BAB II STUDI PUSTAKA

Transkripsi

1 Masur Kmsan BAB II STUDI PUSTAKA 1 Umum Secara umum sstem strutur dbedaan dar egunaan strutur, sepert strutur embatan, gedung, tang, bendungan atau pesawat udara Secara husus penamaan n dbedaan dar fungs sstem menerma beban luar Jembatan menerma beban lalu lntas, sepert rangaan ereta ap, mobl; sedangan bangunan menerma beban dar egatan ang ada datas bangunan, sepert beban ruang elas, perpustaaan, perantoran dan gudang Dalam aan analss, sstem strutur dbedaan pada dua ategor dasar sstem, atu Strutur Keranga (Portal) dan Strutur Kontnum Sstem strutur eranga merupaan ratan beberapa elemen strutur Umumna terdr dar elemen balo, olom atau dndng geser membentu eranga ang dsebut Portal Sambungan antara elemen pembentu sstem portal n basana au/monolt, serta uuran penampang elemen (lebar atau tngg) ecl dbandng dengan bentang elemen Sstem strutur ang tda dapat dbedaan unsur elemenna, sepert pelat, cangang, atau tang dnamaan sstem strutur ontnum Matrs Keauan Elemen Batang (Ruang) Matrs eauan batang K M dturunan dar besarna gaa pada uung-uung batang tereang penuh abat setap perpndahan uung batang sebesar satu satuan Untu sebuah balo dalam ruang, tap tt uungna masng-masng mempuna macam emungnan perpndahan, sehngga total perpndahan Bab II Stud Pustaa II-1

2 Masur Kmsan tt ang ada pada satu elemen balo adalah 1 Sedangan gaa uung ang mungn tmbul adalah 1 gaa ang semuana selaras dengan perpndahan uung-uung balo Pada gambar 1 dberan batang dalam portal ruang Pada tt umpul terdapat ndes translas 1,, dan, dan ndes rotas 4, 5, dan, masng-masng terhadap sumbu batang x M, M, dan M Begtu pula pada tt umpul dengan ndes translas 7, 8, dan 9, dan ndes rotas 1, 11, dan 1 Tanda panah bermata tunggal menunuan translas, dan bermata ganda menunuan rotas M () 7 1 x M 9 1 M Gambar 1 Batang portal ruang Setap as pengeang dnataan dengan vetor Vetor bermata tunggal menataan vetor gaa, dan bermata ganda menataan momen Semua vetor dgambar dalam arah postf, sehngga pada as ang bernla negatf aan dber tanda mnus pada oefsenna Momen terhadap sumbu x M adalah merupaan puntran atau tors Smbol A X menataan luas penampang batang I Y dan I Z masng-masng merupaan momen nersa penampang terhadap sumbu M dan M, sedangan I X adalah sama dengan onstanta puntr J E dan G Bab II Stud Pustaa II-

3 Masur Kmsan masng-masng adalah parameter dar materal batang ang menunuan modulus elaststas dan modulus geser M 1 1 () 1 x M M Gambar Keauan batang abat translas satuan Setap asus mewal satu perpndahan tertentu sebesar satu satuan sedangan perpndahan lan sama dengan nol Untu menabaran matrs eauan batang n, coba dtnau salah satu asus msalna asus pada gambar dmana pada uung dber perpndahan sebesar satu satuan berupa translas e arah sumbu M (arah ), sedangan perpndahan lanna sama dengan nol Abatna, pada uung aan tmbul as berupa gaa pada sumbu M, dan momen terhadap sumbu M, sedangan puntran (tors) tehadap sumbu x M tda ada Begtu pula pada uung Besaran dan arah dar tap-tap as dapat dlhat pada gambar Dengan cara ang sama, untu asus perpndahan lan uga dbuat vetorna Semua asus dgabungan menad satu bentu matrs Matrs nlah ang merupaan matrs eauan batang ang lengap Bab II Stud Pustaa II-

4 Masur Kmsan Bab II Stud Pustaa II-4 K M = K M M M M M K K K K = (1) Matrs datas adalah matrs eauan pada sumbu batang (loal) Ja sumbu batang tda bermpt dengan sumbu global, maa sebelum drat menad matrs eauan strutur, matrs tersebut harus dtransformas menad matrs eauan batang terhadap sumbu strutur Pada gambar a, sumbu x M dambl bermpt dengan sumbu batang dan sumb M dan M adalah sumbu utama penampang lntang d uung Matrs eauanna adalah K M Matrs n harus dtransformas e matrs K MS ang uga berorde 1 1, ang selaras dengan 1 ens perpndahan dalam arah sumbu strutur sepert pada gambar b Untu mentransformas matrs K M GI GI EA EA GI GI EA EA x x x x x x x x,

5 Masur Kmsan dperluan suatu matrs rotas transformas R T tergantung pada orentas sumbu batang ang elemen-elemenna M () x M x M (a) () x Gambar Sstem penomoran perpndahan tt umpul terhadap oordnat loal dan global (b) Ada tga macam orentas sumbu batang, atu sudut sumbu xm terhadap bdang x-, sudut antara proes sumbu x M pada bdang x- dengan sumbu x S (lhat gambar 4), dan orentas arah sumbu utama penampang M dan M (lhat gambar 5) Bab II Stud Pustaa II-5

6 Masur Kmsan γ S, β M α γ p x M γ p s x S β x p s β p s γ, β α x β S M Gambar 4 Rotas sumbu batang portal ruang γ p pγ M α pγ γ α M Gambar 5 Rotas terhadap sumbu x M Dua rotas pertama adalah β dan γ, sedangan rotas etga adalah α Besar sudut α dapat drepresentasan oleh tt p Tt p n adalah suatu tt bantu ang terleta pada bdang utama batang tetap buan pada sumbu batang x M, dan tt n aan menad sumbu penampang M Ja, oordnat tt p dnataan Bab II Stud Pustaa II-

7 Masur Kmsan dengan x ps, ps, dan ps, berut : maa hubungan antara α dengan tt p adalah sebaga pγ sn α = () p γ + p γ cos α = pγ p γ + p γ () dmana x γ = C x + C x + C x (4) p x ps ps pz C C C C x pγ = x ps + C x ps ps (5) C x C x C C + x ps = x ps ps () C x C x C x x x = ; C = ; C = C = C + C x x (x,, dan adalah oordnat tt ) Sedangan osnus dan snus dar sudut β dan γ adalah cos β = C C x x sn β = C C x cos γ = C x sn γ = C Bab II Stud Pustaa II-7

8 Masur Kmsan Matrs R T batang tersebut drat dar matrs R ang dturunan dar rotas etga orentas R β = cos β sn β 1 sn β cos β R γ = cosγ snγ snγ cosγ 1 R α = 1 cosα snα snα cosα (7) R = R α R γ R β Ja persamaan datas dperluas, maa dperoleh R = C x C xc cosα C snα C x C xc snα C cosα C x C x C C x cosα snα C C C cosα + C x snα C x C + C snα C x cosα C x dan, R T R R = (8) R R Bab II Stud Pustaa II-8

9 Masur Kmsan Ahrna, matrs eauan batang K MS untu sumbu strutur (global) dapat dhtung dengan peralan matrs basa, atu : K MS = R K R (9) T T M T Untu mengonvers analss portal ruang menad portal bdang ( dmens), maa hal ang perlu dlauan adalah memberan constrant dalam suatu arah tertentu ba translas ataupun rotas, dmana oordnat dalam arah tersebut adalah sama untu setap oordnat elemen-elemen strutur tersebut Constrant n dmasudan untu meredus elemen matrs eauan elemen agar lebh efsen dalam proses peratanna menad matrs eauan strutur Matrs Keauan Elemen Batang (Bdang) Apabla dtnau Portal Bdang sebaga sstem strutur, maa onsep geometr portal bdang adalah onfguras dar elemen-elemen lurus dranga bersama secara monolt Bentu ang palng sederhana adalah elemen balo tunggal dengan perletaan cuup mencegah eruntuhan Perletaan send dan rol pada elemen sederhana merupaan umlah mnmum perletaan untu menaga esembangan bla batang dbeban Pada portal bdang, perpndahan terad dalam bdang Identfas perpndahan/perubahan pada sstem abat beban luar dnataan dengan perpndahan translas dan rotas tt-tt umpul Bab II Stud Pustaa II-9

10 Masur Kmsan Persamaan Dfferensal Penentu Elemen Balo Penurunan persamaan dferensal penentu bag teor endutan-kecl balo lentur menad dasar penentuan hubungan antara deformas dan gaa dalam analss strutur dengan metoda eauan θ balo Q δ q(x) θ Q δ N E,I,A, x Gambar Parameter Deformas Elemen Balo abat Beban Ja da elemen balo dengan onfguras beban sepert pada gambar maa bentu gars elasts balo = (x) dtetapan dar parameter perpndahan dan rotas poss tertentu balo Dengan deman : () = δ; ' () = ϕ ( ) = δ ; '( ) = ϕ (1) δ dan ϕ berturut turut lendutan dan putaran sudut ang terad d uung balo, dan δ dan ϕ merupaan lendutan dan putaran sudut d uung Apabla beera beban luar q(x) dengan ara tt tangap gaa resultan x = a, maa dengan mendefnsan fungs tahap satuan H(x) : H = apabla x<a dan H =1 apabla x>a, maa momen lentur M(x) pada setap penampang dnataan sebaga d = M(x) = M + Qx HPq (x a) dx hal mana P menghaslan : q (11) = q(x)dx dan a ara P dar uung Integras persamaan n q Bab II Stud Pustaa II-1

