I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI"

Transkripsi

1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu jenis matriks yang banyak digunakan adalah matriks simetrik. Matriks simetrik adalah matriks yang sama dengan transposnya yaitu matriks yang kolom-kolomnya adalah barisbaris matriks itu sendiri. Matriks yang dibahas pada tulisan ini adalah matriks kuasidefinit yang dipartisi menjadi empat blok dan memuat matriks definit positif. Matriks ini mempunyai sifatsifat yang dapat diterapkan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan matematika khususnya pada bidang riset operasi, salah satunya adalah mengaplikasikan sifat-sifat matriks kuasidefinit pada metode titik interior (interior-point method). Semua bahasan materi tentang matriks kuasidefinit pada karya ilmiah ini direkonstruksi dari tulisan Robert J. Vanderbei (1995) yang berjudul Symmetric Quasidefinite Matrices. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan beberapa sifat dari matriks kuasidefinit. II LANDASAN TEORI Maksud dari bab ini adalah mengingatkan kembali tentang pengertian matriks, jenisjenis matriks dan memberikan penjelasan tentang matriks definit positif dan semidefinit positif serta beberapa sifatnya yang akan berguna dalam memahami tulisan ini secara keseluruhan. 2.1 Matriks dan Determinan Definisi 2.1 (Matriks) Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau bujur sangkar dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Secara umum matriks yang berukuran dapat ditulis dengan dengan adalah unsur matriks pada baris ke- dan kolom ke-, dan 1,2,,; 1,2,,. Matriks dapat ditulis dalam bentuk: Definisi 2.2 (Determinan) Determinan dari suatu matriks berukuran, dinyatakan sebagai det adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks dan didefinisikan sebagai berikut: det, jika 1, jika 1 dengan 1 det, 1,, adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari. Berikut ini akan diberikan pengertian beberapa jenis matriks dan sifat-sifatnya yang berhubungan dengan tulisan ini. Definisi 2.3 (Matriks Transpos) Transpos dari suatu matriks berukuran, ditulis adalah matriks berukuran yang diperoleh dengan mengganti setiap baris dari menjadi kolom dan sebaliknya, sehingga jika, maka. Teorema 2.1 (Beberapa Aturan Aljabar pada Matriks Transpos) [bukti lihat Leon 2001]

2 2 Definisi 2.4 (Matriks Simetrik) Suatu matriks berukuran disebut simetrik jika. Contoh 2.1: Misalkan matriks Karena matriks, maka matriks disebut matriks simetrik. Definisi 2.5 (Matriks Satuan) Matriks satuan adalah matriks berukuran dengan, 1, jika 0, jika dan berlaku untuk sembarang matriks berukuran. Definisi 2.6 (Matriks Permutasi) Suatu matriks berukuran disebut matriks permutasi, jika pada setiap baris dan kolomnya mempunyai tepat satu entri yang benilai 1 (satu) dan entri yang lainnya bernilai 0 (nol). Contoh 2.2: Matriks adalah suatu matriks permutasi dan adalah suatu permutasi dari baris matriks Definisi 2.7 (Matriks Taksingular dan Matriks Invers) Suatu matriks berukuran dikatakan taksingular atau mempunyai invers (invertible) jika terdapat matriks sehingga. Matriks disebut sebagai invers perkalian dari. Contoh 2.3: Matriks adalah invers dari 2 4 karena Teorema 2.2 (Sifat Matriks Invers) Jika adalah suatu matriks yang mempunyai invers (invertible), maka untuk sembarang skalar taknol k, matriks. [Anton 2000] Jika k adalah sembarang skalar taknol, maka untuk membuktikan teorema di atas, sesuai dengan Definisi 2.7 akan ditunjukkan bahwa:. a... b... Jadi terbukti bahwa. Teorema 2.3 Suatu matriks berukuran adalah singular, jika dan hanya jika det 0. (bukti di Lampiran 1) Karena implikasi suatu pernyataan setara dengan kontraposisinya, ~~ dan ~~ maka ~~. Jadi pernyataan pada Teorema 2.3 setara dengan pernyataan: Suatu matriks berukuran adalah taksingular, jika dan hanya jika det 0.

