ANALISIS POSTOPTIMAL/SENSITIVITAS

Transkripsi

1 ANALISIS POSTOPTIMAL/SENSITIVITAS Dalam sub bab ini kita akan mempelajari apakah solusi optimal akan berubah jika terjadi perubahan parameter model awal. Jika solusi optimal berubah, dapatkah kita menghitung solusi optimal baru tanpa harus menyelesaikan permasalahan secara lengkap sebagai permasalahan baru? Kita akan temukan dalam banyak kasus, solusi optimal baru dapat diperoleh tanpa usaha perhitungan tambahan yang terlalu banyak. Dasar analisis optimal terletak pada penyelidikan tabel simpleks umum dalam bentuk matriks. Perubahan parameter model awal dapat mempengaruhi optimalitas maupun kelayakan. Perubahan yang terjadi dan pengaruhnya terhadap optimalitas dan kelayakan adalah sebagai berikut: 1. Perubahan yang hanya mempengaruhi optimalitas: a. Perubahan pada koefisien fungsi tujuan (C I, C II ). b. Perubahan penggunaan sumber daya aktivitas non basis. c. Penambahan aktivitas baru 2. Perubahan yang hanya mempengaruhi kelayakan: a. Perubahan pada nilai kanan (solusi) b. b. Penambahan batasan baru 3. Perubahan simultan (C I, C II ) dan b akan mempengaruhi baik optimalitas maupun kelayakan. Perhitungan yang dibutuhkan untuk mendapatkan solusi optimal masing-masing kategori di atas adalah: 1. Jika tabel menjadi tidak optimal, gunakan metode primal simpleks sampai diperoleh tabel optimal baru. 2. Jika tabel menjadi tidak layak, gunakan metode dual simpleks sampai solusi layak diperoleh. 3. Jika tabel menjadi tidak optimal sekaligus tidak layak, pertama gunakan primal simpleks tanpa memperdulikan

2 ketidaklayaknnya. Setelah solusi optimal diperoleh, gunakan metode dual simpleks untuk mendapatkan solusi optimal layak. PERUBAHAN YANG MEMPENGARUHI OPTIMALITAS Berdasarkan definisi tabel simpleks umum, perubahan (C I, C II ) hanya membutuhkan perhitungan ulang baris tujuan tabel optimal. Sebagai contoh, model awal permasalahan PL adalah: Maksimumkan z = 2x 1 + 3x 2 Terhadap : 10x 1 + 5x x x x x x 1, x 2 0 Solusi optimalnya adalah: VB X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 solusi z /3 11/ X /3-17/ X /5 20 X /6 2/9 100/3 Setelah beberapa lama, fungsi tujuan berubah menjadi maksimumkan 4x 1 + 4x 2. Perubahan ini dapat mengakibatkan ketidakoptimalan; oleh karena itu, yang harus kita lakukan adalah memeriksa syarat optimal. Dari tabel optimal di atas kita dapatkan: X B = [x 3 x 2 x 1 ] C B = [0 4 4] B -1 = Dari formulasi matematik Plnya kita dapatkan: Y = [y 1 y 2 y 3 ] Maka, Y = C B B -1 = [0 4 4]

3 = [0 2/3 4/45] Berikutnya kita menghitung koefisien baris z untuk vektor yang bukan vektor basis. Dalam hal ini adalah vektor P 4 dan P 5. z 4 c 4 = YP 4 c 4 = [0 2/3 4/45] - 0 = 2/3 z 5 c 5 = YP 5 c 5 = [0 2/3 4/45] - 0 = 4/45 Karena koefisien fungsi tujuan (vektor non basis) semua masih bernilai positif dan fungsi tujuan adalah maksimisasi, maka perubahan koefisien fungsi tujuan tersebut tidak merubah solusi optimal yang sudah ada, yaitu x 1 = 100/3; x 2 =20. Nilai yang berubah hanyalah nilai z, karena perubahan koefisien. Nilai z (keuntungan maksimum) menjadi 4 x 100/3 + 4 x 20 = Perhatikan, jika koefisien fungsi tujuan itu setelah beberapa lama berubah menjadi 3x 1 + 6x 2. Nilai Y berbeda dengan nilai di atas, yaitu: Y = C B B -1 = [0 6 3] = [0 ½ -8/15] Koefisien baris z untuk vektor yang bukan vektor basis ( P 4 dan P 5 ) adalah: z 4 c 4 = YP 4 c 4 = [0 ½ -8/15] - 0 = 1/2 z 5 c 5 = YP 5 c 5 = [0 ½ -8/15] - 0 = -8/15 Berdasarkan perhitungan di atas, tabel menjadi tidak optimal dan vektor P 5 menjadi vektor masuk. Lanjutkan dengan simpleks yang direvisi untuk mementukan solusi optimal. Karena dari perhitungan di atas kita sudah mendapatkan vektor masuk, maka selanjutnya adalah menentukan vektor keluar. X B = B -1 b = = [-6400/ /3] T α 5 = B -1 P 5 = = [-17/9-1/5 2/9] T θ = 1050 Vektor keluar dengan demikian adalah P 1. ξ = [17/2 9/10 9/2] T

4 E = B -1 next = EB -1 Kembali menentukan vektor masuk sekaligus memeriksa syarat optimalitas. Basis pada iterasi ini adalah P 3, P 2 dan P 5. Y = C B B -1 = [0 6 0] Perubahan penggunaan sumber daya oleh aktivitas hanya akan mempengaruhi opimalitas, karena perubahan itu akan mempengaruhi sisi kiri pembatas dualnya. Perubahan penggunaan sumber daya ini kita batasi hanya untuk aktivitas non basis. Perubahan penggunaan sumber daya aktivitas basis akan mempengaruhi invers dan mengarahkan perhitungan yang sangat kompleks. Misalkan untuk kasus di atas, setelah beberapa lama terjadi perubahan penggunaan sumber daya pertama, kedua dan ketiga oleh aktivitas 1 berubah dari 10, 6 dan 8 ke 8, 7 dan 9 secara berturut-turut. Batasan dual yang sesuai untuk perubahan itu adalah: 8y 1 + 7y 2 + 9y 3 2 Faktor terakhir yang akan kita pelajari yang dapat mempengaruhi optimalitas adalah penambahan aktivitas baru. Misalkan untuk kasus di atas, setelah beberapa lama perusahaan memproduksi produk 3 (x 6 ) menggunakan fasilitas produksi yang sama. Model matematik umum PL-nya menjadi: Maksimumkan z = 2x 1 + 3x 2 + x 6 Terhadap : 10x 1 + 5x 2 + 2x 6 600

5 6x x 2 + x x x 2 + x x 1, x 2, x 6 0 Penambahan aktivitas baru sama dengan mengkombinasikan analisis perubahan pada tujuan dan koefisien kendala (penggunaan sumber daya). Kita dapat membayangkan x 6 seolah-olah bagian dari model awal dengan semua koefisien bukan nol, dengan kata lain, x 6 adalah non basis. Hal pertama yang harus kita lakukan adalah memeriksa batasan dual yang sesuai: 2y 1 + y 2 + y 3 1 Karena x 6 berfungsi sebagai variabel non basis pada solusi awal (tabel awal simpleks), maka nilau dual tidak berubah. Oleh karena itu koefisien x 6 dalam tabel optimalnya adalah: 2(0) + 1/3 + 11/45 1 = -19/45 Angka ini menunjukkan bahwa solusi optimal saat ini akan lebih baik jika x 6 bernilai positif. Tabel optimal saat ini dimodifikasi dengan menambahkan satu kolom x 6 dengan koefisien pada baris z-nya adalah - 19/45. Koefisien pembatasnya dihitung dengan cara berikut: B -1 P 6 = (1-5/3-17/9 ( / /6 2/9 1 = [-14/9-1/5 7/18] T Lanjutkan iterasi, maka akan didapatkan seperti tabel simpleks di bawah ini. VB X 1 X 2 X 6 X 3 X 4 X 5 solusi z /45 0 1/3 11/ X /9 1-5/3-17/ X / /5 20 X /18 0 1/6 2/9 100/3 z 38/ /105 17/

6 X X 2 18/ /35-3/ X 6 18/ /14 4/ PERUBAHAN YANG MEMPENGARUHI KELAYAKAN Dua faktor yang dapat mempengaruhi kelayakan solusi tabel simpleks, yaitu perubahan pada nilai kanan (vektor b) dan penambahan pembatas baru. Misalkan untuk kasus di atas (kasus 2.5), jam kerja mesin pertama berubah dari 600 ke 580 menit dan mesin kedua dari 600 ke 575 menit, karena kedua mesin harus mendapatkan perawatan rutin per hari selama 20 dan 25 menit secara berturut-turut. Karena perubahan nilai kanan hanya akan mempengaruhi kelayakan, maka kita akan menghitung nilai X B [x 3 x 2 x 1 ] X B = B -1 b = [ /6] T Karena nilai x 3 dan x 2 menjadi negatif, maka iterasi kita teruskan dengan nilai kanan variabel basis sama nilai X B di atas. VB X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 solusi z /3 11/ /3 X /3-17/ X /5-120 X /6 2/9 1375/6 Z /85-82/ X /17 15/ X /85 3/ X / Tabel sudah optimal pada iterasi pertama. Perubahan yang terjadi pada kasus di atas ada pada ketersediaan sumber daya yang membatasi misalnya karena umur ekonomis mesin

7 sudah berkurang. Bagaimana jika terjadi penambahan batasan baru, misalnya permintaan terhadap produk yang dihasilkan yang tadinya tidak dibatasi menjadi terbatas (baik bataasan =/ / )? Penambahan batasan baru ini juga akan mempengaruhi kelayakan tabel simpleks. Misalkan untuk kasus di atas, setelah beberapa lama perusahaan dapat menjalin kerja sama dengan salah satu distributor. Distributor sudah menyepakati untuk disuplai produk 2 maksimum 50 unit setiap hari. Karena kontrak yang ditandatangani mengatakan bahwa produk 2 hanya akan dijual ke distributor tersebut, maka permasalahan optimasi ini mendapatkan satu kendala baru, yaitu: x 2 50 Batasan baru ini tidak dipenuhi tabel simpleks optimal di atas, dimana pada tabel optimal tersebut nilai x 2 (jumlah produk 2 yang diproduksi supaya optimal) adalah 20 unit. Untuk menyelesaikannya, pertama-tama batasan baru tersebut kita rubah kedalam bentuk bakunya, yaitu: x 2 + x 6 = 50 Nilai x 2 pada persamaan di atas harus digantikan dengan nilai x 2 dari tabel optimalnya, karena x 2 berfungsi sebagai variabel basis pada tabel tersebut. Maka akan diperoleh: 1/5x 5 + x 6 = 30 Tabel simpleksnya menjadi: VB X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 solusi z /3 11/ X /3-17/ X / X /6 2/ /3 X /5 1 30

8 PERUBAHAN YANG MEMPENGARUHI OPTIMALITAS DAN KELAYAKAN Perubahan yang terjadi tidak hanya dapat mempengaruhi optimalitas atau kelayakan secara terpisah, tetapi dapat juga mempengaruhi keduanya secara bersamaan. Perhatikan misalnya kasus di atas, setelah beberapa lama: 1. terjadi perubahan pada koefisien fungsi tujuan menjadi 3x 1 + 6x 2 2. jam kerja mesin pertama berubah dari 600 menit menjadi 580 menit dan mesin kedua dari 600 menit menjadi 575 menit. Kedua perubahan itu menghasilkan tabel simpleks berikut: