PENENTUAN LOKASI DALAM MANAJEMEN HUTAN

Transkripsi

1 PENENTUAN LOKASI DALAM MANAJEMEN HUTAN Oleh : KABUL EKA PRIANA G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006

2 ABSTRAK KABUL EKA PRIANA. Penentuan Lokasi dalam Manajemen Hutan. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan SISWANDI. Hutan merupakan sumber daya alam yang dapat menghasilkan keuntungan bagi setiap negara yang memilikinya, oleh karena itu hutan harus dikelola secara baik dan benar. Dalam hal ini para pembuat keputusan, seperti pemerintah dan perusahaan, berpengaruh besar dalam mengatur hutan. Pemodelan untuk mendukung masalah manajemen hutan merupakan pekerjaan yang sangat kompleks. Banyak negara menggunakan model secara besar-besaran untuk mengoptimalkan hasil hutan. Pemanfaatan hasil hutan itu sendiri dijadikan industri yang memegang peranan penting dalam perekonomian sebuah negara. Namun beberapa masalah yang terkait dengan masalah manajemen hutan sangat rumit untuk dipecahkan. Tulisan ini membahas tentang bagaimana menentukan lokasi terbaik untuk pemanenan hutan, masalah pemindahan hasil hutan, serta perlindungan keanekaragaman hayati yang timbul akibat penebangan hutan.

3 PENENTUAN LOKASI DALAM MANAJEMEN HUTAN Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Oleh : KABUL EKA PRIANA G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006

4 Judul : Penentuan Lokasi dalam Manajemen Hutan Nama : Kabul Eka Priana Nrp : G Menyetujui Pembimbing I Pembimbing II Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. NIP Drs. Siswandi, M.Si. NIP Mengetahui Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S. NIP Tanggal Lulus :

5 Untuk almarhum bapak, umi, dan keluarga tercinta

6 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberi nikmat sehat jasmani maupun rohani sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan contoh teladan agar tidak tersesat dalam menjalani hidup. Pada awalnya karya ilmiah ini merupakan tugas salah satu mata kuliah yang ada di Program Studi Matematika. Setelah dikembangkan selama beberapa bulan, akhirnya penulis berhasil menyusun sebuah karya ilmiah sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains. Berbagai permasalahan muncul selama penyusunan karya ilmiah ini. Namun berkat bantuan dari semua pihak, penulis akhirnya mampu menyelesaikan semua permasalahan yang ada. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Harapan penulis adalah bahwa karya ilmiah ini akan dapat memberikan banyak manfaat bagi para pembacanya. Bogor, Juni 2006 KABUL EKA PRIANA

7 RIWAYAT HIDUP Kabul Eka Priana lahir di Bogor pada tanggal 25 Maret Penulis merupakan putra ketujuh dari pasangan Sanim dan Nati yang bertempat tinggal di Jalan Letnan Soekarna Kp. Kebon Kopi Rt. 01/05 Kecamatan Ciampea Kabupaten Bogor. Pada tahun 2002 penulis lulus dari Sekolah Menengah Umum (SMU) Negeri I Leuwiliang. Setelah itu penulis mencoba mendaftar jalur Ujian Seleksi Masuk IPB (USMI) yang diadakan sekolah. Pada waktu itu penulis memilih Program Studi Matematika sebagai pilihan pertama dan Program Studi Teknologi Hasil Ternak sebagai pilihan kedua. Penulis sempat pesimis untuk lulus dari USMI karena persaingan yang cukup ketat. Namun akhirnya penulis diterima di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada awalnya penulis tidak tertarik dengan ilmu matematika karena lebih mengedepankan daya pikir mengenai angka, akan tetapi setelah dijalani penulis sadar bahwa ilmu matematika adalah dasar dari semua ilmu pengetahuan yang ada. Kesibukan akademik tidak membuat penulis terlena. Penulis sangat menyadari bahwa bangku perkuliahan hanya membentuk pola pikir untuk bisa bersaing menghadapi tantangan masa depan yang semakin keras. Oleh karena itu, penulis mencoba untuk merasakan dunia luar dengan mencari kerja dan menjadi anggota himpunan profesi mahasiswa. Pada tahun 2005 penulis diterima sebagai guru matematika di sebuah sekolah menengah pertama swasta. Selain itu penulis juga sempat mengajar di sebuah bimbingan belajar. Untuk membentuk jiwa kepemimpinan dan solidaritas antarmahasiswa, penulis menjadi anggota himpunan profesi matematika yang dikenal dengan nama GUMATIKA dan menjabat sebagai wakil ketua. Tidak hanya itu, penulis juga dipercaya menjabat sebagai Pembina OSIS di suatu SMP swasta.

8 DAFTAR ISI Halaman Daftar Tabel... viii Daftar Gambar... viii Daftar Lampiran... viii I II PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan... 1 LANDASAN TEORI 2.1 Linear Programming Solusi suatu Linear Programming Integer Linear Programming Metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah Integer Programming Graf... 4 III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH MANAJEMEN HUTAN 3.1 Masalah Penentuan Lokasi Pemanenan Masalah Pemindahan Kayu Masalah Pemilihan Lokasi untuk Sistem Perlindungan Masalah Perlindungan Spesies Masalah Perlindungan Habitat... 7 IV CONTOH KASUS MASALAH MANAJEMEN HUTAN 4.1 Masalah Penentuan Lokasi Pemanenan Masalah Pemindahan Kayu Masalah Pemilihan Lokasi untuk Sistem Perlindungan Masalah Perlindungan Spesies Masalah Perlindungan Habitat V SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii

9 DAFTAR TABEL Halaman 1 Nilai present value dari kayu yang dipanen untuk masing-masing blok Wilayah yang terpilih sebagai lokasi pemanenan kayu Biaya pengiriman kayu Volume kayu yang harus dikirim dari wilayah sumber dan tempat pergantian kendaraan Lokasi yang berisi spesies dalam kuantitas tertentu Luas wilayah spesies dari unit perencanaan yang terlibat dalam aktivitas perencanaan DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Daerah fisibel IP Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan subproblem Metode Branch and Bound untuk menentukan solusi IP Graf G = ( V, E)... 4 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Program untuk menyelesaikan Masalah Penentuan Lokasi Pemanenan Program untuk menyelesaikan Masalah Pemindahan Kayu Program untuk menyelesaikan Masalah Perlindungan Spesies Program untuk menyelesaikan Masalah Perlindungan Habitat viii

10 1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Hutan merupakan sumber daya alam yang dapat diperbaharui. Sebagai sumber devisa terbesar hutan harus dikelola secara baik dan benar sehingga dapat menghasilkan keuntungan besar. Ada 2 sektor yang mengatur masalah manajemen hutan yaitu: sektor publik atau pemerintah dan sektor swasta atau perusahaan. Pemanfaatan hasil hutan dijadikan industri yang memegang peranan penting di berbagai negara termasuk negara Indonesia. Hal ini disebabkan karena sumber daya hutan menghasilkan keuntungan yang sangat besar. Oleh karena itu, manajemen hutan harus diatur sedemikian rupa sehingga menghasilkan banyak keuntungan. Beberapa masalah yang terkait dengan manajemen hutan merupakan masalah yang sangat rumit. Salah satu di antaranya adalah masalah penentuan lokasi terbaik. Banyak keputusan yang harus diambil untuk menentukan lokasi terbaik dalam masalah ini, seperti misalnya menentukan lokasi terbaik untuk tempat penebangan kayu. Penentuan lokasi tersebut sangat menentukan besarnya investasi yang harus ditanam dan besarnya biaya yang harus dikeluarkan untuk transportasi hasil hutan. Sejumlah simulasi dan model yang optimal dalam masalah manajemen hutan sangat dibutuhkan. Hal ini disebabkan untuk mempermudah pekerjaan agar menjadi lebih efisien dan lebih sederhana sehingga masalahmasalah yang terkait dengan manajemen hutan dapat dipecahkan. Pemodelan masalah manajemen hutan dapat menjadi masalah yang sangat besar dan sulit dipecahkan secara optimal karena beberapa di antaranya memerlukan data dan bersifat penting hanya untuk sementara. 1.2 Tujuan Tulisan ini bertujuan menunjukkan peranan linear programming dalam menyelesaikan masalah manajemen hutan. II LANDASAN TEORI 2.1 Linear Programming Linear programming merupakan tindakan untuk memperoleh hasil yang optimal dari tujuan yang diinginkan terhadap kendala yang ada. Model linear programming (LP) meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear. Pada tulisan ini, suatu LP mempunyai bentuk standar sebagai berikut: T Minimumkan fungsi objektif z = c terhadap A = b 0 dengan b 0 (1) dengan dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m n yang disebut juga sebagai matriks kendala. (Nash & Sofer, 1996) Solusi suatu Linear Programming Untuk menyelesaikan suatu masalah linear programming (LP), metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar. Pada LP (1), vektor yang memenuhi kendala A = b disebut sebagai solusi dari LP (1). Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A= ( B N), dengan B adalah matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1). Jika vektor dapat dinyatakan sebagai vektor B =, dengan B adalah vektor N variabel basis dan N adalah vektor variabel nonbasis, maka A= b dapat dinyatakan sebagai B A = ( B N ) N = BB + NN = b. (2) Karena B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (2) dapat B dinyatakan sebagai: 1 1 = B b B N. (3) B N

11 2 Definisi 1 (Solusi Basis) Solusi dari suatu LP disebut solusi basis jika: i. Solusi tersebut memenuhi kendala pada LP. ii. Kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen taknol adalah bebas linear. (Nash & Sofer, 1996) Definisi 2 (Solusi Basis Fisibel) Vektor disebut solusi basis fisibel jika merupakan solusi basis dan 0. (Nash & Sofer, 1996) Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh berikut: Contoh 1 Misalkan diberikan linear programming berikut: Minimumkan z = terhadap = = = 5 1, 2, 3, 4, 5 0 (4) Dari LP tersebut didapatkan: A = , b = Misalkan dipilih B T = ( ) dan = ( ) N 1 2 maka matriks basis B = Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh = 0 0 T, N B ( ) 1 B b ( ) = = T (5) Solusi (5) merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada LP (4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (5) yaitu B adalah bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (5) juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol. T 2.2 Integer Linear Programming Model integer linear programming (ILP) atau disebut juga integer programming (IP), adalah suatu model linear programming dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut disebut pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus integer maka disebut mied integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP. (Garfinkel & Nemhauser, 1972) Definisi 3 (Linear Programming Relaksasi) LP-relaksasi dari suatu IP merupakan linear programming yang diperoleh dari IP tersebut dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada variabelnya. (Winston, 1995) 2.3 Metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah Integer Programming Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimal dari masalah IP digunakan software Lingo 8.0 yaitu sebuah program yang didesain untuk membangun dan menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer menjadi lebih cepat, mudah, dan lebih efisien dengan prinsip pemecahannya berdasarkan metode branch and bound. Prinsip dasar metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah LP-relaksasi dengan membuat subproblemsubproblem. Daerah fisibel linear programming adalah daerah yang memenuhi semua kendala linear programming. Branch Membuat partisi daerah solusi ke dalam subproblem. Tujuannya untuk menghapus daerah solusi yang tidak fisibel. Hal ini dicapai dengan menentukan kendala yang penting untuk menghasilkan solusi IP, secara tidak langsung titik integer yang tidak fisibel terhapus. Dengan kata lain, hasil pengumpulan dari subproblem subproblem yang lengkap menunjukkan setiap titik integer yang fisibel dari masalah asli. Karena sifat alami partisi itu, maka proses tersebut dinamakan Branching. Bound Misalkan masalahnya diasumsikan merupakan tipe maksimisasi, nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem dibuat

12 3 dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan menempatkan solusi optimum. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan Bounding. (Taha, 1975) Aspek kunci dari metode branch and bound adalah sebagai berikut : Langkah 1 : jika sudah jelas, maka cabang dalam subproblem tidak diperlukan. Terdapat tiga kondisi yang membuat subproblem tidak diperlukan yaitu: (1) Subproblem tidak fisibel. (2) Subproblem menghasilkan solusi optimal dengan semua variabel bernilai integer. (3) Nilai optimal untuk subproblem lebih kecil dari (dalam masalah memaksimumkan) batas bawah (lower bound/lb). Langkah 2 : Sebuah subproblem mungkin dapat dihapuskan dari pertimbangan dengan kondisi sebagai berikut : (1) Subproblem tidak fisibel. (2) Batas bawah (yang menunjukkan nilai optimal dari kandidat terbaik) setidaknya lebih besar dari nilai optimal subproblem. (Winston, 1995) Contoh 2 Misalkan diberikan integer programming berikut: Maksimumkan z = terhadap , 2 0 dan integer Daerah fisibel untuk masalah IP di atas diberikan pada gambar berikut: Gambar 1 Daerah fisibel IP. 1 Metode Branch and Bound dimulai dengan menentukan solusi LP-relaksasi (subproblem 1). Solusi LP-relaksasi untuk masalah di atas adalah 1 = 3, 75, 2 = 1, 75, dan z = 23,75. Solusi tersebut tidak memenuhi kendala integer. Oleh karena itu harus dibuat subproblem yang baru dengan memilih variabel yang tidak memenuhi kendala integer. Dengan memilih 1 = 3, 75 secara sembarang, diketahui bahwa daerah ( 3< 1 < 4) dari daerah fisibel subproblem 1 tidak akan memuat solusi IP yang fisibel karena tidak memenuhi kendala integer. Subproblem yang baru adalah sebagai berikut: Subproblem 2 : Subproblem 1 + kendala ( 1 3) Subproblem 3 : Subproblem 1 + kendala ( 1 4) Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan subproblem 3 diberikan pada gambar berikut: Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3. Subproblem 2 dan subproblem 3 tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, sehingga harus diselesaikan sebagai dua masalah linear programing yang berbeda. Pada subproblem 2 diperoleh solusi 1 = 3, 2 = 2, dan z = 23. Karena semua variabel bernilai integer (solusinya memenuhi kendala integer), maka tidak perlu dibuat subproblem baru. Pada subproblem 3 diperoleh solusi 1 = 4, 2 = , dan z = 23,3333. Karena variabelnya tidak memenuhi kendala integer, maka harus dibuat subproblem baru. Subproblem untuk masalah IP di atas diberikan pada gambar berikut:

13 4 1 2 Subproblem 1 = 3, 75, = 1, 25 dan z = 23, 75 1 > 4 Subproblem 2 1 < 3 Subproblem 3 * = 4, = 0,8333 dan z = 23,3333 = 3, = 2 dan z = > 1 2 < 0 Batas bawah (optimum) Subproblem 4 Solusi takfisibel 1 2 Subproblem 5 = 4,5, = 0 dan z = 22, 5 1 > 5 1 < 4 Subproblem 6 Solusi takfisibel Subproblem 7 * = 4, = 0 dan z = Batas bawah Gambar 3 Metode branch and bound untuk menentukan solusi IP. Pada Gambar 3, subproblem 3 dan subproblem 7 merupakan kandidat terbaik karena semua variabelnya bernilai integer. Subproblem 3 merupakan solusi optimal untuk masalah IP di atas karena mempunyai nilai-z lebih besar dari subproblem 7. Contoh 3 v 1 v 2 v Graf Definisi 4 (Graf) Suatu graf adalah pasangan terurut ( V, E, ) dengan V himpunan takkosong dan hingga dan E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V dan dinotasikan dengan G = ( V, E). Elemen V dinamakan simpul (node), dan elemen E dinamakan sisi (edge), dinotasikan sebagai { i, j }, yaitu sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j, dengan i, j V. Jika e= { i, j} E maka i dikatakan adjacent (berdekatan) dengan j, dan sebaliknya. (Foulds, 1992) v 5 v 4 Gambar 4 Graf G = ( V, E). Pada Gambar 4, V = { v1, v2, v3, v4, v5} dan {{ 1, 2},{ 2, 3},{ 3, 4},{ 4, 5},{ 5, 1} } E = v v v v v v v v v v v 1 adjacent dengan v 2 v adjacent dengan 2 v 3 v adjacent dengan 3 v 4 v adjacent dengan 4 v 5 v adjacent dengan v 1 5

14 5 III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH MANAJEMEN HUTAN Pemodelan untuk mendukung masalah manajemen hutan merupakan pekerjaan yang sangat kompleks. Banyak negara yang menjadikan hutan sebagai industri, menggunakan model secara besar-besaran untuk mengoptimalkan hasil investasi, present value dari laba bersih, dan ukuran produktivitas kerja. Perencanaan hutan dapat dipandang sebagai masalah multi-level management. Tingkatan yang paling tinggi atau tingkat strategi melibatkan pengidentifikasian terhadap hasil dan tujuan yang layak untuk operasi jangka panjang hingga beberapa periode. Tingkatan menengah atau tingkat analisis taktik dihubungkan dengan menentukan aktivitas dari lahan secara khusus. Tingkatan yang paling rendah atau tingkat operasional yaitu menentukan tempat lokasi pemanenan kayu, jalur transportasi, dan sistem pemanenan kayu. Masing-masing tingkatan sering melibatkan banyak keputusan untuk menentukan lokasi terbaik. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas masalah penentuan lokasi pemanenan dengan memaksimumkan nilai present value dari kayu yang dipanen, setelah itu masalah pemindahan kayu dengan meminimumkan biaya. Penebangan hutan ternyata juga dapat menyebabkan masalah yakni hilangnya spesies dan habitat asli. Oleh karena itu dibahas pula mengenai masalah pemilihan lokasi untuk sistem perlindungan. 3.1 Masalah Penentuan Lokasi Pemanenan Misalkan satu wilayah dibagi menjadi beberapa blok pemanenan, tiap-tiap blok telah ditanami satu atau beberapa pohon. Misalkan: i = unit pengolahan atau daerah t = periode waktu 1, jika blok i dipanen pada it = periode waktu t 0, selainnya v it = present value dari kayu yang akan dipanen pada blok ke-i dalam periode waktu ke-t A = {(i,j) blok i dan blok j berdekatan (adjacent)} Present value adalah nilai sekarang dari kayu yang dipanen yang jatuh tempo pada waktu yang akan datang. Nilainya bergantung pada kualitas kayu yang dihasilkan untuk setiap periode. Semakin tinggi kualitas kayu yang dihasilkan pada suatu lokasi maka semakin besar present value dari kayu tersebut. Pemanenan di tiap blok harus dibatasi agar tidak terjadi penggundulan hutan karena dapat menyebabkan meningkatnya erosi dan mengganggu habitat. Akibat dari batasan itu berarti tidak boleh ada dua blok pemanenan yang berdekatan yang dipanen dalam waktu yang sama. Sasaran utamanya adalah memaksimumkan present value dari kayu yang dipanen dalam periode waktu tertentu, dengan kendala tidak ada dua blok pemanenan yang berdekatan yang dipanen dalam periode waktu yang sama. Masalah ini dapat dimodelkan sebagai berikut: Ma Z = i t v it it Tujuan dari fungsi objektif di atas adalah memaksimumkan present value dari kayu yang dipanen dalam periode waktu tertentu pada blok yang terpilih sebagai tempat pemanenan kayu. Kendala pada masalah ini adalah: 1. Tidak boleh ada pemanenan dari dua blok yang berdekatan dalam waktu yang sama. it + jt 1 (, i j) A dan t 2. Setiap blok tidak dapat dipanen lebih dari satu kali dalam satu periode. 1 i t it 3. Kendala variabel keputusan. 0,1 it, it { } 3.2 Masalah Pemindahan Kayu Pengangkutan hasil kayu yang sudah dipanen membutuhkan beberapa tipe fasilitas. Fasilitas-fasilitas itu meliputi penyortiran dan pemilahan mutu kayu, tempat penyimpanan atau gudang, penggilingan atau tempat pemotongan kayu dan pembuatan bubur kayu, serta pelabuhan untuk diekspor. Contohnya, kayu yang sudah ditebang dibawa ke tempat penyortiran. Di tempat itu terjadi pemisahan kayu yang bermutu baik dan kayu yang kurang bermutu. Kayu yang bermutu baik dibawa ke pelabuhan untuk diekspor, sedangkan kayu yang kurang bermutu akan dijadikan bubur kayu. Ketika kayu akan