3 3 Teorema 2.4 Jika adalah matriks taksingular, maka merupakan matriks taksingular dan. [Anton 2000] Sesuai dengan Definisi 2.7 akan ditunjukkan. Dari Teorema 2.1 diperoleh: Jadi terbukti bahwa. Definisi 2.8 (Matriks Segitiga) Suatu matriks berukuran disebut matriks segitiga atas (upper triangular) jika 0 untuk dan matriks segitiga bawah (lower triangular) jika 0 untuk. disebut juga matriks segitiga (triangular) jika matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah. Contoh 2.4: dan keduanya adalah matriks segitiga. Yang pertama adalah matriks segitiga atas dan yang kedua adalah matriks segitiga bawah. Definisi 2.9 (Matriks Diagonal) Suatu matriks berukuran disebut matriks diagonal jika 0 untuk. Contoh 2.5: Definisi 2.10 (Submatriks) Suatu submatriks dari matriks adalah matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan/atau kolom dari. Perlu diketahui bahwa sembarang matriks adalah submatriks dari matriks itu sendiri, yaitu dengan menghilangkan 0 (nol) baris dan 0 (nol) kolom. [Harville 2008] Contoh 2.6: Misalkan diberikan matriks Jika baris kedua dari matriks dihilangkan, maka diperoleh submatriks Jika baris kedua, kolom pertama dan kolom ketiga dari matriks dihilangkan, maka akan diperoleh submatriks Definisi 2.11 (Submatriks Utama) Misalkan himpunan bagian dari 1,2,, dan didefinisikan sebagai matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom dari matriks berukuran yang letaknya merupakan komplemen dari himpunan pada. Maka disebut submatriks utama (principal submatrix) dari matriks. Jadi submatriks utama diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang bersesuaian, dengan adalah banyaknya elemen dari. semuanya adalah matriks diagonal. Suatu matriks diagonal adalah matriks segitiga atas juga matriks segitiga bawah. 2.2 Submatriks Berikut ini akan diberikan pengertian tentang submatriks dan jenis-jenisnya yang berhubungan dengan tulisan ini. Contoh 2.7: Misalkan matriks Beberapa submatriks utama yang dimiliki matriks adalah:

4 4 i) 2 10 merupakan submatriks utama yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom pertama dan ketiga; ii) 1,3 4 2 merupakan sub- 2 5 matriks utama yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom kedua; dan iii) 1,2, merupakan submatriks utama yang diperoleh dengan menghilangkan 0 (nol) baris dan 0 (nol) kolom. Definisi 2.12 (Submatriks Utama yang Pertama) Diberikan suatu matriks berukuran. Misalkan adalah matriks yang terbentuk dengan menghilangkan baris terakhir dan kolom terakhir dari, maka disebut submatriks utama yang pertama (leading principal submatrix) dari dengan yang berukuran 1). Contoh 2.8: Dari Contoh 2.7, submatriks utama yang pertama dari matriks adalah 4; ; dan Teorema 2.5 Jika semua submatriks utama yang pertama dari matriks adalah matriks taksingular, maka terdapat matriks segitiga bawah dan dengan entri-entri 1 pada diagonal utama (unit lower triangular matrix) dan matriks diagonal yang memenuhi. [Golub & van Loan 1985] (bukti di Lampiran 2) Contoh 2.9: Misalkan diberikan matriks Karena determinan submatriks utama yang pertama dari matriks adalah det ; det ; dan det , maka semua submatriks utama yang pertama dari matriks merupakan matriks taksingular. Jadi matriks dapat difaktorisasi ke dalam bentuk perkalian sebagai berikut: dengan , dan Unsur-unsur matriks, dan ditentukan dengan eliminasi Gauss (Golub & van Loan 1985). Matriks pada Contoh 2.9 bukan matriks simetrik. Jika matriks simetrik (dan taksingular), maka Teorema 2.6 menjamin bahwa matriks. Teorema 2.6 Jika adalah matriks taksingular dan simetrik yang memenuhi, maka. [Golub & van Loan 1985] (bukti di Lampiran 3) Contoh 2.10: Misalkan diberikan matriks simetrik

