ANALISIS KEBERADAAN PARADOKS DALAM MASALAH TRANSPORTASI KLASIK MUHAMMAD MUHLIS AL KAUTSAR

Transkripsi

1 ANALISIS KEBERADAAN PARADOKS DALAM MASALAH TRANSPORTASI KLASIK MUHAMMAD MUHLIS AL KAUTSAR DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Keberadaan Paradoks dalam Masalah Transportasi Klasik adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juni 2016 Muhammad Muhlis Al Kautsar NIM G

4 ABSTRAK MUHAMMAD MUHLIS AL KAUTSAR. Analisis Keberadaan Paradoks dalam Masalah Transportasi Klasik. Dibimbing oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan FARIDA HANUM. Masalah transportasi klasik merupakan permasalahan yang cukup sering dijumpai. Banyak yang sudah meneliti dan menerapkan metode-metode dalam memecahkan masalah tersebut. Pada dasarnya masalah transportasi bertujuan meminimumkan biaya pengiriman, dan semakin banyak volume pengiriman maka semakin besar pula biaya pengirimannya. Namun dalam kasus khusus, yang terjadi adalah kebalikannya, yaitu semakin banyak volume pengiriman maka biayanya justru semakin kecil. Dalam karya ilmiah ini akan dipakai dual dari masalah transportasi klasik untuk mengetahui syarat terjadinya paradoks dan batas penambahan kiriman barang agar paradoks tetap ada. Namun sebelumnya juga akan dibahas karakterisasi matriks imun sebagai penentu bisa atau tidaknya suatu masalah transportasi memiliki paradoks. Kata kunci: dual, masalah transportasi klasik, matriks imun, paradoks transportasi ABSTRACT MUHAMMAD MUHLIS AL KAUTSAR. Analysis of Paradox Existence in Classical Transportation Problem. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and FARIDA HANUM. Classical transportation problem is a common problem that is usually discovered in real life. Many has researched and applied methods to solve this problem. Originally, transportation problem aims to minimize the transportation cost, and if the shipment volume increases then the transportation cost increases too. However, in a certain case the result is the opposite, that is an increase in the shipment volume will decrease the transportation cost. In this paper, the dual of the classical transportation problem was examined to investigate the sufficient condition of the occurence of the paradox as well as the additional shipment s upper bound so that the paradox still exists. But before that, a necessary and sufficient condition for a matrix to be immune was discussed as an indicator whether a transportation problem can have a paradox or not. Keywords: classical transportation problem, dual, immune matrix, transportation paradox

5 ANALISIS KEBERADAAN PARADOKS DALAM MASALAH TRANSPORTASI KLASIK MUHAMMAD MUHLIS AL KAUTSAR Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

6

7 Judul Skripsi: Analisis Keberadaan Paradoks dalam Masalah Transportasi Klasik Nama :Muhammad Muhlis AI Kautsar NIM : G Disetujui oleh.., y Dr Ir Bib Panill«.m Silalahi, MKom Dra Farida Ranum, MSi Pembimbing II Tanggal Lulus: 0 1 JUL 2016

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2015 ini ialah masalah transportasi, dengan judul Analisis Keberadaan Paradoks dalam Masalah Transportasi Klasik. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, MKom yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juni 2016 Muhammad Muhlis Al Kautsar

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL viii DAFTAR GAMBAR viii DAFTAR LAMPIRAN viii PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 LANDASAN TEORI 2 Pemrograman Linear 2 Teori Graf 3 Masalah Transportasi Klasik 6 PEMBAHASAN 7 Karakterisasi Matriks Imun 7 Syarat Cukup Terjadinya Paradoks 12 Batas Penambahan 13 SIMPULAN 17 DAFTAR PUSTAKA 18 RIWAYAT HIDUP 29

10 DAFTAR TABEL 1 Solusi dual awal sebelum penambahan 13 2 Solusi dual setelah penambahan 14 3 Solusi dual setelah penambahan 4 barang 14 4 Solusi dual ilustrasi degenerasi 16 5 Solusi dual ilustrasi matriks imun dan tidak ada paradoks 16 6 Solusi dual ilustrasi perubahan vektor dan 17 DAFTAR GAMBAR 1 Ilustrasi network sebelum dekomposisi flow 5 2 Ilustrasi network setelah adanya dekomposisi flow 5 DAFTAR LAMPIRAN 1 Contoh paradoks transportasi 19 2 Solusi ilustrasi sebelum penambahan 21 3 Solusi ilustrasi kasus degenerasi 23 4 Solusi ilustrasi matriks imun dan tidak ada paradoks 25 5 Solusi ilustrasi perubahan vektor dan 27

