BAB III SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS

Transkripsi

1 BAB III SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS A. Metode Simpleks Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam tabel. Dalam metode simpleks yang diperbaiki, setiap perpindahan tabel baru tidak semua elemen diperlukan. Informasi yang sangat diperlukan untuk berpindah dari satu tabel ke tabel berikutnya adalah : () Nilai pada baris Zj Cj. (2) Kolom kunci (variabel yang akan masuk basis). (3) Variabel basis. (4) Nilai konstanta ruas kanan (bi) yang berkorespondensi dengan variabel basis. Selain keempat informasi tersebut, sebenarnya yang lain tidak diperlukan (tidak memiliki peran) dalam proses perpindahan tabel simpleks. Jika persoalan linier program cukup besar, hal ini akan menjadi tidak efisien jika membawa semua elemen ke dalam tabel berikutnya. Cara yang lebih efisien yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan seperti diatas adalah dengan metode simpleks yang diperbaiki atau simpleks multiplier. Matriks dari bentuk standar linier program adalah sebagai berikut : di mana, Maksimum Z = c x dk Ax x = b i A = (m x m) a a 2. a n a 2.. a a 2n a m a m2. a mn b x b 2 x b x = 2 i = (m x ).. (n x ) b i x n dan, c = ( x n) [ c, c 2,.c n ] Teknik Riset Operasi- GRR Page 4

2 Misalkan kolom yang berkorespondensi dengan matriks (A) dinyatakan dengan : Y, Y2,, Yn, di mana, a a 2 a n a 2 a 22 a 2n Y = (m x ).. ; Y 2 = (m x ).. ; Y 3 = (m x ) a m a m2 a mn Misalkan kita memiliki variabel basis x, x2,, xm, maka matriks basisnya adalah : B = Y, Y 2, Y m = (m x n) a a 2. a m a 2 a 22. a 2m a m a m2. a mm B invers = B - B B 2. B m B 2 B 22. B 2m B m B m2. B mm Misalkan vektor (B) dipecah menjadi B = (n x ) B B N di mana B berkorespondensi dengan variabel basis, dan BN merupakan variabel nonbasis, maka : b x m+ b 2 x B m+2 = B (m x ).. dan N = (n - mx) b m x m+n Teknik Riset Operasi- GRR Page 5

3 dengan demikian solusi basis optimum adalah : B I = B - = b i B b + B 2b B mb m B 2 b + B 22 b B 2m b m B m b + B m2 b B mm b m Misalkan CB merupakan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis, maka fungsi tujuan dari variabel basis adalah : Z = Cx = C B B I = c b + c 2b c mb m Untuk menguji apakah solusi telah optimum, perlu dihitung simpleks multiplier (π) = CBB -. Koefisien fungsi tujuan yang baru = ĉj = πyi cj. Oleh karena fungsi tujuan berbentuk maksimum, maka solusi optimum akan dicapai apabila ĉj. Jika solusi belum optimum, maka pilih salah satu nilai ĉj yang memiliki negatif terbesar, sebagai variabel masuk basis. Sedangkan variabel yang akan keluar basis perlu ditentukan kolom pivot dengan menggunakan rumus berikut : Y jn = B - Y jn = â n â 2n.... â mn Setelah itu uji perbandingan minimum untuk menentukan variabel yang akan keluar basis dengan rumus : b 2 b 2 = Minimum, untuk, i =,2,, m. â 2n â 2n Proses ini diulangi sampai solusi optimum tercapai. Teknik Riset Operasi- GRR Page 6

