BAB 3 LINEAR PROGRAMMING

Transkripsi

1 BAB 3 LINEAR PROGRAMMING Teori-teori yang dijelaskan pada bab ini sebagai landasan berpikir untuk melakukan penelitian ini dan mempermudah pembahasan hasil utama pada bab selanjutnya. 3.1 Linear Programming Sejak 1950 penerapan pemrograman linear (linear programming) dalam menyelesaikan berbagai permasalahan telah banyak dikembangkan. Aplikasi pemrograman linear secara luas banyak digunakan dalam menyelesaikan berbagai permasalahan optimasi. Jenis aplikasi yang paling umum mencakup masalah alokasi ketersediaan sumberdaya dalam jumlah terbatas untuk menyelesaikan beberapa kegiatan secara optimal. Sumber-sumber yang dimaksud dapat berupa bahan baku, peralatan dan mesin, ruang, waktu ataupun orang. Dengan demikian linear programming adalah metode atau teknik matematika yang dapat digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan. Linear Programming (LP) merupakan suatu metode yang akan menyelesaikan persoalan dengan beberapa fungsi kendala untuk mencapai tujuan seperti memaksimumkan (keuntungan yang akan dicapai) atau meminimumkan (biaya). Sifat linear memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi linear, sedangkan programming merupakan sinonim untuk suatu perencanaan. Dengan demikian linear programming merupakan perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil terbaik dari seluruh alternatif yang memungkinkan. Suatu persoalan dapat disebut sebagai linier programming apabila: 1. Tujuan (objective) yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier. Fungsi ini disebut fungsi tujuan (objective function); 2. Harus ada alternative pemecahan. Pemecahan yang membuat fungsi tujuan optimum (laba yang maksimum, biaya yang minimum) yang harus dipilih; 20

2 21 3. Sumber-sumber tersedia dalam jumlah yang terbatas (bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruang yang terbatas). Pembatasan-pembatasan ini dinyatakan dalam bentuk ketidaksamaan linier (linier inequality). Secara umum bentuk model LP dapat digambarkan sebagai berikut: 1. Fungsi tujuan (objective function); Merupakan suatu fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan berdasarkan yang dikehendaki. Contoh: max atau min Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x c n x n. 2. Fungsi Kendala atau Batasan (constraints); Merupakan suatu kendala atau batasan yang dirumuskan ke dalam suatu pertidaksamaan matematik. Kendala dalam hal ini merupakan suatu hal yang membatasi tujuan yang dihasilkan seperti keterbatasan biaya, material, waktu, tenaga dan lain-lain.contoh : Batasan-batasan: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n b 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n b m x 1 0,x 2 0,...,x n 0 Notasi x 1,x 2,...,x n (x i ) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (x i ) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan.c 1,c 2,...,cnmerupakan kontribusi masingmasing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya. a n,...,a 1n,...,a mn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumberdaya yang membatasi atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. b 1,b 2,...,b n menunjukkan jumlah masing-masing sumberdaya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumberdaya yang terbatas. Pertidaksamaan yang terakhir (x 1,x 2,...,x n 0) menunjukkan batasan nonnegatif.

