PROGRAM LINIER : ANALISIS POST- OPTIMAL. Pertemuan 6

Transkripsi

1 PROGRAM LINIER : ANALISIS POST- OPTIMAL Pertemuan 6

2 Pengantar Biasanya, setelah solusi optimal dari masalah program linier ditemukan maka peneliti cenderung untuk berhenti menganalisis model yang telah dibuat. Padahal sesungguhnya dengan menganalisis lebih jauh atas solusi optimal akan dapat menghasilkan informasi lain yang berguna

3 Analisis yang dilakukan terhadap solusi optimal untuk mendapatkan informasi tambahan yang berguna tersebut dikenal dengan analisis post-optimal Analisis ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu: Analisis Dualitas Analisis Sensitivitas

4 Analisis Dualitas Dilakukan dengan merumuskan dan menginterpretasikan bentuk dual dari model. Bentuk dual adalah suatu bentuk alternatif dari model program linier yang telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai-nilai sumber yang biasanya membentuk sebagai batasan model

5 Analisis Sensitivitas Dilakukan untuk menganalisis dampak yang terjadi pada solusi optimal terhadap perubahan-perubahan yang terjadi pada koefisien-koefisien batasan model maupun koefisien pada fungsi tujuan

6

7 Model program linier memiliki 2 bentuk, yaitu: Model primal adalah bentuk asli dari suatu model program linier Model dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari model primal

8 Kegunaan bagi pengambil keputusan adalah: Model Primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh dari memproduksi barang ataupun biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi barang. Model Dual akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.

9 Solusi pada model dual memberikan informasi tentang sumber-sumber yang digunakan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-sumber daya, serta berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut.

10 Hubungan primal-dual

11 Hubungan khusus antara primal dan dual adalah : Variabel dual Y 1, Y 2, Y 3 berhubungan dengan batasan model primal. Dimana untuk setia batasan dalam primal terdapat satu variabel dual. Misal, model primal mempunyai 3 batasan, maka dualnya akan mempunyai 3 variabel keputusan. Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual. Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variabel keputusan dual. Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model dual. Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memiliki batasan-batasan <, sedangkan model minimisasi dual memiliki batasan-batasan >.

12 Contoh 1 :

13 Contoh 2 : Model Primal Fungsi tujuan : Maks Z = 160 X X 2 Fungsi batasan : 2 X X 2 < X X 2 < X X 2 < 240 X 1, X 2 > 0

14 Model Dualnya adalah: Fungsi tujuan : Min Z = 40 Y Y Y 3 Fungsi batasan : 2 Y Y Y 3 > Y Y Y 3 > 200 Y 1, Y 2, Y 3 > 0

15 Contoh 3 : Model Primal Fungsi tujuan : Maks Z = 10 X X 2 Fungsi batasan : X X 2 < 40 3 X X 2 = 60 2 X 1 + X 2 > 25 X 1, X 2 > 0

16 Perhatian: Untuk mentransformasikan model primal kedalam bentuk dual adalah bahwa model primal harus dalam bentuk standar. Sehingga, bila model primal belum dalam bentuk standar harus dirubah dulu menjadi bentuk standar. Untuk masalah maksimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi batasan mempunyai tanda <. Untuk masalah minimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi batasan mempunyai tanda >.

17 Jadi untuk contoh 3, diperoleh fungsi batasan sbb.: X X 2 < 40 X X 2 < 40 3 X X 2 = 60 3 X X 2 < 60 3 X X 2 > 60 (-1) (3 X X 2 > 60) - 3 X 1-2 X 2 < X 1 + X 2 > 25 (-1) (2 X 1 + X 2 > 25) - 2 X 1 - X 2 < - 25

18 Sehingga model primal menjadi : Fungsi tujuan : Maks Z = 10 X X 2 Fungsi batasan : X X 2 < 40 3 X X 2 < 60-3 X 1-2 X 2 < X 1 - X 2 < - 25 X 1, X 2 > 0

19 Dari model primal yang sudah dalam bentuk standar, maka model dual dapat diformulasikan sebagai berikut : Fungsi tujuan : Min Z = 40 Y Y 2-60 Y 3-25 Y 4 Fungsi batasan : Y Y 2-3 Y 3-2 Y 4 > 10 4 Y Y 2-2 Y 3 - Y 4 > 6 Y 1, Y 2, Y 3, Y 4 > 0

20 Contoh 4 :

21 Contoh 4: (masalah primal) Mesin Merek I 1 I 2 Kapasitas Maksimum Sumbangan laba 3 5 Mesin Merek Tabel primal-dual X 1 X 2 Y Y Y

22 Merek X 1 X 2 Mesin Y Y Y Fungsi primal-dual Tabel primal-dual Tujuan : Maks Z = 3X 1 + 5X 2 Batasan : 2X 1 8 3X X 1 + 5X 2 30 dan X 1 0, X 2 0 Tujuan : Min Y = 8Y Y Y 3 Batasan : 2Y Y 3 3 3Y Y 3 5 dan Y 1 0, Y 2 0, Y 3 0

23 Interpretasi Ekonomis Fungsi primal Tujuan : Maks Z X j C j Z b i a ij Batasan n j= 1 = a ij n j= 1 X j C j X j b i Dengan menggantikan Z j, metode simpleks dapat diartikan mencari nilai Y m Fungsi dual Tujuan : Min Y Y i = Tingkat aktivitas ke j = Laba persatuan aktivitas j = Laba total dari seluruh aktivitas = Jumlah sumber i yang tersedia = jumlah sumber i yang dipakai oleh setiap satuan aktivitas j Batasan m i= 1 0 a = ij Y m i= 1 i b i Y i C j = kontribusi persatuan sumber i terhadap laba

24 Hasil masalah dual Tujuan : Y = 8(0) + 15( 5 / 6 ) + 30( 1 / 2 ) Y = 27 1 / 2 Min Y = 8Y Y Y 3 Batasan : 2Y Y 3 3 3Y Y 3 5 dan Y 1 0, Y 2 0, Y 3 0 Analisis Simplex Y 1 = 0, Y 2 = 5/6, Y 3 = 1/2

25 Hasil masalah dual