11 Masur Kmsan x d dx = dx ϕ X 1 = ϕ x { M + Q x HP (x - a)}dx M Q x HP x q + q ( x - a) Integras persamaan(1) memberan : x d dx = dx x = δ ϕ Mx Qx + Mx + ϕx HPq ( x - a) Qx HPq + dx ( x - a) (1) (1) Dengan memasuan sarat batas ' ( ) = ϕ = δ e persamaan (1) dan ( ) dan (1) dan menataan (x-a) = b, dperoleh dua persamaan M l Ql = ϕ + ϕ Ml Ql = δ + δ Pq b Pq + ϕl b ( 14a) (14b) Persamaan n memberan solus bag M dan Q M Q 4 Pq = ϕ + ϕ + δ δ + ab ( 15a) 1 1 Pq b ( + a) = ϕ + ϕ + δ - δ + ( 15b) Untu mendapatan M dan Q sebaga fungs deformas dan beban, dgunaan persamaan stata dasar Haslna adalah : M = ϕ 4 + ϕ + δ δ P + q a b ( 1a) 1 1 Pq a ( + b) Q = ϕ ϕ δ + δ + ( 1b) Bab II Stud Pustaa II-11

12 Masur Kmsan Untu balo dengan edua uung tereang penuh, dan beban terpusat d tengah bentang δ = δ = ϕ ϕ =, sehngga = Pq M = FEM = ab (17a) Pq b ( + a) Q = FEQ = (17b) M Q Pq = FEM = a b (18a) Pq a ( + b) = FEQ = (18b) Hubungan gaa asal N dan N, dengan deformas asal ang terad adalah : = N N, dan AE AE N N = + AE AE (19) Persamaan(1), (17),(18) dan (19) merupaan dasar penusunan matrs eauan elemen balo lentur ang menerma gaa-gaa uung dan beban tranversal q(x) Secara umum persamaan (1) dan (19) menataan hubungan antara besaran gaa dan perubahan poss balo Menggantan suu-suu fungs beban dengan pernataan umum FEM, FEQ dan FET bag edua uung balo tereang penuh, d-peroleh persamaan (gambar 7): q(x), N δ, Q ϕ, M x T E,I,A T ϕ, M δ, Q, N x Gambar 7 Parameter Gaa, Perpndahan/Rotas dan Beban Balo entur Bab II Stud Pustaa II-1

13 Masur Kmsan Bab II Stud Pustaa II-1 Apabla gaa ang beera pada balo hana gaa-gaa uung M, N, Q, dan M, N, Q ang dnataan berturut-turut sebaga F 1, F, F, dan F 4, F 5, F,,,,, δ ϕ δ ϕ, serta parameter perpndahan/rotas uung balo berturutturut sebaga 1,, 5 4,, sepert pada gambar 7, maa besaran gaa dnataan sebaga gaa evalen ang menebaban terad perpndahan/rotas uung Perndahan/rotas uung n ddefnsan sebaga deraat ebebasan elemen Secara umum ada deraat ebebasan Uung balo mempuna deraat ebebasan, atu satu perputaran dan dua perpndahan ( 1,, ), sedang uung terdapat deraat ebebasan ( 4, 5, M Q N M Q N b a P b) ( P a T ) x ( ab P a) ( b P T x EA EA EA EA q q T q q T = ϕ δ ϕ δ ) () Gambar 8 Identfas Parameter Gaa dan Deformas Uung Menggunaan persamaan (), hubungan gaa F dan I x sepert persamaan (1) E,I,A, 1,F 1,F,F 4,F 4 5,F 5,F

14 Masur Kmsan EA 1 EA 1 (1a) Atau [ ] { Δ} m m 4 { F} m EA EA F1 F F = F4 F 5 F S = (1b) Matrs [ S] m Vetor{ } dan { F} m ddefnsan sebaga MATRIKS KEKAKUAN EEMEN Δ berturut-turut menataan deraat ebebasan elemen dan gaa evalen uung m Deraat Kebebasan Dan Matrs Keauan Strutur Tt umpul; 1,, dan 4 berturut-turut adalah perletaan ept, rol, ept dan send Tda terad ba perpndahan translas maupun rotas d tt 1 dan, mengngat sfat perletaan ept Tt umpul dapat lar arah horontal dan berotas Karenana ada dua ebebasan bergera tt ang ddefnsan sebaga ebebasan deraat dua Bag tt 4, tda mungn terad perpndahan horontal maupun vertal; hana rotas, sehngga dnataan tt 4 mempun satu deraat ebebasan Bag tt-tt umpul lanna, setap tt dapat berpndah arah dan berotas Dengan deman, deraat ebebasan struur NX = + 1+ * 9 = Deraat ebebasan strutur n dapat dhtung berdasaran rumus : NX = NJ NFJ NPJ NR () Bab II Stud Pustaa II-14

15 Masur Kmsan hal mana NJ NFJ NPJ NR = umlah total tt umpul, termasu perletaan = umlah tt ang sfatna JEPIT = umlah tt ang sfatna SENDI = umlah tt ang sfatna RO Gambar 9 Portal Bdang Dengan deraat ebebasan, perpndahan gars elasts ang menataan perubahan poss sstem strutur dapat dhtung Gambar 1 memperlhatan perubahan poss sstem secara semat Deraat ebebasan tt dnataan dengan vetor X Arah vetor postf sepert tergambar Sepert uga halna dengan elemen, teradna perubahan poss tt umpul berabat oleh beerana gaa Apabla setap vetor perpndahan/rotas tt umpul dabatan oleh vetor gaa evalen ang beera d tt umpul Bab II Stud Pustaa II-15