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah transportasi klasik pertama kali diformulasikan oleh Hitchcock pada tahun Permasalahan ini sering dijumpai pada kehidupan sehari-hari, seperti penentuan rute terpendek, atau meminimumkan biaya pengiriman barang. Sebelumnya, masalah transportasi juga sudah diteliti oleh beberapa orang, salah satunya adalah penelitian yang dilakukan oleh Tolstoi pada tahun Sampai saat ini, sudah banyak metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Pada tahun 1951, Dantzig telah memberikan bentuk umum pemrograman linear masalah transportasi dan menerapkan metode simpleks untuk menyelesaikannya. Sudah banyak juga program komputer yang dapat memberikan solusi optimal masalah transportasi seperti Lingo dan Excel. Secara umum, dalam masalah transportasi semakin banyak pengiriman barang maka biaya pengirimannya juga semakin besar; namun ada sebuah kasus di mana penambahan kiriman barang justru akan mengurangi biaya pengiriman. Kasus ini disebut sebagai paradoks transportasi atau the more for less paradox. Belum jelas kapan dan oleh siapa paradoks ini pertama kali ditemukan. Kasus ini juga jarang dibahas dalam buku-buku. Ada yang menganggap bahwa kasus ini hanya secara teori saja dan tidak akan terjadi dalam situasi sebenarnya karena sebagian besar pekerja atau pengajar di bidang masalah transportasi tidak mengetahui paradoks ini. Kenyataannya, pada tahun 1978, Finke melakukan sebuah percobaan pada masalah transportasi berukuran dengan membolehkan adanya tambahan kiriman, dan menghasilkan pengurangan biaya sebesar dan tambahan kiriman sebesar (Storøy 2007). Dengan adanya hasil ini maka paradoks transportasi memungkinkan untuk terjadi dalam situasi sebenarnya dan dapat memberikan keuntungan yang lebih besar daripada sekedar mencari solusi optimal masalah transportasi. Namun perlu diperhatikan bahwa ada beberapa syarat terjadinya paradoks, yaitu syarat perlu dan syarat cukup yang kemudian akan menjadi fokus pada pembahasan dalam karya ilmiah ini. Sumber utama karya ilmiah ini adalah paper berjudul The Transportation Paradox Revisited yang ditulis oleh Svere Storøy tahun Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini ialah: 1 menjelaskan karakterisasi matriks biaya imun dalam masalah transportasi, 2 menjelaskan syarat cukup terjadinya paradoks transportasi, 3 menjelaskan batas tambahan kiriman barang dalam paradoks transportasi.

12 2 LANDASAN TEORI Pemrograman Linear Fungsi Linear Sebuah fungsi ( ) dari adalah fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu konstanta, ( ) (Winston dan Goldberg 2004). Pertaksamaan Linear Untuk setiap fungsi linear ( ) dan untuk setiap bilangan pertaksamaan ( ) dan ( ) adalah pertaksamaan linear (Winston dan Goldberg 2004). Pemrograman Linear Menurut Winston dan Goldberg (2004), pemrograman linear adalah masalah optimisasi di mana dilakukan hal berikut. 1 Memaksimumkan (atau meminimumkan) fungsi linear dari variabel keputusan. Fungsi yang dimaksimumkan atau diminimumkan dinamakan fungsi objektif. 2 Nilai dari variabel keputusan harus memenuhi seluruh kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear. 3 Untuk setiap variabel, restriksi tanda menyatakan bahwa taknegatif ( ) atau tidak dibatasi. Kendala Pemrograman Linear Kendala pemrograman linear adalah pembatasan nilai variabel keputusan (Winston dan Goldberg 2004). Masalah Primal Primal adalah pemrograman linear awal yang diberikan (Winston dan Goldberg 2004). Dualitas Setiap masalah primal memiliki pemrograman linear lain yang dinamakan masalah dual. Jika fungsi objektif pemrograman linear primal adalah maksimisasi, maka fungsi objektif pemrograman linear dual adalah minimisasi (Reeb dan Leavengood 2000). Menurut Winston dan Goldberg (2004), misalkan masalah maksimisasi didefinisikan sebagai berikut terhadap kendala ( )

13 3 Dual dari masalah maksimisasi tersebut didefinisikan sebagai berikut terhadap kendala ( ) Solusi Fisibel Solusi fisibel adalah titik yang memenuhi seluruh kendala pemrograman linear (Winston dan Goldberg 2004) Basic Solution Misalkan diberikan sistem berikut dengan adalah vektor berdimensi, adalah vektor berdimensi, dan adalah matriks berukuran. Misalkan dari matriks dipilih kolom sehingga terbentuk matriks berukuran Solusi yang memenuhi persamaan disebut sebagai basic solution, dan nilai (Luenberger dan Ye 2008) disebut sebagai basic variables Basic Feasible Solution Vektor yang memenuhi persamaan dikatakan basic feasible solution jika dia merupakan basic solution (Luenberger dan Ye 2008). Degenerasi Sebuah pemrograman linear disebut degenerate jika memiliki setidaknya satu basic variable dalam basic feasible solution yang nilainya sama dengan nol (Winston dan Goldberg 2004). Teori Graf Graf Graf adalah himpunan takkosong dan hingga ( ) yang dinamakan verteks dan himpunan ( ) dari subhimpunan 2-elemen ( ) yang dinamakan edge (Chartrand dan Oellermann 1993). Edge yang menghubungkan verteks dengan verteks dinotasikan dengan. Multigraf Multigraf adalah suatu graf yang membolehkan ada lebih dari satu edge yang menghubungkan dua verteks (Rao 2002).

