PEMODELAN B-SPLINE DAN MARS PADA NILAI UJIAN MASUK TERHADAP IPK MAHASISWA JURUSAN DISAIN KOMUNIKASI VISUAL UK. PETRA SURABAYA

Transkripsi

1 PEMODELAN B-SPLINE DAN MARS PADA NILAI UJIAN MASUK TERHADAP IPK MAHASISWA (I Nyoman Budantara, et al.) PEMODELAN B-SPLINE DAN MARS PADA NILAI UJIAN MASUK TERHADAP IPK MAHASISWA JURUSAN DISAIN KOMUNIKASI VISUAL UK. PETRA SURABAYA I Nyoman Budantara ), Fred Suryad 2), Bambang Wdanarko Otok 3), Suryo Gurtno 4) ) Lecturer at Department of Statstcs, ITS, Surabaya 2) Staf. at Petra Chrstan Unversty, Surabaya e-mal: fsuryad@petra.ac.d 3) Ph.D Student at Department of Mathematcs, UGM; Lecturer at Department of Statstcs, ITS, Surabaya e-mal: otok_bw@yahoo.com 4) Lecturer at Department of Mathematcs UGM, Yogyakarta e-mal: suryogurtno@ugm.ac.d ABSTRAK Analsa regres dgunakan untuk melhat pengaruh varabel ndependen terhadap varabel dependent dengan terlebh dulu melhat pola hubungan varabel tersebut. Hal n dapat dlakukan dengan melalu dua pendekatan. Pendekatan yang palng umum dan serngkal dgunakan adalah pendekatan parametrk. Pendekatan parametrk mengasumskan bentuk model sudah dtentukan. Apabla tdak ada nformas apapun tentang bentuk dar fungs regres, maka pendekatan yang dgunakan adalah pendekatan nonparametrk. (Haerdle, 990). Karena pendekatan tdak tergantung pada asums bentuk kurva tertentu, sehngga memberkan fleksbeltas yang lebh besar. Tuuan peneltan n adalah mendapatkan model terbak mengena nla uan masuk terhadap nla IPK (Indek Prestas Kumulatf) mahasswa urusan Dsan Komunkas Vsual tahun 999 d Unverstas Krsten Petra Surabaya dengan analss regres, bak parametrk maupun nonparametrk. Pendekatan regres parametrk menggunakan regres lnear sederhana, kuadratk dan kubk, sedangkan regres nonparametrk dgunakan B-Splne dan Multvarate Adaptve Regresson Splnes (MARS). Secara keseluruhan, model terbak dplh berdasarkan koefsen determnas terbesar. Namun demkan untuk MARS, model terbak dplh berdasarkan pada GCV, mnmum MSA dan koefsen determnas terbesar. Kata kunc: regres nonparametrk, B-Splne, MARS, koefsen determnas. ABSTRACT Regresson analyss s constructed for capturng the nfluences of ndependent varables to dependent ones. It can be done by lookng at the relatonshp between those varables. Ths task of approxmatng the mean functon can be done essentally n two ways. The quet often use parametrc approach s to assume that the mean curve has some prespecfed functonal forms. Alternatvely, nonparametrc approach,..e., wthout reference to a specfc form, s used when there s no nformaton of the regresson functon form (Haerdle, 990). Therefore nonparametrc approach has more flexbltes than the parametrc one. The am of ths research s to fnd the best ft model that captures relatonshp between admsson test score to the GPA. Ths partcular data was taken from the Department of Desgn Communcaton and Vsual, Petra Chrstan Unversty, Surabaya for year 999. Those two approaches were used here. In the parametrc approach, we use smple lnear, quadrc cubc regresson, and n the nonparametrc ones, we use B-Splne and Multvarate Adaptve Regresson Splnes (MARS). Overall, the best model was chosen based on the maxmum determnant coeffcent. However, for MARS, the best model was chosen based on the GCV, mnmum MSE, maxmum determnant coeffcent. Keywords: nonparametrc regresson, B-Splne, MARS, determnant coeffcents.

