PEMODELAN REGRESI NONPARAMETRIK MENGGUNAKAN PENDEKATAN POLINOMIAL LOKAL PADA BEBAN LISTRIK DI KOTA SEMARANG. DOI: /medstat

Transkripsi

1 p-issn e-issn MEDIA SAISIKA 9() 016: ttp://ejournal.undp.ac.d/ndex.pp/meda_statstka PEMODELAN REGRESI NONPARAMERIK MENGGUNAKAN PENDEKAAN POLINOMIAL LOKAL PADA BEBAN LISRIK DI KOA SEMARANG Supart 1, Alan Prautama 1, Departemen Statstka, Unverstas Dponegoro e-mal: DOI: /medstat Abstract Semarang s te provncal captal of Central Java, wt nfrastructure and economc s growt was g. e penomenon of power outages tat occurred n Semarang, certanly dsrupted economc development n Semarang. Large electrcal energy consumed by ndustral-scale consumers and ouseolds n te San Francsco area, montored or recorded automatcally and presented nto a storcal data load power consumpton. erefore, ts study modelng te load power consumpton at a tme wen not nfluenced by te use of electrcal load (t-1)-t. Modelng usng nonparametrc regresson approac wt Local polynomal. In ts study, te kernel used s a Gaussan kernel. In local polynomal modelng, determned optmum bandwdt. One of te optmum bandwdt determnaton usng te Generalzed Cross Valdaton (GCV). GCV values obtaned amounted to wt a mnmum bandwdt of 394. Modellng generate local polynomal of order wt MSE value of Keywords: electrcal load, local polnomal, gaussan kernel, GCV. 1. PENDAHULUAN Semarang merupakan bu kota provns Jawa enga, dengan nfrastruktur dan pertumbuan ekom yang tngg. Fenomena pemadaman lstrk yang terjad d Semarang, tentunya mengganggu perkembangan ekonom yang ada d Semarang. Hal n dkarenakan nvestor enggan untuk bernvestas d kota Semarang dkarenakan serng terjad pemadaman lstrk. Ole karena tu, Kota Semarang arus memlk supla daya yang memada untuk memenu kebutuan energ lstrk d areanya. Besar energ lstrk yang dkonsums ole konsumen skala ndustr maupun ruma tangga d area Semarang, terpantau atau tercatat secara otomats dan tersaj menjad data stors beban pemakaan lstrk aran per 30 ment selama 4 jam ataupun menjad data beban puncak pemakaan lstrk. Menurut Mujman dan Pryosuslo (01), data beban puncak lstrk adala data beban pemakaan energ lstrk maksmal yang tercatat berdasarkan waktu yatu, aran, mngguan, maupun bulanan. Beban puncak n basanya terjad pada pukul dan Beban puncak terjad ketka kebutuan lstrk konsumen menanjak ke ttk yang palng tngg d satu waktu tertentu, bak dalam rentang waktu jam, ar, mnggu, bulan, ngga taun. Pemodelan beban lstrk dperlukan sebaga dasar untuk predks nla beban lstrk d kota Semarang. Meda Statstka 9() 016:

2 Sala satu analss statstka yang dgunakan untuk pemodelan adala analss regres. Analss regres merupakan analss ubungan antara varabel varabel respon (Y) dengan predktor (X). Pendekatan regres dbedakan menjad dua yatu pendekatan secara parametrk dan pendekatan nonparametrk. Pendekatan parametrk merupakan pemodelan regres yang terkat dengan asums-asums dalam regres. Asums-asums tersebut antara lan multkolnertas, resdual normaltas, omokedaststas resdual, dan nonautokorelas. Sedangkan pendekatan regres nonparametrk tdak ada asums-asums yang arus dpenu dalam pemodelan. Regres parametrk dlakukan apabla bentuk kurva regresnya dketau. Sedangkan regres nonparametrk dlakukan jka bentuk kurva regresnya tdak dketau. Regres semparametrk dgunakan jka sebagan bentuk kurva regresnya tdak dketau sedangkan yang sebagan lannya dketau. Kurva regres nonparametrk dasumskan smoot (mulus/alus) yang termuat dalam suatu ruang fungs tertentu msalnya ruang sobolev (Eubank et al, 004). Pada prosedur regres nonparamterk, data akan mencar sendr bentuk kurva regresnya tanpa dpengaru ole subjektvtas penelt. Beberapa model regres nonparametrk yang tela dkembangkan antara lan Penalzed Splne (Kadr et al, 010), Smootng Splne (Eubank et al, 004), Regres Splne Multrespon (Lestar et al, 010), Regres Menggunakan Kernel (Hu et al, 004), Kernel of Smootng Splne (Ln et al, 004) dan Polnomal Lokal (Wu dan Zang, 006) Polnomal lokal mempunya beberapa keleban antara lan dapat mengurang asmtotk bas dan mengaslkan estmas yang bak (Wels dan Yee, 005). Estmas Polnomal Lokal dapat menggunakan WLS (Wegted Least Square) dengan cara memnmumkannya (akezawa, 006). Dalam regres polnomal lokal tngkat kemulusan fungsnya dtentukan bandwdtnya. Penentuan bandwdt optmal dapat menggunakan metode GCV (Generalzed Cross Valdaton) (Wu dan Zang, 006). Pada peneltan n akan dmodelkan beban lstrk d Kota Semarang menggunakan model Polnomal Lokal. Pemodelan n nantnya darapkan bsa dgunakan untuk peramalan beban lstrk d Kota Semarang.. INJAUAN PUSAKA.1. Estmator Kernel Sala satu metode estmas pada polnomal lokal adala menggunakan WLS (Wegted Least Square) sengga dperlukan pembobotan. Sala satu pembobotan yang dgunakan untuk mendapatkan estmas adala Fungs Kernel (Eubank, 1988). Fungs Kernel K dengan bandwdt ddefnskan sebaga berkut: x ( x) = K 1 K ; < x < dan > 0. (1) Sfat-sfat dar fungs kernel adala sebaga berkut: 1. ( x) 0 K untuk semua x. K ( x) dx = 1 3. xk ( x) dx = 0 4. x K( x) dx = σ > 0 Sedangkan menurut Hardle (1990) terdapat beberapa jens fungs Kernel: 86 Supart (Pemodelan Regres Nonparametrk)

3 1. Kernel Unform : K( x ) = I( x < 1). Kernel Segtga : K( x) = ( 1 x ); I( x < 1) 1 ; = 3 1 ; I( x < 1) K x x ; I x < K x x ; I x < 1 3 π π K x = x K x = exp x π 3. Kernel Eparcnkov : K( x) ( x ) 4. Kernel Kuadrat : ( ) ( ) = ( ) 5. Kernel wwegt : ( ) ( ) 3 = ( ) 6. Kernel Cosnus : ( ) cos ; I( x < 1) 7. Kernel Gaussan : ( ) ( ).. Polnomal Lokal Model regres nonparametrk dapat dnyatakan sebaga berkut: y = η( x ) + e, = 1,,..., n () dmana η ( x ) adala fungs yang tdak dketau bentuknya dengan predktor x dan e adala resdual pengamatan ke-. Sala satu pemodelan regres nonparametrk menggunakan polnomal lokal. Pada dasarnya pemodelan polnomal lokal menggunakan prnsp deret aylor, yang menyatakan bawa setap fungs mulus dapat secara lokal ddekat dengan polnomal dar beberapa derajat. Msalkan x 0 merupakan ttk awal yang dtentukan dmana fungs η akan destmas dengan estmator Kernel. Melalu deret aylor, η ( x ) pada persamaan () dapat ddekat secara lokal ole polnomal berderajat p sebaga berkut (Wu dan Zang, 006): (1) p ( p) ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) η x η x x x η x x x η x p (3) ! ( r) Msalkan βr ( x0) = η ( x0)/ r!, r = 0,1,,..., p, maka persamaan (3) dapat dtuls menjad: p ( x ) ( x ) + ( x x ) ( x ) + + ( x x ) ( x ) η β β β (4) p 0 Dar persamaan (4), dapat dnyatakan sebaga berkut : η( x ) = Xβ (5) dengan 1 ( x1 x0) ( x1 x0) ( x1 x0) 1 ( x x0) ( x x0) ( x x0) X = 1 ( xn x0) ( xn x0) ( xn x0) [ η η η ] η x = x1 x xn dan β β0 x0 β1 x0 βp x0 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) Untuk mendapatkan estmator ˆβ dlakukan dengan memnmumkan krtera Wegted Least Square (WLS) sebaga berkut: Meda Statstka 9() 016:

4 n = 1 ( y ) xβ K x x0 ( ). (6) K(( x x ) / ) K( x x ) bandwdt, sengga krtera WLS dapat dtuls sebaga berkut: 0 0 = dengan K merupakan fungs kernel dan adala sebua ( ) ( ) y-xβ K y - Xβ (7) dmana K = dag( K( x1 x 0),, K( xn x0)), sengga estmas untuk ˆβ dberkan ole: ( ) -1 ˆ β= XKX XKy (Wu dan Zang, 006). Hal yang arus dperatkan dalam polnomal lokal. Pemlan parameter bandwdt memlk peran pentng dalam melakukan estmas. Pemlan bandwdt yang terlalu besar mengakbatkan plot asl estmas model akan menjau plot data awal sengga menjad sangat alus (oversmootng). Ketka bandwdt terlalu besar maka bas pemodelannya akan besar dan keragaman akan kecl. Pemlan bandwdt yang terlalu kecl mengakbatkan plot asl estmas model yang berluk-luk (undersmootng). Ketka bandwdt terlalu kecl maka bas pemodelannya akan kecl dan keragaman akan besar. Ole karena tu, arus dcar bandwdt yang optmal untuk menyembangkan bas dan keragaman agar dperole estmas yang bak. Selan tu, pemlan derajat pada polnomal lokal juga arus dperatkan dmana derajat yang besar akan mengurang bas pemodelan, tetap akan menyebabkan keragaman yang besar..3. Generalzed Cross Valdaton (GCV) Sala satu cara menentukan bandwdt yang optmal dengan menggunakan metode GCV (Generalzed Cross Valdaton). Fungs GCV dberkan sebaga berkut: ( ) GCV ( ) [ ] I-A( ) MSE = 1 tr n, dan ( ) n = 1-1 dengan MSE ( ) = ( y yˆ ) 1 nla ( ) ( ) A = XKX XK A dperole dar ubungan y=a ˆ ( ) ysengga Nla GCV terkecl akan memberkan nla bandwdt yang optmal. 3. MEODE PENELIIAN Peneltan n menggunakan data beban lstrk d kota Semarang dar Januar 014 sampa dengan Desember 015. Pada peneltan n data dbag menjad dua bagan yatu data tranng dan data testng. Data tranng dar Januar 014 sampa dengan November 014, sedangkan data testng adala pada bulan Desember 014. Varabel respon pada peneltan n adala penggunaan beban lstrk pada waktu ke-t (Y t ), sedangkan varabel predktor adala penggunaan beban lstr pada waktu ke-(t-1) atau Y t-1. Fungs kernel yang dgunakan dalam peneltan n adala fungs kernel Gaussan. 88 Supart (Pemodelan Regres Nonparametrk)

5 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Statstka Deskrptf Berdasarkan Gambar 1, terlat bawa beban lstrk d kota Semarang dar Januar- November 014 menyebar secara acak. erlat juga beberapa kejadan berada pada batas nterval tertentu. Beban Lstrk Waktu () Gambar 1. Plot Data Beban Lstrk Kota Semarang aun 014 Statstka deskrptf beban lstrk d Kota Semarang dar Januar-November 014 dsajkan pada abel 1. abel 1. Statstka Deskrptf Data Beban Lstrk d Kota Semarang Januar-November 014 Mnmum Maksmum Rata-Rata Medan Varans Data beban lstrk Kota Semarang pada taun 014 mempunya nla mnmum sebesar dan nla maksmum dengan rata-rata dan varan Data mnmum terjad pada tanggal 8 Jul dan data maksmum terjad pada tanggal 4 November. 4.. Pemodelan Beban Lstrk d Kota Semarang Menggunakan Polnomal Lokal Dalam regres polnomal lokal, pemlan bandwdt sangat pentng untuk dperatkan. Bandwdt menjad sala satu faktor yang palng utama dalam penentuan estmas parameter d regres polnomal lokal. Selan bandwdt, ttk lokal (x 0 ) dan orde polnomal juga merupakan al yang pentng. Metode yang dgunakan dalam menentukan nla optmal tersebut yatu dengan Generalzed Cross Valdaton (GCV). Untuk mendapatkan nla x 0 yang optmal, dlakukan dengan tral error dar sekumpulan nla x 0 yang terdapat dalam nterval tertentu yang dcobakan. Karena data mnmun dan data maksmum maka nla x 0 dcobakan pada nterval 415 sampa dengan 695. Meda Statstka 9() 016:

6 Sedangkan dcoba-coba mula dar 1 sampa dperole nla optmal dan orde polnomal dcoba orde,3,4,5 dan 6. Sengga estmas polnomal lokal yang optmal merupakan kombnas antara bandwdt, ttk lokal (x 0 ) dan orde polnomal lokal. Setela dlakukan beberapa tral dan error dperole GCV mnmum terletak pada polnomal orde. Ada beberapa nla X 0 dan yang mempunya GCV mnmum. Namun penelt meml terkecl dengan GCV mnmum sebesar yatu jatu pada nla x 0 = 415 dan = 394. Secara umum model polnomal lokal orde adala: yˆ = ˆ β + ˆ β ( X x ) abel. Hasl Estmas Pemodelan menggunakan Polnomal Lokal Orde (Lner) Varabel Hasl Estmas 0 ˆβ ˆβ x 415 Berdasarkan abel, model polnomal yang terbentuk adala: yˆ = ( X 415) 0 Gambar plot data modfkas dan estmasnya dsajkan dalam Gambar. Setela data dkembalkan dalam bentuk aslnya dan nla estmasnya dsajkan dalam Gambar 3. Beban Lstrk ke Beban Lstrk ke -1 Gambar. Estmas Model Data Modfkas 90 Supart (Pemodelan Regres Nonparametrk)

7 Inflas ke Waktu ke Gambar 3. Estmas Model Data Asl Berdasarkan Gambar 3 dapat dlat bawa model polnomal lokal yang terpl memlk kemampuan yang cukup bagus dalam mengestmas kurva regres data aktual. Data asl estmas mengkut pergerakan data aktual namun cenderung kurang ft. Namun, kemampuan yang cukup bagus dalam pemodelan belum bsa menjamn bawa regres polnomal lokal bagus ketka dgunakan peramalan. Ole karena tu, model perlu dcobakan pada data out sampel pada bulan Desember 014. Untuk melat apaka model polnomal lokal orde dengan bandwdt 394 dan ttk lokal 15 bagus dgunakan untuk peramalan, maka model tersebut perlu dcobakan teradap data out sampel Bulan Desember dan dtung MAPE nya. Beban Lstrk Bulan Desember Gambar 4. Data Aktual dan Data Predks Out Sampel Meda Statstka 9() 016:

8 abel 3. Perbandngan Data Aktual Out Sampel dengan Data Estmas Out Sampel Model Polnomal Lokal anggal Data Aktual Data Estmas Data Aktual Data Estmas anggal Out Sampel Out Sampel Out Sampel Out Sampel Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Desember Dar data out sampel dan estmasnya dperole nla MAPE sebesar 7.47 % yang mengndkaskan model mempunya knerja yang sangat bagus. 5. KESIMPULAN Pemodelan beban lstrk d Kota Semarang menggunakan pendekatan polnomal lokal dengan fungs kernel Gaussan ddapat bandwdt optmal sebesar 394. Model tersebut mengaslkan nla MSE model dengan data n sample sebesar dengan orde optmum polnomal lokalnya adala orde (lner). Pada data out sample mengaslkan nla estmas dengan MAPE yang anya 7.47%. PENGHARGAAN Pada peneltan n, penuls ngn mengucapkan terma kas kepada DRPM Kemenrstek Dkt sebaga pember dana dalam skema peneltan Fundamental yang ddana pada taun 016. Penuls juga ngn berterma kas kepada Departemen Statstka Unverstas Dponegoro Semarang.. DAFAR PUSAKA Eubank, R.L, 1988, Nonparametrc Regresson and Splne Smootng, second edton, Marcell dekker, Inc., New York. Eubank, R.L., Huang, C., Maldonado, Y.M., Wang, N., Wang, S., dan Bucanan, R.J., 004, Smootng Splne Estmaton n Varyng-Coeffcent Models, J. R. Statst. Soc., 66, Part 3, pp Supart (Pemodelan Regres Nonparametrk)

9 Hardle, W, 1990, Appled Nonparametrc Regresson, Cambrdge Unversty, New York. Hu, Z., Wang, N., dan Carroll, R.J., 004, Profle Kernel Versus Backfttng In e Partally Lner Models For Longtudnal Or Clustered Data, Bometrka, Vol. 91, No., pp Kadr, M. Al., Carroll R.J. dan Wand, M.P., 010, Margnal Longtudnal Semparametrc Regresson Va Penalzed Splne, Statstcs and Probabblty Letters, 80, pp Lestar, B., Budantara, I.N., Sunaryo, S., dan Masur, M., 010, Splne Estmator n Mult-Response Nonparametrc Regresson Model wt Unequal Correlaton of Errors, Journal of Matematcs and Statstcs, Vol. 6, No. 3, al Ln, X., Wang, N., Wels, A.H., dan Carroll, R.J., 004, Equvalent Kernels Of Smootng Splnes In Nonparametrcs Regresson For Clustered/Longtudnal Data, Bometrka, Vol. 91, No. 1, pp Mujman dan Pryosuslo, L., 01, Permodelan Beban Puncak Gardu Induk Waters dengan Program Aplkas Mcrosoft Excel, Prosdng Semnar Nasonal Aplkas Sans dan eknolog (SNAS) Perode III, Yogyakarta. akezawa, K., 006. Introducton to Nonparametrc Regresson, Jon Wley & Sons Inc.,New Jersey. Wels, A.H dan Yee,.Y. 005, Local Regresson for Vector Responses, Journal of Statstcal Plannng and Inference, Vol. 136, al Wu, H. dan Zang, J.., 006, Nonparametrc Regresson Metods for Longtudnal Data Analyss, A Jon-Wley and Sons Inc. Publcaton, New Jersey. Meda Statstka 9() 016: