yang fisibel terhadap elemen-elemen nol tidak mungkin diperoleh sehingga diperlukan prosedur sebagai berikut : 1. Tariklah garis pada semua baris dan kolom yang mengandung elemen nol dengan umlah garis minimum, sedemikian sehingga tidak terdapat lagi nol pada matriks yang bersangkutan. 22

23 2. Tentukan di antara elemen-elemen yang tidak ikut tergaris, satu elemen dengan harga terkecil, kemudian kurangkan sebesar harga elemen ini kepada semua elemen yang tidak tergaris. 3. Tambahkan sebesar harga elemen tersebut (pada point 2) kepada semua elemen yang terletak pada perpotongan dua garis. 4. Aloksikan pekeraan pada elemen-elemen nol tersebut. 5. Jika solusi optimum belum uga ditemukan, ulangi lagi langkah 1 sampai dengan 4 hingga dicapai penugasan yang fisibel. Kembali pada soal diatas, sebagai kelanutan dari tabel adalah : Tabel Modifikasi Tabel Solusi Optimum 1 0* * * * Tabel memberikan penugasan yang optimum, yaitu (1, 1), (2, 3), (3, 2), dan (4, 4) dengan ongkos total sebesar = Model Transshipment Model transshipment adalah model trasportasi yang memungkinkan dilakukannya pengiriman barang (komoditas) cara tidak langsung, di mana barang dari suatu sumber dapat berada pada sumber lain atau tuuan lain sebelum mencapai tuuan akhirnya. Jadi, pada model transshipment ini suatu 23

24 sumber sekaligus dapat berperan sebagai tuuan dan, sebaliknya, suatu tuuan dapat uga berperan sebagai sumber. Dalam model ini, setiap sumber maupun tuuan dipandang sebagai titik-titik potensial bagi demand maupun supply. Oleh karena itu, untuk menamin bahwa titik potensial tersebut mampu menampung total barang di samping umlah barang yang telah ada pada titik-titik tersebut, maka perlu ditambahkan kepada titik-titik itu kuantitas suplly dan demand-nya masingmasing sebesar B. B m i 1 n a i b 1 Dengan demikian, apabila ada persoalan transportasi sebagai berikut : T 1 T 2 T S S Maka persoalan transshipment-nya adalah : S 1 S 2 T 1 T 2 T 3 S S T 1 T 2 T 3 B B B B B B B B B B Model di atas baru lengkap apabila ongkos per unit pengangkut untuk barisbaris dan kolom-kolom yang lainnya telah ditetapkan. Dalam hal ini perlu diingat bahwa ongkos per unit pada elemen-elemen diagonal adalah nol. 24

25 Asumsikan bahwa seluruh ongkos per unitnya telah ditentukan, maka model transshipment selengkapnya adalah : S 1 S 2 T 1 T 2 T 3 S S T T T Selanutnya, persoalan di atas diselesaikan dengan menggunakan teknik transportasi seperti biasa, sehingga diperoleh solusi optimal sebagai berikut : S 1 S 2 T 1 T 2 T 3 S 1 S 2 T 1 T 2 T Elemen-elemen diagonal dari tabel diatas kita abaikan, karena secara fisik tidak mempunyai arti apa-apa. Solusi optimal diatas menyatakan bahwa : Sumber 2 (S 2 mengirimkan seluruh supply-nya pada tuuan pertama (T 1 ), di mana 100 unit disimpan untuk memenuhi demand pada tuuan 1 tersebut, dan sisanya, yaitu sebanyak 100 unit, kemudian dikirimkan 25

26 kepada tuuan 3 (T 3 ) untuk memenuhi demand pada tuuan 3. Adapun demand pada tuuan 2 (T 2 ) dipenuhi langsung dari sumber 1 (S 1 ). LATIHAN SOAL 1. Jawablah setiap model transportasi berikut dengan menggunakan metode NCR, metode LC, dan metode VAM untuk memperoleh pemecahan awal. Bandingkan perhitungan tersebut. (a) (b) Cari pemecahan awal dalam masalah trasportasi berikut ini berdasarkan metode NCR, metode LC, dan metode VAM. Dapatkan pemecahan optimal dengan menggunakan pemecahan awal terbaik Jawablah masalah transportasi tidak seimbang berikut ini dengan menggunakan VAM untuk mencari pemecahan awal ; permintaan pada tuuan 1 harus dikirim dari sumber 4. 26

27 Pecahkan model-model penugasan berikut : (a) (b) Pertimbangkan masalah menugaskan empat operator ke empat mesin. Biaya penugasan diberikan dalam dollar. Operator 1 tidak dapat ditugaskan ke mesin 3. Demikian uga, operator 3 tidak dapat ditugaskan ke emsin 4. Cari penugasan optimal. Mesin Operator Misalkan dalam soal No. 5 tersedia mesin ke lima. Biaya penugasan masing-masing (dalam dollar) kepada keempat operator adalah 2, 1, 2, dan 8. Mesin yang baru menggantikan mesin yang ada ika penggantian dapat dibenarkan secara ekonomis. Rumuskan kembali masalah sebagai model penugasan dan cara pemecahan optimal. Secara khusus, apakah 27

28 ekonomis menggantikan salah satu dari mesin-mesin yang ada? Jika ya, mesin yang mana? 7. Sebuah perusahaan penerbangan regional dapat membeli bahan bakar etnya dari tiga penual. Untuk bulan mendatang perusahaan penerbangan ini membutuhkan pada tiap-tiap bandara dari ketiga bandara yang dilayani sebanyak galon di bandara 1, galon di bandara 2 dan galon di bandara 3. Setiap penual dapat memasukkan bahan bakar bagi tiap-tiap bandara dengan harga (dalam sen dollar per galon) yang diberikan oleh daftar berikut : Bandara 1 Bandara 2 Bandara 3 Penual Penual Penual Tetapi tiap-tiap penual dibatasi oleh umlah galon total yang dapat ia sediakan. Kapasitas meraka adalah galon bagi penual 1, galon bagi penual 2 dan galon bagi penual 3. Tentukan kebaksanaan pembelian yang akan mensuplai kebutuhan perusahaan penerbangan ini pada tiap bandara udara dengan biaya total minimum. 8. Sebuah perusahaan roti dapat memproduksi suatu roti istimewa dari kedua pabriknya, sebagai berikut : Pabrik Kapsitas Produksi umlah roti Biaya Produksi, /roti A B Empat restoran ingin membeli roti ini. Permintaan dan harga-harga yang mereka inginkan untuk membelinya adalah sebagai berikut : 28

29 Restoran Permintaan Total, Jumlah roti Harga yang ditawarkan, /roti Biaya (dalam sen) pengiriman dari sebuah pabrik ke sebuah restoran diberikan pada tabel berikut : Restoran 1 Restoran 2 Restoran 3 Restoran 4 Pabrik A Pabrik B Tentukan suatu skedul penyerahan bagi perusahaan roti ini yang akan memaksimumkan keuntungan totalnya dari roti istimewa ini. 9. Dua buah perusahaan obat-obatan memiliki persediaan 1,1 dan 0,9 uta dosis dari vaksin flu tertentu, dan suatu wabah flu kelihatannya mengancam tiga buah kota. Karena serangan flu ini dapat fatal bagi penduduk yang lebih tua, maka adalah perlu untuk melakukan vaksinasi bagi mereka terlebih dahulu. Yang lainnya akan divaksin pada basis vaksinasi bagi yang pertama kali datang. Jumlah vaksin (dalam uta dosis) yang tiap-tiap kota perkiraan dapat ia tangani adalah sebagai berikut : Kota 1 Kota 2 Kota 3 Bagi orang tua 0,325 0,260 0,195 Bagi yang lain 0,750 0,800 0,650 Biaya-biaya pengiriman (dalam sen per dosis) antara perusahaan farmasi dan kota-kotanya adalah sebagai berikut : 29

30 Kota 1 Kota 2 Kota 3 Perusahaan Perusahaan Tentukan suatu skedul biaya pengiriman yang minimum yang akan melengkapi tiap-tiap kota dengan umlah vaksin yang sekurang-kurangnya cukup untuk melayani penduduk-penduduknya yang lebih tua. (Petunuk : Bagikan tiap-tiap kota ke dalam dua buah tempat tuuan, yakni penduduk yang lebih tua dan yang lainnya. Ciptakan sebuah toko buatan (dummy). Buatkan agar biaya pengiriman dari sumber buatan ini ke tampat-tempat tuuan penduduk yang lebih tua begitu tingginya sehingga secara efektif menamin tidak ada pengiriman antara hubungan-hubungan itu). 10. Jaringan dalam Gambar di bawah menunukkan rute untuk mengirimkan mobil-mobil dari ketiga pabrik (node 1, 2 dan 3) ke lima dealer ( node 6 sampai 10) melalui dua pusat distribusi (node 4 dan 5). Perhatikan bahwa biaya pengiriman per unit dari node i ke node adalah c. Jawablah masalah berikut : a. Susun model transshipment yang berkaitan untuk masalah dalam Gambar di bawah. b. Rumuskan kembali model dengan memperkirakan bahwa pengiriman diinkan di antara para dealer. c. Rumuskan kembali model itu dengan asumsi bahwa pusat distribusi 4 akan menual 240 mobil secara langsung kepada para pelanggan. 30

31 Pabrik Pusat Distribusi Dealer