Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak :

Transkripsi

1 BAB III Pers Aljr Lier Seretk Betuk umum persm ljr lier seretk : x + x + + x = x + x + + x = x + x + + x = dim dlh koefisie-koefisie kost t, dlh kosttkostt d dlh yky persm Peyelesi persm lier seretk dpt dilkuk cr : Elimisi Elimisi Guss, Guss Jord Itersi Itersi Jcoi, Guss siedel Dekomposisi Dekomposisi lower-upper (LU), Cholesky x x = x Elimisi Guss Elimisi ilg ukow deg meggugk persmpersm Strtegi : meglik persm deg kostt gr slh stu ilg ukow k terelimisi ilm du persm digugk Keutuh : pemhm Opersi Mtrik Skem lgkh elimisi Guss ' ' '' x x x Forwrd Elimitio x x x = Bck Sustitutio = ' '' (E) (E) (E) Upper Trigulr System x = / x = ( - x) / x = ( - x - x) / Progrm Semi QUE IV Jurus Tekik Mesi Uirw 8

2 BAB III Pers Aljr Lier Seretk Lgkh elimisi mju : Elimisik x dri (E) d (E ), sumsi m = ; m = kurgk (m x (E )) pd (E ) d kurgk (m x (E )) pd (E ), sehigg : x + x + x = x + x = x + x = NB : td petik stu errti persm telh dimodifiksi stu kli Elimisik x dri (E), sumsi m = ' ' kurgk (m x (E )) pd (E ), sehigg : x + x + x = x + x = NB : x = td petik du errti persm telh dimodifiksi du kli Lgkh sustitusi mudur : x = / Sehigg dpt dirumusk : x = Utuk meghitug x sisy : x = ( - x) / (-) (-) x = ( - x - x) / Sehigg dpt dirumusk : xi = NB : (i - ) i (i - ) x ii j j = i + (i -) ii deg i =,,, Persm (E ) diseut Pivot Equtio, diseut koefisie Pivot d opersi perkli ris pertm deg / diseut segi Normlissi Progrm Semi QUE IV Jurus Tekik Mesi Uirw 9

3 BAB III Pers Aljr Lier Seretk Utuk kemudh dpt dipki mtrik dlm etuk komisi yg diseut deg Augmeted Mtrix (mtrik yg diperesr) Mslh hrus meghidri pemgi deg ol, sehigg mucul seut utuk metode ii yitu Elimisi Guss Nif Tekik utuk memperiki peyelesi Elimisi Guss : Pivotig Seelum tip ris diormlk, mk dilkuk peetu koefisie teresr yg tersedi Kemudi ris-ris terseut dipertukrk sehigg eleme teresr terseut merupk eleme pivot Sclig ergu dlm pemiiml glt pemult utuk ksus dim eerp persm mempuyi koefisie-koefisie yg juh leih esr dri liy Cotoh sol : Selesik persm simult erikut ii 7 x + x x = 85 () x + 5 x + x = 7 () x + x + 54 x = (c) Peyelesi : Pki mtrik dlm etuk Augmeted Mtrix (mtrik yg diperesr) E - /7 E E - /7 E 7,7,778 -, 54,7 85 5,,85 7 E,778/,7 E,7-85, 5, 5,9,89 deg megguk sustitusi mudur k diperoleh x, x, d x x =,89 / 5,9 =,9,7 x +, x = 5, x =,57 7 x + x - x = 85 x =,45 Progrm Semi QUE IV Jurus Tekik Mesi Uirw

4 BAB III Pers Aljr Lier Seretk Elimisi Guss-Jord Merupk Vrisi dri Elimisi Guss deg keutuh utuk meghitug mtrik ivers Strtegi : Lgkh elimisi meghsilk mtrik stu, sehigg tidk diperluk proses sustitusi mudur Skem lgkh elimisi Guss-Jord (E ) (E ) (E) Elimitio Mtrik Stu * * * NO Bck Sustitutio x = * x = * x = * Selesik sol yg sm pd metode Elimisi Guss : /7 E, 5 -,7 54,48 7 E E E E,,7,778 -,7, 54,7,48 5, /,7 E,85,,778 -,7, 54,7,48,88,85 E, E E,778 E -,7, 5,9,85,88,88 /5,9 E -,7,,85,88,9 E (-,7 E),4 x =,4 E, E,57 x =,57,9 x =,9 Progrm Semi QUE IV Jurus Tekik Mesi Uirw

5 BAB III Pers Aljr Lier Seretk Itersi Guss-Siedel Betuk umum persm lier seretk : x + x + x + + x = x + x + x + + x = x + x + x + + x = Dpt diuh etuky mejdi : x = ( - x + x - - x) x = x = x = ( - x + x - - x) ( - x + x - - x) ( - x - x - - (-) x(-)) Lgkh-lgkh Itersi Guss-Siedel Asumsik x = x = = x =, sehigg dpt diperoleh : x = Hsil dri x terseut dimsukk persm utuk medptk hrg x (dim x = = x = ), mk k diperoleh : x = ( - x ) Lgkh d dilkuk terus smpi diperoleh ili x d selesilh proses itersi yg pertm Kemudi hsil proses terseut dimsukk kemli pd persm utuk medptk hrg ukow dri x, x, x x pd proses itersi kedu, ketig d seterusy 4 Proses itersi erkhir il hsil dri itersi terkhir sm deg tu hmpir sm deg itersi seelumy Ii merupk kelemh metode itersi guss-siedel yitu proses khir itersi mejdi merguk Cotoh sol : Selesik persm simult erikut : 7 x + y z = 85 () x + 5 y + z = 7 () x + y + 54 z = (c) Progrm Semi QUE IV Jurus Tekik Mesi Uirw

6 BAB III Pers Aljr Lier Seretk Peyelesi : Persm di ts dpt diuh etuky mejdi : x = 7 ( 85 - y + z ) () y = 5 ( 7 - x - z ) () z = 54 ( - x - y ) () Itersi pertm Asumsik y = z =, sehigg dri persm () k diperoleh : 85 x = =,5 7 Hsil dri x terseut dimsukk persm () utuk medptk hrg y (sumsi z = ) y = 5 ( 7 - (,5) ) =,54 Msukk hsil x d y ke dlm persm (c) z = 54 (,5,54) =,9 Itersi kedu x = ( 85 - (,54) +,9 ) =,4 7 y = 5 ( 7 - (,4) (,9) ) =,57 z = 54 (,4,57) =,9 Itersi seljuty dpt ditelk segi erikut : Itersi ke - x y z,5,54,9,4,57,9,4,574,9 4,45,57,9 5,45,57,9 Jdi hsil peyelesiy dlh : x =,45 ; y =,57 d z =,9 Progrm Semi QUE IV Jurus Tekik Mesi Uirw

7 BAB III Pers Aljr Lier Seretk 4 Itersi Jcoi Mellui proses itersi deg megguk persm : xi (+) = i ii - ij xj () ; j i j= ii Keutug metode ii dlh lgkh peyelesiy yg sederh, sedgk kelemhy dlh : Proses itersiy lmt Terutm utuk persm lier seretk deg ordo tiggi Hy dpt diguk meyelesik persm lier seretk yg memeuhi syrt erikut : ii > j= ; j i d i =,,, N ij 5 Dekomposisi LU Deg cr memetuk mtrik segitig ts (Upper) d mtrik segitig wh (Lower) dri mtrik koefisie A sert memetuk vektor mtrik dri mtrik hsil deg tur tertetu Keleihy dlh sgt efektif utuk meyelesik persm lier seretk ordo tiggi, deg hsil yg sgt medekti ili eksky Tetu sj kosekuesiy metode ii memerluk cr yg cukup kompleks Dekomposisi [A] {X} = {B} [U] [L] [L] {D} = {B} {D} [U] {X} = {D} {X} Mju Mudur Pesutitusi Progrm Semi QUE IV Jurus Tekik Mesi Uirw 4

8 BAB III Pers Aljr Lier Seretk Lgkh-lgkh Dekomposisi LU Memetuk mtrik koefisie [A], mtrik vriel {X} d mtrik hsil {B} dri persm simult [A] {X} = {B} Mecri mtrik segitig wh [L] d mtrik segitig ts [U] dri mtrik koefisie [A] deg tur erikut : li = i ; i =,,, j uj = = j ; j =,,, l - utuk j =,,, - j lij = ij - l ik u kj ; i = j, j+,, k= j jk ljiu ik i= ljj ujk = ; k = j+, j+,, d l = - l k= Mecri mtrik {B } deg tur erikut : k u k i i lij' j j = = ; i = utuk i =,,, l lii 4 Memetuk Augmeted Mtrix {UB } d peyelesiy diperoleh : x = d xj = j - u jk x k k= j + Dekomposisi Cholesky Didsrk hw mtrik simetrik yitu mtrik deg ij = ji (utuk semu i d j) dpt didekomposisi dlm etuk : [A] = [L] [L] T yitu fktor-fktor segitig yg dihsilk slig ertrspose Dim suku-suku persm terseut dpt diklik d ditetpk stu sm deg yg li Hsily dpt diytk dlm huug erulg Utuk ris ke-k : lki = i ki lij ukj j = lii k kk l kj lkk = j= ; utuk i =,,, k- Progrm Semi QUE IV Jurus Tekik Mesi Uirw 5