2 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO., JUNI 2006: -3. PENDAHULUAN Analss regres memperlhatkan hubungan dan pengaruh varabel predktor terhadap varabel respon. Msalnya y adalah varabel respon dan t adalah varabel predktor, untuk n buah pengamatan, secara umum hubungan antara y dan t dapat dtuls sebaga berkut: y = g( t ) + ε ; =, 2... n () dengan ε adalah sesatan random dan g ( t ) merupakan kurva regres. Jka kurva regres merupakan model parametrk maka dsebut sebaga regres parametrk dan apabla model yang dasumskan n benar, maka pendugaan parametrk sangat efsen, tetap ka tdak, menyebabkan nterpretas data yang menyesatkan (Haerdle, 990). Pendekatan parametrk mengasumskan bentuk model sudah dtentukan. Apabla tdak ada nformas apapun tentang bentuk g ( t ), maka pendekatan yang dgunakan adalah pendekatan nonparametrk. Karena pendekatan tdak tergantung pada asums bentuk kurva tertentu, sehngga memberkan fleksbeltas yang lebh besar. Dalam hal n dasumskan g ( t ) termuat dalam ruang fungs (Eubank, 988). Ada beberapa teknk estmas dalam regres nonparametrk antara lan pendekatan hstogram, estmator Splne, estmator kernel, estmator deret orthogonal, analss wavelet dan lan-lan. Pendekatan estmator Splne ada bermacam-macam antara lan Splne orgnal, Splne type M, Splne relaxed, Splne terbobot dan lan-lan. Pendekatan Splne mempunya suatu bass fungs. Bass fungs yang basa dpaka antara lan Splne truncated dan B-Splne. (Lyche dan Morken, 2004). Wahba (990) menunukkan bahwa Splne memlk sfat-sfat statstk yang berguna untuk menganalss hubungan dalam regres. Splne dalam regres nonparametrk terus berkembang sampa pada model adaptve (Bller dan Fahrmer, 2000) dan multvarate respon (Holmes dan Mallck, 2003). Untuk mengestmas bass fungs Splne telah dkembangkan beberapa metode sepert monotoncty (He dan Sh, 998) dan penalsed (Hall dan Opsomer, 2005). Splne adalah salah satu ens pecewse polnomal, yatu polnomal yang memlk sfat tersegmen. Sfat tersegmen n memberkan fleksbltas lebh dar polnomal basa, sehngga memungknkan untuk menyesuakan dr secara lebh efektf terhadap karakterstk lokal suatu fungs atau data. Splne mempunya kelemahan pada saat orde Splne tngg, knots yang banyak dan knot yang terlalu dekat akan membentuk matrk dalam perhtungan yang hampr sngular, sehngga persamaan normal tdak dapat dselesakan. Bass lan yang yang dapat mengatas kelemahan n adalah bass B-Splne. Namun kesultan dengan B-Splne karena bass n hanya dapat ddefnskan secara rekursf dan karenanya tdak dapat devaluas secara langsung (Eubank, 988) dan (Schuemaker, 98). Salah satu penerapan B-Splne dlakukan dalam bdang Flud Dynamcs (Botella dan Sharff, 2003). Dalam tulsan n dlakukan stud perbandngan antara Splne truncated dan B-Splne. Sedangkan stud perbandngan Splne yang pernah dlakukan adalah stud perbandngan Rensch dan Speckman Splne dalam regres nonparametrk (Carter dan Slverman, 992). Pada peneltan n dbahas mengena estmas B-Splne pada model regres nonparametrk, dan melakukan smulas untuk membandngkan MSE B-Splne dan Splne truncated. Selan tu uga penerapan B-Splne pada data rl. 2