14 4 Digraf Digraf adalah himpunan berhingga, takkosong ( ) dari verteks-verteks dan himpunan ( ) dari pasangan terurut verteks-verteks yang berbeda (Chartrand dan Oellermann 1993). Arc Arc adalah elemen-elemen ( ) dalam digraf (Chartrand dan Oellermann 1993). Flow Misalkan adalah suatu bilangan yang diasosiasikan dengan arc, dari graf ( ) sehingga untuk setiap verteks berlaku dengan adalah penjumlahan untuk arc yang menuju, dan adalah penjumlahan untuk arc yang meninggalkan. Maka dikatakan sebagai flow di sepanjang arc (Mital dan Mohan 1996). Arc Flow Untuk suatu arc ( ), nilai ( ) ( ) disebut flow di sepanjang arc atau arc flow (Chartrand dan Oellermann 1993). Graf Bipartit Suatu graf dikatakan bipartit jika titik-titiknya dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan dan sehingga untuk setiap arc ( ) dalam, berlaku dan atau dan (Ahuja et al. 1993). Walk Walk dalam graf adalah barisan verteks dan edge secara bergantian ( ) dimulai dan berakhir dengan verteks (Chartrand dan Oellermann 1993). Untuk digraf, edge adalah arc ( ). Path Path adalah walk tanpa pengulangan titik (Ahuja et al. 1993). Cycle Cycle adalah path diikuti dengan arc ( ) atau ( ) (Ahuja et al. 1993). Deficit Node Sebuah verteks/node dikatakan deficit node apabila flow yang masuk lebih kecil daripada flow yang keluar (Ahuja et al. 1993). Excess Node Sebuah verteks/node dikatakan excess node apabila flow yang masuk lebih besar daripada flow yang keluar (Ahuja et al. 1993).

15 Teorema Dekomposisi Flow Menurut Ahuja et al. (1993), setiap flow path dan cycle memiliki representasi unik arc flow taknegatif. Kebalikannya, setiap arc flow dapat direpresentasikan dalam flow path dan cycle dengan dua sifat sebagai berikut. 1 Setiap path dengan flow positif menghubungkan deficit node ke suatu excess node. 2 Paling banyak path dan cycle memiliki flow taknol, di mana adalah banyaknya verteks dan adalah banyaknya arc. Sebagai ilustrasi misalkan diberikan network seperti pada gambar berikut. 5 Gambar 1 Ilustrasi network sebelum dekomposisi flow Pada Gambar 1 adalah verteks ke-, angka di sepanjang arc adalah arc flow, dan angka di dalam lingkaran adalah selisih antara flow masuk dengan flow keluar. Karena adalah deficit node dan adalah excess node, maka dapat dibentuk path yang dimulai dari dan berakhir di. Dalam ilustrasi ini path tersebut adalah dengan flow 2. Setelah mengambil path tersebut, maka flow menjadi Gambar 2 Ilustrasi network setelah adanya dekomposisi flow Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa yang tersisa adalah cycle dengan flow 4. Jadi, network tersebut dapat didekomposisi menjadi path dengan flow 2 dan cycle dengan flow 4.

16 6 Masalah Transportasi Klasik Masalah transportasi klasik adalah nama dari model matematika yang memiliki struktur khusus (Storøy 2007). Deskripsi umum dari permasalahan ini adalah bagaimana rute pengiriman dari sumber ke tujuan. Barang yang tersedia di setiap sumber- adalah sebesar, dan permintaan di setiap tujuanadalah sebesar. Total persediaan barang yang ada di sumber sama dengan total permintaan barang di tujuan. Biaya tiap pengiriman barang dari sumber- ke tujuan- sebesar. Tujuannya adalah menentukan banyaknya barang yang akan dikirim melalui rute ( ) sehingga biaya yang dikeluarkan minimum. Formulasi matematis dari masalah transportasi ini adalah sebagai berikut dengan kendala Secara lebih sederhana, masalah transportasi ditetapkan oleh matriks biaya berukuran, vektor permintaan berdimensi, dan vektor sumber berdimensi. Nilai optimal fungsi objektif masalah transportasi dinyatakan dalam notasi ( ). Paradoks Transportasi Paradoks dalam masalah transportasi muncul ketika ada solusi yang memberikan biaya transportasi lebih rendah dari solusi optimal dengan cara menambah kiriman barang melalui rute yang sama dengan solusi optimal (Szwarc 1973). Sebagai ilustrasi misalkan ada 2 sumber dan 2 tujuan dengan biaya pengiriman sebagai berikut [ ] [ ] biaya pengiriman dari sumber- ke tujuan- [ ] [ ] persediaan barang di sumberpermintaan barang di tujuan- [ ] [ ]

