Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 1

Transkripsi

1 5. Dualitas Contoh 14. Misalkan kita mempunyai program linear masalah maksimum dalam bentuk baku sebagai berikut. Misalkan kita mempunyai program linear masalah minimum dalam bentuk baku sebagai berikut. Hubungan apa yang dapat digali dari kedua model pada contoh 14 di atas? a. Nilai ruas kanan masalah maksimum menjadi koefisien fungsi tujuan masalah minimum. b. Koefisien fungsi tujuan masalah maksimum menjadi nilai ruas kanan masalah minimum. c. Matriks koefisien fungsi kendala masalah minimum merupakan transpose dari matrik koefisien fungsi kendala masalah maksimum. [ ] [ ] d. Semua variabel non negatif. e. Tanda pada masalah maksimum sedangkan tanda pada masalah minimum. Berdasarkan hubungan di atas, jika model maksimumnya dianggap sebagai primal maka model minimumnya sebagai dual. Begitu pula Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 1

2 sebaliknya, jika model maksimumnya sebagai dual maka model minimumnya sebagai primal. Secara umum dijelaskan berikut ini. merupakan bentuk baku masalah maksimum...*) Jika model *) sebagai bentuk primalnya maka bentuk dualnya dicari dengan cara: a. Mengubah masalah menjadi masalah minimum. b. Koefisien fungsi tujuan masalah maksimum menjadi nilai ruas kanan fungsi kendala masalah minimum. c. Nilai ruas kanan fungsi kendala masalah maksimum menjadi koefisien fungsi tujuan masalah minimum. d. Matriks transpose koefisien fungsi kendala masalah maksimum menjadi matriks koefisien fungsi kendala masalah minimum. [ ] menjadi [ ] e. Tanda menjadi f. Variabel pada masalah maksimum dan minimum non negatif Sehingga bentuk dualnya menjadi : Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 2

3 merupakan bentuk baku masalah minimum...**) Jika model **) sebagai bentuk primalnya maka bentuk dualnya dicari dengan cara: a. Mengubah masalah minimum menjadi masalah maksimum. b. Koefisien fungsi tujuan masalah minimum menjadi nilai ruas kanan fungsi kendala masalah maksimum. c. Nilai ruas kanan fungsi kendala masalah minimum menjadi koefisien fungsi tujuan masalah maksimum. d. Matriks transpose koefisien fungsi kendala masalah minimum menjadi matriks koefisien fungsi kendala masalah maksimum. e. [ ] [ ]. f. Tanda menjadi. g. Variabel pada masalah maksimum dan minimum non negatif. Sehingga bentuk dualnya menjadi Selanjutnya muncul pertanyaan. Bagaimana jika primal maupun dual tidak dalam bentuk baku?. Perhatikan kasus berikut ini. Misalkan primal dalam bentuk: Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 3

4 Bagaimana langkah membuat dualnya?. Fungsi kendala yang membuat primal tidak dalam bentuk baku adalah. Karena masalahnya maksimum dan bentuk bakunya menggunakan tanda maka diubah menjadi. Sehingga primalnya dalam bentuk baku menjadi: Langkah selanjutnya, tinggal mengikuti langkah-langkah membentuk dual yang sudah dijelaskan di bagian awal. Lalu bagaimana pula, jika primal dalam bentuk. Bagaimana membentuk dualnya?. Fungsi kendala yang membuat primal tidak dalam bentuk baku adalah. Ubahlah menjadi dan. Sehingga bentul primalnya menjadi Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 4

5 . Selanjutnya diubah menjadi. Sehingga bentuk primalnya menjadi. Langkah selanjutnya, tinggal mengikuti langkah-langkah membentuk dual yang sudah dijelaskan di bagian awal. Contoh 15. Misalkan sebagai bentuk primal. Maka bentuk primal belum dalam bentuk baku. Untuk masalah maksimum, tanda pertidaksamaannya adalah sehingga diubah menjadi. Bentuk baku masalah maksimum menjadi:. Untuk mencari bentuk dualnya dilakukan dengan langkah seperti di atas. Diperoleh bentuk dualnya adalah Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 5

6 h.m Selanjutnya jika pada model primal, ada minimal salah satu pertidaksamaan pada fungsi kendala berbentuk persamaan. Bagaimana membentuk dualnya? Untuk membahasnya, perhatikan contoh 16 berikut ini. Contoh 16. sebagai bentuk primalnya. Buatlah bentuk dualnya. Jawab: Bentuk primal belum dalam bentuk baku karena ada fungsi kendala yang berupa persamaan yaitu. Ubah persamaan tersebut menjadi dua pertidaksamaan yaitu dan sehingga diperoleh model baru. Pada model tersebut masih belum dalam bentuk baku. Maka perlu diubah dahulu menjadi bentuk baku yaitu: Bentuk dualnya menjadi Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 6

7 Beberapa fakta tentang dualitas a. Nilai optimal model primal sama dengan nilai optimal model dual b. Dual dari dual program linear adalah program linear itu sendiri c. Jika primal (masalah maksimum dalam bentuk baku) dan dual (masalah minimum dalam bentuk baku) keduanya dapat diselesaikan maka opt(primal) opt(dual) Terdapat beberapa pertanyaan menarik tentang dualitas. Disini kita singkat P untuk model primal dan D untuk bentuk dual a. Tentang ada tidaknya penyelesaian 1) Mungkinkah P dan D keduanya dapat diselesaikan? 2) Jika salah satu dapat diselesaikan, apakah lainnya tidak dapat diselesaikan? 3) Mungkinkah keduanya tidak dapat diselesaikan? b. Tentang penyelesaian optimal Apakah ada kaitan antara penyelesaian P dan penyelesaian D? c. Tentang nilai optimal 1) Mungkinkah P dan D keduanya hanya memiliki penyelesaian optimal tunggal? 2) Mungkinkah P dan D sama-sama memiliki tak hingga penyelesaian? 3) Mungkinkah salah satu memiliki penyelesaian tunggal dan lainnya memiliki tak hingga penyelesaian? Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas, kerjakan beberapa masalah di bawah ini. a. Model primal dan dual sama-sama dapat diselesaikan Contoh 17. Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 7

8 Misalkan model matematika sebagai model primal (P) Maks dan model matematika sebagai dual (D) Kedua model (P) dan (D) dapat diselesaikan Tabel optimal masalah primal adalah Cb VDB Q dengan penyelesaian optimal (PO) = ( ) Tabel optimal masalah dual adalah M -M Cb VDB Q Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 8

9 ( ) dengan penyelesaian optimal (PO) = ( ) Variabel pada masalah primal dan dual sebagai berikut Hubungan antara primal dan dual dapat dituliskan dalam tabel sebagai berikut. Maks dalam basis dalam basis 3. luar basis luar basis 4. Kolom Kolom 5. dalam basis, dalam basis, 2. luar basis luar basis 3. dalam basis dalam basis 4. dalam basis, dalam basis, 5. Kolom 6. Kolom Berdasarkan tabel di atas, maka kita dapat mencari penyelesaian masalah dual dengan memanfaatkan tabel optimal masalah primal. Demikian pula sebaliknya. b. P dan D sama-sama memiliki tak hingga penyelesaian Contoh 18. Misalkan model matematika sebagai model primal (P) Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 9

10 dan model matematika sebagai dual (D) Maks Kedua model (P) dan (D) memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian. Kasus penyelesaian tidak terbatas (PO tidak terbatas). Penyelesaian optimal masalah primalnya adalah *( ) +. Penyelesaian optimal masalah dualnya adalah *( ) +. c. Model primal merupakan kasus ketidaklayakan dan model dual merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas. Contoh 19. Model primalnya adalah merupakan kasus ketidaklayakan. Silahkan dicek menggunakan metode grafik maupun metode simpleks. Model dualnya adalah Maks merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas (Z tidak terbatas). Silahkan dicek menggunakan metode grafik maupun metode simpleks. Teorema tentang dualitas adalah sebagai berikut. a. Teorema Dualitas (lemah) Jika LP1 program linear masalah maksimum dalam bentuk baku, LP2 program linear masalah minimum dalam bentuk baku, LP1 dan LP2 merupakan dual satu sama lainnya maka: 1) Jika LP1 merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas maka LP2 merupakan kasus ketidaklayakan. Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 10

11 2) Jika LP2 merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas maka LP1 merupakan kasus ketidaklayakan 3) Jika LP1 dan LP2 keduanya tertutup dan dapat diselesaikan maka opt(lp1) opt(lp2), (dibaca nilai optimal (LP1) nilai optimal (LP2)) b. Teorema Dualitas (kuat) Jika LP1 atau LP2 dapat diselesaikan dan tertutup maka berlaku pula untuk pasangannya dan opt (LP1) = opt LP2) Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 11