3 PEMODELAN B-SPLINE DAN MARS PADA NILAI UJIAN MASUK TERHADAP IPK MAHASISWA (I Nyoman Budantara, et al.) 2. B-SPLINE Model regres y = g( t ) + ε ; =, 2... n, denganε merupakan resdual dan g ( t ) kurva regres. Apabla dgunakan pendekatan kurva Splne truncated dkatakan regres nonparametrk, maka kurva regres g dapat dtuls menad: m = K g ( = α t + β ( t u ) (Eubank, 988) (2) = m + dmana u, =, 2,..., K dengan u < u2 <... < u K adalah knot dan m Ν 0 ( nteger non negatf). Nla m menunukkan deraat Splne truncated. Jka kurva regres g ddekat dengan fungs B- Splne maka g dapat dtuls menad: m K = + = g( γ B, ( (3) m m dengan B m, m merupakan bass B-Splne. Cara membangun fungs B-Splne orde m dengan ttk ttk knot a < u <... < uk < b adalah dengan terlebh dahulu mendefnskan knot tambahan sebanyak 2m, yatu u ( m ), K, u, u K, uk+ m dmana u ( m ) =... = u0 = a dan uk + =... = u K + m = b. Basanya a dambl dar nla mnmum t dan b dambl dar nla maksmum t. Fungs B-Splne ddefnskan secara rekursf sebaga berkut: t u u+ m t B, m( = B, m ( + B +, m ( u+ m u u+ m u+ dmana B, ( =, ka u < t u + (Botella dan Sharff, 2003) (4) 0 ka t < u atau t u m adalah deraat dar B-Splne. Untuk m=2 memberkan fungs B-Splne lnear, m=3 memberkan fungs B-Splne kuadratk dan m=4 memberkan fungs B-Splne kubk. Untuk mengestmas koefsen γ pada persamaan (3), ddefnskan matrk B( λ ) = ( B, m( t)) =,..., n = ( m ),..., K atau dapat dtuls sebaga berkut B ( m ), m(, B ( m 2), m(, L, BK, m( B( λ ) = M M M B ( m ), m( tn), B ( m 2), m( tn), L, BK, m( tn) Jad B (λ) adalah sebuah matrk berukuran n x (m+k) Sebaga gambaran untuk menelaskan fungs B-Splne, msalnya B-Splne lnear (m=2), dengan satu ttk knot, pada t= 5, dengan nla t mnmum dan nla t maksmum 0. Langkahnya adalah menentukan knot tambahan sebanyak 2m yatu dambl dar nla mnmum dan maksmum sehngga knots menad u = u0 =, u = 5, u2 = u3 = 0, maka matrk yang akan dbentuk adalah B( λ ) = ( B, 2( t ), B 2( t ), B, 2( t )), =,2,...,n yatu sebuah matrk dengan ukuran n x 3. Dar persamaan (4) B ( ) dapat dtuls:, 2 t 3

4 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO., JUNI 2006: -3 t 5 t B, 2( = B, ( + B ( 5 B, ( ddefnskan bernla 0 karena u = u0 (Eubank,988), sedangkan B 0, ( akan bernla pada t yang bernla u 0 = 0 sampa dengan u =, dan bernla 0 untuk yang lan, sehngga dapat dtuls sebaga berkut: 5 t, < t 5 B = 4, 2 ( 0, 5 < t 0 Bentuk kurva B, 2 ( dan B 0, 2 ( dtunukkan dalam gambar berkut: Kurva B-splne Lnear Dengan knots= 5 Kurva B-splne Lnear Dengan knots= 5 B, -, B, 0, t t Gambar. Kurva B ) Gambar 2. Kurva B ),,2( t 2( t Untuk bass B 0, 2 ( dengan menggunakan Persamaan (4) dapat dtuls: t 0 t B 2( = B ( + B, ( Selanutnya dapat dtuls sebaga berkut: t, < t 5 4 B 0, 2 ( = 0 t, 5 < t 0 5 Bentuk kurva B 0, 2 ( dtunukkan pada Gambar 2. Untuk bass B t ) dengan menggunakan persamaan (4) dapat dtuls:,2( t 5 0 t t 5 B, 2( = B, ( + B2, ( B, 2( = B, ( Selanutnya dapat dtuls sebaga berkut: 0, < t 5 B, 2 ( = t 5, 5 < t 0 5 Bentuk kurva B,2( dtunukkan pada Gambar 3. Untuk kurva B-Splne kuadratk dengan 2 ttk knot msalnya pada t= 3 dan t=7 dapat dcar dengan cara yang serupa, dengan hasl sebaga berkut: 4