17 Solusi optimalnya adalah (diberikan pada Lampiran 1) [ ] Artinya sumber- mengirim 5 barang ke tujuan-1, sumber-2 mengirim 2 barang ke tujuan-1, dan 8 barang ke tujuan-2 dengan biaya pengiriman ( ). Sekarang dan akan dinaikkan nilainya sebesar satu satuan, artinya sumber-1 mengirim 1 barang lebih banyak ke tujuan-2, misalkan [ ] dan [ ] Solusi optimalnya menjadi (diberikan pada Lampiran 1) [ ] dengan ( ) Jadi pengiriman 1 barang lebih banyak akan mengurangi biaya optimal sebesar. Bad Quadruple Menurut Deineko et al. (2003), misalkan diberikan matriks berukuran, yaitu. Misalkan pula ada bilangan integer dengan dan ( dan ), maka membentuk bad quadruple jika. Sebagai contoh misalkan diberikan matriks biaya sebagai berikut maka indeks. [ ] 7 membentuk bad quadruple karena PEMBAHASAN Dalam bab pembahasan ini akan dijelaskan mengenai matriks imun, syarat cukup terjadinya paradoks, dan batas penambahan barang jika terjadi paradoks. Karakterisasi Matriks Imun Matriks imun diartikan sebagai matriks biaya yang kebal terhadap paradoks transportasi. Arti kebal di sini adalah masalah transportasi dengan matriks biaya tersebut tidak akan menimbulkan paradoks (Storøy 2007). Untuk mengetahui apakah suatu matriks biaya imun atau tidak terhadap paradoks transportasi, akan diberikan dalam lema dan teorema berikut Lema 1 Jika ada bad quadruple untuk matriks biaya, maka matriks tidak imun terhadap paradoks transportasi (Deineko et al. 2003).

18 8 Bukti (Deineko et al. 2003) Misalkan indeks membentuk bad quadruple, yaitu. Anggap ada vektor sumber yang hanya memiliki 1 barang di sumber ke- dan 0 barang di sumber lainnya, dan vektor permintaan yang hanya membutuhkan 1 barang di tujuan ke- dan 0 permintaan di tujuan lainnya, maka dapat ditulis sebagai berikut dan [ ] [ ] dan menghasilkan solusi sebagai berikut [ ] [ ] [ ] [ ] maka ( ). Anggap pula vektor yang dihasilkan dari penambahan 1 barang di sumber kedari vektor sumber, dan vektor yang dihasilkan dari penambahan 1 barang di tujuan ke- dari vektor permintaan, maka dapat ditulis sebagai berikut dan [ ] [ ] [ ] [ ] maka jelas dan. Ada dua kemungkinan solusi yang dapat dihasilkan. Kemungkinan 1: [ ] [ ] dengan ( ). Kemungkinan 2:

19 9 [ ] [ ] dengan ( ). Misalkan solusinya adalah kemungkinan 1, dengan nilai optimal ( ), maka nilai tersebut adalah biaya terkecil sehingga. Berdasarkan hipotesis bahwa, maka. Kondisi ini tidak mungkin terjadi dengan anggapan bahwa Akibatnya, solusi dari pemrograman linear tersebut adalah kemungkinan ke-2 dengan biaya sebesar ( ). Berdasarkan hipotesis, ( ), maka ( ) ( ), sehingga terjadi paradoks transportasi. Sebagai ilustrasi misalkan diberikan permasalahan sebelumnya, yaitu [ ] Di sini, artinya ada bad quadruple, dan apabila dan ditambah sebesar 1 satuan, biaya pengiriman menjadi lebih rendah sebesar satuan. Artinya masalah transportasi dengan matriks biaya tersebut tidak kebal terhadap paradoks. Lema 2 Jika matriks biaya tidak imun terhadap paradoks transportasi, maka ada bad quadruple untuk matriks (Deineko et al. 2003). Bukti (Deineko et al. 2003) Karena matriks biaya tidak imun terhadap paradoks transportasi, maka ada dua vektor sumber dan dan dua vektor tujuan dan dengan sedemikian sehingga ( ) ( ). Misalkan solusi optimal dan adalah, dan solusi optimal dan adalah. Misalkan pula kedua solusi tersebut diubah ke dalam bentuk multigraf bipartit dengan verteksnya adalah sumber dan tujuan. Nilai taknol direpresentasikan dengan edge berbobot berwarna hitam dari sumber ke- ke tujuan ke-, dan nilai taknol direpresentasikan dengan edge berbobot berwarna merah dari sumber keke tujuan ke-. Biaya dari edge hitam ataupun merah dari sumber ke- ke tujuan ke- adalah. Edge dari multigraf bipartit ini juga dapat dipandang sebagai arc flow dengan edge merah adalah arc dari sumber ke tujuan, dan edge hitam adalah arc dari tujuan ke sumber. Berdasarkan teorema dekomposisi flow (Ahuja et al. 1993), karena multigraf memiliki edge yang dipandang sebagai arc flow, maka multigraf dapat

20 10 didekomposisi menjadi berhingga path dan cycle dengan ketentuan sebagai berikut 1 setiap cycle memiliki banyaknya edge yang genap dan terdiri atas edge hitam dan merah secara bergantian. 2 setiap path dimulai dari sumber dan berakhir di tujuan, dimulai dan diakhiri dengan edge merah dan terdiri dari edge hitam dan merah secara bergantian. Poin 1 terjadi karena verteks sumber selalu terhubung dengan verteks tujuan, tidak mungkin verteks sumber terhubung dengan verteks sumber, atau verteks tujuan terhubung dengan verteks tujuan; sedangkan poin 2 terjadi karena deficit node selalu terjadi di verteks sumber, dan excess node selalu terjadi di verteks tujuan. Kemudian karena arc yang menghubungkan dari verteks sumber ke verteks tujuan hanya edge merah, dan arc yang menghubungkan dari verteks tujuan ke verteks sumber hanya edge hitam, maka pasti cycle atau path memiliki edge merah dan hitam secara bergantian. Didefinisikan fungsi taknegatif sedemikian sehingga 1 untuk setiap edge hitam, nilai sama dengan jumlah seluruh nilai dari path dan cycle yang memuat. 2 untuk setiap edge merah, nilai sama dengan jumlah seluruh nilai dari path dan cycle yang memuat. Didefinisikan fungsi taknegatif sedemikian sehingga 1 ( ) dan ( ) adalah jumlah biaya dari seluruh edge hitam di dan. 2 ( ) dan ( ) adalah jumlah biaya dari seluruh edge merah di dan. maka dan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Karena ( ) ( ), maka ada cycle sehingga ( ) ( ) atau ada path sehingga ( ) ( ). Kemungkinan 1 Andai ( ) ( ) berlaku untuk suatu cycle. Misalkan adalah solusi optimal masalah transportasi dan, dan adalah solusi lain yang didapat dengan cara mengurangi nilai sebesar di seluruh edge hitam dalam, kemudian menambahkan nilai sebesar di seluruh edge merah dalam. Solusi masalah transportasi fisibel, karena setiap verteks dalam hanya memiliki 1 flow yang keluar dan masuk, sehingga apabila flow keluar ditambah dengan dan flow masuk dikurangi dengan, solusi akan tetap fisibel, begitu pula sebaliknya. Perubahan nilai sebesar mengakibatkan perubahan nilai objektif sebesar ( ) untuk edge hitam, dan ( ) untuk edge merah. Akibatnya solusi memiliki nilai objektif

21 ( ) ( ) lebih kecil dari solusi, hal ini tidak mungkin terjadi karena adalah solusi optimal. Kemungkinan 2 Andai ( ) ( ) berlaku untuk suatu path. Karena adalah taknegatif untuk seluruh, maka path harus terdiri dari setidaknya tiga edge. Berdasarkan ketentuan, dimulai dari sumber dan berakhir di tujuan. Misalkan verteks pertama adalah, verteks kedua adalah, sebelum verteks terakhir adalah, dan verteks terakhir adalah. Misalkan pula adalah solusi masalah transportasi yang didapat dengan cara mengurangi nilai sebesar di seluruh edge hitam dalam, kemudian menambah nilai sebesar di seluruh edge merah kecuali edge pertama dan terakhir dalam. Agar solusi tetap fisibel, maka juga dinaikkan sebesar. Karena merupakan solusi optimal, maka perubahan biaya dari solusi ke taknegatif, sehingga Karena ( ) ( ) dan, maka ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) Akibatnya ( ) atau. Kedua lema tersebut dapat disatukan menjadi satu teorema berikut. Teorema 1 Matriks biaya berukuran imun terhadap paradoks transportasi jika dan hanya jika untuk setiap dengan, pertaksamaan (1) terpenuhi. Selain itu dapat diperiksa sebanyak ( ) kali apakah matriks memenuhi kondisi tersebut (Deineko et al. 2003). Bukti (Deineko et al. 2003) Bukti arah kanan dan kiri dapat dilihat dari Lema 1 dan Lema 2, tinggal membuktikan banyak pemeriksaan yang harus dilakukan. Misalkan dilakukan tahap awal, yaitu menentukan dan menyimpan dua nilai terkecil dari setiap baris dan kolom dari matriks. Untuk setiap baris, tahap ini dapat dilakukan sebanyak ( ) kali, dan untuk setiap kolom, tahap ini dapat dilakukan sebanyak ( ) kali. Sehingga tahap awal memerlukan ( ) kali pemeriksaan. Untuk setiap dan dengan dan, harus diperiksa apakah ada yang tidak memenuhi pertaksamaan (1). Untuk kasus terlanggarnya pertaksamaan (1), maka ada nilai di baris ke- dan di kolom ke- yang jumlah keduanya lebih kecil dari. Nilai yang perlu diperhatikan untuk 11