4 Contoh : Penyelesaian LP dengan Rivised Simpleks, pada prinsipnya sama dengan metode simpleks terdahulu. Akan tetapi kita hanya menghitung informasi yang penting saja pada setiap perpindahan tabel baru. Maksimum Z = 4X + 25X2 + S + S2 Dk. [] 3X + 2X2 + S = [2] 8X + 2X2 + S2 = [3] 2 Untuk melihat hasil perhitungan dengan Rivised Simpleks, terlebih dahulu kita akan selesaikan dengan metode simpleks biasa, sebagai perbandingan. CB Basis b i C j 4 25 X X 2 S S 2 Indeks S :3=5 S :8=25 CB Z j -C j Basis C j 4 25 b i X X 2 S S 2 Indeks S 75 5/4-3/8 75:,25=6 4 X 25 ¼ /8 25:,25= CB Z j-c j -5 5 Basis b i C j 4 25 X X 2 S S 2 25 X 2 6,8 -,3 4 X -,2,2 Z j -C j 9 2,5 Indeks Solusi optimum permasalahan diatas adalah X =, X2 = 6 dengan nilai Z =.9. Dalam rivised simpleks, tidak semua angka yang terdapat dalam tabel diatas kita perlukan. Jika, kolom X, X2, S dan S2 kita kita sebut Y, Y2, Y3 dan Y4. Konstanta nilai kanan kita sebut bi, dan koefisien fungsi tujuan kita sebut C, C2, C3, dan C4, maka angka-angka tersebut dapat dibuat sebagai berikut : Y = b i = , Y 2 =, Y 3 =, Y 4 =. 2 ; C = [4], C 2 = [25], C 3 = [], C 4 = []. Teknik Riset Operasi- GRR Page 7

5 Sehingga tabel awal metode rivesed simpleks adalah : basis B - b i S 5 S 2 2 Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks Dalam tabel variabel basis adalah S dan S2 dengan koefisien fungsi tujuan C3 dan C4. Simpleks multiplier = π = CBB -, dimana CB = [C3,C4] = [,]. Simpleks multiplier = π = [,] = [,] C = π Y C = [,] 3-4 = C 2 = π Y 2 C 2 = [,] 2-25 = Oleh karena C memiliki angka negatif terbesar, maka X masuk basis (menjadi kolom kunci). Untuk menentukan variabel yang akan keluar basis (baris kunci) adalah memilih angka terkecil dari (aturan perbandingan minimum) bi : Y. Minimum = b i Y : = S S 2 Keluar basis Pada tabel berikutnya, variabel basis menjadi S dan X, oleh karena itu matriks basis berubah menjadi : 3 B = [Y 3,Y ] = 8 Invers matriks basisnya adalah : B - = x = x3 8 Berdasarkan teori matriks, setiap nilai pada tabel berikutnya dapat diperoleh dengan mengalikan kolom persamaan asal dengan invers matriks basisnya. 3 b i = B S b i = = X Perhitungan diatas menghasilkan tabel kedua simpleks yang diperbaiki berikut : Teknik Riset Operasi- GRR Page 8

6 basis B - b i S -3/8 75 X /8 25 Apakah tabel dua tersebut sudah optimum? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perlu dihitung nilai Cj baru yang berkorespondensi dengan variabel non basis yaitu X2 dan S2 sebagai berikut. Simpleks multiplier = π = CBB -, dimana CB = [,4]. π = [,4] 3 8 = [,5] 8 C 2 = π Y C = [,5] 2-25 = C 4 = π Y 2 C 2 = [,5] - = 5. Tabel akan optimum apabila nilai Cj. Berarti tabel 2 belum optimum, karena nilai C2 yang baru masih negatif 5 yang berkorespodensi dengan variabel keputusan X2. Pada tabel selanjutnya X2 masuk basis (kolom kunci). Untuk menentukan variabel mana diantara S minimum bi : Y2. dan X yang akan keluar basis (baris kunci), dipilih dari hasil Nilai vektor kolom baru yang berkorespondensi dengan X2 adalah Y2 = B - Y2. Y 2 = = 8 4 Variabel yang akan keluar basis adalah : b i Y 2 75 Minimum = : = 4 S X Keluar basis Variabel basis yang baru menjadi X2 dan X, dan menghasilkan matriks basis seperti berikut : 2 3 B = [Y 2,Y ] = 2 8 Invers matriks basisnya adalah : Teknik Riset Operasi- GRR Page 9