5 5 Karena det 500, maka dapat difaktorisasi ke dalam bentuk perkalian sebagai berikut: Partisi Matriks dan Operasi- Operasinya Berikut ini akan dijelaskan tentang partisi suatu matriks dan invers dari matriks yang dipartisi. Definisi 2.13 (Partisi Matriks) Matriks dapat dipartisi menjadi matriksmatriks yang lebih kecil dengan cara menggambar garis-garis horizontal antara baris-baris dan garis-garis vertikal antara kolom-kolom. Matriks-matriks yang lebih kecil seringkali disebut blok. Contoh 2.11: Misalkan matriks Jika garis-garis digambarkan antara baris kedua dan baris ketiga, serta antara kolom ketiga dan keempat, maka akan terbagi menjadi empat blok, yaitu,,, dan dengan , , , dan Teorema 2.7 (Determinan Matriks yang Dipartisi) Misalkan adalah matriks segi yang dipartisi menjadi dengan matriks berukuran dan matriks berukuran. Jika matriks taksingular, maka det det det. (bukti lihat Lampiran 4) [Zhang 1999] Teorema 2.8 (Invers Matriks yang Dipartisi) Misalkan merupakan matriks yang dipartisi dan mempunyai invers matriks yang juga merupakan matriks yang dipartisi dengan bentuk dengan,, dan adalah matriks segi. Jika adalah submatriks utama dari matriks, maka diperoleh:,,,. [Zhang 1999] (bukti di Lampiran 5) Teorema 2.9 Misalkan dan adalah matriks taksingular, serta dan berturut-turut adalah matriks berukuran dan. Jika matriks taksingular, maka dengan adalah himpunan matriks bernilai real dan berukuran. (bukti di Lampiran 6) [Zhang 1999] 2.4 Matriks Definit Positif dan Semidefinit Positif Berikut ini akan diberikan pengertian tentang matriks definit positif dan semidefinit positif serta beberapa sifatnya. Terlebih dahulu akan dibahas pengertian bentuk kuadrat.

6 6 Definisi 2.14 (Bentuk Kuadrat) Suatu persamaan kuadrat dengan dua variabel dan adalah suatu persamaan berbentuk: 2 0. (1) Persamaan (1) dapat ditulis ulang dalam bentuk: 0. (2) Misalkan dan maka bentuk 2 dinamakan bentuk kuadrat yang berhubungan dengan persamaan (1). Definisi 2.15 (Matriks Definit Positif dan Semidefinit Positif) Suatu matriks simetrik berukuran disebut matriks definit positif, jika bentuk kuadrat 0 untuk semua taknol dalam. Jika bentuk kuadrat 0, maka disebut matriks semidefinit positif. Contoh 2.12: Matriks 2 1 merupakan 1 2 matriks definit positif karena bentuk kuadrat untuk 0 0. Matriks 1 1 adalah matriks 1 1 semidefinit positif karena bentuk kuadrat Matriks 1 3 bukan matriks 3 1 definit atau semidefinit positif karena bentuk kuadrat dapat bernilai positif atau negatif. Teorema 2.10 Misalkan matriks simetrik berukuran dan adalah submatriks utama yang pertama dari matriks dengan 1,2,,, maka adalah matriks definit positif jika dan hanya jika det 0. [bukti lihat Horn & Johnson 1985] Contoh 2.13: Misalkan diberikan matriks simetrik dan submatriks utama yang pertama dari matriks seperti pada Contoh 2.8. Karena determinan submatriks utama yang pertama dari matriks adalah: i) det 4 40; ii) det ; dan iii) det maka sesuai dengan Teorema 2.10, matriks adalah matriks definit positif. Matriks-matriks definit positif mempunyai beberapa sifat, di antaranya: Teorema Jika adalah matriks definit positif, maka det Jika adalah matriks definit positif, maka matriks taksingular. 1. Jika adalah matriks definit positif maka sesuai dengan Teorema 2.10, det 0 dengan 1,2,,. Karena maka det det, jadi det Karena det 0, maka terbukti matriks definit positif adalah matriks taksingular. Teorema 2.12 (Invers Matriks Definit Positif) Jika adalah matriks definit positif, maka matriks definit positif.

