BEBERAPA FORMULA PENTING DALAM solusi PROGRAM LINEAR FITRIANI AGUSTINA, MATH, UPI

Transkripsi

1 BEBERAPA FORMULA PENTING DALAM solusi PROGRAM LINEAR

2 Bentuk Standar Masalah PL Maksimasi : dengan pembatas linear () dan pembatas tanda c n n c c z m n mn m m n n n n b a a a b a a a b a a a n j j,,,, 0

3 Apabila diketahui solusi layak optimal untuk masalah PL di atas telah diperoleh, dengan BV j menyatakan BV untuk baris ke-j dari tabel optimalnya. BV = {BV, BV,, BV m } menyatakan himpunan BV dari tabel optimal dan didef: BV BV BV BV m T NBV menyatakan himpunan NBV dari tabel optimal NBV menyatakan vektor berorde ((n m) ) dimana elemen-elemennya merupakan NBV 3

4 c BV merupakan vektor baris berorde ( m) dinyatakan c BV = [c BV c BV c BVm ] c NBV merupakan vektor baris berorde ( (n m)) dimana elemen-elemennya merupakan koefisien fungsi tujuan dari NBV Matriks B berorde (m m) merupakan matriks dimana kolom-kolomnya diisi dengan kolom-kolom BV a j merupakan kolom (dalam pembatas linear bentuk standar) untuk peubah j dalam persamaan (). 4

5 Matriks N berorde (m (n m)) merupakan matriks dimana kolom-kolomnya diisi dengan kolom-kolom NBV. b adalah vektor kolom berorde (m ) merupakan ruas kanan dari pembatas linear dalam persamaan (). 5

6 Permasalahan PL dalam persamaan () dapat dinyatakan sbb: Maksimasi z BV NBV NBV dengan pembatas linear & pembatas tanda B c BV BV () Selanjutnya kalikan pers. () dengan B -, diperoleh B - B BV + B - N NBV = B - b BV + B - N NBV = B - b (3) N X c NBV, BV NBV 0 b 6

7 Berdasarkan (3) diperoleh: o o Kolom untuk j pada tabel optimal adalah B - a j Ruas kanan pada tabel optimal adalah B - b 7

8 Menentukan baris 0/baris z pada tabel optimal berdasar masalah awal PL Selanjutnya apabila pers. (3) dikalikan dengan c BV, diperoleh: c BV BV + c BV B - N NBV = c BV B - b (4) Fungsi tujuan awal adalah z = c BV BV + c NBV NBV z c BV BV c NBV NBV = 0 (5) Selanjutnya penjumlahan dari (4) dan (5) diperoleh: z + (c BV B - N c NBV ) NBV = c BV B - b (6) 8

9 Berdasarkan pers. (6), maka: o Koefisien dari j pada baris 0/baris z dinotasikan dengan c j(baru), dan ditentukan dengan: c j(baru) = c BV B - a j c j o o Ruas kanan pada baris 0/baris z dalam tabel optimal adalah c BV B - b Koefisien slack variable s i pada baris 0 ditentukan dengan: elemen ke-i dari c BV B - o Koefisien surplus variable e i pada baris 0 ditentukan dengan: -(elemen ke-i dari c BV B - ) 9

10 o Koefisien artificial variable a i pada baris 0 ditentukan dengan: (elemen ke-i dari c BV B - ) + M (elemen ke-i dari c BV B - ) M (Ma) (Min) 0

11 Contoh SOAL Untuk masalah PL berikut diperoleh solusi optimal dengan BV = {, }. Tentukan tabel optimalnya. Maksimasi: z = 3 + dengan pembatas linear dan pembatas tanda , 0

12 Penyelesaian: Bentuk standar: Maksimasi: z = 3 + dengan pembatas linear dan pembatas tanda - +s + 0s = s + s = 4,,s,s 0 Diketahui BV adalah dan maka diperoleh bahwa matriks B adalah B

13 3 diperoleh Menentukan kolom s pada tabel optimal: Menentukan kolom s pada tabel optimal: Menentukan ruas kanan tabel optimal 0 a s B B 0 a s B b B

14 Bagian tabel optimal tanpa baris z/baris 0, yaitu 0 0 s s s s 6 0 4

15 Menentukan baris 0/baris z pada tabel optimal Diketahui c BV = [3 ], sehingga Menentukan koefisien s pada baris 0/baris z tabel optimal adalah elemen pertama dari B yaitu 4 Menentukan koefisien s dalam baris 0 tabel optimal adalah elemen pertama dari c BV B yaitu 5 Menentukan ruas kanan dalam baris 0 tabel optimal: c BV B c B BV b c BV 5

16 6 Tabel Optimal untuk masalah PL di atas adalah s s s s s s z

17 ANALISIS SENSITIVITAS (ANALISIS PASCA- OPTIMAL) 7

18 Inti dari analisis pasca-optimal ada dalam penelitian terhadap tabel simpleks umum yang diberikan dalam bentuk matriks. Diketahui masalah PL berikut dalam bentuk standar: Maksimasi / Minimasi z C BV X NBV NBV dengan pembatas linear dan pembatas tanda BV C X B X BV N X b X I, X II 0 NBV 8

19 Analisis sensitivitas akan mempelajari mengenai pengaruh perubahan koefisien fungsi tujuan C BV dan C NBV dan/atau jumlah sumber daya yang tersedia b. Perubahan dalam C BV, C NBV, dan b tidak memiliki pengaruh apapun terhadap B atau B -. Hal pertama yang dilakukan dalam analisis sensitivitas adalah menguji apakah sebuah perubahan tertentu dari (C BV, C NBV ) ke (D BV, D NBV ) dan/atau perubahan dari b ke d akan membuat basis saat ini B optimal dan layak. 9

20 Asumsi tidak ada perubahan pada B, untuk menyelesaikannya maka kita akan mengganti C BV dengan D BV dan b dengan d, kemudian menghitung ulang baris tujuan (gunakan D BV B - ) dan ruas kanan dihitung dengan B - d. Apabila tidak ada satu pun koefisien baris tujuan yang baru tersebut melanggar optimalitas dan koefisien ruas kanan yang baru menjadi negatif, maka B tetap optimal dan layak di nilai yang baru B - d. 0

21 Analisis sensitivitas dapat dimasukkan ke dalam salah satu dari ketiga kategori berikut:. Perubahan dalam koefisien tujuan (C BV, C NBV ) hanya dapat mempengaruhi optimalitas. Perubahan dalam ruas kanan b hanya dapat mempengaruhi kelayakan 3. Perubahan simultan dalam (C BV, C NBV ) dan b dapat mempengaruhi baik optimalitas maupun kelayakan.

22 Perubahan yang mempengaruhi optimalitas Optimalitas dari solusi simpleks dipengaruhi oleh hanya satu dari tiga cara ini:. Koefisien tujuan (C BV, C NBV ) diubah. Penggunaan sumber daya dari sebuah kegiatan nondasar (vektor kolom NBV dalam A) diubah. 3. Sebuah kegiatan baru ditambahkan ke dalam model

23 Perubahan yang mempengaruhi kelayakan Kelayakan dari solusi simpleks dipengaruhi oleh hanya satu dari dua cara ini:. Vektor ruas kanan b diubah. Sebuah pembatas linear ditambahkan ke dalam model 3

24 Perubahan yang mempengaruhi optimalitas dan kelayakan Optimalitas dari solusi simpleks dipengaruhi oleh:. Koefisien tujuan (C BV, C NBV ) dan vektor ruas kanan b diubah 4

25 . Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk NBV. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk BV 3. Perubahan ruas kanan dari pembatas linear 4. Perubahan pada kolom NBV 5. Penambahan peubah baru/aktivitas baru 6. Penambahan pembatas linear 5

26 Contoh Kasus Maksimasi: z = dengan pembatas linear dan pembatas tanda ,5 3 0,, 3 0 +,5 + 0,

27 Tabel optimalnya adalah: BV z X X X3 X4 X5 X6 Solusi Z X X X 0, ,5,5 Berdasarkan tabel di atas diperoleh informasi: BV adalah 4, 3, dan NBV adalah, 5, 6 7

28 Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk NBV Perubahan ini terjadi karena adanya perubahan baik pada kontribusi keuntungan maupun kontribusi ongkos dari kegiatan yang diwakili oleh NBV. Pada contoh di atas satu-satunya peubah keputusan nonbasis adalah. Misalkan koefisien tujuan dari berubah dari menjadi c 30. c 30 Nilai BV akan tetap optimal jika tidak optimal jika ˆ 0 c cˆ 0,dan menjadi 8

29 Nilai koefisien fungsi tujuan baru setelah terjadinya perubahan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus: cˆ BV Berdasarkan tabel optimal diperoleh informasi: sehingga diperoleh nilai : j c B S T BV 3 cˆ B 0 0 0,5 ĉ a j 8 4, c j c BV ,5,5,5 9

30 Agar solusi tetap optimal maka ˆ 0 c 5 0 atau 5 oleh karena itu KLIK 30

31 Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk BV Perubahan ini terjadi karena adanya perubahan baik pada kontribusi keuntungan maupun kontribusi ongkos dari kegiatan yang diwakili oleh BV. Mengubah koefisien fungsi tujuan BV artinya mengubah c BV sehingga koefisien pada baris z dari tabel optimal akan berubah. Misalkan koefisien tujuan dari berubah dari c 60 menjadi c 60 Oleh karena itu c BV akan menjadi c BV

32 Berdasarkan tabel optimal diperoleh informasi: T BV S 3 B c BV B 8 4,5 c BV sehingga diperoleh nilai koefisien NBV: cˆ NBV c BV 0,5 0 B 5 a 0 NBV 3 c NBV cˆnbv

33 Agar solusi tetap optimal maka ˆ 0 c NBV oleh karena itu 4 0 KLIK 33

34 Perubahan ruas kanan dari pembatas linear Misalkan ruas kanan dari pembatas linear ke- berubah dari b 0 menjadi Oleh karena itu b akan menjadi Ruas kanan dari pembatas linear dari tabel optimalnya menjadi: B b 0 0 0,5 b 0 48 b ,5 8 0,5 34

35 Agar solusi tetap layak maka 4 b 4 ˆ 0 oleh karena itu KLIK 35