22 12 adalah nilai terkecil di baris ke-, atau nilai kedua terkecil jika adalah terkecil di baris ke-, karena kedua nilai tersebut adalah nilai yang paling berbahaya untuk terlanggarnya pertaksamaan (1). Dengan cara yang hampir sama, nilai yang perlu diperhatikan untuk adalah nilai terkecil di kolom ke-, atau nilai kedua terkecil jika adalah terkecil di kolom ke-, karena kedua nilai tersebut adalah nilai yang paling berbahaya untuk terlanggarnya pertaksamaan (1). Karena ada tahap awal, maka setiap dapat diperiksa sebanyak ( ) kali. Berdasarkan teorema tersebut, maka untuk memeriksa apakah suatu masalah transportasi memiliki paradoks atau tidak, dapat diperiksa dari matriks biaya melalui pertaksamaan ( ). Namun yang menjadi pertanyaan adalah apakah seluruh matriks yang tidak imun selalu menghasilkan paradoks. Kenyataannya tidak seluruh matriks imun dapat menghasilkan paradoks. Sebelum membahas hal tersebut, akan dibahas terlebih dahulu syarat cukup agar paradoks dapat terjadi dan batas penambahan kiriman. Syarat Cukup Terjadinya Paradoks Penentuan terjadi atau tidaknya paradoks ditentukan melalui masalah dual dari primal masalah transportasi. Misalkan dan adalah variabel dual yang berkaitan dengan persamaan pertama dan persamaan terakhir dari masalah transportasi. Misalkan adalah himpunan indeks ( ) dari solusi optimal basis, maka berdasarkan teori dualitas berlaku dan sehingga masalah dual dari pemrograman linear masalah transportasi adalah pemrograman linear berikut terhadap kendala Dari masalah dual ini, akan dicari kemungkinan menambah sumber dan permintaan sebesar tanpa mengubah rute pengiriman barang dan menghasilkan biaya yang lebih kecil. Ketentuan tersebut akan dijelaskan dalam teorema berikut Teorema 2 Misalkan ada indeks dan dengan, sehingga (2)

23 Misalkan pula ada bilangan positif, sehingga jika sumber diganti dengan, dan permintaan diganti dengan, solusi fisibel basis optimal dari permasalahan baru tersebut dapat ditemukan dan memiliki himpunan variabel basis yang sama, maka terjadi paradoks (Storøy 2007). Bukti (Storøy 2007) Karena solusi optimal permasalahan yang baru memiliki variabel basis yang sama, maka solusi dual tidak berubah karena, sehingga ( ) ( ) ( ) Karena dan, maka ( ) ( ). Teorema tersebut mengatakan bahwa jika ada indeks pada variabel dual yang memenuhi (2) dan penambahan pada sumber- dan permintaan- tidak mengubah rute pengiriman barang, maka akan terjadi paradoks. 13 Batas Penambahan Sebelum menentukan batas penambahan, akan diberikan ilustrasi berikut terlebih dahulu. Misalkan diberikan matriks biaya dan vektor sumber dan tujuan sebagai berikut [ ] [ ] dan [ ] dan solusi optimalnya disajikan pada Tabel 1 dan program Lingo untuk mendapatkannya diberikan pada Lampiran 2. Tabel 1 Solusi dual awal sebelum penambahan