3 22 Pada masalah LP penyelesaian optimalnya merupakan bilangan real yang bisa berupa bilangan pecahan. Pembulatan ke integer terdekat bisa menyebabkan nilai optimalnya menyimpang dari nilai yang diharapkan. Padahal permasalahan di kehidupan nyata sering kali memerlukan penyelesaian dengan variabel keputusan berupa integer. Dengan model penyelesaian berupa variabel integer diharapkan dapat memberikan penyelesaian yang optimal. Model Linear Programming (LP) menyajikan bentuk matematik dari objektif dan pembatasnya berupa fungsi linear. 3.2 Integer Linear Programming Integer Linear Programming (ILP) atau program integer merupakan pengembangan dari LP. Program integer adalah program linier (linear programming) di mana variabel-variabelnya bertipe integer (bulat). Program integer digunakan untuk memodelkan permasalahan yang variabel-variabelnya tidak mungkin berupa bilangan yang tidak bulat (bilangan riil), seperti variabel yang merepresentasikan jumlah orang atau benda, karena jumlah orang atau benda pasti bulat dan tidak mungkin berupa pecahan. Program Integer juga biasanya lebih dipilih untuk memodelkan suatu permasalahan karena program linier dengan variabel berupa bilangan riil kurang baik dalam memodelkan permasalahan yang menuntut solusi berupa bilangan integer, misalnya variabel-variabel keputusannya jumlah cabang perusahaan di suatu daerah berbeda. Pokok pikiran utama dalam Program Integer adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ke dalam bentuk model matematika. ILP merupakan metode matematis untuk memaksimalkan profit dan meminimalisasi cost berdasarkan sebuah model matematis yang melibatkan variabel-variabel yang bertipe integer yang direpresentasikan dalam suatu bentuk hubungan yang bersifat linear. Program Integer (integer linear programming/ilp) pada intinya berkaitan dengan program-program linier dimana beberapa atau semua variabel memiliki nilai-nilai integer (bulat) atau diskrit. Model matematis dari pemrograman bulat sebenarnya sama dengan model linear programming dengan tambahan batasan bahwa variabelnya harus bilangan bulat.

4 23 Integer linear programming muncul karena dalam kenyataannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan, melainkan bilangan bulat. Misalnya jika variabel keputusan yang dihadapi berkaitan dengan banyaknya mesin, orang dan sebagainya. Secara sederhana model linear programming dengan pembatas tambahan berupa variabelnya bernilai integer disebut sebagai model integer programming(ip). 3.3 Jenis-jenis Program Integer Terdapat tiga jenis Program Integer, yaitu sebagai berikut: 1. Program Integer Murni (Pure Integer Programming), yaitu program linier yang menghendaki semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat non-negatif; 2. Program Integer Campuran (Mixed Integer Programming), yaitu program linier yang menghendaki beberapa, tetapi tidak semua variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat non-negatif; 3. Program Integer Biner (Zero One Integer Programming), yaitu program linier yang menghendaki semua variabel keputusan harus bernilai 0 dan 1. Bentuk umum program integer murni sebagai berikut: menentukan x j,j =1, 2,...,n Maksimumkan atau Minimumkan Z = c j x j (3.1) j=1 Batasan (constraint) aj x j ( = )b (3.2) x j 0, dan x j bilangan bulat untuk j =(1, 2,...,n)

5 24 dimana: Z x j c j a j b = Fungsi tujuan = Variabel keputusan = Koefisien fungsi tujuan = Koefisien batasan (constraint) = Nilai ruas kanan Bentuk (3.1) dan (3.2) merupakan bentuk umum dari program integer murni. Jika dari bentuk (3.1) x j bilangan bulat, untuk j =1, 2,...,k dengan k = n, maka dinamakan bentuk umum dari program integer campuran (mixed integer programming). Program integer campuran merupakan program integer tapi variabel keputusannya tidak semua merupakan bilangan bulat ada variabel keputusan yang bernilai pecahan. Bentuk umum dari masalah Program Integer Biner adalah sebagai berikut: menentukan x j,j =1, 2,...,n Maksimumkan atau minimumkan Z = c j x j (3.3) j=1 Batasan (constraint) aj x j ( = )b (3.4) x j 0, dan x j 0, 1 untuk j=(1,2,...,n) dimana: Z x j c j = Fungsi tujuan = Variabel keputusan = Koefisien fungsi tujuan

6 25 a j b = Koefisien batasan (constraint) = Nilai ruas kanan Dalam hal ILP yang hanya terdiri dari variabel-variabel biner sering disebut dengan permasalahan pemrograman bilangan bulat biner (binary integer programming). Bilamana variabel-variabelnya berupa bilangan bulat dan biner (nol satu), maka masalah program linear ini disebut dengan program linear bilangan bulat nol satu. Dalam kehidupan sehari-hari banyak aplikasi penggunaan program bilangan bulat salah satunya adalah masalah penjadwalan atau penugasan shift karyawan. Program tersebut biasanya digunakan untuk pengambilan keputusan. Bernilai 1 berarti harus melakukan suatu pekerjaan dan bernilai 0 berarti harus menolak suatu pekerjaan. Dalam bidang permasalahan yang lain penggunaan ILP dihadapkan pada pengambilan sejumlah keputusan ya-tidak saling berhubungan. Dalam hal ini hanya ada 2 pilihan kemungkinan penyelesaian ya atau tidak. Contoh sederhana dari permasalahan tersebut adalah adanya pengambilan keputusan untuk membangun proyek atau tidak, menjadwalkan penggunaan suatu mesin tertentu untuk menyelesaikan suatu pekerjaan atau tidak, melakukan penanaman modal atau tidak, dan lain-lain. Dengan adanya dua pilihan penyelesaian ini, peubah keputusan yang digunakan dapat dibatasi pada 2 nilai tertentu saja, misal nol dan satu. Jadi keputusan ya atau tidak ke-i akan dinyatakan dengan x i sedemikian sehingga 1, jika keputusan ke-i adalah ya x i = 0, jika keputusan ke-i adalah tidak.

7 BAB 4 PEMBENTUKAN MODEL 4.1 Lingkungan Aplikasi Model Model Penjadwalan personil dalam penelitian ini diasumsikan bagi perusahaan yang beroperasi selama 24 jam. Permasalahan yang sering dihadapi dalam industri sering kali muncul dalam optimasi bidang sumberdaya manusia yang dalam hal ini adalah personil. Tidak hanya terkait mengenai personil, penjadwalan juga akan mempengaruhi produktivitas manajemen perusahaan. Penjadwalan personil dalam penelitian ini adalah suatu aktivitas yang berhubungan dengan pengalokasian tugas - tugas personil pada perusahaan dalam rangka memenuhi persyaratan internal dan eksternal namun juga dapat mencapai kepuasan kerja bagi personil, dengan memperhatikan aspek sebagai berikut: personil, shift,hari dan lokasi. Tiap-tiap personil dialokasikan pada suatu shift setiap hari. Personil yang mendapat tugas pada shift yang telah ditentukan perusahaan. Shift kerja dibagi menjadi tiga yaitu shift pagi ( ), shift sore ( ), shift malam ( ). Selain tugas yang diberikan personil sebagai kewajiban yang harus dilaksanakan, personil juga berhak mendapat hari libur. Tujuan hari libur bagi personil untuk keperluan istirahat, pemulihan dari kelelahan dan sosialisasi personil untuk kehidupan sosialnya. Dalam penelitian ini personil berhak atas 2 hari libur dalam seminggu. Kebutuhan jumlah personil dalam setiap shift pada tiap hari dan tiap lokasi harus terpenuhi. 4.2 Notasi Model Definisi notasi yang akan digunakan dalam pengembangan model ini adalah sebagai berikut: indeks, meliputi: i i = Harikerja =(1, 2,...I) terdapat 31 hari kerja dimana (i) adalah hari kesekian 26

8 27 j = Shift kerja j =(1, 2, 3) 1 = Shift pagi ( ) 2 = Shift sore ( ) 3 = Shift malam ( ) k = Personil k =(1, 2,...,K) l = Lokasi kerja (1, 2,...,L) D jkl C ijkl = Banyaknya personil k yang bekerja pada shift j dihari i dan lokasi l = Pembobotan preferensi untuk masing-masing personil k di shift j hari i dan lokasi l Untuk menyederhanakan masalah yang mempermudah pemodelan berikut ini asumsi-asumsi yang dipakai dalam fungsi kendala: 1. Personil bekerja tidak lebih dari satu shift dalam sehari; 2. Waktu tunggu antar pergantian shift shift kerja diabaikan. Artinya personil lebih awal datang sebelum shift kerjanya; 3. Permintaan personil akan hari libur tertentu dalam jadwal diabaikan; 4. Personil bekerja 5 hari dalam seminggu. Hal ini berdasarkan UU No.13 Tahun 2003 tentang ketenagakerjaan pasal 77 ayat 2 point b, yang berbunyi ketentuan waktu kerja, delapan jam perhari dan empat puluh jam perminggu untuk lima hari kerja dalam satu minggu; 5. Tidak ada lembur dalam pemodelan. 4.3 Variabel Keputusan Untuk mendapatkan model penjadwalan personil pada penelitian ini menggunakan metode Integer Linear Programming:

9 28 Variabel keputusan dalam penelitian ini berupa bilangan integer 0 atau 1. Masalah integer 0-1 berkaitan pada situasi dimana variabel keputusannya adalah ya atau tidak. Penelitian ini mencari keputusan optimal dijadwalkan atau tidaknya seorang personil pada hari ke (i), shift ke (j)dan lokasi ke (l). Sehingga variabel keputusan dalam formulasi integer linear programming ini yaitu x ijkl 1, jika personil k bekerja pada shift j pada hari i dan dilokasi l. x ijkl = 0, selainnya. 4.4 Formulasi Model Penjadwalan personil dalam tesis ini dimodelkan sebagai berikut: Maksimum: Z = i I c ijkl x ijkl (4.1) j J k K l L Fungsi kendala: x ijkl =5 j =1, 2,...,J l =1, 2,...,L (4.2) i=1 k=1 x ijkl = D jl i =1, 2,...,I j =1, 2,...,J l =1, 2,...,L (4.3) k=1 x ijkl =1 i =1, 2,...,I l =1, 2,...,L k =1, 2, 3,...,K (4.4) j=1 x i3k + x i1(k+1) 1 i =1, 2,...,I k =1, 2,...,K l =1, 2,...,L (4.5) x jkl {0, 1} (4.6) 1. Fungsi tujuan (4.1) dari formulasi diatas adalah memaksimumkan kepuasan kerja personil pada perusahaan, diharapkan dapat meningkatkan kinerja dari tiap-tiap personil namun tetap memenuhi peraturan perusahaan;

10 29 2. Kendala (4.2) berfungsi untuk membatasi jumlah hari kerja yang ditugaskan kepada masing-masing personil k menjamin bahwa setiap personil bekerja 5 hari berturutan dalam seminggu. Diambil 5 hari kerja dalam seminggu berdasarkan UU No.13 Tahun 2003 tentang ketenagakerjaan pasal 77 ayat 2 point b, yang berbunyi ketentuan waktu kerja, delapan jam perhari dan empat puluh jam perminggu untuk lima hari kerja dalam satu minggu; 3. Kendala (4.3) Batasan ini memenuhi kebutuhan jumlah personil sama dengan banyaknya personil k yang bekerja pada shift j di hari i dan lokasi l 4. Kendala (4.4) berfungsi untuk memastikan bahwa setiap personil k hanya mendapat satu shift j untuk tiap hari i; 5. Kendala (4.5) menjamin bagi setiap personil k yang bekerja pada shift j malam tidak ditugaskan lagi pada shift pagi pada hari esoknya. sehingga personil dapat bertugas secara optimal; 6. Kendala (4.6) berfungsi memastikan bahwa batasan taknegatif dan integer.

11 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Penjadwalan personil pada penelitian ini dimodelkan dengan metode Integer Linear Programming (ILP) dengan fungsi tujuan memaksimalkan kepuasaan kerja serta memenuhi batasan perusahaan dengan tidak melanggar undang-undang ketenagakerjaan yang berlaku, sehingga penjadwalan personil dapat menempatkan personil yang tepat pada waktu yang tepat dengan biaya yang dapat diminimalkan perusahaan namun tingkat kepuasaaan kerja personil juga dapat tercapai sehingga menghasilkan penjadwalan yang optimal. 5.2 Saran Model penjadwalan ini dapat dikembangkan dengan menambahkan batasan (kendala) dengan tujuan yang diinginkan seperti: kinerja kerja, setres kerja, biaya operasional, dan lain-lain. 30