5 PEMODELAN B-SPLINE DAN MARS PADA NILAI UJIAN MASUK TERHADAP IPK MAHASISWA (I Nyoman Budantara, et al.) ( t )( 3 3, < t ( 7 B =, 3(, 3 < t < t 0 Bentuk kurva B, 3 ( dtunukkan pada Gambar 4. Kurva B-splne Lnear Dengan knots= 5 Kurva B-splne Kuadratk Dengan knots= 3, 7 B,, B, -, t t Gambar 3. Kurva B, 2 ( Gambar 4. Kurva B,3 ( Dengan cara yang serupa, dapat dbuat gambar kurva B-Splne dengan berbaga m dan beberapa ttk knots. 3. MULTIVARIATE ADAPTIVE REGRESSION SPLINES (MARS) Splne adalah salah satu ens potongan polnomal, yatu polnomal yang memlk sfat tersegmen. Sfat tersegmen n memberkan fleksbltas lebh dar polnomal basa, sehngga memungknkan untuk menyesuakan dr secara lebh efektf terhadap karakterstk lokal dar suatu fungs atau data. Secara umum, fungs Splne berorde k adalah sembarang fungs yang dnyatakan sebaga: k h k k k = ( t u ), t u S ( = α t + δ ( t u ) + dengan, ( t u ) + = 0 = 0, t < u dmana: α dan δ : konstanta rl u,..., : ttk-ttk knot u h Fungs Splne tersebut datas menunukkan: a) fungs S merupakan potongan polnomal berorde k pada subnterval [ u, u + ] b) fungs S memlk turunan kontnu tngkat k-2 ( k ) c) S merupakan fungs tangga dengan ttk-ttk lompatan u,..., uh d) fungs S adalah suatu polnomal dengan orde m d luar u, ] [ un 5

6 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO., JUNI 2006: -3 Recursve Parttonng Regresson (RPR) merupakan pendekatan dar fungs f( yang tdak dketahu dengan: S f ˆ ( = c ( B ( (5) = dmana, B ( = I[ t R ], I[.] menunukkan fungs ndkator yang mempunya nla (satu) ka pernyataan benar (t R ) dan 0 (nol) ka salah, c ( merupakan koefsen (konstanta) yang dtentukan dalam subregon. Penentuan knots pada regres dummy dlakukan secara manual, karena memlk dmens data yang rendah dan hal n tdak akan mengalam kesultan, sedangkan untuk data yang berdmens tngg terdapat kesultan. Untuk mengatas hal tersebut dgunakan model Recursve Partton Regresson karena penentuan knots tergantung (otomats) dar data. Namun demkan model n mash terdapat kelemahan yatu model yang dhaslkan tdak kontnu pada knots, dan untuk mengatasnya dgunakan model MARS. Model MARS selan penentuan knots yang dlakukan secara otomats dar data, uga menghaslkan model yang kontnu pada knots. Pemlhan knots pada MARS menggunakan algortma forward stepwse dan backward stepwse yang salah satunya ddasarkan nla Generalzed Cross Valdaton (GCV) mnmum. Model MARS dapat dtuls sebaga berkut: M Km m m= k = f ˆ( = a + a [ s.( t (, ) u )] (6) d mana: a 0 = bass fungs nduk a m = koefsen dar bass fungs ke-m M = maksmum bass fungs (nonconstant bass fungs) K m = deraat nteraks S km = nlanya ± t v(k,m) = varabel ndependen u km = nla knots dar varabel ndependen t v(k,m) 0 km v k m Penabaran dar Persamaan (6) dapat dsakan sebaga berkut: fˆ( = a M am m= M am m= M am m= [ s [ s [ s m m m.( t.( t.( t v(, m) v(, m) v(, m) u u u m m m )] )][ s )][ s 2m 2m +... dan secara umum Persamaan (6) dapat dtulskan sebaga berkut: f ˆ ( = a + f ( t ) + f ( t, t ) + f ( t, t, t ) +... (8) 0.( t.( t v( 2, m) v( 2, m) u u 2m 2m k Km = Km = 2 Km = 3 )] km )][ s 3m.( t k v( 3, m) Persamaan (8), menunukkan bahwa penumlahan pertama melput semua bass fungs untuk satu varabel, penumlahan kedua melput semua bass fungs untuk nteraks antara dua varabel, penumlahan ketga melput semua bass fungs untuk nteraks antara tga varabel dan seterusnya. u 3m )] (7) 6

7 PEMODELAN B-SPLINE DAN MARS PADA NILAI UJIAN MASUK TERHADAP IPK MAHASISWA (I Nyoman Budantara, et al.) m k v m V )}, ( { ) ( = Msalkan adalah hmpunan dar varabel yang dhubungkan K dengan bass m fungs B m ke-m, maka setap penumlahan pertama pada Persamaan (8) dapat dnyatakan sebaga: (9) f ( t ) = ambm( t ) Km = V ( m) f(t ) merupakan penumlahan semua bass fungs untuk satu varabel x dan merupakan Splne dengan deraat q= yang merepresentaskan fungs unvarat. Setap fungs bvarat pada Persamaan (8) dapat dtuls sebaga: f ( t, t ) = ambm ( t, t ) (0) Km 2 (, ) V = ( m) yang merepresentaskan penumlahan semua bass fungs dua varabel t dan t. Penambahan n untuk menghubungkan kontrbus unvarat, yang dtulskan sebaga berkut: f ( t, t ) = f ( t ) + f ( t ) + f ( t, t ) () Untuk fungs trvarat pada penumlahan yang ketga dperoleh dengan menumlahkan semua bass fungs untuk tga varabel, yang dtulskan sebaga berkut: f ( t, t, tk ) = ambm ( t, t, tk ) (2) Km 3 (,, k) = V ( m) Penambahan fungs unvarate dan bvarate mempunya kontrbus dalam bentuk: k f ( t, t, t k ) = f ( t ) + + f k ( t f ( t, t k ) + ) + f k k f ( t k ) + ( t, t, t f ( t, t ) + f k ) Persamaan (8) merupakan dekomposs dar analss varans untuk table kontngens, yang dkenal dengan dekomposs ANOVA dar model MARS. Interpretas model MARS melalu dekomposs ANOVA adalah merepresentaskan varabel yang masuk dalam model, bak untuk satu varabel maupun nteraks antara varabel, selanutnya merepresentaskan secara grafk. Penambahan adtf Persamaan (9) dapat dtunukan dengan membuat plot antara f (t ) dengan t sebaga salah satu model adtf. Kontrbus nteraks antara dua varabel dapat dvsualsaskan dengan membuat plot antara f ( t, t ) dengan t dan t menggunakan kontur plot. Model dengan nteraks yang lebh tngg dalam vsualsas dapat dbuat dengan menggunakan plot dalam beberapa varabel fxed dengan varabel komplemen. Pada model MARS, pemlhan model menggunakan metode stepwse yang terdr dar forward dan backward. Forward stepwse dlakukan untuk mendapatkan umlah bass fungs maksmum dengan krtera pemlhan bass fungs adalah memnmumkan Average Sum Of Square Resdual (ASR). Untuk memenuh konsep parsemon (model sederhana) dlakukan backward stepwse yatu memlh bass fungs yang dhaslkan dar forward stepwse dengan memnmumkan nla Generalzed Cross-Valdaton (GCV). (Fredman and Slverman, 989, Fredman, 99 99). 4. ANALISIS DATA DAN PEMBAHASAN Pola Hubungan Nla Uan Masuk terhadap IPK dengan Regres Lnear Salah satu varabel yang dpaka untuk menentukan seorang calon mahasswa lulus atau tdak lulus dalam uan masuk d Unverstas Krsten Petra adalah nla uan tuls. Dasar tu dpaka karena dharapkan ada pola hubungan antara nla uan masuk tuls ( dengan varabel Indek k ( t, t k ) (3) 7

8 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO., JUNI 2006: -3 Prestas Kumulatf kelulusan (y). Data yang danalss sebaga kasus adalah data nla uan masuk tuls dan IPK, 97 mahasswa urusan Dsan Komunkas Vsual angkatan 999. Pola hubungan nla uan masuk tuls( dengan varabel Indek Prestas Kumulatf kelulusan (y) dengan analss pada regres lnear, kuadratk dan kubk adalah sebaga berkut: IPK IPK 3.60 Observed Lnear 3.60 Observed Quadratc Uan (a) Lnear Uan (b) Kuadratk IPK 3.60 Observed Cubc Uan (c) Kubk Gambar 5. Plot Regres lnear, kuadratk dan kubk Sedangkan pengaruh nla uan masuk tuls ( dengan varabel Indek Prestas Kumulatf kelulusan (y) masng-masng model, secara rnc dsakan pada Tabel berkut: Tabel. Pengaruh Nla Uan Masuk Terhadap IPK dengan Regres Lnear Model Regres Parameter Koefsen Regres F-Htung Sg. R-Square Lnear β 0,427 β 020 6, β 0-4,3 Kuadratk β 389 2, β β 0-8,957 Kubk β 202 β , β

9 PEMODELAN B-SPLINE DAN MARS PADA NILAI UJIAN MASUK TERHADAP IPK MAHASISWA (I Nyoman Budantara, et al.) Dar Tabel, menunukkan bahwa nla uan masuk tuls ( berpengaruh terhadap IPK (y) bak pada model regres lnear, kuadratk dan kubk. Hal n dapat dlhat dar nla Sg. Yang lebh kecl dar nla alpa (000 < 05). Sedangkan nla koefsen determnas (R 2 ) pada model regres kuadratk dan kubk memberkan nla yang sama yatu sebesar 26 dan pada model regres lnear sebesar 48. Hal n menunukkan bahwa model terbak pada pemodelan regres lnear adalah model regres kuadratk dan kubk. Namun demkan untuk kemudahan nterpretas dan kesederhanaan model dan uga ddukung Gambar 5.b) dan 5.c) maka pola hubungan nla uan masuk tuls ( dengan IPK (y), yang terbak menggunakan model regres kuadratk. Persamaan masng-masng model regres lnear adalah sebaga berkut: Model Regres Lnear: y ˆ =, t d mana: t = nla uan Model Regres Kuadratk: y ˆ = 4, t 002t d mana: t = nla uan Model Regres Kubk: y ˆ = 8, t t t d mana: t = nla uan 2 2 Pola Hubungan Nla Uan Masuk terhadap IPK dengan Pendekatan B-Splne 3 Pola hubungan nla uan masuk tuls ( antara varabel Indek Prestas Kumulatf kelulusan (y) dengan analss B-Splne yatu B-Splne lnear, kuadratk dan kubk adalah sebaga berkut: oooo Lnear kuadratk kubk + = data Gambar 6. Plot B-Splne lnear, kuadratk dan kubk Sedangkan pengaruh nla uan masuk tuls ( dengan varabel Indek Prestas Kumulatf kelulusan (y) masng-masng model, secara rnc dsakan pada tabel berkut: 9