24 14 Dari Tabel 1 terlihat bahwa solusi optimalnya adalah sebesar 444, dan himpunan indeks solusi fisibel basis optimalnya adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dari solusi dual, terlihat bahwa sehingga memungkinkan untuk menambah dan sebesar dengan nilai yang lebih optimal tetapi harus memiliki solusi basis yang sama. Misalkan dan ditambah dengan, maka agar himpunan solusi basisnya tidak berubah, tabel solusinya disajikan pada Tabel 2. Tabel 2 Solusi dual setelah penambahan Dari tabel tersebut terlihat bahwa sehingga interval adalah Jika dipilih, maka solusi optimal disajikan pada Tabel 3. Tabel 3 Solusi dual setelah penambahan 4 barang dengan nilai optimalnya menjadi ( ). Dengan menambah kiriman barang sebesar 4, biaya optimal turun sebesar 8 satuan. Perlu diperhatikan bahwa jika dipilih, solusi akan menjadi degenerate. Dari ilustrasi tersebut, untuk menentukan batas atas, ditentukan terlebih dahulu himpunan bagian yang akan menjadi directed path ( ) dari penambahan/pengurangan adalah jalur yang digunakan untuk menambahkan dan mengurangkan pada solusi optimal dengan tujuan agar solusi tetap fisibel dengan adanya tambahan kiriman pada suatu sumber dan tujuan. Dalam ilustrasi sebelumnya ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Jika melihat pola tersebut, penambahan dimulai dari baris yang sama dengan dan berakhir di kolom yang sama dengan. Penambahan dilakukan secara bergantian, dengan kata lain ditambahkan pada elemen urutan ganjil dan dikurangkan pada elemen urutan genap dengan jalur yang tegak lurus.

25 memiliki banyak elemen yang ganjil dan banyak jalur yang genap. Jadi secara umum, jika ada indeks sehingga pertaksamaan ( ) terpenuhi, maka langkah awal untuk menentukan adalah dengan menentukan yang dimulai dari baris ke- dan berakhir di kolom ke-. Misalkan adalah elemen urutan ganjil dari, adalah elemen urutan genap dari sehingga. Misalkan pula adalah perubahan biaya yang terjadi akibat penambahan 1 satuan barang pada solusi dengan elemen dan pengurangan 1 satuan barang pada solusi dengan indeks, maka perubahan biaya tersebut diberikan dalam lema berikut 15 Lema 3 ( ) ( ) Bukti (Storøy 2007) Karena jalur pada bergantian, maka tegak lurus dan penambahan/pengurangan dilakukan secara Karena dan ( ), maka sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Penambahan dibatasi oleh elemen terkecil dari, sehingga didapat hasil berikut Akibat 1 Bilangan positif ada jika dan hanya jika ( ) Berdasarkan kondisi ini, jika solusi optimal yang didapat nondegenerate dan ada indeks yang memenuhi pertaksamaan ( ), maka terjadi paradoks. Apabila terjadi degenerasi, selama elemen dari tidak ada yang bernilai nol, maka paradoks tetap terjadi. Sebagai ilustrasi kasus degenerasi, misalkan diberikan matriks biaya dan vektor sumber dan tujuan sebagai berikut [ ]

26 16 [ ] dan [ ] dengan tabel solusi optimal disajikan pada Tabel 4 dan program Lingo untuk mendapatkannya diberikan pada Lampiran 3. Tabel 4 Solusi dual ilustrasi degenerasi Dari tabel tersebut terlihat bahwa adalah solusi fisibel basis yang bernilai nol dan ada indeks yang memenuhi sehingga ada paradoks. Misalkan yang dipilih adalah ( ) ( ) ( ), meskipun ada elemen yang mengakibatkan solusi basis sama dengan nol, solusi dengan indeks bernilai positif sehingga berdasarkan Akibat 1, ada bilangan positif yang dapat mengakibatkan paradoks. Seperti yang telah dikatakan dalam pembahasan karakterisasi matriks imun, akan diberikan ilustrasi bahwa tidak semua matriks imun memiliki paradoks. Misalkan diberikan matriks biaya dan vektor sumber dan tujuan sebagai berikut [ ] [ ] dan [ ] dengan solusi dualnya disajikan pada Tabel 5 dan program Lingo untuk mendapatkannya diberikan pada Lampiran 4. Tabel 5 Solusi dual ilustrasi matriks imun dan tidak ada paradoks

27 17 Terlihat dalam matriks, nilai sehingga matriks tidak imun terhadap paradoks, namun solusi dual yang dihasilkan tidak memenuhi Teorema 2 karena tidak ada solusi yang memenuhi pertaksamaan (2) sehingga tidak terjadi paradoks. Kasus tersebut dapat terjadi karena syarat yang terpenuhi hanya matriks imun saja, maka dapat dibilang matriks imun hanyalah syarat perlu paradoks transportasi. Berdasarkan Teorema 2, komponen yang menyebabkan paradoks adalah, dan dari Lema 3, nilai tersebut sama dengan perubahan biaya yang dilakukan pada solusi basis dengan indeks. Untuk mendapat hasil tersebut, perlu diperhatikan bahwa indeks pada pertaksamaan (1) harus termasuk dalam indeks solusi basis, karena yang menyebabkan pengurangan biaya adalah elemen biaya pada pertaksamaan (1). Untuk menggambarkan kondisi tersebut, misalkan matriks biaya sama, namun dan diubah menjadi [ ] dan [ ] maka tabel solusi optimalnya disajikan pada Tabel 6 dan program Lingo untuk mendapatkannya diberikan pada Lampiran 5. Tabel 6 Solusi dual ilustrasi perubahan vektor dan Dari hasil tersebut terlihat bahwa dan indeks ( ) ( ) ( ) yang mengakibatkan matriks menjadi tidak imun termasuk dalam himpunan indeks solusi fisibel, maka indeks-indeks tersebut dapat dijadikan menjadi yang perubahan nilai solusinya mengakibatkan terjadinya paradoks. SIMPULAN Suatu langkah penting dalam menentukan ada atau tidaknya paradoks transportasi adalah apakah matriks biaya imun atau tidak. Tahap ini memerlukan proses yang semakin lama jika ukuran masalah transportasi semakin besar karena memeriksa satu per satu elemen dari matriks biaya sampai ditemukannya indeks yang tidak memenuhi pertaksamaan (1). Teorema 2 menjelaskan bahwa cukup menemukan solusi masalah dual dari masalah transportasi untuk memastikan bahwa paradoks akan terjadi. Namun ada