7 B - = = 2x8 2x Nilai konstanta ruas kanan yang baru (bi) untuk tabel berikutnya adalah : b i = B - b i = X 2 = 2 X 5 5 Hasil perhitngan diatas dapat dibuat dalam tabel simpleks yang diperbaiki seperti berikut ini : Tabel 3. Tabel ketiga simpleks diperbaiki basis B - b i X 2 4/5-3/ 6 X -/5 /5 Apakah tabel tiga tersebut sudah optimum? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perlu dihitung nilai Cj baru yang berkorespondensi dengan variabel non basis (S dan S2). Simpleks multiplier = π = CBB -, dimana CB = [25,4]. π = [25,4] = [2;,5] C 3 = π Y 3 C 3 = [2;,5] - = 2. C 4 = π Y 4 C 4 = [2;,5] - =,5. Tabel akan optimum apabila nilai Cj. Oleh karena nilai baru dari C3 dan C4 yang baru positif 2 dan,5, maka tabel 3 adalah optimum, dengan nilai X dan X2 masing-masing adalah dan 6. Sehingga nilai Z maksimum adalah 4() + 25(6) =.9. Solusi optimum metode simpleks diperbaiki sama dengan solusi optimum metode simpleks biasa. Akan tetapi penggunaan metode simpleks yang diperbaiki jauh lebih efisien jika dikerjakan secara manual. Teknik Riset Operasi- GRR Page 2

8 Contoh 2 : Maximum Z = 5X + 8X2 + S + S2 - MA - MA2 Dk. [] X + S = 4 [2] X 2 - S 2 + A = 2 [3] X + X 2 + A 2 = 5 [4] X, X 2, S, S 2, A, A 2 Misalkan Y,, Y6 menunjukkan kolom yang berkorespondensi dengan X, X2, S, S2, A, A2 dan bi berkorespondensi dengan konstanta ruas kanan, maka : 4 Y =, Y 2 =, Y 3 =, Y 4 =, Y 5 =, Y 6 =, dan b i = 2 5 Variabel basis awalnya adalah S, A dan A2, sehingga tabel awal simpleks yang diperbaiki adalah sebagai berikut : Tabel. Tabel awal simpleks diperbaiki basis B - b i S 4 A 2 A 2 5 Variabel manakah yang masuk basis? Karena fungsi tujuan berbentuk maximum, maka variabel yang memiliki nilai Cj negatif terbesar adalah variabel yang akan masuk basis. Simpleks multiplier = π = CBB -, dimana CB = [,-M,-M] π = [,-M,-M] = [,-M,-M] C j = π Y j C j. C = [,-M,-M] 2. C 2 = [,-M,-M] - 5 = - M 5-8 = - 2M 8 Teknik Riset Operasi- GRR Page 2

9 3. C 3 = [,-M,-M] - = 4. C 4 = [,-M,-M] - = M 5. C 5 = [,-M,-M] - (-M) = 6. C 6 = [,-M,-M] - (-M) = C2 menghasilkan angla negatif terbesar yaitu 2M 8, oleh karena itu variabel X2 masuk basis. Variabel manakah diantara S, A dan A2 yang akan keluar basis? adalah hasil minimum dari bi : Y2, atau Minimum = 4 2 : = S A Keluar basis A 2 Pada tabel pertama variabel basisnya adalah S, A dan A2 yang berarti matriks basisnya adalah Y3, Y5, dan Y6 atau : baris B = baris 2 baris 3 Untuk mencari invers matriks basis (B - ) dapat dilakukan dengan operasi pivot, di mana kolom pivotnya adalah kolom Y2.. Kalikan baris 2 dengan nol, kemudian hasilnya tambahkan dengan baris. Baris 2 = [ ] x = [ ] Baris = [ ] Nilai baru = [ ] + 2. Bagi baris 2 dengan satu. Baris 2 = [ ] : = [ ] 3. Kalikan baris 2 dengan minus satu, kemudian hasilnya tambahkan dengan baris 3. Teknik Riset Operasi- GRR Page 22