16 Masur Kmsan tersebut, maa edua vetor tersebut berpasangan Gambar 11 menataan vetor gaa evalen ang mengabatan teradna perpndahan/rotas tt X X 9 Y X 5 1 X 7 X 1 X 8 X 14 X 17 X X X X 5 5 X 1 X 4 X 18 8 X 15 9 X 1 X 19 1 X 7 X 1 11 X X 4 X 9 7 X 1 X 1 X 1 X 1 X X 1 4 X 8 X Gambar 1 Deformed shape dan vetor perpndahan/rotas tt umpul P P 9 Y P 5 1 P 7 P 1 P 8 P 14 P 17 P P P P 5 5 P 1 P 4 P 18 8 P 15 9 P 1 P 19 1 P 7 P 1 11 P P 4 P 9 7 P 11 P 1 P 1 P 1 P P 1 4 X 8 X Gambar 11 Vetor Gaa Evalen Tt Kumpul Bab II Stud Pustaa II-1

17 Masur Kmsan Hubungan antara vetor perpndahan/rotas dengan vetor beban evalen adalah : P1 P P P4 P P K K K = K K K K K K K 1 K K K K 1 K K K K K K 4 4 K K K K 1 K K K K 1 K K X1 X X X 4 X X () atau { P } = [ K]{ X} Matrs [ K] ddefnsan sebaga Matrs Keauan Strutur Unsur matrs K merupaan hasl ratan unsur-unsur matrs elemen ang uungna terat menusun tt umpul Koordnat oal dan Koordnat Strutur Y X Gambar 1 Sstem Koordnat Global/Strutur Bab II Stud Pustaa II-17

18 Masur Kmsan Peratan matrs [K] dar matrs elemen [S] memerluan proses transformas oordnat Pada peratan unsur [K] d tt umpul 8, sstem oordnat elemen batang dan 7 ang menataan hubungan [S] m { } m ={F} m harus dtransformasan edalam sstem oordnat strutur/global Gambar 1 menunuan sstem oordnat strutur/global bag elemen portal Poss oordnat elemen/loal terhadap oordnat strutur/global untu elemen batang dan 7 sepert pada gambar 1 Gambar 1 Konfguras Elemen Portal, Besaran Gaa dan Perpndahan Elemen Sstem oal Bab II Stud Pustaa II-18

19 Masur Kmsan Bab II Stud Pustaa II-19 Gambar 14 Transformas [S] m { } m = {F} m e [] m {X} m = {P} F F F F F F m Dengan sudut θ ang dbentu elemen batang terhadap abss X, besaran gaa uung elemen dnataan dengan P P P P P P melalu transformas oordnat (gambar 14) : θ θ θ θ θ θ θ θ = P P P P P P 1 cos sn sn cos 1 cos sn sn cos F F F F F F (4) atau {F} m = [T]{P] m Juga perpndahan uung elemen dnataan dengan X X X X X X melalu transformas oordnat

20 Masur Kmsan Bab II Stud Pustaa II- θ θ θ θ θ θ θ θ = X X X X X X 1 cos sn sn cos 1 cos sn sn cos (5) atau { } = [T]{X} Matrs [T] ddefnsan sebaga matrs transformas oordnat dar sstem oordnat elemen edalam sstem ordnat global/strutur, Mengsan etentuan edua persamaan n edalam persamaan (1) [ ] { } { } m m m F S = aan dperoleh matrs eauan elemen ang dtnau dar sstem oordnat global/strutur sebaga berut :

21 Masur Kmsan Bab II Stud Pustaa II-1

22 Masur Kmsan T Peralan matrs [ T] [ S][ T] merupaan transformas matrs eauan elemen [S] menad matrs eauan elemen pada sstem oordnat strutur Dnamaan hasl peralan sebaga matrs eauan elemen [] m = T [ T] [ S][ T] Hasl peralan unsur etga matrs merupaan unsur matrs [] m Indes dalam ota perseg 1,,, 4, 5, menataan besaran arah postp gaa dan perpndahan edua uung elemen dalam sstem oordnat strutur/global Matrs eauan elemen [] m menad bagan dar penusunan unsur matrs eauan strutur [K] Mennau penusunan unsur matrs eauan strutur d tt umpul 8, maa prosedur menggabungan ndes unsur eauan elemen [] m dengan sebutan deraat ebebasan strutur haruslah dtetapan dar poss ndes deraat ebebasan elemen Untu elemen ndes unsur elemen 4, 5, dan sama dengan ndes deraat ebebasan 1, 14, dan 15; sedangan bag elemen 7 ndes unsur elemen 1,, dan sama dengan ndes deraat ebebasan strutur 1, 14, dan 1 Persamaan () menelasan poss ndes elemen dengan ndes strutur d tt umpul 8 Dapat damat d persamaan (), ndes deraat ebebasan elemen terhadap sstem sumbu loal selalu sama bag setap elemen balo, atu 1,,, 4, 5, dan, hal mana sumbu x elemen selalu pada arah bentang balo Indes deraat ebebasan elemen pada sstem oordnat strutur atau global, dsesuaan dengan urutan penomoran deraat ebebasan sstem strutur ang dbentu oleh unsur-unsur elemen strutur Identfas deraat ebebasan n dnataan dar deraat ebebasan tt-tt umpul ang merat sstem Bab II Stud Pustaa II-

23 Masur Kmsan Bab II Stud Pustaa II-

24 Masur Kmsan ndes deraat ebebasan ndes deraat ebebasan [ ] = (a) ndes deraat ebebasan strutur = (b) [ ] Berdasaran persamaan ( ) unsur K bag deraat ebebasan d tt umpul 8 adalah : ( ) ; K1414 = ( 55 + ); K1515 = ( + ) 7 ( + ); K = ( + ); K = K ; K K K 11 = K = = Nla n merupaan unsur dar matrs strutur [K], sehngga persamaan () menad : ndes deraat ebebasan 115 Bab II Stud Pustaa II-4

25 Masur Kmsan Mengalan persamaan () dengan matrs nvers [ T] 1 : 1 1 [ T] [ S][ T]{ X} = [ T] [ T]{ P} 1 [ T] [ S][ T]{ X} = { P} (7) Dapat dbutan matrs nvers [ T] 1 uga merupaan matrs transpose [ ] T T : [ ] T T cos θ sn θ = - snθ cos θ 1 cos θ sn θ - snθ cos θ 1 (8) sehngga 1 T [ T] [ S][ T]{ X} = [ T] [ S][ T]{ X} T [ T] [ S][ T]{ X} = { P} (9) Bab II Stud Pustaa II-1

31 Unsur matr dhtung menggunaan persamaan sebagamana ang telah dturunan sebelumna, dengan θ elemen sesua poss elemen terhadap abss -X oordnat strutur Dengan mengsan unsur-unsur matr K dar ratan unsur matr sstem strutur, terbentulah matrs eauan strutur untu eseluruhan 4 Matrs Massa (ump Mass) Elemen Matrs massa harus memenuh beberapa onds agar dapat dgunaan dalam verfas ataupun debuggng, atu: Matrs Smetr, Smetr secara fs, tda berubah dan postf Matrs smetr adalah Matrs massa uga harus mencermnan esmetrsan dalam hal fs elemen Secara umum, peratan matrs massa dar suatu elemen sebagan besar adalah sama dengan peratan matrs eauan elemen Matrs massa untu elemen tunggal dbentu pada oordnat loal, emudan dtransformasan e oordnat global dan emudan drat menad matrs massa strutur ang perss sama dengan matrs eauan strutur Secara prats, peratan matrs eauan dan matrs massa dapat dbuat dent Perbedaanna adalah emungnan penggunaan matrs dagonal pada matrs massa elemen ang berdasar pada metode drect lump mass Komponen dagonal dar matrs massa dapat dsmpan dalam bentu vetor saa Ja seluruh omponen matrs adalah postf, maa aan sangat mudah d-nversan arena nvers dar matrs dagonal adalah matrs dagonal uga

32 Berut adalah omponen-omponen matrs massa untu translas dan rotas dar elemen batang: untu Dan untu Dmana : Massa ens penampang : uas Penampang : Panang Elemen : oefsen rotas (tergantung ens penampang) 5 Analss Dnam untu Sstem Strutur Berderaat Kebebasan Tungal (SDOF) Untu dapat melauan analss dnam strutur terhadap pengaruh gaa estas ataupun msalna abat pergeraan tanah (gempa), pertama-tama perlu dlauan adalah membuat suatu model strutur ang sederhana ang mencermnan sfat-sfat meansna, contoh menara ar sebagamana ang dtunuan pada gambar 15

33 Gambar 15 Contoh Strutur SDOF (Chopra, Anl K ; Dnamcs of Structures) Pada strutur sepert menara ar, terdr dar massa m ang terumpul pada punca menara, batang tda bermassa memberan eauan lateral e strutur, dan redaman vsus (denal uga sebaga dashpot) ddefnsan sebaga oefsen redaman c ang mendspas energ getaran sstem Pada saat sstem strutur mengalam gaa estas dasar getaran dapat drumusan sebaga berut:, maa persamaan ()

34 Karena pergeraaan sstem dapat dgambaran dalam satu dsplacement, maa sstem n dsebut sstem berderaat ebebasan satu (SDOF) Massa dan eauan sstem dapat dperoleh dar dmens strutur dan uuran elemen struturna Namun redaman tda dapat dhtung dar propertes strutur, melanan dapat dperoleh dar data hasl percobaan getaran bebas dan harmon Dengan membag persamaan () dengan m maa persamaan gera tersebut aan memberan dua parameter sstem () Dmana: dan edua parameter tersebut d atas denal sebaga freuens sudut getar alam (rad/sec) dan raso redaman Berdasar atas ω n maa dapat dperoleh parameter ang lan, atu perode getar alam (T n ) ddefnsan sebaga watu ang dperluan untu suatu sstem ang bergetar bebas tanpa gaa luar dan ta teredam untu menelesaan satu slus getar (4)

35 Suatu sstem melauan slus dalam 1 det getaran bebas, hal n ddefnsan sebaga freuens getar alam dalam satuan hert (H atau putaran per det) Propertes getaran alam ω n, T n, dan f n tergantung hana pada massa dan eauan dar strutur Propertes tersebut berlau untu sstem ang bergetar dalam rentang perlau lner Freuens alam dan ragam getar (mode shapes) Untu Sstem Strutur MDOF Perhtungan freuens alam dan ragam getar dar sstem strutur ang berderaat ebebasan bana (lebh dar satu) / MDOF bsa dlauan dengan menelesaan problem matrs nla egen, ang dperoleh dar persamaan getaran bebas tanpa redaman Secara umum, masalah nla egen pada matrs ddefnsan sebaga: (5) Dmana: : Matrs Keauan dar sstem strutur : Matrs Massa dar sstem strutur : Freuens alam dar sstem strutur : Vetor Ragam Getar (Mode Shapes)

36 Solus non-trval harus memenuh sarat berut: Persamaan datas denal dengan persamaan araterst ang menghaslan solus buah nla real postf ang detahu sebaga nla egen dar persamaan tersebut atu freuens alam dar sstem strutur Dengan mensubttusan embal nla-nla freuens alam ang dperoleh e persamaan 5 dan menelesaan persamaan tersebut, maa dperoleh emungnan solus vetor ragam getar ang merupaan perbandngan geraan dar tap-tap ont untu tap-tap freuens alam Solus persamaan getaran bebas ang lengap basana despresan dalam bentu matrs atu: dan Vetor ragam getar meml sfat eortogonaltas atu: ; untu, dan ; untu Ja despresan dalam bentu peralan matrs, bentu umumna adalah sebaga berut:

37 () (7) Dengan Dmana dan merupaan matrs dagonal ang denal dengan matrs modal massa dan matrs modal eauannla ampltude dar vetor ragam getar merupaan nla perbandngan relatf ang dapat dnormalsas melalu prosedur ang dtetapan Jens normalsas ang basa dgunaan adalah normalsas terhadap matrs massa sebagamana ang dcantuman dbawah n: (8) Atau Dmana adalah omponen normalsas e- dar vetor modal e- Sfat ortogonaltas dar vetor modal ang talah dnormalsas terhadap massa adalah sebaga berut: ; untu, dan ; untu

38 Sehngga, sfat eortogonaltas dalam bentu matrs adalah: (9) (4) Dmana adalah matrs denttas 7 Metode Fungs Respon Freuens Persamaan matemata umum getaran untu sstem satu deraat ebebasan (SDOF) sebagamana ang telah dsebutan pada persamaan adalah : Dengan mengasumsan bahwa gaa merupaan fungs harmon ang berupa dan nla redaman bersfat lnear dan vscous, emudan edua ss dar persamaan datas dbag dengan maa persamaan datas menad: (41) Dmana, dan Berdasaran persamaan dferensal, detahu bahwa respon dar sstem dengan redaman menghaslan dua nla ampltudo dan sudut fasa ang berbeda untu nla freuens ang sama Adana fasa n arena pengaruh dar gaa redaman Berdasaran hal tersebut, maa solus partular dar persamaan 41 adalah (4)

39 Atau dem mempermudah perhtungan dapat dtuls menad (4) Dmana onstanta dan sehngga menghaslan dan (44) Dengan mencar turunan pertama dan edua dar persamaan 4, emudan dsubsttusan e persamaan 41, lalu memasuan nla-nla pada onds batas dan, sehngga dperoleh (dua) persamaan berut (dalam bentu matrs): (45) Solus persamaan datas adalah dan (4) Dengan mensubsttusan nla dan d persamaan 4 e persamaan 44, lalu dlanutan dengan mensubsttus nla dan e persamaan 4, maa aan dhaslan solus partular atu: (47) Solus ang lengap dar sstem strutur SDOF dengan redaman ( ) adalah (48) Dmana dan adalah oefsen dar solus partular sebagamana ddefnsan pada persamaan 47 dan dan dapat dtentuan dengan onds-onds batas ang detahu Komponen pertama dar persamaan

40 48 dsebut transent response dan omponen partularna dsebut steasstate response Fungs Respon Freuens (FRF) merupaan sebuah persamaan ang dperoleh dar manpulas matemata dar persamaan 44 setelah memasuan nla-nla ang detahu D beberapa lteratur, FRF adang ddefnsan sebaga ampltudo perpndahan ang dnormalsas terhadap gaa ampltudo gaa dnam ( Sehngga, dengan melauan manpulas terhadap persamaan 44, FRF dapat ddefnsan sebaga berut: (49) atau dalam bentu magntude nla omples dapat dtulsan menad Dmana: : FRF (SDOF) untu gaa freuens estas ( ) tertentu : Freuens Estas uar ang dberan pada Degree of Freedom tertentu (rad/sec) : Freuens alam sstem strutur (rad/sec) : Raso Redaman

41 Berut dsaan hubungan antara FRF untu SDOF dan freuens estas luar dengan raso redaman % dan varas perode alam strutur atu antara 1 det H T=1 sec T=5 sec T=1 sec T= sec Ω (rad/sec) Gambar 1 Hubungan antara FRF dan Ω SDOF (ξ = %) Tampa pada gambar 1, bahwa respon freuens aan tngg untu freuens estas ang mendeat freuens natural dar sstem Untu sstem dengan deraat ebebasan bana (MDOF) dengan redaman las, Fungs Respon Freuens antara deraat ebebasan dan ddefnsan dengan: (5) adalah respon dar DOF abat gaa estas harmon tunggal dengan satu unt ampltudo ang dberan d DOF FRF n adalah respon ang denal dengan Receptance Functon, dmana respon ddefnsan dalam perpndahan dan nput berupa gaa estas harmon

42 Fungs Receptance Functon atu: dapat dsusun dalam bentu matrs sebaga defns darpada (51) Berut n dsaan contoh sederhana analss FRF ang terdr dar DOF (bangunan geser lanta) sepert ang terlhat pada gambar 17 1 ps /n ps/n rad/sec Gambar 17 Hasl FRF untu gaa estas 5 rad/sec

43 Perbedaan pemberan gaa estas aan memberan hasl respon ang berbeda dar tap-tap DOF Berut dsaan tabel perbandngan nla FRF dengan pemberan gaa estas ang berbeda untu sstem strutur ang sama pada gambar 17 Tabel 1 Perbandngan nla FRF untu gaa estas ang berbeda pada strutur ang sama Untu asus ang lebh umum, matrs Receptance untu sstem MDOF dengan vscous dampng despresan dengan: (5)

44 Oleh arena matrs Receptance bersfat smetrs (bersfat respro), maa: (5) Dmana dan berturut-turut adalah Transformas Fourer dar perpndahan dan nput gaa rwaat watu pada deraat ebebasan e- Dalam analss ang lebh lanut, untu melhat varas pengaruh ens transformas ang dgunaan, msalna transformas Hlbert-Huang ataupun transformas Wavelet (dsrt), maa melalu persamaan 5 dapat dlauan hal tersebut, ang emudan dapat dsesuaan emudan sesua dengan ens transformas ang dgunaan Secara matemats, perpndahan, ecepatan dan percepatan berhubungan satu sama lan Oleh arena tu, dengan mengetahu salah satu FRF dar respon parameter (perpndahan, ecepatan atau percepatan), maa nla respon FRF ang lan dapat dtemuan Dengan deman, mobltas dapat despresan sebaga: (54) Percepatan dapat despresan dengan: (55) Dan matrs percepatan despresan dengan: (5)

45 Tabel memperlhatan beberapa perbedaan dar formula FRF Tabel Formula FRF Beberapa ens formula FRF datas dmasudan untu penesuaan terhadap data lapangan ang dperoleh, ang selanutna aan dbandngan dengan hasl analss numer untu dtar esmpulan mengena erusaan elemen strutur Dalam doman Fourer atau Freuens ( ), persamaan berupa persamaan evalen getaran Hal n meml egunaan dalam mengonvers persamaan dferensal e dalam persamaan alabar Setelah tu, persamaan dubah e dalam bentu transformas Fourer Sehngga persamaan tersebut berubah menad: (57)

46 Dmana adalah fungs mpedans Berdasaran persamaan 57, maa sstem respon (detahu) dapat dcar dengan persamaan: dengan nput (58) Dmana: (59) Nla denal dengan Fungs Respon Freuens (FRF) dar sstem FRF menghubungan transformas Fourer nput sstem dengan transformas Fourer dar respon sstem Dalam beberapa onds, fungs nput gaa (transformas Fourer) sstem dapat dtemuan dalam sebuah ntegral ang despresan dengan: () Dengan cara ang sama respon sstem ( )uga dapat despresan dengan: (1) Raso dar persamaan dan 1 dapat dcar untu menentuan espres dar FRF atu:

47 () Sehngga, nla dapat dturunan dar nvers transformas Fourer, atu: () Dengan deman, spetrum freuens adalah fungs ang ontnu dalam ang berbeda dengan spetrum freuens ang dperoleh untu fungs watu perod ang hana terdr dar omponen dsrt saa Jad, nla merepresentasan sebuah nla ampltudo ang ontnu terdstrbus sepanang nla rentang freuens sehngga merepresentasan pula nla unt ampltudo untu tap-tap unt freuens ang basa denal dengan spectral denst Dalam mengevaluas ntegral dar persamaan untu memperoleh nla, teradang dtemuan esultan-esultan secara matemats Kesultan ang dmasud adalah rumtna proses ntegral tu sendr a dlauan evaluas ntegral secara analts dan tda secara numer Selan tu, ada beberapa stuas ang mengabatan transformas Fourer tda bsa daplasan Untu mengatas permasalahan n, melalu manpulas matemata, telah dtemuan transformas Fourer ang dmodfas ang denal dengan transformas aplace