28 18 kasus di mana meski teorema tersebut tidak terpenuhi, tetapi sebenarnya paradoks masih bisa terjadi dengan mengubah banyaknya sumber dan permintaan. Hal ini disebabkan oleh matriks imun yang hanya berupa syarat perlu, sehingga meski suatu masalah transportasi memiliki matriks biaya yang tidak imun, kemungkinan terjadinya paradoks masih belum bisa dipastikan. Dalam kondisi terjadi paradoks, penambahan kiriman barang bergantung pada jalur yang ditentukan. Dalam kasus ada lebih dari satu jalur, maka perlu ditelusuri semua kemungkinan jalur yang memungkinkan untuk melihat pengurangan biaya yang paling besar. Salah satu strategi adalah dengan melihat hasil dari pertaksamaan (2) yang terkecil dan solusi basis urutan genap dalam jalur terpilih yang terbesar, karena dua hal inilah yang menentukan seberapa besar tambahan kiriman dan seberapa besar pengurangan biaya untuk tambahan satu kiriman. DAFTAR PUSTAKA Ahuja RK, Magnanti TL, Orlin JB Network Flows: Theory, Algorithms and Applications. London (GB): Prentice-Hall. Chartrand G, Oellermann OR Applied and Algorithmic Graph Theory. New York (US): McGraw-Hill. Deineko VG, Klinz B, Woeginger GJ Which matrices are immune against the transportation paradox?. Discrete Applied Mathematics.130: doi: /s x(03) Luenberger DG, Ye Y Linear and Nonlinear Programming. New York (US): Springer. Mital KV, Mohan C Optimization Methods in Operations Reasearch and Systems Analysis. New Delhi (IN): New Age International Publishers. Rao G.S Discrete Mathematical Structures. New Delhi (IN): New Age International Publishers. Reeb J, Leavengood S Using Duality and Sensitivity Analysis to Interpret Linear Programming Solutions. [diunduh 2016 Maret 13]. Tersedia pada: Storøy S The Transportation Paradox Revisited. [diunduh 2015 Oktober 25]. Tersedia pada: html Szwarc W The Transportation Paradox. Naval Research Logistics Quarterly.18(2): doi: /nav Winston WL, Goldberg JB Operations Research Applications and Algorithms. California (US): Thomson Brooks/Cole.

29 Lampiran 1 Contoh paradoks transportasi 19

30 20

31 Lampiran 2 Solusi ilustrasi sebelum penambahan 21

32 22

33 Lampiran 3 Solusi ilustrasi kasus degenerasi 23

34 24

35 Lampiran 4 Solusi ilustrasi matriks imun dan tidak ada paradoks 25

36 26

37 27 Lampiran 5 Solusi ilustrasi perubahan vektor dan

38 28

39 29 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Bogor pada tanggal 3 Mei 1994 sebagai anak ketiga dari pasangan Fidiyatullah Achmad dan Retno Noeryanti. Pada tahun 1999 penulis mengawali pendidikan di TK Tunas Muda Bogor, pada tahun 2000 melanjutkan ke SDN Semeru I. Tahun 2004 penulis pindah ke Perancis dan melanjutkan pendidikan di Ecole Elementaire de Jules Verne, sampai lulus pada tahun 2006, dan masuk ke College Pierre Brosselette. Penulis kembali ke Indonesia pada tahun 2007 dan melanjutkan ke SMP Negeri 6 Bogor sampai lulus tahun Tahun 2012 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan lulus Seleksi Nasional Mahasiswa Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan dan diterima di Institut Pertanian Bogor. Pada tahun 2013 penulis resmi masuk Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB setelah melewati masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) selama setahun. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi panitia acara Malam Inagurasi Matematika 2013, sebagai anggota Divisi Logistik dan Transportasi. Penulis juga pernah mendapat penghargaan sebagai Juara I Tenis Meja dalam SPIRIT FMIPA 2014, dan Juara II Tenis Meja dalam SPIRIT FMIPA 2015.