MODUL 3 FAKTORISASI LU, PARTISI MATRIK DAN FAKTORISASI QR
|
|
- Susanti Budiman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MODUL 3 FAKTORISASI LU, PARTISI MATRIK DAN FAKTORISASI QR KOMPETENSI: 1. Memahami penggunaan faktorisasi LU dalam penyelesaian persamaan linear.. Memahami penggunaan partisi matrik dalam penyelesaian persamaan linear. 3. Memahami penggunaan faktorisasi QR dalam penyelesaian persamaan linear. 4. Mengetahui kegunaan dan efisiensi masing masing algoritma dalam hal beban perhitungannya. I. DASAR TEORI Untuk berbagai keperluan teknik sering kita jumpai sistem persamaan linear simultan, yang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan matrik, misalnya Ax = b. A adalah matrik bujur sangkar dengan ordo (dimensi) n x n, A dan b adalah matrik dan vektor kolom yang diketahui, sedangkan x adalah vektor kolom yang akan dicari. Peyelesaian sistem persamaan tersebut adalah : x = A 1. b Akan tetapi untuk memperoleh penyelesaian persamaan ini kita harus mencari invers matrik A. Seringkali muncul kesulitan di sini, karena mencari invers suatu matrik tidaklah mudah, apalagi untuk matrik yang berdimensi besar (n>4). Apalagi kalau matriknya tidak bujursangkar, melainkan persegi panjang. Faktorisasi pada dasarnya adalah membentuk suatu matrik bujur sangkar sebagai perkalian dua matrik segitiga. Yang satu adalah matrik segitiga bawah (lower triangular matrix) dan yang satunya adalah matrik segitiga atas (upper triangular matrix). Secara sistematis dapat dituliskan A = L U. Faktorisasi ini disebut faktorisasi LU atau kadang kadang disebut faktorisasi LR. Dengan faktorisasi kita dapat menyelesaikan sistem persamaan Ax = b tanpa harus mencari invers matrik A. Langkah langkah yang dibutuhkan untuk menyelesaikan sistem persamaan diatas adalah sebagai berikut: Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 1 dari 18
2 1. Faktorisasi, tetapkan matrik L dan U, sehingga A = L U. Di sini L adalah matrik segitiga bawah satuan (matrik segitiga bawah dengan elemen diagonal 1), sedangkan U adalah matrik segitiga atas.. Definisikan y = u x, tetapkan harga y dari persamaan linier L y = b. Ini dapat dilakukan dengan aljabar biasa tanpa harus melakukan operasi invers terhadap matrik L. 3. Setelah itu tetapkan x dari persamaan U x = y. Di sini juga tidak diperlukan operasi invers terhadap matrik U. Contoh di bawah ini akan mengillustrasikan prosedur di atas : 6 A = B = Dengan faktorisasi, persamaan matrik di atas dapat ditulis menjadi : , x1 x = x3 3 L U x = b Definisikan y = U x, sehingga L y = b. Dari situ dapat kita hitung y1, y dan y3 dengan persamaan: y1 15, 1 0 y = 3 1 y 3 3 L y = b sehingga diperoleh: y1 = y = 5 y3 = 14 Setelah vektor kolom y ditemukan, nilai nilai x1, x dan x3 dapat pula dihitung dari persamaan: 6 x x = x 3 14 U x = y sehingga diperoleh: x1 = Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman dari 18
3 x = 1 x3 = Dengan demikian, sistem persamaan kita tadi sudah diperoleh penyelesaiannya. Proses faktorisasi A menjadi LU merupakan langkah yang mahal, yaitu kira kira sebanding dengan operasi perkalian sebanyak n 9. ALGORITMA FAKTORISASI DOOLITTLE. Algoritma faktorisasi L U yang paling populer adalah faktorisasi Doolittle yang menggunakan langkah langkah sebagai berikut: 1. Didefinisikan suatu matrik A dengan notasi (a i,j ) dimana I adalah baris matrik A dan j adalah kolom matrik A.. Langkah ke 1: untuk k=1, u 1,j = a 1,j (untuk j = k, k+1,...n) l j,1 = a j,1 /u 1,1 (untuk j = k, k+1,...n) 3. Langkah ke : untuk k =,3,... (n 1), u l k, j j,k = a = a k, j j,k 4. Langkah ke 3: untuk k=n, k 1 l k,i i= 1 k 1 i= 1 l j,i u u i, j i,k / u k,k (untuk j = k, k +1,... n) u l n,n n,n n = a n,n i= = l n,i u i,n 5. Algoritma sudah selesai. Matrik L dan U sudah dapat diperoleh. Contoh: Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 3 dari 18
4 = , , A = L U PARTISI MATRIKS Suatu matrik A dapat dipartisi atau disekat dalam bagian berupa matrik (sub matrik) sebagai berikut: A = A = dimana A 11, A 1, A 1, A adalah sebagai berikut : A 11 A A A 1 1 A 11, 8 = A 1, 0 7 = A 1, = 0 0 = A, 1 4 A. Operasi Matrik dalam bentuk Partisi Operasi matrik dalam bentuk partisi hanya dapat dilakukan bila masing masing elemen partisi mempunyai kesesuaian (mempunyai baris dan kolom yang sama), misalnya: A A A = 11 1 A A 1 maka : B B = B B 11 1 B 1 A+ B = A + B A + B A + B A + B Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 4 dari 18
5 Operasi dalam bentuk partisi mempunyai keuntungan sebagai berikut: 1. Kesederhanaan dalam penulisan. Segi efisiensi lebih baik B. Algoritma Invers dengan Partisi Matriks Suatu matrik A dapat dipartisi menjadi: B b A = c T β Maka penyelesaian untuk A x = b, dengan mencari A 1. Dimisalkan suatu matrik: A 1 P q = r T σ maka A A 1 = I atau A 1 A = I. AA B b = c β P r q σ T BP + br Bq + σb = T T T c P+ βr c q+ βσ I = T T T Dari persamaan di atas melalui substitusi kemudian didapatkan: 1 T 1 1 B bc B P = B + T 1 β c B b r T 1 T = c P β 1 σ = T 1 β c B b 1 q = σb b Algoritma Untuk Menetapkan A 1 dari A B b A = c T β Langkah langkah: 1. Tetapkan B 1 A 1 P q = r T σ Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 5 dari 18
6 . Hitung v = B 1 b 3. Hitung σ = β 1 4. P = B 1 + σ v c T B 1 5. q = σ v T 6. r = 1 c β T P c T v Algoritma selesai dan telah didapatkan matrik A 1. Keuntungan memakai cara partisi ini adalah perhitungan invers matrik A dilakukan dalam ukuran yang lebih kecil. FAKTORISASI QR Faktorisasi QR pada dasarnya sama dengan faktorisasi LU, hanya saja faktorisasi QR ini dapat digunakan baik untuk matrik bujur sangkar maupun untuk matrik persegi panjang. Matrik A dapat difaktorisasikan dalam perkalian matrik orthonormal dan matrik segitiga atas. Faktorisasi QR ini dapat digunakan utuk menyelesaikan persamaan linear A x = b, sehingga penyelesaian itu didapatkan dengan langkah, yaitu: 1. y = Q T * b. x = R\y ARTI PERMUTASI PADA FAKTORISASI LU MATLAB Sebelum melakukan faktorisasi, MATLAB melakukan suatu proses yang dinamakan pivoting terlebih dahulu. Pivoting ini disebut dengan permutasi, yaitu menempatkan nilai terbesar dari data pada kolom pertama (sembarang baris) ke baris pertama kolom pertama. Keterangan di atas dapat di tulis sebagai berikut : P*X = L*U dimana X adalah matrik yang ingin kita cari faktorisasinya, P adalah matrik permutasi, L adalah matrik segitiga bawah, dan U adalah matrik segitiga atas. Bila matrik A (3 kali 3) pada contoh di depan dicari faktorisasinya dengan menggunakan MATLAB, maka akan didapatkan hasil yang berbeda karena pada MATLAB sebelumnya sudah dilakukan pivoting yang meletakkan elemen terbesar pada baris pertama, baru kemudian dilakukan algoritma untuk menghitung LU nya. Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 6 dari 18
7 6 Contoh : A = Bila dituliskan sintaks [L,U,P] = lu(a), maka akan menghasilkan hasil sebagai berikut : L = U = P = Matrik P diatas berarti bahwa baris ketiga dipindah ke baris pertama (karena bernilai paling besar yaitu sama dengan 4). Bila ditulis dengan sintaks [l,u] = lu(a), maka akan menghasilkan hasil sebagai berikut : l = u = Tampak bahwa l bukan matrik segitiga bawah murni karena L (matrik segitiga bawah) sudah dikalikan dengan inv(p) dan yang kemudian menghasilkan l. Penulisan sintaks di atas adalah benar kedua duanya dan hasilnya juga kedua duanya benar. Penjabarannya adalah sebagai berikut : P * A = L * U inv(p) * P *A = inv(p) * L* U A = inv(p) * L * U ; inv(p)*l = l dan U = u A = l * u Jadi seandainya tidak ada pertukaran komponen baris (permutasi berupa matrik identitas) maka nilai l dan u dengan sintaks [l,u] = lu(a) sama dengan nilai L dan U dengan sintaks [L,U,P] = lu(a). II. DEMO KASUS: Menghadapi Semester Genap 005/006, fakultas teknologi industri, ekonomi dan hukum membeli perlengkapan perkuliahan sebagai tambahan fasilitas pada masing masing fakultas, yakni unit komputer, proyektor dan whiteboard. Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 7 dari 18
8 Fakultas teknologi industri membeli 10 unit komputer, 5 buah proyektor dan 3 buah whiteboard. Fakultas ekonomi membeli unit komputer, 3 buah proyektor dan sebuah whiteboard. Sedangkan fakultas hukum membeli 3 unit komputer, sebuah proyektor dan juga sebuah whiteboard. Untuk kesemuanya itu, pihak fakultas tekonologi industri harus mengeluarkan biaya 3650 US$, fakultas ekonomi mengeluarkan biaya 950 US$ dan fakultas hukum mengeluarkan biaya 1050 US$. Tentukan harga 1 unit komputer, 1 buah proyektor dan 1 buah whiteboard dengan menggunakan MatLab! LANGKAH KERJA: A. Membuat Model matematis Perumusan model matematis (persamaan linear simultan) untuk masalah ditas adalah sbb: x1 + 3x + x3 = 13 3x1 + x + 3x3 = 16 x1 + 1x + x3 = 7 B. Mengubah Model Matematis ke Bentuk Matriks A x = b [A] [x} = [b] x1. = x x C. Solusi dengan teknik Faktorisasi LU menggunakan Matlab : Prinsip Penyelesaian dengan Faktorisasi LU A x = b L U x = b ( A = L U) L y = b ( y = U x ) y = L \ b x = U \ y 1. Menentukan matriks A ( A x = b ) Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 8 dari 18
9 >> A = [ 1 3 ; 3 3; 1 1 ] A = Menentukan vector kolom b ( A x = b ) >> b = [ 13; 16; 7 ] b = Mencari L dan U >>[L,U]=lu(A) L = U = Mencari nilai y ( y = U*x ; L y = b ) >> y=l\b y = Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 9 dari 18
10 Mencari nilai x ( x = U\y ) >> x=u\y x = Sehingga didapatkan nilai dari x1, x dan x3 dalam bentuk matriks. Jadi x1 = 1 x = x3 = 3 D. Solusi dengan teknik Faktorisasi QR menggunakan Matlab Prinsip Penyelesaian dengan Faktorisasi QR A X = b Y = Q T \ b X = R \ Y ( Q T = Q = inv(q)) Catatan : Karena Matriks A dan vector kolom x serta vector kolom b telah didefinisikan sebelumnya maka tidak perlu mengulang langkah membuat matriks A, vector kolom x dan vector kolom b. 1. Mencari Q dan R >> [Q,R]=qr(A) Q = Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 10 dari 18
11 R = Mencari nilai Y ( Y = Q T *b ) >> Y = Q'*b Y = Mencari nilai X ( X = R\Y ) >> X = R\Y X = Sehingga didapatkan nilai dari X1, X dan X3 dalam bentuk matriks Jadi X1 = X =.0000 X3 = KESIMPULAN Baik penggunaan cara faktorisasi LU maupun faktorisasi QR dalam menyelesaikan persamaan linier akan menghasilkan nilai yang sama besar Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 11 dari 18
12 III. LATIHAN TERPANDU LANGKAH LANGKAH KERJA: 1. Hidupkan komputer anda dan tunggu sampai keluar prompt C.. Jalankan program MATLAB. 3. Pada langkah percobaan di bawah ini, menggunakan fungsi builtin dari Matlab yaitu fungsi lu, cara yang digunakan adalah sintaks: [L,U] = lu(a) 4. Langkah pertama, masukkan suatu komponen matrik A sebagai berikut: A = Untuk melihat faktorisasi LU, gunakan fungsi HELP MATLAB. Catatlah / print lah HELP nya. Sintaksnya : >>[L,U] = lu(a) Catat hasilnya! 6. Untuk mencek apakah hasil permutasinya sudah benar atau tidak maka dapat dilakukan perkalian matrik L dan U dengan : >> L*U 7. Cari invers dari contoh matrik di atas dengan : >> X =inv(a) Invers juga dapat dicari dengan menggunakan invers dari matrik dan U. >> X=inv(U)*inv(L) 8. Cari determinan dari contoh di atas : >> d1 = det(a) kemudian hitung determinan dari matrik L dan U : >> d = det(l)*det(u) Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 1 dari 18
13 Catat hasilnya! Dari dua determinan diatas keduanya mempunyai format yang berbeda, mengapa hal itu terjadi? 9. Sekarang buat suatu contoh sistem persamaan linear A x = b, b adalah vektor kolom dengan komponen komponen : b 11 = 00, b 1 = 400, b 31 = 600, atau : >> b = [ 00 ; 400 ; 600 ] Carilah penyelesaian dari persamaan A x = b dengan MATLAB, dengan operasi pembagian matrik : >> x = A\b Catat hasilnya! Kemudian dengan faktorisasi LU selesaikan pula persamaan itu dengan sistem dua matrik segitiga: >> y = L\b >> x = U\y. 10. Buat suatu matrik A dengan elemen elemen sebagai berikut (dalam MATLAB): A = Lalu cari invers dengan matrik partisi sebagai berikut: Buat matrik partisinya dahulu: >> A11 = A(1:,1:) >> A1 = A(1:,3) >> A1 = A(3,1: ) >> A = A(3,3) kemudian selesaikan satu persatu: >> AI = inv(a11) >> C = AI*A1 Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 13 dari 18
14 >> B = 1/(A A1*C) >> B11 = AI+B*C*A1*AI >> B1 = B*C >> B1 = (A1*B11)/A Setelah diketahui elemen elemennya sekarang gabungkan matrik tersebut dengan perintah: >> B = [ B11 B1; B1 B] Disini B adalah invers dari matrik A. Sekarang bandingkan dengan menginvers langsung A : >> B = inv(a) dan bandingkan antara B dan B. Catat hasilnya! 11. FAKTORISASI QR Buatlah matrik dengan komponen komponen sebagai berikut: 6 5 A = Buatlah faktorisasi QR. Carilah helpnya pada HELP MATLAB! Sintaksnya adalah : >>[Q,R] = qr(a) Cetaklah hasilnya! 1. Cari penyelesaian persamaan linear berikut dengan matriks A seperti pada soal 11 Ax = b, dengan elemen b b = Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 14 dari 18
15 dengan cara pembagian matrik : >> x = A\b Catat hasilnya! 13. Kemudian bandingkan dengan cara berikut: >> y = Q * b >> x = R \ y Catat hasilnya! 14. Cek hasilnya dengan mengalikan matrik A dengan penyelesaian matrik x : >> A*x Catat hasilnya! PRAKTIKAN KOMPUTASI DASAR A(4). mencari invers matrix dengan metode det, SMW dan metode iterasi. Tujuan pokok unit kegiatan praktikum ini adalah MATLAB sebagai alat untuk penetapan invers sebuah matrix bujur sangkar dalam rangka menyelesaikan persamaan linear simultan. Metode det menetapkan nilai determinan dari matrix bujur sangkar. Metode SMW menetapkan invers sebuah matrix dengan rumus SMW. Rumus untuk menetapkan invers dengan metode iterasi adalah: X baru := X lama (I AX lama ) dengan taksiran awal X o harus dipilih dengan bijaksana, yaitu X o : = (1/c)A T dengan c := nilaipribadi yang terbesar dari matrix A T A. Rumus Sherman Morrison Woodbury: ( A + u v T ) 1 = A 1 Perhatikanlah, bahwa β 1 + v T A 1 u bernilai real. 1 v T 1+ A 1 u A 1 u v T A 1 Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 15 dari 18
16 Apakah kehebatan relasi ini? Amatilah bahwa sebenarnya ada dua buah matrix A dan B, dengan B hanya berbeda dari A sebesar u v T saja, yaitu B = A + uv T. Menurut SMW, jika A telah diketahui inversnya, maka invers dari B dapat dihitung dengan melakukan koreksi atas invers A. Sebagai ilustrasi sederhana, diketahui bahwa H memiliki invers dibawah ini, yang dapat dibuktikan dengan langsung memperkalikan kedua matrix itu H Sekarang ingin ditetapkan invers dari matrix G Tampaklah, bahwa matrix G berbeda dari H 1 hanya pada elemen pada pojok kiri atas. Oleh karena itu, karena G = +, maka teramati bahwa dalam relasi SMW tersebut A = H 1, dan u = v = e 1. Jadi karena β 1 + v T A 1 u = 1 + [ ] maka = A 1 1 β A 1 u v T A 1 Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 16 dari 18
17 G = Mencari invers sembarang matrix Z. Atas dasar kenyataan itu, invers sembarang matrix Z (jika invers itu ada) dapat ditetapkan dengan penerapan berulang ulang relasi SMW, bertolak dari fakta awal, misalnya, bahwa invers dari matrix satuan adalah matrix satuan juga. Berhubung dengan kenyataan itu dapatlah ditulis Z = I + (Z I). Dalam notasi matrix dapat ditulis (Z I) = [ u 1 u u 3 u n ], dengan u k adalah vektor yang dibentuk oleh kolom ke k dari matrix (Z U). Atas dasar itu diperoleh sehingga dengan menulis pula B o + I (Z I) = u 1 e 1 T + u e T + u 3 e 3 T + + u n e n T Z = B o + u 1 e 1 T + u e T + u 3 e 3 T + + u n e n T. Rumusan ini merupakan basis yang bagus bagi penerapan berulang SMW: B o = I B o = I T B 1 = B o + u 1 e 1 B 1 = (B o + u 1 e T 1 ) 1 dapat dihitung dengan SMW T B = B 1 + u e B = (B 1 + u e T ) 1 dapat dihitung dengan SMW T B 3 = B + u 3 e 3 B 3 = (B + u 3 e T 3 ) 1 dapat dihitung dengan SMW M B n = B n 1 + u 1 e 1T B 1 n = (B n 1 + u n e T n ) 1 = Z 1 yang ingin ditetapkan. Program MATLAB untuk itu adalah sebagai berikut: function [a] = smw(a) % mencari invers dengan sherman morrison woodbury % matrix a harus diinputkan lebih dahulu [m,n] = size(a); z = a eye(n,n); a = eye(n,n); Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 17 dari 18
18 for k = 1:n zz = 1 + a(k,:)*z(:,k); a = a a*z(:,k)*a(k,:)/zz; end; Apakah yang terjadi jika penerapan berulang itu dilaksanakan atas matrix yang sebenarnya sudah diketahui bersifat singular? Mengingat matrix singular tidak memiliki invers penerapan SMW secara berulang haruslahjuga tidak menghasilkan invers. Artinya, pastilah ada tahap penerapan SMW yang mengalami kegagalan. Dan itu dengan mudah terjadi pada tahapan dimana β 1 + e k T B k 1 u k = 0. Atau, itu terjadi pada tahapan itu kombinasi antara e k T dan u k dalam e k T B k 1 u k = 1. Modul 4 Faktorisasi LU, Partisi Matriz dan Faktorisasi QR halaman 18 dari 18
03-Pemecahan Persamaan Linier (2)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciSolusi Sistem Persamaan Linear Ax = b
Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b Kie Van Ivanky Saputra April 27, 2009 K V I Saputra (Analisis Numerik) Kuliah Sistem Persamaan Linier c April 27, 2009 1 / 9 Review 1 Substitusi mundur pada sistem
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciM AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciPertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar)
Lebih terperinciSolusi Persamaan Linier Simultan
Solusi Persamaan Linier Simultan Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan linier 2. Mengerti metode eliminasi gauss. 3. Mampu menggunakan metode eliminasi gauss untuk mencari solusi 1. Sistem
Lebih terperinciBAB 4 Sistem Persamaan Linear. Sistem m persamaan linear dalam n variabel LG=C adalah himpunan persamaan linear
BAB 4 Sistem Persamaan Linear berbentuk Sistem m persamaan linear dalam n variabel LG=C adalah himpunan persamaan linear Dengan koefisien dan adalah bilangan-bilangan yang diberikan. Sistem ini disebut
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciKonsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Sebagian besar dari sejarah ilmu pengetahuan alam adalah catatan dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang dapat menguraikan permasalahan
Lebih terperinciBab 7 Sistem Pesamaan Linier. Oleh : Devie Rosa Anamisa
Bab 7 Sistem Pesamaan Linier Oleh : Devie Rosa Anamisa Pendahuluan Bentuk umum dari aljabar linier sebagai berikut: a11x1 + a12a 12X2 +... + a1na 1nXn = b1b a21x1 + a22a 22X2 +... + a2na 2nXn = b2b...............
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciKeunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi
Keunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi Elvina Riama K. Situmorang 55) Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Lebih terperinciMODUL PRAKTIKUM 6. Determinan dan Sistem Persamaan Linier. cukup dengan perintah det(a). Coba lihatlah contoh di bawah ini
MODUL PRAKTIKUM 6 Determinan dan Sistem Persamaan Linier Determinan sebuah matriks A yang berorde 2 x 2 didefinisikan sebagai A= a 11 a 12 a 21 a 22 =a 11 a 22 a 12 a 21 Untuk menentukan determinan A dalam
Lebih terperinciTUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi
TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciContoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciMATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciBAB 2 ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA
BAB 2 ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Analisis data, khususnya estimasi parameter dalam regresi multivariat, banyak melibatkan operasi matriks. Dalam bab ini akan dibahas teori matriks yang banyak terkait
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Dra. Sri Haryatmi Kartiko, M.Sc. I PENDAHULUAN lmu pengetahuan dewasa ini menjadi semakin kuantitatif. Data numerik dengan skala besar, hasil pengukuran berupa angka sering dijumpai oleh
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciMATRIKS. Slide : Tri Harsono PENS - ITS. 1 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS) - ITS
MATRIKS Slide : Tri Harsono PENS - ITS 1 Sifat Matriks Perkalian dua matriks tidak komutatif Perkalian dua matriks bersifat assosiatif dan distributif tidak komutatif AB BA (AB)C = A(BC) A(B+C) = AB +
Lebih terperinciBAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU
BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU Sistem persamaan linear orde/ tingkat satu memiliki bentuk standard : = = = = = = = = = + + + + + + + + + + Diasumsikan koefisien = dan fungsi adalah menerus
Lebih terperinciMODUL 1 PENGANTAR PROGRAM MATLAB DAN PENGGUNAANNYA UNTUK ALJABAR MATRIKS SEDERHANA
MODUL 1 PENGANTAR PROGRAM MATLAB DAN PENGGUNAANNYA UNTUK ALJABAR MATRIKS SEDERHANA KOMPETENSI: 1. Mengenal dan dapat mengoperasikan program MATLAB pada PC. 2. Memiliki ketrampilan dasar menggunakan MATLAB
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciAPLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS
Jurnal UJMC, Volume, Nomor, Hal 36-40 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X APLIKASI METODE PANGKAT DALAM MENGAPROKSIMASI NILAI EIGEN KOMPLEKS PADA MATRIKS Novita Eka Chandra dan Wiwin Kusniati Universitas
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciMetode Matriks Balikan
Metode Matriks Balikan MisalkanA -1 adalahmatriksbalikandaria. Sistempersamaan lanjar Ax = b dapat diselesaikan sebagai berikut: Ax= b A -1 Ax= A -1 b I x= A -1 b (A -1 A = I ) x= A -1 b Cara penyelesaiandenganmengalikanmatriksa
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Repeated Measurement Dalam repeated measurement setiap perlakuan menunjukkan pengukuran terhadap satu sampel (unit eksperimen ) atau beberapa sampel yang memiliki karakter sama
Lebih terperinciMODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
Lebih terperinciMatematika Teknik DETERMINAN
DETERMINN da satu cara lagi dalam menentukan solusi SPL dengan bekerja pada matriks koefisiennya. Cara berikut hanya akan berlaku untuk matriks koefiien berupa matriks bujursangkar atau SPL mempunyai banyak
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciDeterminan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
Lebih terperinci4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)
Lebih terperinciPENDAHULUAN A. Latar Belakang 1. Metode Langsung Metode Langsung Eliminasi Gauss (EGAUSS) Metode Eliminasi Gauss Dekomposisi LU (DECOLU),
PENDAHULUAN A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa.
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciTEKNIK INFORMATIKA FENI ANDRIANI
EKNIK INFORMIK FENI NDRINI Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom. a a... a n a a... a n... a
Lebih terperinciMETODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS
METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS Arif Prodi Matematika, FST- UINAM Wahyuni Prodi Matematika, FST-UINAM Try Azisah Prodi Matematika, FST-UINAM
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Statistika Multivariat Analisis statistika multivariat adalah teknik-teknik analisis statistik yang memperlakukan sekelompok variabel terikat yang saling berkorelasi sebagai
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MATRIKS CONTOH SOAL A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS)
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 10 Sesi N MATRIKS A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS) Masih ingat angka 1 kan, setiap bilangan yang dikali satu apakah berubah? Tentunya tidak. Matriks satuan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciBAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Lebih terperinciBAB 4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BAB 4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi,
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Suatu matriks A C m n dikatakan memiliki faktorisasi LU jika matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai A = LU dengan L C m m matriks invertibel segitiga bawah
Lebih terperinci