7 7 Perhatikan persamaan. Karena matriks definit positif, maka taksingular. Jadi terdapat yang merupakan solusi persamaan tersebut. Maka bentuk kuadrat. Karena adalah matriks definit positif, maka 0 untuk semua di. Jadi 0, untuk semua di. Untuk membuktikan bahwa juga matriks simetrik, maka akan ditunjukkan. Dari Teorema 2.4, dan karena adalah matriks definit positif, maka adalah matriks simetrik. Sehingga diperoleh. Jadi terbukti bahwa matriks simetrik. Oleh karena itu, terbukti bahwa adalah matriks definit positif. Teorema 2.13 Jika matriks merupakan matriks definit positif berukuran dan matriks adalah sembarang matriks berukuran, maka matriks adalah matriks semidefinit positif. Karena matriks definit positif, maka 0 untuk semua di. Misalkan matriks sembarang. Bentuk kuadrat matriks adalah 0 untuk semua di. Karena dan sembarang maka terdapat kemungkinan. Oleh karena itu, bentuk kuadrat 0 untuk semua di. Untuk membuktikan bahwa juga matriks simetrik, maka akan ditunjukkan. Dari Teorema 2.1 diperoleh, dan karena adalah matriks definit positif, maka adalah matriks simetrik. Sehingga diperoleh dan terbukti matriks merupakan matriks simetrik. Jadi sesuai dengan Definisi 2.15, adalah matriks semidefinit positif. Teorema 2.14 Semua submatriks utama dari matriks definit positif adalah matriks definit positif. Misalkan adalah submatriks utama dari matriks definit positif (Definisi 2.11) dan misalkan adalah vektor dengan entri taknol yang berubah posisi menyesuaikan pada dan mempunyai entri nol selainnya. Didefinisikan sebagai vektor yang diperoleh dari dengan menghilangkan entri nol yang dimiliki oleh. Untuk membuktikan submatriks utama dari matriks definit positif juga merupakan matriks definit positif, sesuai dengan Definisi 2.15 akan diperlihatkan bahwa 0 untuk semua taknol dalam. Menurut definisi,, dan diperoleh 0 untuk taknol dalam. Jadi terbukti bahwa submatriks utama dari matriks definit positif juga merupakan matriks definit positif. Contoh 2.14: Misalkan diberikan matriks definit positif dan submatriks utama matriks pada Contoh 2.7, maka akan diperlihatkan bahwa semua submatriks utama juga merupakan matriks definit positif. i) Submatriks utama berukuran , 0 dan 1, 0 maka dengan 0. Terbukti 1 adalah matriks definit positif. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa 2 dan 3 juga matriks definit positif (Lampiran 7). ii) Submatriks utama berukuran 22 1, , dan 0 1,2, maka 1,2 1,21,2

8 dengan 0 dan 0. Terbukti 1,2 adalah matriks definit positif. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa 1,3 dan 2,3 juga matriks definit positif (Lampiran 7). iii) Submatriks utama berukuran Karena 1,2, , dan diketahui adalah matriks definit positif, maka 1,2,3 juga merupakan matriks definit positif. III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai matriks kuasidefinit dan beberapa sifatnya antara lain: matriks kuasidefinit merupakan matriks taksingular; invers dari matriks kuasidefinit merupakan matriks kuasidefinit; dan matriks kuasidefinit merupakan matriks strongly factorizable; yang merupakan inti dari tulisan ini. 3.1 Matriks Kuasidefinit Definisi 3.1 Suatu matriks simetrik dikatakan kuasidefinit jika mempunyai bentuk: (3) dengan dan adalah matriks definit positif dengan, 0. [Vanderbei 1995] Contoh 3.1: Misalkan diberikan matriks merupakan matriks kuasidefinit dengan matriks matriks definit positif (Contoh 2.12) dan juga matriks definit positif (Contoh 2.13). Sedangkan matriks bukan merupakan matriks kuasidefinit karena matriks 1 3 bukan matriks definit 3 1 positif (Contoh 2.12). 3.2 Sifat-sifat Matriks Kuasidefinit Berikut ini akan dijelaskan sifat-sifat dari matriks kuasidefinit. Teorema 3.1 Matriks kuasidefinit merupakan matriks taksingular. [Vanderbei 1995] Menurut Teorema 2.3, untuk membuktikan bahwa merupakan matriks taksingular adalah dengan menunjukkan bahwa det 0. Karena adalah matriks definit positif (oleh karena itu taksingular), maka matriks taksingular (Teorema 2.2). Sesuai dengan Teorema 2.7 didapat det det det. (4) Karena matriks taksingular, maka sesuai dengan Teorema 2.3, det 0. Begitu pula karena matriks merupakan matriks definit positif (bukti lihat Lampiran 8), maka det 0 (Teorema 2.11).

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)

Lebih terperinci

MATRIKS KUASIDEFINIT SUGENG MULYADI

MATRIKS KUASIDEFINIT SUGENG MULYADI MATRIKS KUASIDEFINIT SUGENG MULYADI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009 ABSTRAK SUGENG MULYADI. Matriks Kuasidefinit. Dibimbing oleh FARIDA

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta

Lebih terperinci

03-Pemecahan Persamaan Linier (2)

03-Pemecahan Persamaan Linier (2) -Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2 Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut

Lebih terperinci

BAB III MATRIKS HERMITIAN. dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks

BAB III MATRIKS HERMITIAN. dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks BAB III MATRIKS HERMITIAN Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks Hermitian merupakan kelas

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: = BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam

Lebih terperinci

MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI

MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI 214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi

Lebih terperinci

MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS

MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

Lebih terperinci

BAB 3 FUNGSI MONOTON MATRIKS

BAB 3 FUNGSI MONOTON MATRIKS BAB 3 FUNGSI MONOTON MATRIKS Pada bab ini akan dibahas fungsi monoton matriks. Dalam mengkontruksi fungsi monoton matriks banyak istilah yang harus kita ketahui sebelumnya. Beberapa konsep yang akan dibahas

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah

Trihastuti Agustinah TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS

Lebih terperinci

MATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.

MATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya

Lebih terperinci

Tujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse

Tujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam

Lebih terperinci

Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3

Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3 Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung

Lebih terperinci

DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS

DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks

Lebih terperinci

a11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE

a11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7 Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan

Lebih terperinci

Part II SPL Homogen Matriks

Part II SPL Homogen Matriks Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut: BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks

BAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks 1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi

Lebih terperinci

6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1

6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1 6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli

Lebih terperinci

Matriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.

Matriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3. MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar

Lebih terperinci

Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks

Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan

Lebih terperinci

ALGORITMA PEMBANGUN MATRIKS KORELASI TUGAS AKHIR

ALGORITMA PEMBANGUN MATRIKS KORELASI TUGAS AKHIR ALGORITMA PEMBANGUN MATRIKS KORELASI TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh HELMAVIRA 0654004474 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS

Lebih terperinci

MATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)

MATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks

Lebih terperinci

ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR

ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 313 322. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL

Lebih terperinci

Pertemuan 2 Matriks, part 2

Pertemuan 2 Matriks, part 2 Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen

Lebih terperinci

MATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika

MATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan

Lebih terperinci

DETERMINAN. Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujursangkar (matriks kuadrat). Notasi determinan matriks A: Jika diketahui matriks A:

DETERMINAN. Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujursangkar (matriks kuadrat). Notasi determinan matriks A: Jika diketahui matriks A: DETERMINAN Definisi Determinan Matriks Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi elemen matriks bujur sangkar.jika subskrip permutasi elemen matriks adalah genap (inversi

Lebih terperinci

MATRIKS Matematika Industri I

MATRIKS Matematika Industri I MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu

Lebih terperinci

MATRIKS Matematika Industri I

MATRIKS Matematika Industri I MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu

Lebih terperinci

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Lebih terperinci

MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )

MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 ) MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.

Lebih terperinci

MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG

MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI

Lebih terperinci

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang

Lebih terperinci

BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau

Lebih terperinci

Part III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti

Part III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)

Lebih terperinci

TUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi

TUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur

Lebih terperinci

Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks

Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b

Lebih terperinci

METODE BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN DARI MATRIKS TUGAS AKHIR YESPI ENDRI

METODE BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN DARI MATRIKS TUGAS AKHIR YESPI ENDRI METODE BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN DARI MATRIKS TUGAS AKHIR Diajukan sebagai salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh: YESPI ENDRI 10854004331 FAKULTAS SAINS

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab

Lebih terperinci

Bab 2 LANDASAN TEORI

Bab 2 LANDASAN TEORI 17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga

Lebih terperinci

Matriks Jawab:

Matriks Jawab: Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan

Lebih terperinci

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Suatu matriks A C m n dikatakan memiliki faktorisasi LU jika matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai A = LU dengan L C m m matriks invertibel segitiga bawah

Lebih terperinci

MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS MENGGUNAKAN METODE SALIHU

MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS MENGGUNAKAN METODE SALIHU MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS MENGGUNAKAN METODE SALIHU DENGAN Andi Bahota 1*, Aziskhan 2, Musraini M. 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen JurusanMatematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi

Lebih terperinci

KAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS

KAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 279 284. KAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS Adrianus Sumitro, Nilamsari Kusumastuti, Shantika Martha

Lebih terperinci

MENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR

MENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR MENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh: IRMA

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.

Lebih terperinci

Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:

Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri

Lebih terperinci

BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil

BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nn ke dalam hasil kali berbentuk PDP, di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh

Lebih terperinci

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal 7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada

Lebih terperinci

Jln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos Perintis Kemerdekaan Street, Makassar, Indonesia, Post Code 90245

Jln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos Perintis Kemerdekaan Street, Makassar, Indonesia, Post Code 90245 PERTIDAKSAMAAN DETERMINAN UNTUK MATRIKS SEMIDEFINIT POSITIF Williem Prasetia Widiatno 1), Amir Kamal Amir 2), Naimah Aris 3) williemprasetia@yahoo.com 1), amirkamir@science.unhas.ac.id 2), newima@gmail.com

Lebih terperinci

Contoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan

Contoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks

Lebih terperinci

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,

Lebih terperinci

MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR

MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.

Lebih terperinci

Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5

Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5 Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks

Lebih terperinci

5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.

5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel. 1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer MUG1E3 3 SKS

Aljabar Linear Elementer MUG1E3 3 SKS // ljabar Linear Elementer MUGE SKS // 9:7 Jadwal Kuliah Hari I Selasa, jam. Hari II Kamis, jam. Sistem Penilaian UTS % US % Quis % // 9:7 M- ljabar Linear // Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan

Lebih terperinci

INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN

INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN Saintia Matematika ISSN: 2337-997 Vol 02, No 0 (204), pp 85 94 INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN Bakti Siregar, Tulus, Sawaluddin Abstrak: Pencarian invers matriks adalah suatu hal

Lebih terperinci

Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks

Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembahasan mendasar mengenai matriks terutama yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi telah jelas disajikan dalam referensi yang biasanya digunakan

Lebih terperinci

M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR

M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga

Lebih terperinci

KONSTRUKSI MATRIKS SINGULAR DARI SUATU MATRIKS YANG MEMENUHI SIFAT KHUSUS TUGAS AKHIR

KONSTRUKSI MATRIKS SINGULAR DARI SUATU MATRIKS YANG MEMENUHI SIFAT KHUSUS TUGAS AKHIR KONSTRUKSI MATRIKS SINGULAR DARI SUATU MATRIKS YANG MEMENUHI SIFAT KHUSUS TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : EKA WAHYUDININGSIH

Lebih terperinci

OPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL

OPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 05, No. 1 (2016), hal 9-18 OPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL Dodi Arianto, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI

Lebih terperinci

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66 MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi

Lebih terperinci

SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks

SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN MATEMATIKA MINGGU KE SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304 POKOK & SUB POKOK TUJUAN INSTRUKSIONAL TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier

PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Lebih terperinci

DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI

DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Sistem Persamaan Linier dan Matriks Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua

Lebih terperinci

Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift

Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 1(A) 14103 Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Yuli Andriani Jurusan Matematika FMIPA,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non linier Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini dibahas tentang matriks, metode pengganda Lagrange, regresi

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini dibahas tentang matriks, metode pengganda Lagrange, regresi BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dibahas tentang matriks, metode pengganda Lagrange, regresi linear, metode kuadrat terkecil, restriksi linear, multikolinearitas, regresi ridge, uang primer, dan koefisien

Lebih terperinci

& & # = atau )!"* ( & ( ( (&

& & # = atau )!* ( & ( ( (& MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan

Lebih terperinci

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI

Lebih terperinci

6 Sistem Persamaan Linear

6 Sistem Persamaan Linear 6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus

Lebih terperinci

DETERMINAN, INVERS, PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

DETERMINAN, INVERS, PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DETERMINAN, INVERS, PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DETERMINAN Definisi Setiap matriks kuadrat/persegi mempunyai suatu nilai khusus yang diseut determinan. determinan adalah jumlah hasil kali elementer

Lebih terperinci

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)

Lebih terperinci

Matematika Teknik INVERS MATRIKS

Matematika Teknik INVERS MATRIKS INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau

BAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah

Lebih terperinci

MATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.

MATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j. MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun

Lebih terperinci

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. . INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A = NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah

Lebih terperinci

8 MATRIKS DAN DETERMINAN

8 MATRIKS DAN DETERMINAN 8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2. SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1

Lebih terperinci

DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT

DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT Jurnal UJMC, Volume 3, Nomor 2, Hal 7-24 pissn : 2460-3333 eissn : 2579-907X DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT Randhi N Darmawan Universitas PGRI Banyuwangi, randhinumeric@gmailcom Abstract The Hilbert matrix

Lebih terperinci

PENYELESAIAN INVERS MATRIKS MENGGUNAKAN METODE GENERALIZED INVERSE TUGAS AKHIR

PENYELESAIAN INVERS MATRIKS MENGGUNAKAN METODE GENERALIZED INVERSE TUGAS AKHIR PENYELESAIAN INVERS MATRIKS MENGGUNAKAN METODE GENERALIZED INVERSE TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh DESI MURNITA 9 FAKULTAS

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).

II. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world). 5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian

Lebih terperinci