Ekuivalensi Norm-n dalam Ruang R d

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Statistika & Komputasi 1 Vol No 201 Ekuivalensi Norm-n dalam Ruang R d Taufik Akbar Muh Zakir uh Nur Abstrak Sebuah ruang vektor dapat dilengkapi lebih dari satu buah norm Hal yang sama juga pada perluasan dari konsep norm yaitu norm- dengan Oleh karena itu diperlukan kajian mengenai konsep ekuivalensi antar norm- tersebut Terdapat dua kategori ekuivalensi yaitu ekuivalensi secara norm- ekuivalensi secara barisan Fokus pada paper ini yaitu menunjukkan sepasang norm- pada suatu ruang vektor ekuivalen secara norm- jika hanya jika ekuivalen secara barisan Sehingga dapat ditunjukkan sebarang pasang norm- ekuivalen dalam ruang Kata Kunci: norm- kekonvergenan barisan dalam norm- ekuivalensi norm- ruang Abstract A vector space can be equipped with more than one norms The same thing also applies to the expansion of the concept of norms namely -norms with Therefore it is necessary to study the concept of equivalence between -norms There are two categories for equivalence equivalence of -norms and sequentially equivalent Focus on this paper is showing a pair of -norms on a vector space equivalent if and only if sequentially equivalent So that it can be shown arbitrary pair of -norms on space are equivalent Keywords : -norms convergence in -norms equivalence of n-norm space 1 Pendahuluan Norm merupakan fungsi dari ruang vektor real ke bilangan real yang memenuhi sifat-sifat tertentu Secara geometri norm menyatakan panjang dari suatu vektor Ruang vektor yang dilengkapi dengan norm disebut ruang norm Suatu ruang vektor dapat dilengkapi dengan lebih dari satu buah norm Terkait dengan hal ini maka tercetuslah ide mengenai konsep ekuivalensi di ruang norm Yaitu konsep yang mengkaji ekuivalensi antara norm-norm yang terdefinisi pada suatu ruang vektor Terdapat dua kategori ekuivalensi yaitu ekuivalensi secara norm ekuivalensi secara barisan Program S1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin

2 Jurnal Matematika Statistika & Komputasi 2 Vol No 201 Pada pertengahan tahun 1960-an Gähler memperkenalkan perluasan dari konsep norm yaitu konsep norm-2 norm- didefiniskan sebagai fungsi dari ke bilangan real yang memenuhi sifat-sifat tertentu Ruang vektor yang dilengkapi dengan norm- disebut ruang norm- Seperti pada ruang norm suatu ruang vektor dapat dilengkapi lebih dari satu buah norm- Akibatnya norm- pada suatu ruang vektor tidaklah tunggal Terkait dengan hal itu di ruang norm- dikenal konsep ekuivalensi norm- Selanjutnya konsep norm-2 tersebut diperumum menjadi norm- dengan Pembahasan mengenai konsep ekuivalensi norm- telah dibahas melalui ekuivalensi norm- di ruang norm- (Nur Fatimah 2012) Sementara kajiankajian mengenai konsep ekuivalensi norm- juga telah dibahas Diantaranya mengenai ekuivalensi norm- pada ruang barisan (A Mutaqin H Gunawan 2010) ekuivalensi norm- di ruang berdimensi hingga (TR Kristianto 2011) Berdasarkan latar belakang tersebut penelitian ini ditujukan mengkaji ekuivalensi norm- dalam ruang 2 Tinjauan Pustaka 21 Ruang Norm- Definisi 211 adalah ruang vektor real dengan dimensi Normpada didefinisikan sebagai pemetaan sehingga setiap memenuhi sifat: 1 jika hanya jika bergantung linear; 2 setiap permutasi dari ; 3 ; 4 Segkan pasangan ( ) disebut ruang norm- Proposisi 211 Jika adalah ruang norm- maka 1 setiap 2 setiap

3 Jurnal Matematika Statistika & Komputasi Vol No Bukti Ambil sebarang 1 Berdasarkan Definisi 311 (1) (2) Berdasarkan (1) (2) 2 Berdasarkan Definisi 311 (3) (4) Berdasarkan (3) (4) 22 Kekonvergenan Barisan di Ruang NormDefinisi 221 Barisan dalam konvergen ke suatu sehingga setiap jika setiap setiap Teorema 221 ruang norm- maka limit suatu barisan di adalah tunggal Bukti Andaikan = maks adalah limit Ambil sehingga setiap Namun mustahil Pengandaian lain yang menunjukkan bahwa limit salah atau dengan kata tunggal 3 Hasil Pembahasan 31 Ekuivalensi NormDefinisi 311 norm- di disebut ekuivalen jika setiap

4 Jurnal Matematika Statistika & Komputasi Vol No sehingga setiap Definisi 312 norm- di ekuivalen secara barisan jika setiap setiap Berlaku sehingga setiap jika hanya jika Dikarenakan norm- melibatkan n buah vektor dalam perumusannya maka pendefinisian ekuivalensi dua buah norm- bisa lebih dari satu macam versi maka Definisi pada paper ini merujuk pada Definisi (TR Kristianto 2011) Teorema 311 Dalam ruang norm- dua buah norm- ekuivalen jika hanya jika ekuivalen secara barisan Bukti Diketahui ekuivalen Ambil sebarang barisan bilangan asli sehingga setiap Karena ekuivalen (5) Sebaliknya jika (6) Berdasarkan (5) (6) diketahui i ekuivalen secara barisan tidak ekuivalen artinya : sehingga setiap sehingga ii sehingga setiap sehingga Pertama perhatikan bagian i bahwa setiap atau sehingga sehingga (7)

5 Jurnal Matematika Statistika & Komputasi Vol No 201 Definisikan 5 maka berdasarkan (7) =0 Dengan cara yang sama Jadi tidak ekuivalen secara barisan Kedua perhatikan bagian ii Dengan cara yang sama tidak ekuivalen secara barisan Karena kontraposisi maka disimpulkan bahwa jika maka ekuivalen di Secara keseluruhan ekuivalen secara barisan di ekuivalen di jika hanya jika ekuivalen secara barisan di Teorema berikut ini akan menunjukkan ekuivalensi sebarang pasang normdalam ruang Teorema 312 Sebarang pasang norm- dalam ruang ekuivalen Bukti ruang norm- dengan basis setiap maka setiap dinyatakan sebagai representasi tunggal Didefinisikan Akan dibuktikan setiap sehingga setiap (8) i maka ii Akan dibuktikan dibuktikan sehingga setiap Namun sebelumnya akan sehingga setiap (9) Jika (10) terpenuhi pertidaksamaan (10)

6 Jurnal Matematika Statistika & Komputasi Vol No 201 Jika 6 maka pertidaksamaan (10) ekuivalen dengan (11) Andaikan tidak ada pertidaksamaan (11) maka barisan yang memenuhi dari vektor-vektor yaitu sehingga Karena (12) maka berdasarkan Teorema Bolzano-Weierstrass mempunyai barisan bagian yang konvergen setiap Diperoleh barisan bagian dari dengan sehingga Karenanya Kontradiksi dengan (12) Terbukti maka yang memenuhi pertidaksamaan (10) Misal Akibatnya (13) Berdasarkan (13) setiap sehingga setiap Secara umum terbukti (8) 4 Penutup 41 Kesimpulan Seperti diketahui sebelumnya bahwa semua norm dalam ruang ekuivalen Perluasan konsep dari norm menjadi norm- menimbulkan pertanyaan mengenai konsep ekuivalensi norm- dalam ruang Dan setelah mengkaji kembali konsep ekuivalensi pada norm- berdasarkan Definisi dapat disimpulkan bahwa norm- pada suatu ruang vektor ekuivalen jika hanya jika ekuivalen secara barisan Lebih lanjut sebarang pasang norm- dalam ruang ekuivalen 41 Saran Dalam penulisan ini yang menjadi sasaran penulis yaitu mengenai konsep ekuivalensi norm- dalam ruang Untuk pengembangan kajian

7 Jurnal Matematika Statistika & Komputasi 7 Vol No 201 selanjutnya penulis menyarankan mengkaji konsep ekuivalensi normdalam ruang vektor lainnya seperti ekuivalensi norm- dalam ruang barisan Daftar Pustaka Gähler S 1964 Lineare 2-Normierte Raume Math Nachr Kreyzig E 1989 Introductory Functional Analysis with Applications John Wiley and Sons Kristianto TR 2011 Ekuivalensi Norm-n di Ruang Berdimensi Hingga Tesis Matematika Institut Teknologi Bandung Kristianto TR R Akbar WK H Gunawan 2011 Equivalence Relations of - Norms on a Vector Space Mutaqin Anwar H Gunawan 2010 Equivalence of -Norms on The Space of - Summable Sequences J Indones Math Soc 16