10 Baris 2 = [ ] x = [ - ] Baris 3 = [ ] + Nilai baru baris 3 = [ - ] Dengan demikian, B - = Nilai konstanta ruas kanan yang baru dapat dicari dengan cara : b i = B - b i 4 4 S b i = 2 = 2 X A 2 Hasil perhitungan di atas dapat dibuat dalam tabel kedua simpleks diperbaiki seperti berikut : Tabel 2. Tabel kedua simpleks diperbaiki basis B - b i S 4 X 2 2 A 2-3 Apakah tabel 2 tersebut sudah optimum?, lihat proses berikut ini : Simpleks multiplier = π = CBB -, dimana CB = [,8,-M] [,8,-M] = [, 8+M, -M] B. Metode Dual Simpleks Prosedur perhitungan yang dibicarakan sejauh ini bergerak dari solusi dasar layak yang belum optimum ke solusi layak yang lain. Apakah proses tersebut akhirnya akan mencapai suatu solusi layak optimum, adalah tergantung pada kemampuan untuk mendapatkan suatu solusi dasar awal yang layak. Dalam kaitan ini, artificial variabel kadang-kadang digunakan untuk menemukan solusi awal layak. Jika formulasi LP mengandung sejumlah besar artificial variable, maka membutuhkan banyak perhitungan untuk memperoleh solusi awal layak. Teknik Riset Operasi- GRR Page 23

11 Karena itu, akan dijelaskan suatu prosedur perhitungan yang memberikan suatu solusi layak optimum, meskipun solusi awalnya tidak layak. Prosedur itu dinamakan dual simplex algorithm yang pertama kali disusun oleh Lemke. Algoritma ini tidak banyak digunakan di antara program-program komputer yang ada. Namun ia memainkan peranan penting dalam post optimality analysis. Berikut ini disajikan contoh bagaimana metode itu bekerja : Contoh : Minimumkan Z = 4X + 2X2 Dengan s yarat 3X + X2 27 X + X2 2 X + 2X2 3 X ; X2 Langkah pertama adalah mengubah semua kendala menjadi pertidaksamaan (agar tidak membutuhkan artificial variable) dan kemudian tambahkan variabel slack. Sehingga diperoleh : Minimumkan Z = 4X + 2X2 Dengan syarat - 3X - X2 + S X - X2 + S2-2 - X - 2X2 + S3-3 X, X2, S, S2, S3, Jika bentuk baku di atas diekspresikan sebagai suatu tabel simplex awal, maka akan terlihat bahwa variabel slack (S, S2, S3) tidak memberikan solusi awal layak. Karena ini merupakan masalah minimisasi sementara semua koefisien pada persamaan Z adalah, maka solusi awal S=-27, S2=-2, S3=-3 adalah optimum tetapi tak layak. Masalah ini merupakan c iri khas dari mas alah yang dapat diselesaikan dengan metode dual simplex. Tabel solusi awal optimum tapi tak layak adalah : Teknik Riset Operasi- GRR Page 24

12 Tabel. Tabel Awal Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks Basis X X2 S S2 S3 Solusi Z S S2 S Seperti dalam metode simplex, metode ini didasarkan pada optimality and feasibility condition. Optimality condition menjamin bahwa solusi selalu tetap optimum, s ementara feasibility condition memaks a solusi dasar menc apai ruang layak. Feasibility Condition : leav ing variable adalah v ariabel basis yang memiliki nilai negatif terbesar (nilai kembar dipilih secara sembarang). Jika semua variabel basis non negatif, proses berakhir dan solusi layak yang telah optimum tercapai. Optimality Condition : entering v ariable dipilih dari v ariabel non basis dengan cara seperti berikut. Buat rasio antara koefisien pers amaan Z dengan koefisien persamaan yang berhubungan pada leaving variable. Abaikan rasio dengan penyebut positif atau nol. Bagi masalah mini mis asi, entering variable adalah salah satu yang memiliki ras io terkecil, atau absolut rasio terkecil untuk mas alah maksimisasi (rasio kembar dipilih sec ara s embarang). Jika semua penyebut adalah nol atau positif, berarti masalah itu tidak memiliki solusi layak. Setelah memilih entering and leav ing variable, metode Gauss Jordan (operasi baris) diterapkan seperti biasa untuk memperoleh solusi berikutnya. Leaving variable pada Tabel adalah S3 (=-3), karena ia memiliki nilai negatif terbesar. Untuk menentukan entering v ariable, rasionya diperoleh dengan cara berikut : Variabel X X2 S S2 S3 Persamaan Z Persamaan S Ras io 4 Teknik Riset Operasi- GRR Page 25

13 Entering v ariable adalah X2 karena ia memiliki ras io terkecil yaitu. Dengan menerapkan operasi baris seperti biasa diperoleh tabel berikut : Tabel 2. Iterasi Pertama Basis X X2 S S2 S3 Solusi Z S - 2,5 -/2-2 S2 - /2 - /2-6 X2 /2 - /2 5 Solusi baru mas ih optimum tetapi tak layak (S=-2, S2=-6). Kemudian S dipilih sebagai leav ing v ariable dan X sebagai entering v ariable. Ini memberi- kan iterasi seperti berikut : Tabel 3. Iterasi Kedua Basis X X2 S S2 S3 Solusi Z -,2 -,4 44,4 X -,4,2 4,8 S2 -,2 -,4-3,6 X2 -,2 -,6 2,6 Pada iterasi kedua belum diperoleh solusi layak (S2 = - 3,6). Karena S2 adalah satu- satunya yang bernilai negatif, dengan sendirinya ia menjadi leaving variabel dan S3 sebagai entering variabel, ini memberikan iterasi seperti berikut : Tabel 4. Iterasi Ketiga Basis X X2 S S2 S3 Solusi Z X - /2 /2 3 S3 /2-2,5 9 X2 /2 -,5 8 Tabel Iterasi Ketiga merupakan tabel optimum dan layak dengan nilai fungsi tujuan adalah 48. Teknik Riset Operasi- GRR Page 26

14 C. Metode Simpleks Primal Maksimumkan : Z = 4X + 3X 2 + 5X 3 Batasan :. 6X + 4X 2 + X X + 7X 2 + 3X X + 5X 2 + 2X X, X 2, X 3 Langkah-langkah penyelesaian dengan metode simpleks primal:. Merubah model matematika menjadi bentuk baku simpleks dengan cara menambahkan batasan dengan variable slack pada pertidaksamaan lebih kecil sama dengan atau mengurangi dengan variable surplus pada pertidaksamaan lebih besar sama dengan. + variable slack pada batasan - Variable surplus pada batasan Bentuk baku simpleks: Maksimumkan : Z - 4X - 3X 2-5X 3 S - S 2 S 3 = Batasan :. 6X + 4X 2 + X 3 + S = X + 7X 2 + 3X 3 + S 2 = 6 2. Buat tabel awal simpleks 3. 4X + 5X 2 + 2X 3 + S 3 = 24 Dasar Z X X 2 X 3 S S 2 S 3 Pemecahan Rasio Z S S S Teknik Riset Operasi- GRR Page 27

15 3. Tentukan kolom masuk. Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks Pada kasus maksimalisasi, kolom masuk merupakan nilai negatif terbesar pada persamaan Z atau baris Z pada table simpleks, sehingga X 3 merupakan kolom masuk. 4. Tentukan kolom keluar atau persamaan pivot. Merupakan nilai positif terkecil dari rasio antara pemecahan dengan elemen pada kolom masuk, sehingga: Pemecahan Kolom masuk (X 3 ) Rasio 32 32/ = /3 = /2 = 2 Variable nondasar X 3 akan menggantikan variable dasar S 3 pada table simpleks iterasi pertama. 5. Tentukan elemen pivot. Merupakan angka pada perpotongan kolom masuk dan kolom keluar, sehingga elemen pivot = Mencari persamaan pivot baru. Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama / elemen pivot Persamaan Pivot lama (a) Elemen pivot (b) Persamaan pivot baru (a/b) /3 5/2 / Mencari persamaan variable dasar baru. Pada kasus diatas yang merupakan variable dasar adalah Z, S, dan S 2. Variable dasar baru = variable dasar lama (elemen kolom masuk x persamaan pivot baru. Teknik Riset Operasi- GRR Page 28

16 a. Persamaan Z baru: Solusi Grafik dan Metode Primal Simpleks Persamaan Z lama (a) Elemen kolom masuk pada variable dasar Z (b) Persamaan pivot baru (c) /3 5/2 /2 2 b x c = (d) -5/3-25/2-5 -5/2 - Persamaan Z baru (a-d) -7/3-55/6 25/6 b. Persamaan S baru: Persamaan S lama (a) Elemen kolom masuk pada variable dasar S (b) Persamaan pivot baru (c) /3 5/2 /2 2 b x c = (d) /3 5/2 /2 2 Persamaan S baru (a-d) 7/3 43/2 -/2 3 c. Persamaan S2 baru: Persamaan S 2 lama (a) Elemen kolom masuk pada variable dasar S 2 (b) Persamaan pivot baru (c) /3 5/2 /2 2 b x c = (d) 5/4 3 /4 6 Persamaan S 2 baru (a-d) 5 23/4 -/4 8. Table simpleks iterasi pertama: Dasar Z X X 2 X 3 S S 2 S 3 Pemecahan Rasio Z -7/3-55/6 25/6 S 7/3 43/2 -/ S /4 -/4 2 X 3 /3 5/2 / Kondisi optimum pada kasus maksimalisasi diperoleh ketika persamaan Z atau baris Z tidak memilik angka yang bernilai negative. Apabila kondisi optimum belum diperoleh maka kembali ke langkah 3. Teknik Riset Operasi- GRR Page 29

17 Pemecahan Kolom masuk (X 3 ) Rasio 3 7/ /3 6. Elemen pivot = 5. Persamaan pivot baru Persamaan Pivot lama (a) 5 23/4 -/4 Elemen pivot (b) Persamaan pivot baru (a/b) 23/2 /5 -/ Persamaan variabel dasar baru a. Persamaan Z baru Persamaan Z lama (a) -7/3-55/6 25/6 Elemen kolom masuk pada variable dasar Z (b) -7/3-7/3-7/3-7/3-7/3-7/3-7/3-7/3 Persamaan pivot baru (c) 23/2 /5 -/2 2 b x c = (d) -7/3-6/6-4/3 7/6-4/3 Persamaan Z baru (a-d) 53/3 4/3 3 44/3 b. Persamaan S baru Persamaan S lama (a) 7/3 43/2 -/2 3 Elemen kolom masuk pada variable dasar S (b) 7/3 7/3 7/3 7/3 7/3 7/3 7/3 7/3 Persamaan pivot baru (c) 23/2 /5 -/2 2 b x c = (d) 7/3 39/6 7/5-7/6 34/3 Persamaan S baru (a-d) -44/5-7/5 /5 56/3 c. Persamaan X 3 baru Persamaan X 3 lama (a) /3 5/2 /2 2 Elemen kolom masuk pada variable dasar X 3 (b) /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 Persamaan pivot baru (c) 23/2 /5 -/2 2 b x c = (d) /3 23/6 /5 -/6 2/3 Persamaan X 3 baru (a-d) /3 -/5 / 4/3 Teknik Riset Operasi- GRR Page 3

18 3. Table simpleks iterasi kedua - optimum Dasar Z X X 2 X 3 S S 2 S 3 Pemecahan Z 53/3 4/3 3 44/3 S -44/5-7/5 /5 56/3 X 23/2 /5 -/2 2 X 3 /3 -/5 / 4/3 4. Table simplek iterasi kedua diatas sudah optimum karena variable nondasar pada persamaan Z sudah bernilai positif, sehingga: X = 2 X 3 = 4/3 Z = 44/3 5. Pada table optimum S 2 dan S 3 =. Artinya persediaan sumber daya kedua dan ketiga habis digunakan, tetapi masih memiliki sumber daya pertama (S ) sebesar 56/3 karena tidak digunakan. Teknik Riset Operasi- GRR Page 3

19 Teknik Riset Operasi- GRR Page 32

20 Teknik Riset Operasi- GRR Page 33