48 Dalam pratna, fungs dar nput gaa sangat tda beraturan sealpun perod Stuas n mash bsa datas dengan melauan dsrtsas dan mengaplasan prosedur smulas numer terhadap snal tersebut 71 Metode curvature FRF Metode n dusulan oleh Sampao et al (1999) Metode n merupaan estens dar prosedur ang dusulan oleh Pande et al (1991) ang berdasaran pada curvature ragam getar (mode shape) Metode ang berdasaran perbedaan curvature ragam getar berdasaran pada redus eauan (abat erusaan) aan menebaban perubahan magntude curvature ang sgnfan dsetap elemen Oleh arena curvature merupaan araterst elemen dan nlana bergantung pada besar redus eauan, maa perubahan curvature dapat dgunaan dalam mendetes teradna erusaan dan meloalsas erusaan d elemen ang terad erusaan Perbedaan curvature ragam getar dlauan terpsah untu taptap ragam getar Sehngga, eterbatasan metode n terad apabla analss hana dlauan pada ragam getar awal, sedangan erusaan tda senstf terhadap ragam getar awal Sebaga estens dar metode perbedaan curvature ragam getar, pendeatan ang dlauan pada metode perbedaan curvature FRF melput seluruh rentang freuens ang dtentuan, dan buan hana freuens alam saa Hal nlah ang dlauan untu mengatas eterbatasan ang terad pada metode perbedaan curvature ragam getar sebagamana telah duraan sebelumna Metode n menggunaan pendefnsan sesuatu ang sama dengan ragam

49 getar operasonal, untu tap-tap freuens dan respon freuens pada beberapa loas dalam sstem strutur Curvature FRF untu freuens ddefnsan sebaga: (4) Dmana: : Receptance FRF ang duur pada loas abat nput gaa pada loas : ara antara dua loas penguuran berurutan : dan atau dan Untu gaa ang dberan pada loas, perbedaan absolute curvature FRF antara strutur ang rusa dan tda pada loas dalam rentang freuens ang dtentuan, ddefnsan sebaga: (5) Pada ahrna, perubahan curvature FRF dar beberapa loas dtambahan Hal n aan menghaslan suatu parameter untu pon penguuran ang ddefnsan sebaga: ()

50 Berdasaran peneltan sebelumna, euntungan dar penggunaan metode n adalah bahwa metode n dharapan dapat menentuan loas erusaan secara tepat Aan tetap, metode n tda dapat dlanutan dalam menentuan taraf erusaan strutur 7 Metode ndes erusaan dengan Energ Receptance Metode n berdasar pada onsep Receptance-Energ Indes ang dperoleh dgunaan untu mempreds loas erusaan dan mengetahu taraf erusaan Indes n dperoleh dengan mengolah data FRF ang duur (Receptance atau Acceleraton) Indator erusaan dapat dlhat dar varas energ Receptance d tap-tap elemen strutur berdasaran freuens estas ang dberan Untu 1 (satu) elemen balo/olom, energ receptance ddefnsan sebaga: (7) Dmana: Panang Elemen Curvature Receptance untu sebuah freuens Ω Indes erusaan adalah luas area d bawah urva d sepanang elemen Dengan cara ang sama, ntegral pada persamaan 7 dapat devaluas dengan (dua) nla batas dan (8)

51 Curvature receptance dapat dhtung secara numer dengan menggunaan persamaan 4 menggunaan magntude receptance (darenaan receptance adalah fungs omples) Sstem strutur dasumsan terbag dalam elemen Untu elemen e-, energ receptance dapat dtulsan sebaga berut: (9) Dmana:, : oordnat node dar elemen Terdapatna erusaan terlhat dar varas nla ntegral Raso dar energ receptance antara strutur ang rusa dan ang tda rusa ddefnsan sebaga (7) Dmana adalah energ receptance strutur ang rusa (71) Untu suatu rentang freuens ang dberan sebaga gaa estas terhadap strutur, ndes loalsas erusaan untu loas e- dan untu gaa esternal ang dberan pada tt ddefnsan sebaga: (7)

52 Dmana penumlahan seluruh elemen dsrt strutur melput rentang freuens ang dtentuan Untu rentang freuens tertentu, damage severt ndex untu loas e-, untu gaa ang dberan pada tt ddefnsan sebaga (7) Setelah ndes loalsas erusaan dperhtungan, maa nla ndator ang dnormalsas adalah: (74) Dmana : : Nla rata-rata dar ndes loalsas erusaan : Standar devas dar ndes loalsas erusaan Berdasaran peneltan terdahulu, metode n sangat ba dalam mendapatan taraf erusaan strutur, aan tetap perlu dengan cermat memlh ens freuens estas ang perlu dberan epada strutur agar dentfas loas erusaan dapat dengan tepat dlauan