DUALITAS. Obyektif 1. Memahami penyelesaian permasalahan dual 2. Mengerti Interpretasi Ekonomi permasalahan dual

Transkripsi

1 DUALITAS 3 Obyektif 1. Memahami penyelesaian permasalahan dual 2. Mengerti Interpretasi Ekonomi permasalahan dual Istilah dualitas menunjuk pada kenyataan bahwa setiap Program Linier terdiri atas dua bentuk yaitu primal dan dual. Asumsi dasar yang digunakan adalah masalah primal program linier dinyatakan dalam bentuk standard yaitu : Fungsi Tujuan : N Maksimum Z = CjXj Batasan-batasan N aijxj bi untuk I = 1,2.m Xj 0 untuk j = 1,2,,,n Pemecahan persoalan primal terlihat pada koefisien baris Z pada iterasi tabel optimal. Koefisien Z pada nilai Optimal Teknik Riset Operasi Hal 9

2 Variabel Z X1 X2 Xn S1 S2 Sm q Z 1 C1-z1 C2-Z2 Cn-Zn Y1 Y2. Ym Yo Kondisi optimal adalah apabila semua koefisien pada baris terakhir (Cj Zj) tidak ada yang berharga positif, yakni : Cj Zj 0 ; untuk j = 1,2.,n Yi 0 ; untuk I = 1,2..,m Dengan menggantikan Zj nilai-nilai Yi dapat dicari : Fungsi Tujuan : M Yo = biyi Batasan-batasan M aijyi Cj untuk j = 1,2.m Yj 0 untuk i = 1,2,,,n Bentuk tersebut yang dikenal sebagaidual dari masalah primal. Sebagai konsekuensi nilai Z optimal (maksimum) pada masalah primal adalah nilai Yo minimum pada masalah dual. Teknik Riset Operasi Hal 10

3 Hubungan simetris Primal atau Dual PRIMAL Koefisien X 1 X 2 X n Sisi Kanan Y 1 a 11 a 12 a 1n b 1 Y 2 a 21 a 22 a 2n b 2 Koefisien : : : : : : Fungsi Dual Koefisien : : : : : : Tujuan : : : : : : (Minimisasi) Y m a m1 a m2 a mn b m SisiKanan C 1 C 1 C n Koefisien fungsi tujuan Bentuk tersebut diatas menunjukan hubungan simetris antara primal dan dual, dimana bagian vertical / tegak merupakan bentuk primal, sedangkan bagian mendatar merupakan bentuk dualnya. Bila disimpulkan hubungan tersebut adalah sebagai berikut : 1. Parameter untuk batasan persoalan primal (dual) merupakan koefisien bagi persoalan dual(primal) 2. Koefisien fungsi tujuan/obyektif persoalan primal (dual) adalah sisi kanan dari persoalan dual (primal) diatas. Bila masalah primal dibandingkan dengan masalah dual terlihat beberapa hubungan sebagai berikut : 1. Koefisien fungsi tujuan masalah primal menjadi konstan sisi kanan masalah dual. Sebaliknya, konstan sisi kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual. Teknik Riset Operasi Hal 11

4 2. Tanda pertidak samaan kendala dibalik 3. Tujuan diubah dari minimisasi (maksimisasi) dalam primal menjadi maksimisasi (minimisasi) dalam dual 4. Setiap kolom pada primal berhubungan dengan suatu baris atau kendala dalam dual. Sehingga banyaknya kendala dual sama dengan banyaknya variabel primal. 5. Setiap baris (kendala) pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual.sehingga ada satu variabel dual untuk setiap kendala primal. 6. Bentuk dual dari dual adalah bentuk primal. MASALAH PRIMAL DUAL SIMETRIK Program Linier dikatakan berbentuk Simetrik jika semua variabel dibatasi bernilai non negative dan semua kendala berupa pertidaksamaan ( dalam masalah maksimisasi pertidaksamaannya harus dalam bentuk, sementara dalam minimisasi mereka harus ). Bentuk umum masalah primal dual yang simetrik adalah Primal : Maks = Z = C1X1 + C2X2 +.+CnXn Syarat :a11x1 + a12x2+ +a1nxn b1 a21x1 + a22x2+ +a2nxn b2 am1x1 + am2x2+ +amnxn bm X1,X2 Ym 0 Dual : Min : W = b1y1 + b2y2 +bmym Syarat : a11y1 + a21y2+ +am1ym C1 a12y1 + a22y2+ +am2ym C2 a1ny1 + a2ny2+ +amnym Cn X1,X2.Ym 0 Teknik Riset Operasi Hal 12

5 Aturan umum menuliskan bentuk dual dari suatu Program Linier yang Simetrik diringkas sebagai berikut : a. Misalkan sebuah variabel dual (non negatif) untuk setiap kendala primal. b. Vektor baris koefisien fungsi tujuan primal diiubah menjadi vektor kolom konstan sisi kanan dual c. Vektor kolom sisi kanan primal diubah menjadi vector baris koefisien fungsi tujuan dual d. Transpose koefisien matrik kendala primal menjadi koefisien matriks kendala dual e. Balik arah pertidaksamaan kendala f. Balik arah optimisasi, ubah minimum menjadi maksimum dan sebaliknya. Weak Duality Theorem Nilai fungsi tujuan masalah minimisasi (dual) untuk setiap solusi yang layak selalu lebih besar atau sama dengan masalah maksimisasi (primal)nya. Dari Weak Duality Theorem diperoleh hasil-hasil sebagai berikut : 1. Nilai fungsi tujuan masalah maksimisasi (primal) untuk setiap solusi layak adalah batas bawah dari nilai minimum fungsi tujuan masalah dual. 2. Nilai fungsi tujuan masalah minimisasi (dual) untuk setiap solusi layak adalah batas atas dari nilai maksimum fungsi tujuan masalah primal. 3. Jika masalah primal adalah layak dan nilai tujuannya tidak terbatas maka masalah dualnya tidak memiliki suatu solusi layak 4. Jika masalah primal adalah layak dan dual tidak layak maka primal tak terbatas 5. Jika masalah dual adalah layak dan tak terbatas maka masalah primal adalah tidak layak atau Teknik Riset Operasi Hal 13

6 6. Jika masalah dual adalah layak dan primal tak layak maka dual adalah tak terbatas. Complementary Slackness Theorem Dengan kata-kata kondisi complementary slackness dapat dinyatakan sebagai berikut : a. Jika suatu variabel primal Xj o bernilai positif, maka kendala dual yang berhubungan akan dipenuhi sebagai suatu persamaan pada keadaan optimum (variabel slack atau surplus pada pada kendala dual = 0) b. Jika suatu kendala primal berupa pertidaksamaan murni pada keadaan optimum (variabel slack atau surplus pada kendala primal > 0), maka variabel dual yang berhubungan Yi o harus sama dengan nol pada keadaan optimum c. Jika suatu variabel dual Yi o bernilai positif, maka kendala primal yang berhubungan akan memenuhi sebagai suatu persamaan pada keadaan optimum (variabel slack atau surplus pada kendala primal = 0) d. Jika suatu kendala dual berupa pertidaksamaan murni (variabel slack atau surplus pada kendala primal > 0), maka variabel primal yang berhubungan Xj o harus sama dengan nol pada keadaan optimum. MASALAH PRIMAL DUAL ASIMETRIK Tidak semua program linier berbentuk simetrik. Untuk setiap Program Linier (simetris atau tidak simetris)bentuk dual selalu memenuhi cirri sebagai berikut : 1. Elemen Matriks kendala bentuk dual adalah transpose elemen kendala primal 2. Koefisien fungsi tujuan dual adalah vector sisi kanan primal 3. Vektor sisi kanan dual adalah koefisien fungsi tujuan primal 4. Jika primal adalah masalah maksimisasi, maka dual menjadi minimisasi dan sebaiknya. Teknik Riset Operasi Hal 14