15 6 dibawa ke pelabuhan, sering terjadi pemindahan atau transfer muatan kayu antarkendaraan, misalnya dari truk ke kereta. Perubahan alat transportasi seperti dari truk ke kereta itu sering dilakukan untuk mengurangi biaya. Misalkan: i = wilayah pemanenan kayu j = tujuan akhir (misalnya: tempat pemotongan, pelabuhan, dll) k = lokasi potensial untuk tempat pergantian kendaraan ij = volume kayu yang dikirim dari sumber i ke tujuan akhir j ik = volume kayu yang dikirim dari sumber i ke tempat pergantian kendaraan k kj = volume kayu yang dikirim dari tempat pergantian kendaraan k ke tujuan akhir j a i = volume kayu yang harus dikirim dari sumber i c ij = biaya untuk mengirim kayu dari sumber i ke tujuan akhir j (per unit volume) c ik = biaya untuk mengirim kayu dari sumber i ke tempat pergantian kendaraan k (per unit volume) c kj = biaya pengiriman dari tempat pergantian kendaraan k ke tujuan akhir j (per unit volume) d j = permintaan kayu pada tujuan akhir j f k = biaya tetap untuk mengadakan pergantian kendaraan pada k Cap k = kapasitas maksimum kendaraan di k 1, jika lokasi k terpilih untuk y k = tempat pergantian kendaraan 0, selainnya Model pemindahan kayu dapat diformulasikan sebagai berikut: + c + Min Z = c + c ij ij ik ik i j i k f y kj kj k k k j k Tujuan dari fungsi objektif di atas adalah meminimumkan biaya dari sumber ke tujuan akhir, biaya dari sumber ke tempat pergantian kendaraan, biaya dari tempat pergantian kendaraan ke tujuan akhir, serta biaya tetap untuk mengadakan pergantian kendaraan. Kendala pada masalah ini adalah: 1. Volume kayu yang harus dikirim dari wilayah sumber. + = a i k ik ij i j 2. Tidak ada penyimpanan jangka panjang pada tempat pergantian kendaraan. = 0 k ik kj i j 3. Permintaan volume kayu pada tujuan akhir harus dicapai. + d j i ij kj j k 4. Volume kayu yang dikirim ke tempat pergantian kendaraan tidak melebihi kapasitas. i Cap y k ik k k 5. Kendala variabel keputusan. yk { 0,1} k ij, jk, ik Masalah Pemilihan Lokasi untuk Sistem Perlindungan Penebangan hutan yang menyebabkan hilangnya spesies dan habitat asli telah menjadi perhatian khusus untuk melindungi keanekaragaman hayati. Oleh karena itu, penebangan hutan tidak boleh dilakukan secara sembarangan agar tidak menggangu makhluk hidup lain atau habitatnya. Penebangan hutan mengakibatkan lahan yang tersedia sebagai habitat asli menjadi semakin sempit. Masalah yang muncul yaitu bagaimana membangun suatu lokasi sistem perlindungan dengan lahan yang sempit Masalah Perlindungan Spesies Misalkan terdapat spesies yang ingin ditempatkan dalam lokasi perlindungan. Masalah yang muncul adalah bagaimana memilih lokasi yang menempatkan spesies dengan jumlah paling besar. Misalkan: p = banyaknya unit perencanaan yang dipilih untuk sistem perlindungan j = unit perencanaan i = spesies yang dapat ditempatkan dalam sistem perlindungan 1, jika spesies i tidak ditempatkan dalam lokasi y i = yang dipilih untuk sistem perlindungan 0, selainnya

16 7 j = 1, jika unit perencanaan j terpilih sebagai sistem perlindungan 0, selainnya N i = { j lokasi j berisi spesies i dalam kuantitas tertentu } Masalah perlindungan spesies dapat dimodelkan sebagai berikut: Min Z = yi i Tujuan dari fungsi objektif di atas adalah meminimumkan banyaknya spesies yang tidak ditempatkan dalam lokasi yang dipilih untuk sistem perlindungan atau model ini memilih lokasi yang menempatkan spesies dengan jumlah paling besar. Kendala pada masalah ini adalah: 1. Menunjukkan spesies yang tercakup dalam sistem perlindungan. + y 1 i j Ni j i 2. Menggunakan tepat p lokasi yang telah ditentukan. = p j j 3. Kendala variabel keputusan. j { 0,1} j y 0,1 i i { } Masalah Perlindungan Habitat Spesies bukan satu-satunya faktor yang harus dilindungi dalam daerah perlindungan hutan. Selain spesies, wilayah sebagai habitat juga harus dilindungi. Banyaknya wilayah yang dilindungi dari suatu habitat yang diberikan merupakan indikator penting dalam sistem perlindungan yang baik, sehingga sasarannya adalah memilih unit perencanaan dalam rangka meminimumkan wilayah yang terpilih sebagai lokasi perlindungan. Misalkan : k = j = spesies yang dianggap berisiko atau akan punah unit perencanaan j = a j = luas wilayah unit perencanaan j 1, jika unit perencanaan j dipilih untuk daerah pengaturan perlindungan 0, selainnya S j = layak atau tidaknya unit perencanaan j terpilih (dalam skala 1-10) min k = luas wilayah minimum yang berisi spesies k yang harus dipindahkan untuk melindungi dari kepunahan = luas wilayah spesies k dari unit perencanaan j yang terlibat dalam aktivitas perencanaan w s = bobot yang terkait dengan optimalisasi kelayakan (dalam skala 1-10) w a = bobot yang terkait dengan minimisasi wilayah (dalam skala 1-10) a jk Model BMAS (Biodiversity Management Area Selection Model) : Min Z = w a + w S a j j s j j j j Tujuan dari fungsi objektif di atas adalah meminimumkan banyaknya wilayah yang terpilih sebagai lokasi untuk sistem perlindungan. Kendala pada masalah ini adalah: 1. Pengaturan wilayah yang cukup yang berisi spesies k. a min k j jk j k 2. Kendala variabel keputusan. 0,1 j j { } IV CONTOH KASUS MASALAH MANAJEMEN HUTAN 4.1 Masalah Penentuan Lokasi Pemanenan Misalkan di satu wilayah akan dibangun lokasi untuk pemanenan hasil hutan dalam periode 10 tahun. Wilayah itu dibagi menjadi beberapa blok pemanenan. Blok itu terdiri dari: Blok_A, Blok_B, Blok_C, Blok_D, Blok_E, dan Blok_F. Diketahui Blok_A berdekatan dengan Blok_B, Blok_C berdekatan dengan Blok_D, dan Blok_E berdekatan dengan Blok_F. Pemanenan di tiap blok harus dibatasi agar tidak terjadi penggundulan hutan. Nilai present value dari kayu untuk masing-masing blok adalah sebagai berikut:

17 8 Tabel 1 Nilai present value dari kayu yang dipanen untuk masing-masing blok Periode Blok Blok_A Blok_B Blok_C Blok_D Blok_E Blok_F Masalah di atas dapat dimodelkan sebagai berikut: Misalkan: i = A, B, C, D, E, F t = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 it = 1, jika blok i dipanen pada periode waktu t 0, selainnya Ma Z = A1 B1 1 A8 B8 1 C5 D5 1 E1 F1 1 E8 F8 1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A A9 A10 B1 B2 B3 B4 B5 B B7 B8 B9 B10 C1 C2 C3 C C5 C6 C7 C8 C9 C10 D1 D D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E E9 E10 F1 F2 F3 F4 F5 F6 230F F F F10 terhadap : +, A2 + B2 1, A4 + B4 1, A3+ B3 1, A5 + B5 1, A6 + B6 1, A7 + B7 1, +, A9 + B9 1, A 10 + B 10 1, C1+ D 1 1, C2 + D2 1, C3 + D3 1, C4 + D4 1, +, C6 + D6 1, C7 + D7 1, C8 + D8 1, C9 + D9 1, C10 + D10 1, +, , , , , , , E F +, , E F E E A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 1 B1+ B2 + B3 + B4 + B5 + B6 + B7 + B8+ B9 + B10 1 C1+ C2 + C3+ C4 + C5 + C6 + C7 + C8 + C9 + C10 1 D1+ D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7 + D8 + D9 + D10 1 E1+ E2 + E3+ E4 + E5 + E6 + E7 + E8 + E9 + E10 1 F1+ F2 + F3+ F4 + F5 + F6 + F7 + F8+ F9 + F10 1 it { 0,1} it, F F E F E F E F E F Dengan prosedur metode Branch and Bound diperoleh solusi LP-relaksasi yaitu: z = 1405, A1 = 0, A2 = 0, A3 = 0, A4 = 0, A5 = 1, A6 = 0, A7 = 0, A8 = 0, A9 = 0, A10 = 0, B1 = 0, B2 = 1, B3 = 0, B4 = 0, B5 = 0, B6 = 0, B7 = 0, B8 = 0, B9 = 0, B10 = 0, C1 = 0, C 2 = 0, C3 = 0, C 4 = 0, =, 6 = 1, 7 = 0, 8 = 0, 9 = 0, C5 0 C C C C C10 = 0, D1 = 0, D2 = 0, D3 = 0, D4 = 0, D5 = 0, D6 = 0, D7 = 0, D8 = 0, D9 = 0, D10 = 1, E1 = 1, E 2 = 0, E3 = 0, E 4 = 0, E5 = 0, E6 = 0, E7 = 0, E8 = 0, E9 = 0, E10 = 0, F1 = 0, F 2 = 0, F 3 = 0, F 4 = 0, F 5 = 0, F 6 = 0, F 7 = 1, F 8 = 0, F 9 = 0, F10 = 0. Karena semua variabel memenuhi kendala, maka tidak perlu dibuat subproblem

18 9 baru. Sehingga solusi optimal LP-relaksasi merupakan solusi optimal pada masalah IP di atas. Masalah di atas dapat diselesaikan secara cepat dan efisien dengan menggunakan Lingo 8.0. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah berikutnya tidak perlu menggunakan metode Branch and Bound. Hasilnya dapat disimpulkan bahwa nilai fungsi objektifnya adalah 1405 (lihat Lampiran 1). Wilayah yang terpilih sebagai lokasi pemanenan hasil hutan adalah sebagai berikut: Tabel 2 Wilayah yang terpilih sebagai lokasi pemanenan kayu Periode Blok Blok_A V Blok_B V Blok_C V Blok_D V Blok_E V Blok_F V Keterangan: Tanda V menunjukkan daerah pemanenan hasil hutan Dari solusi optimal yang diperoleh dapat diketahui bahwa semakin besar nilai present value maka akan semakin besar wilayah itu dipilih sebagai lokasi yang tepat untuk pemanenan hasil hutan. 4.2 Masalah Pemindahan Kayu Misalkan lokasi yang dipilih untuk pemanenan kayu adalah Blok_A, Blok_B, dan Blok_C. Kayu yang sudah ditebang dibawa ke tempat penyortiran. Kayu yang bermutu baik dibawa ke pelabuhan untuk diekspor dan kayu yang kurang bermutu dijadikan bubur kayu. Lokasi pelabuhan terdiri dari: PL_1, PL_2, PL_3, dan PL_4. Untuk mengurangi biaya pengangkutan, sebelum dibawa ke pelabuhan kadang-kadang terjadi pergantian alat transportasi (misalkan: dari truk ke kereta). Terdapat 3 lokasi tempat pergantian kendaraan yaitu: TPK_1, TPK_2, dan TPK_3. Kayu yang diangkut harus dari lokasi yang terpilih sebagai tempat pengolahan kayu dan disimpan dalam gudang dalam waktu yang tidak lama. Volume kayu yang dikirim ke tempat pergantian kendaraan tidak boleh melebihi kapasitas yang ada sehingga tidak terjadi penumpukan kayu. Permintaan kayu di 4 pelabuhan harus terpenuhi. Hal ini dimaksudkan agar ketika kayu akan diekspor stoknya tidak kosong. Biaya untuk pengiriman kayu sebagai berikut: Tabel 3 Biaya pengiriman kayu Pelabuhan PL_1 PL_2 PL_3 PL_4 Sumber Blok_A Blok_B Blok_C Sumber Tempat Pergantian Kendaraan TPK_1 TPK_2 TPK_3 Blok_A Blok_B Blok_C

19 10 Tempat Pergantian Kendaraan Pelabuhan PL_1 PL_2 PL_3 PL_4 TPK_ TPK_ TPK_ Biaya tetap untuk mengadakan pergantian kendaraan di TPK_1 adalah 75, di TPK_2 adalah 125 dan di TPK_3 adalah 200. Volume kayu yang harus diangkut dari tempat pengolahan kayu di Blok_A adalah 1000, di Blok_B adalah 1500, dan di Blok_C adalah Permintaan kayu di PL_1 adalah 800, di PL_2 adalah 900, di PL_3 adalah 1200, dan di PL_4 adalah Kapasitas maksimum tempat pergantian kendaraan di TPK_1 adalah 500, di TPK_2 adalah 600, dan di TPK_3 adalah 700. Dengan menggunakan Lingo 8.0 dapat diperoleh bahwa nilai fungsi objektifnya adalah (lihat Lampiran 2). Semua tempat untuk pergantian alat transportasi terpilih. Volume kayu yang harus dikirim adalah sebagai berikut: Tabel 4 Volume kayu yang harus dikirim dari wilayah sumber dan tempat pergantian kendaraan Pelabuhan PL_1 PL_2 PL_3 PL_4 Sumber Blok_A Blok_B Blok_C Sumber Tempat Pergantian Kendaraan TPK_1 TPK_2 TPK_3 Blok_A Blok_B Blok_C Pelabuhan Tempat Pergantian PL_1 PL_2 PL_3 PL_4 Kendaraan TPK_ TPK_ TPK_ Dari solusi optimal yang diperoleh dapat diketahui bahwa semakin besar biaya transportasi, jika menggunakan tempat pergantian kendaraan maka wilayah itu tidak akan dipilih sebagai tempat pergantian kendaraan, dan lebih baik langsung dibawa ke pelabuhan. 4.3 Masalah Pemilihan Lokasi untuk Sistem Perlindungan Masalah Perlindungan Spesies Penebangan hutan secara liar akan menyebabkan hutan menjadi gundul. Hal ini dapat menimbulkan sejumlah makhluk hidup hilang dan habitatnya akan rusak. Misalkan di

20 11 sebuah daerah akan dibangun suatu sistem perlindungan dengan lahan yang sempit akibat penebangan hutan. Daerah itu meliputi : SP_1, SP_2, SP_3, SP_4, dan SP_5. Jenis makhluk hidup yang dapat ditempatkan dalam sistem perlindungan itu antara lain : Spesies_1, Spesies_2, Spesies_3, Spesies_4, Spesies_5, dan Spesies_6. Banyaknya unit perencanaan yang dipilih untuk sistem perlindungan adalah 2 daerah. Berikut ini beberapa daerah yang berisi spesies dalam kuantitas tertentu: Spesies Tabel 5 Lokasi yang berisi spesies dalam kuantitas tertentu Unit Spesies_1 Spesies_2 Spesies_3 Spesies_4 Spesies_5 Spesies_6 perencanaan SP_1 V V SP_2 V V V V V SP_3 V V V V V SP_4 V V V SP_5 V V Keterangan : Tanda V menunjukkan spesies berada dalam daerah itu. Dengan menggunakan Lingo 8.0 dapat diperoleh bahwa nilai fungsi objektifnya adalah 0 (lihat Lampiran 3). Daerah yang terpilih sebagai lokasi sistem perlindungan adalah SP_2 dan SP_3. Hal ini disebabkan karena daerah itu menempatkan spesies dengan jumlah paling besar Masalah Perlindungan Habitat Selain spesies, wilayah sebagai habitat juga perlu dilestarikan. Contoh selanjutnya yakni meminimumkan wilayah yang terpilih sebagai lokasi untuk sistem perlindungan. Misalkan makhluk hidup yang dianggap berisiko atau akan punah adalah Spesies_1, Spesies_2, Spesies_3, Spesies_4, dan Spesies_5. Luas wilayah minimum yang berisi spesies tersebut berturut-turut adalah 700, 800, 400, 700, 800. Luas wilayah unit perencanaan antara lain: Wilayah_A, Wilayah_B, Wilayah_C, Wilayah_D, Wilayah_E, dan Wilayah _F berturut-turut adalah 400, 500, 400, 200, 100, 500. Layak atau tidaknya wilayah itu terpilih (dalam skala 1-10) berturut-turut adalah 4, 5, 6, 3, 4, 2. Bobot yang terkait dengan optimalisasi kelayakan dan meminimumkan wilayah (dalam skala 1-10) adalah 7 dan 6. Sedangkan luas wilayah spesies dari unit perencanaan yang terlibat dalam aktivitas perencanaan adalah sebagai berikut: Tabel 6 Luas wilayah spesies dari unit perencanaan yang terlibat dalam aktivitas perencanaan Spesies Spesies_1 Spesies_2 Spesies_3 Spesies_4 Spesies_5 Unit Perencanaan Wilayah_A Wilayah_B Wilayah_C Wilayah_D Wilayah_E Wilayah_F Dengan menggunakan Lingo 8.0 dapat disimpulkan bahwa nilai fungsi objektifnya adalah 7291 (lihat Lampiran 4). Wilayah yang terpilih sebagai daerah pengaturan perlindungan adalah Wilayah_A, Wilayah_D, Wilayah_E, dan Wilayah_F. Dari solusi optimal yang diperoleh dapat diketahui bahwa semakin tinggi nilai layak atau tidaknya unit perencenaan j terpilih maka semakin besar kemungkinan unit perencanaan itu terpilih. Diketahui pula bahwa semakin besar nilai bobot yang terkait dengan

21 12 optimalisasi kelayakan maka nilai fungsi objektif semakin optimal, dan semakin besar bobot yang terkait dengan meminimumkan wilayah maka nilai fungsi objektifnya semakin minimum. V SIMPULAN Sebagai sumber devisa terbesar, hutan memiliki permasalahan yang cukup kompleks. Sejumlah permasalahan manajemen hutan dengan variasi model penempatan lokasi telah diuraikan di atas. Berbagai pertimbangan untuk menyelesaikan permasalahan di atas membuat model sulit dipecahkan. Untuk mempermudah pembahasan telah dicantumkan beberapa contoh kasus yang berkaitan dengan permasalahan di atas. Adapun data yang digunakan untuk menyelesaikan masalah di atas berupa data fiktif karena penulis sulit mendapatkan data yang diinginkan. Permasalahan mengenai manajemen hutan di Indonesia pun sangat berbeda sehingga penulis tidak dapat menggunakan data yang ada. Tulisan ini bertujuan menunjukkan peranan linear programming dalam menyelesaikan masalah manajemen hutan, sehingga para pembuat keputusan terutama sektor publik atau pemerintah dan sektor swasta atau perusahaan dapat mengelola hutan secara optimal agar memberikan keuntungan yang besar tanpa membuat permasalahan yang baru seperti gangguan pada habitat dan makhluk hidup lainnya. DAFTAR PUSTAKA Church, L. R. Murray, A. T. & Weintraub, A Locational issues in forest management. Location Science 6: Foulds, L. R Graph Theory Applications. Springer-Verlag, New York. Garfinkel, R. S. & G. L. Nemhauser Integer Programming. John Willey & Sons, New York. Nash, S. G. & Sofer. A Linear and Nonlinear Programming. McGraw-Hill, New York. Taha, H. A Integer Programming. Academic Press, New York. Winston, W. L Introduction to Mathematical Programming. Dubury Press, California.

22 L A M P I R A N

23 14 Lampiran 1 Program untuk menyelesaikan masalah penentuan lokasi pemanenan dengan menggunakan Lingo 8.0. MODEL: TITLE MASALAH PENENTUAN LOKASI; SETS: LOKASI / BLOK_A BLOK_B BLOK_C BLOK_D BLOK_E BLOK_F/; PERIODE / PER_1.. PER_10 /; KOMBINASI(LOKASI,PERIODE): PILIH, PRESENT_VALUE; ENDSETS DATA: PRESENT_VALUE = ; ENDDATA!FUNGSI OBJEKTIF; MAX PRESENT_VALUE(I,T)*PILIH(I,T));!KENDALA;!Tidak boleh ada pemanenan dari dua blok yang berdekatan dalam waktu yang I#EQ#1:PILIH(I,T)+PILIH(I+1,T) <= I#EQ#3:PILIH(I,T)+PILIH(I+1,T) <= I#EQ#5:PILIH(I,T)+PILIH(I+1,T) <= 1);!Setiap blok tidak dapat dipanen lebih dari satu kali dalam satu END MODEL: Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: Model Title: MASALAH PENGOPERASIAN DAN PENENTUAN LOKASI Variable Value Reduced Cost PILIH( BLOK_A, PER_1) PILIH( BLOK_A, PER_2) PILIH( BLOK_A, PER_3) PILIH( BLOK_A, PER_4) PILIH( BLOK_A, PER_5)

24 PILIH( BLOK_A, PER_6) PILIH( BLOK_A, PER_7) PILIH( BLOK_A, PER_8) PILIH( BLOK_A, PER_9) PILIH( BLOK_A, PER_10) PILIH( BLOK_B, PER_1) PILIH( BLOK_B, PER_2) PILIH( BLOK_B, PER_3) PILIH( BLOK_B, PER_4) PILIH( BLOK_B, PER_5) PILIH( BLOK_B, PER_6) PILIH( BLOK_B, PER_7) PILIH( BLOK_B, PER_8) PILIH( BLOK_B, PER_9) PILIH( BLOK_B, PER_10) PILIH( BLOK_C, PER_1) PILIH( BLOK_C, PER_2) PILIH( BLOK_C, PER_3) PILIH( BLOK_C, PER_4) PILIH( BLOK_C, PER_5) PILIH( BLOK_C, PER_6) PILIH( BLOK_C, PER_7) PILIH( BLOK_C, PER_8) PILIH( BLOK_C, PER_9) PILIH( BLOK_C, PER_10) PILIH( BLOK_D, PER_1) PILIH( BLOK_D, PER_2) PILIH( BLOK_D, PER_3) PILIH( BLOK_D, PER_4) PILIH( BLOK_D, PER_5) PILIH( BLOK_D, PER_6) PILIH( BLOK_D, PER_7) PILIH( BLOK_D, PER_8) PILIH( BLOK_D, PER_9) PILIH( BLOK_D, PER_10) PILIH( BLOK_E, PER_1) PILIH( BLOK_E, PER_2) PILIH( BLOK_E, PER_3) PILIH( BLOK_E, PER_4) PILIH( BLOK_E, PER_5) PILIH( BLOK_E, PER_6) PILIH( BLOK_E, PER_7) PILIH( BLOK_E, PER_8) PILIH( BLOK_E, PER_9) PILIH( BLOK_E, PER_10) PILIH( BLOK_F, PER_1) PILIH( BLOK_F, PER_2) PILIH( BLOK_F, PER_3) PILIH( BLOK_F, PER_4) PILIH( BLOK_F, PER_5) PILIH( BLOK_F, PER_6) PILIH( BLOK_F, PER_7) PILIH( BLOK_F, PER_8) PILIH( BLOK_F, PER_9) PILIH( BLOK_F, PER_10) PRESENT_VALUE( BLOK_A, PER_1) PRESENT_VALUE( BLOK_A, PER_2) PRESENT_VALUE( BLOK_A, PER_3) PRESENT_VALUE( BLOK_A, PER_4)

25 PRESENT_VALUE( BLOK_A, PER_5) PRESENT_VALUE( BLOK_A, PER_6) PRESENT_VALUE( BLOK_A, PER_7) PRESENT_VALUE( BLOK_A, PER_8) PRESENT_VALUE( BLOK_A, PER_9) PRESENT_VALUE( BLOK_A, PER_10) PRESENT_VALUE( BLOK_B, PER_1) PRESENT_VALUE( BLOK_B, PER_2) PRESENT_VALUE( BLOK_B, PER_3) PRESENT_VALUE( BLOK_B, PER_4) PRESENT_VALUE( BLOK_B, PER_5) PRESENT_VALUE( BLOK_B, PER_6) PRESENT_VALUE( BLOK_B, PER_7) PRESENT_VALUE( BLOK_B, PER_8) PRESENT_VALUE( BLOK_B, PER_9) PRESENT_VALUE( BLOK_B, PER_10) PRESENT_VALUE( BLOK_C, PER_1) PRESENT_VALUE( BLOK_C, PER_2) PRESENT_VALUE( BLOK_C, PER_3) PRESENT_VALUE( BLOK_C, PER_4) PRESENT_VALUE( BLOK_C, PER_5) PRESENT_VALUE( BLOK_C, PER_6) PRESENT_VALUE( BLOK_C, PER_7) PRESENT_VALUE( BLOK_C, PER_8) PRESENT_VALUE( BLOK_C, PER_9) PRESENT_VALUE( BLOK_C, PER_10) PRESENT_VALUE( BLOK_D, PER_1) PRESENT_VALUE( BLOK_D, PER_2) PRESENT_VALUE( BLOK_D, PER_3) PRESENT_VALUE( BLOK_D, PER_4) PRESENT_VALUE( BLOK_D, PER_5) PRESENT_VALUE( BLOK_D, PER_6) PRESENT_VALUE( BLOK_D, PER_7) PRESENT_VALUE( BLOK_D, PER_8) PRESENT_VALUE( BLOK_D, PER_9) PRESENT_VALUE( BLOK_D, PER_10) PRESENT_VALUE( BLOK_E, PER_1) PRESENT_VALUE( BLOK_E, PER_2) PRESENT_VALUE( BLOK_E, PER_3) PRESENT_VALUE( BLOK_E, PER_4) PRESENT_VALUE( BLOK_E, PER_5) PRESENT_VALUE( BLOK_E, PER_6) PRESENT_VALUE( BLOK_E, PER_7) PRESENT_VALUE( BLOK_E, PER_8) PRESENT_VALUE( BLOK_E, PER_9) PRESENT_VALUE( BLOK_E, PER_10) PRESENT_VALUE( BLOK_F, PER_1) PRESENT_VALUE( BLOK_F, PER_2) PRESENT_VALUE( BLOK_F, PER_3) PRESENT_VALUE( BLOK_F, PER_4) PRESENT_VALUE( BLOK_F, PER_5) PRESENT_VALUE( BLOK_F, PER_6) PRESENT_VALUE( BLOK_F, PER_7) PRESENT_VALUE( BLOK_F, PER_8) PRESENT_VALUE( BLOK_F, PER_9) PRESENT_VALUE( BLOK_F, PER_10)

26 17 Row Slack or Surplus Dual Price Lampiran 2 Program untuk menyelesaikan masalah pemindahan kayu dengan menggunakan Lingo 8.0. MODEL: TITLE MASALAH PEMINDAHAN KAYU; SETS: SUMBER / BLOK_A BLOK_B BLOK_C/: VOL_KAYU; TUJUAN / PL_1 PL_2 PL_3 PL_4 /: DEMAND; PERPINDAHAN / TPK_1 TPK_2 TPK_3/: PILIH, FIX_COST, KAPASITAS; KOMBINASI_1(SUMBER,TUJUAN): VOLUME_1, BIAYA_1; KOMBINASI_2(SUMBER,PERPINDAHAN): VOLUME_2, BIAYA_2; KOMBINASI_3(PERPINDAHAN,TUJUAN): VOLUME_3, BIAYA_3; ENDSETS

27 18 DATA: BIAYA_1 = ; BIAYA_2 = ; BIAYA_3 = ; FIX_COST = ; VOL_KAYU = ; DEMAND = ; KAPASITAS = ; ENDDATA!FUNGSI OBJEKTIF; MIN Volume kayu yang harus dikirim dari wilayah = VOL_KAYU(I));!Tidak ada penyimpanan jangka panjang pada tempat pergantian = 0);!Permintaan volume kayu pada tujuan akhir harus >= DEMAND(J));!Volume kayu yang dikirim ke tempat perpindahan kendaraan tidak melebihi <= KAPASITAS(K)*PILIH(K));!Kendala >= >= >= 0); END MODEL:

28 19 Global optimal solution found at iteration: 26 Objective value: Model Title: MASALAH PEMINDAHAN KAYU Variable Value Reduced Cost VOL_KAYU( BLOK_A) VOL_KAYU( BLOK_B) VOL_KAYU( BLOK_C) DEMAND( PL_1) DEMAND( PL_2) DEMAND( PL_3) DEMAND( PL_4) PILIH( TPK_1) PILIH( TPK_2) PILIH( TPK_3) FIX_COST( TPK_1) FIX_COST( TPK_2) FIX_COST( TPK_3) KAPASITAS( TPK_1) KAPASITAS( TPK_2) KAPASITAS( TPK_3) VOLUME_1( BLOK_A, PL_1) VOLUME_1( BLOK_A, PL_2) VOLUME_1( BLOK_A, PL_3) VOLUME_1( BLOK_A, PL_4) VOLUME_1( BLOK_B, PL_1) VOLUME_1( BLOK_B, PL_2) VOLUME_1( BLOK_B, PL_3) VOLUME_1( BLOK_B, PL_4) VOLUME_1( BLOK_C, PL_1) VOLUME_1( BLOK_C, PL_2) VOLUME_1( BLOK_C, PL_3) VOLUME_1( BLOK_C, PL_4) BIAYA_1( BLOK_A, PL_1) BIAYA_1( BLOK_A, PL_2) BIAYA_1( BLOK_A, PL_3) BIAYA_1( BLOK_A, PL_4) BIAYA_1( BLOK_B, PL_1) BIAYA_1( BLOK_B, PL_2) BIAYA_1( BLOK_B, PL_3) BIAYA_1( BLOK_B, PL_4) BIAYA_1( BLOK_C, PL_1) BIAYA_1( BLOK_C, PL_2) BIAYA_1( BLOK_C, PL_3) BIAYA_1( BLOK_C, PL_4) VOLUME_2( BLOK_A, TPK_1) VOLUME_2( BLOK_A, TPK_2) VOLUME_2( BLOK_A, TPK_3) VOLUME_2( BLOK_B, TPK_1) VOLUME_2( BLOK_B, TPK_2) VOLUME_2( BLOK_B, TPK_3) VOLUME_2( BLOK_C, TPK_1) VOLUME_2( BLOK_C, TPK_2) VOLUME_2( BLOK_C, TPK_3) BIAYA_2( BLOK_A, TPK_1) BIAYA_2( BLOK_A, TPK_2) BIAYA_2( BLOK_A, TPK_3)

29 20 BIAYA_2( BLOK_B, TPK_1) BIAYA_2( BLOK_B, TPK_2) BIAYA_2( BLOK_B, TPK_3) BIAYA_2( BLOK_C, TPK_1) BIAYA_2( BLOK_C, TPK_2) BIAYA_2( BLOK_C, TPK_3) VOLUME_3( TPK_1, PL_1) VOLUME_3( TPK_1, PL_2) VOLUME_3( TPK_1, PL_3) VOLUME_3( TPK_1, PL_4) VOLUME_3( TPK_2, PL_1) VOLUME_3( TPK_2, PL_2) VOLUME_3( TPK_2, PL_3) VOLUME_3( TPK_2, PL_4) VOLUME_3( TPK_3, PL_1) VOLUME_3( TPK_3, PL_2) VOLUME_3( TPK_3, PL_3) VOLUME_3( TPK_3, PL_4) BIAYA_3( TPK_1, PL_1) BIAYA_3( TPK_1, PL_2) BIAYA_3( TPK_1, PL_3) BIAYA_3( TPK_1, PL_4) BIAYA_3( TPK_2, PL_1) BIAYA_3( TPK_2, PL_2) BIAYA_3( TPK_2, PL_3) BIAYA_3( TPK_2, PL_4) BIAYA_3( TPK_3, PL_1) BIAYA_3( TPK_3, PL_2) BIAYA_3( TPK_3, PL_3) BIAYA_3( TPK_3, PL_4) Row Slack or Surplus Dual Price