10 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO., JUNI 2006: -3 Tabel 2. Pengaruh Nla Uan Masuk Terhadap IPK dengan B-Splne Model B-Splne Parameter Koefsen Regres F-Htung Sg. MSE R-Square γ,03532 Lnear γ 2, , γ 3,4943 γ,268 Kuadratk γ 2,03838 γ 3, γ 4,0664 γ,268 γ 2,0276 Kubk γ 3, , γ 4,7548 γ 5,808 Berdasarkan Tabel 2 d atas, ketga model memberkan nla MSE untuk model B-Splne lnear, kuadratk maupun kubk masng masng mempunya nla yang mendekat sama yatu 0037; 0037; 0037, begtu uga nla koefsen determnas (R 2 ) sebesar 997. Untuk kemudahan nterpretas dan kesederhanaan model dan uga ddukung Gambar 6 maka pola hubungan nla uan masuk tuls ( dengan IPK (y), yang terbak menggunakan model B-Splne lnear. Persamaan masng-masng model regres lnear adalah sebaga berkut: Model B-Splne Lnear: dengan = B ( ), ) B0, 2 t Model B-Splne Kuadratk: dengan = B ( ), ) B0 2, 3 t ^ y =, 03532B0 +, 4796B +, 4943B2 B = B 2 ( t dan B 2 = B,2( ^ y =, 268B0 +, 03838B +, B2 +, 0664B3 B = B, 3 ( t, B2 = B 3 ( dan B3 = B, 3 ( Model B-Splne Kubk adalah: ^ y =, 268B0 +, 0276 B +, 20037B2 +, 7548B3 +, 808B4 dengan B0 = B 3, 4 (, B = B 2, 4 (, B2 = B, 4 (, B3 = B 4 (, B 4 = B, 4 Ttk knot model B-Splne lnear terletak pada nla uan masuk ( sebesar 84, hal n menunukkan terad perubahan pola sebelum dan sesudah nla uan masuk ( sebesar 84. Pola Hubungan Nla Uan Masuk terhadap IPK dengan Pendekatan MARS Pola hubungan antara nla uan masuk tuls ( dengan varabel Indek Prestas Kumulatf kelulusan (y) pendekatan MARS, dengan varas pada bass fungs, nteraks antar varabel ndependen dan mnmum observas subregon secara lengkap tersa pada Tabel 3. berkut. 0

11 PEMODELAN B-SPLINE DAN MARS PADA NILAI UJIAN MASUK TERHADAP IPK MAHASISWA (I Nyoman Budantara, et al.) Tabel 3. Pengaruh Nla Uan Masuk Terhadap IPK dengan MARS Model MARS BF MO F-Htung GCV R 2 MSE Model 0 0 4, Model , Model , Model , Model , Model Model , Keterangan: BF= bass fungs, MI= maksmum nteraks, MO = mnmum observas pada setap subregon Berdasarkan Tabel 3 d atas, ternyata dengan krtera GCV, R 2 dan MSE, maka model memberkan nla MSE dan GCV yang kecl adalah Model 6, begtu uga pada Model 6 memberkan nla R 2 yang palng besar yatu 997. Sehngga model yang terbak untuk pola hubungan nla uan masuk tuls ( dengan IPK (y) pada pendekatan MARS adalah Model 6. Adapun persamaan Model 6 adalah sebaga berkut. dengan, BF = max( t 83,5) BF2 = max( 83,5 BF3 = max( t 83,7) Secara vsual dapat dlhat pada gambar berkut: y ˆ = 3, BF 027BF BF3 Gambar 7. Plot MARS, Pecewse Cubc dengan 3 Bass Functons Model 6 dan Gambar 7 menunukkan bahwa terad perubahan pola pada t=83,7 dan t = 83,5. Pola dar t=78,5 sampa nla t=83,7 mempunya kecenderungan nak secara taam, dan begtu uga nla dar t=83,7 sampa t=83,5 mempunya kecenderungan nak secara taam menuu nla t = 83,5, sedangkan nla d atas t = 83,5 mempunya kecenderungan turun sampa IPK tertentu.

12 JURNAL TEKNIK INDUSTRI VOL. 8, NO., JUNI 2006: KESIMPULAN Berdasarkan analss data tentang pola hubungan nla IPK sebaga varabel dependen (Y) dan nla uan masuk tuls sebaga varabel ndependen (, dapat dsmpulkan: a. Hasl analss regres lnear, kuadratk dan kubk menghaslkan nla R 2 yang cenderung sama dengan persamaan regres kuadratk adalah sebaga berkut: 2 y ˆ = 4, t 002t dengan, t = nla uan b. Hasl analss model B-Splne lnear, kuadratk maupun kubk mempunya nla MSE yang mendekat sama. Model yang dperoleh untuk masng-masng orde adalah sebaga berkut : Model B-Splne Lnear adalah: dengan 84 t, 765, < t 84 B = B t = , ( ) 0, 84< t 985, ^ y =, 03532B0 +, 4796B +, 4943B2 t 765,, 765, < t 84 75, B = B02, ( = 985, t, 84< t 985, 45, 0, untuk yang lan B2 = B, 2 ( = t 84, 84 < t 98, 5 4, 5 Pada Model B-Splne lnear, terad perubahan pola pada t=84. Pola sebelum nla 84 mempunya kemrngan yang lebh taam dbandng setelah nla 84. Nla setelah 84 mempunya gars yang hampr mendatar, artnya nla setelah 84, IPK kelulusannya cenderung sama c. Hasl analss model MARS menghaslkan persamaan berkut: y ˆ = 3, BF 027BF BF3 dengan, BF = max( t 83,5) BF2 = max( 83,5 BF3 = max( t 83,7) terad perubahan pola pada t=83,7 dan t = 83,5. Pola dar t=78,5 sampa nla t=83,7 mempunya kecenderungan nak secara taam, dan begtu uga nla dar t=83,7 sampa t=83,5 mempunya kecenderungan nak secara taam menuu nla t = 83,5, sedangkan nla d atas t = 83,5 mempunya kecenderungan turun sampa IPK tertentu. DAFTAR PUSTAKA. Bller, C., and Fahrmer, L., 200 Bayesan varyng-coeffcent models usng adaptve regresson Splne, Statstcal Modelng, 2. Botella, O. and Sharff, K., 2003, B-Splne Methods n Flud Dynamcs. Internatonal Journal of Computatonal Flud Dynamcs, 7 (2), Carter, C.K., and Slverman, B.W., 992, A comparson of the Rensch and Speckman Splnes. Bometrka, 79(), pp Eubank, R.L., 988. Splne Smootng and Nonparametrc Regresson, Marcel Deker: New York. 5. Fredman, J.H., 99 Estmatng functons of mxed ordnal and categorcal varables usng Multvarate Adaptve Regresson Splnes. Techncal Report LCS 07, Statstcs Department, Stanford Unversty. 2

13 PEMODELAN B-SPLINE DAN MARS PADA NILAI UJIAN MASUK TERHADAP IPK MAHASISWA (I Nyoman Budantara, et al.) 6. Fredman, J.H. and Slverman, B.W., 989. Flexble parsmony smoothng and addtve modelng. Technometrcs, 3, Fredman, J.H., 99. Multvarate Adaptve Regresson Splnes (Wth Dscusson). Stanford Calforna Hall, P., and Opsomer, J.D., Theory for penalzed Splne regresson, Bometrka, 92,. pg Haerdle, W., 99 Appled Nonparametrc Regresson, Cambrge Unversty Press: New York. 0. He, X. and Sh P., 998. Monotone B-Splne Smoothng, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton; Jun 998; 93, Holmes, C.C., and Mallck B.K., 2003, Generalzed Nonlnear Modellng Wth Multvarate Free-Knot Regresson Splne, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton; 98, Lyche, T., and Morken, K., Splne Methods Draft, ( ndex.html), down load tanggal 23 Feb Schuemaker, L.L., 98, Splne Functons : Basc Theory, John Wley & Sons, Inc: Canada. 4. Wahba, G., 99 Splne Models For Observatonal Data. SIAM, CBMS-NSF Regonal Conference Seres n Appled mathematcs, Phladelpha. 3