Ruang Vektor Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul Ruang Vektor Real Drs. R.J. Pamuntjak, M.Sc. P PENDAHULUAN ada bagian pertama Modul 5 Aljabar Linear Elementer I sudah kita bahas sepuluh sifat untuk R dan R 3 mengenai penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Telah disinggung pula bahwa kesepuluh sifat itu mencirikan ruang vektor real. Pada modul ini akan kita bahas ruang vektor real yang lain. Sebagai perluasan langsung dari R dan R 3 adalah R n untuk n 3 yang memenuhi ke sepuluh sifat itu. Contoh-contoh lain, seperti ruang matriks, ruang fungsi, dan lain-lain akan dikemukakan pula di sini. Pengertian penting pada ruang vektor seperti ruang bagian, kombinasi linear, basis, dan dimensi akan kita telaah untuk ruang vektor real yang umum. Setelah mempelajari modul ini Anda akan dapat, memahami ruang vektor real beserta sifat-sifatnya dan menyelesaikan masalah sederhana berkaitan dengan pengertian penting seperti ruang bagian linear, kombinasi linear, kebebasan linear, basis dan dimensi. Lebih khusus lagi, Anda diharapkan dapat:. menetapkan apakah suatu himpunan dengan operasi tambah dan hasil kali dengan skalar diberikan ruang vektor real atau bukan;. menentukan apakah suatu himpunan bagian dari ruang vektor yang diberikan merupakan ruang bagian atau bukan; 3. menentukan apakah suatu vektor merupakan kombinasi linear dari suatu himpunan berhingga dari vektor yang diberikan; 4. menetapkan apakah himpunan berhingga vektor dalam ruang vektor yang diberikan, membangun ruang vektor itu atau tidak; 5. menetapkan apakah suatu himpunan berhingga vektor bebas linear atau tidak; 6. menetapkan apakah suatu himpunan vektor dalam ruang vektor yang diberikan merupakan basis untuk ruang itu atau tidak;

2 . Aljabar Linear Elementer 7. menentukan basis dan dimensi suatu ruang vektor real yang berdimensi berhingga; 8. menentukan basis dan dimensi suatu ruang baris menggunakan eliminasi Gauss pada matriks itu; dan 9. menentukan basis dan dimensi ruang vektor yang dibangun oleh suatu himpunan vektor di R n, yang merupakan himpunan bagian dari himpunan pembangun itu, dengan cara membuang beberapa vektor dalam himpunan pembangun itu.

3 MATA43/MODUL.3 Kegiatan Belajar Ruang Vektor dan Ruang Bagian Linear A. RUANG VEKTOR Pada Modul 5 Aljabar Linier Elementer I sudah disimpulkan bahwa ruang vektor V = R 3 memenuhi sifat berikut: Untuk setiap vektor a, b, c V dan s, t R berlaku: ) a + b V Tertutup (terhadap +) ) a + b = b + a Komutatif 3) (a + b) + c = a + (b + c) Asosiatif 4) V a + = a Kewujudan vektor nol 5) a V a + a = Kewujudan invers 6) sa V Tertutup terhadap perkalian dengan skalar 7) s(t a) = (s t) a 8) s(a + b) = sa + sb Distributif 9) (s + t) a = sa + ta " ) a = a Sekarang pandang himpunan V yang untuk setiap dua unsurnya dapat dilakukan operasi + dan setiap unsurnya dapat dikalikan dengan skalar sehingga memenuhi sifat () sampai dengan sifat () di atas. Himpunan seperti itu disebut ruang vektor real atau ruang linear real. Definisi Himpunan tak kosong V dengan operasi + dan perkalian dengan skalar disebut ruang vektor (linear) real, bila untuk setiap a, b, c V dan s, tr berlaku sifat () sampai dengan () di atas. Contoh n Misalkan R = R R... R ( n kali ) yakni himpunan pasangan (tuple) terurut n bilangan real dan a R n, a = (a, a,..., a n ), a i R, i =,,, n.

4 .4 Aljabar Linear Elementer Dengan menggunakan pengertian penjumlahan, perkalian dengan skalar dan kesamaan vektor seperti pada R 3, yakni: (i) a + b : = ( a b, a b,..., an b n) (ii) sa : = (sa, sa,, sa n ) (iii) a = b : = a i = b i, i =,,, n. dan sifat-sifat bilangan real dapat dibuktikan, bahwa sifat sampai dengan n berlaku untuk R. Misalnya untuk sifat-sifat berikut: () a + b R n karena a i + b i R, () a + b = b + a karena a i + b i = b i + a i, (3) (a + b) + c = a + (b + c) karena (a i + b i ) + c i = a i + (b i + c i ) i =,,..., n Sifat-sifat lainnya dapat Anda buktikan sendiri. Sekarang akan kita tinjau contoh-contoh lain ruang vektor dan contoh himpunan yang bukan ruang vektor. Contoh Misalkan V = M mn himpunan matriks real m n. Lihat lagi sifat-sifat penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar pada bagian Modul Aljabar Linear Elementer I dan periksalah sifat sampai dengan. Akan ternyata bahwa semua sifat itu dipenuhi, misalnya jika A matriks m n maka sa juga matriks m n, bila A dan B matriks m n maka A + B juga matriks m n dan seterusnya. Jadi himpunan matriks real m n adalah ruang vektor real. Contoh 3 Misalkan V = {(x, y, z, u), xr, y, zr, ur} bukan ruang vektor karena sifat 6 tidak dipenuhi karena untuk a = (,,, ) V, dan s =, sa = a = (,,, ) = (,,, ) V karena y = <. Untuk menunjukkan suatu himpunan bukan ruang vektor, cukup satu saja dari sifat sampai dengan tak dipenuhi. Untuk Contoh 3 ini sesungguhnya sifat 5 juga tak dipenuhi karena vektor a = (,,, ) tak punya invers karena (,,, ) V. a

5 MATA43/MODUL.5 Contoh 4 Misalkan W = { f, f :R R } himpunan fungsi real yang didefinisikan pada garis real, dengan definisi penjumlahan dan perkalian dengan skalar seperti berikut: Penjumlahan f + g: (f + g)(x) = f(x) + g(x), x R. Perkalian dengan skalar sf: (sf)(x) = s f(x), x R. Kesamaan dua fungsi f = g: f(x) = g(x), x R. Sifat dan 6 dipenuhi karena f + g dan sf adalah fungsi real bernilai real. Sifat-sifat lainnya dari ruang vektor dapat dibuktikan menggunakan sifat-sifat bilangan real. Jadi himpunan fungsi real bernilai real adalah ruang vektor. Sebagai vektor nol adalah fungsi konstan yang bernilai untuk setiap bilangan real. Invers dari fungsi f adalah fungsi f yang di definisikan sebagai berikut: ( f )(x) = f(x) x R. Sifat-sifat sampai dengan dari ruang vektor adalah sistem aksioma untuk ruang vektor (atas lapangan koefisien) real. Masing-masing sifat itu disebut aksioma. Dalam matematika, aksioma adalah suatu sifat yang kita anggap berlaku yang dijadikan asumsi. Sifat-sifat lainnya yang dapat diturunkan dari sistem aksioma ini disebut dalil (teorema). Pada kesempatan ini akan kita bahas beberapa dalil untuk ruang vektor. Dalil Dalam ruang vektor real : a) ada tepat satu vektor nol, b) setiap vektor mempunyai tepat satu vektor invers. Bukti : a) Sifat (4) menyatakan ada sekurangnya satu vektor nol. Sekarang tinggal menunjukkan bahwa tak mungkin ada lebih dari satu vektor nol. Andaikan ada vektor nol: dan maka + =, dan + =. Karena sifat komutatif (sifat ) maka =. Jadi, ada tepat satu vektor nol. b) Sifat (5) menyatakan untuk tiap vektor a ada sekurangnya satu vektor invers. Andaikan ada dua vektor invers a dan a maka a +( a ) = a + ( a ) =. Selanjutnya,

6 .6 Aljabar Linear Elementer {( a ) +a}+( a ) sifat komutatif {a + ( a )} + ( a ) = + ( a ) = a dan a + { a + ( a )} = a + = a. Sifat asosiatif {( a ) + a }+( a ) = a + { a + ( a )} mengakibatkan a = a. Beberapa sifat lainnya dari ruang vektor akan kita nyatakan dalam dalil berikut. Dalil a dan bv (ruang vektor real) dan s dan t R, berlaku: a) a =, b) s =, c) ( s) a = (sa) = s ( a), d) Jika sa = maka sekurangnya satu dari s = atau a =, berlaku. e) Jika sa = sb dan s maka a = b, f) Jika sa = ta dan a maka s = t, g) ( a + b) = ( a) + ( b) = a b, Bukti : h) a + a = a, a + a +a = 3a, pada umumnya sifat a) Ambil u = a maka u + u = a + a a = u. Selanjutnya u + u = = u + (u + u) = ( u + u) + u = u, u =, dan a = terbukti. b) Ambil v = s maka v + v = s + s serupa dengan pembuktian pada butir b). sifat 9 9 sifat 8 n i a i na. s( + ) = s = v. Selanjutnya c) ( s)a + sa ( s+s)a = a. Sedangkan pada butir b) sudah terbukti a =, jadi ( s)a + sa = sehingga ( s)a = (sa) terbukti. Selanjutnya s = s( a + a) = s( a) + sa. Karena s = (butir b), s( a) + sa =, jadi (sa) = s( a) terbukti. d) Butir d) ini ekuivalen dengan berlakunya kedua sifat berikut: i) Jika sa = dan a maka s = ii) Jika sa = dan s maka a =.

7 MATA43/MODUL.7 Bukti: i): Jika sa = dan a, andaikan s maka terdapat s - = /sr dan s - (sa) = s - =. Akan tetapi s - (sa) = (s - s)a = a =a, yang berarti a =, bertentangan dengan yang diketahui. Jadi terbukti s =. ii): Jika sa = dan s, andaikan a maka menurut i) s = bertentangan dengan yang diketahui. Jadi a = o terbukti. e) sa = sb berarti sa sb = s(a b) =, s, menurut d.ii) a b = dan a = b terbukti. f) Seperti pada butir e) menggunakan hasil pada butir d. ii). g) (a + b) + ( a) + ( b) = b +{a + ( a)}+ ( b) = b + + ( b) = b + ( b) = Jadi terbukti ( a + b) = ( a) + ( b). Bahwa yang terakhir ini = a b, hanyalah berdasarkan cara penulisan p + ( q) = p q. h) Gunakan sifat (9) dan () dari ruang vektor. Sebagai contoh penggunaan teorema di atas kita pandang Contoh berikut. Contoh 5 Jika pada sistem aksioma untuk ruang vektor aksioma 5 (sifat 5) diganti dengan 5a) : a V berlaku a + ( )a = dan aksioma diganti dengan a): a = buktikan a = a. Bukti : a + ( )a = { +( )}a = a (sifat 9). Sedangkan menurut a) a =. Jadi a adalah invers dari ( )a. Aksioma 5a) menyatakan bahwa a juga invers dari ( )a. Dengan aksioma-aksioma yang lain perubahan aksioma ini masih memberlakukan ketunggalan invers. (Dalil b). Oleh karena itu, a = a terbukti. Sekarang kita pandang sifat dan sifat 6: i) Bila dan 6 berlaku: ) a + b V dan ) sav, s R bila a dan bv. Jika a dan bv dan s, tr maka menurut sifat 6: sa dan tb V, sedangkan menurut sifat : sa + tb V. Selanjutnya ii) Andaikan berlaku sa+tbv ; s, tr bila a dan bv. Sifat adalah hal khusus dari sifat ini: yakni kasus s = dan t =. Sifat adalah kasus s = dan t =.

8 .8 Aljabar Linear Elementer Selanjutnya jika dan 6 berlaku akan ditunjukkan untuk N asli berlaku: N ci u i V i iii) Bila u i V dan c i R, i =,,, N. Kita buktikan dengan induksi matematik (induksi lengkap): a) N =: c u V karena c R dan u V (sifat 6). k b) Jika ci u i V akan ditunjukkan c i u k k k c i u i = i V karena, k i u c i + ku k i c. k ci u i V Jadi, berlakunya sifat dan sifat 6 ekivalen dengan berlakunya sifat sa+tb V ; s, tr bila a dan bv dan ekivalen pula dengan sifat: N Untuk tiap N asli ci u i V bila u i V dan c i R ; i =,,, N. i B. RUANG BAGIAN Pada Modul 5 Aljabar Linear I sudah dibahas ruang bagian linear dari R 3, yaitu garis dan bidang yang melalui titik pangkal koordinat. Pada umumnya jika V ruang vektor, dengan penjumlahan dan perkalian dengan skalar untuk V, himpunan bagian WV dapat merupakan ruang vektor atau tidak. Karena WV sifat sampai dengan 5 dan sifat 7 sampai dengan dipenuhi dengan sendirinya (diwariskan oleh V). Supaya W merupakan ruang vektor yang menjadi masalah adalah apakah sifat dan 6 dipenuhi pula. Bahwa sifat ini ekivalen dengan sifat: Sa + tb V ; s, tr bila a dan bv, (sifat : ketertutupan terhadap kombinasi linear) sudah dibuktikan sebelum ini. Dengan demikian, kita telah mengukuhkan/membuktikan dalil berikut: i

9 MATA43/MODUL.9 Dalil 3 Untuk himpunan V dengan penjumlahan tiap dua unsur dan perkalian un-sur dengan skalar berlaku: sifat dan 6 berlaku jika dan hanya jika sa+tbv s, tr bila a dan bv (sifat # berlaku). Jadi bila himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V memenuhi sifat dan 6 (atau sifat #) maka W juga merupakan ruang vektor. Dalam hal ini dikatakan W adalah ruang bagian dari V. Definisi Himpunan bagian tak hampa W dari ruang vektor V disebut ruang bagian (ruang bagian linear) dari V bila W merupakan ruang vektor dengan penjumlahan dan perkalian skalar untuk V. Untuk jelasnya pelajari contoh berikut. Contoh 6 n Bila V = R, periksa apakah himpunan bagian dari V berikut merupakan ruang bagian atau bukan (i) W = {( x, x,, x n ), xx }, (ii) W = { ( x, x,, x n ), xx }, (iii) W 3 = { =(,,, )}. Penyelesaian : (i) (a) W tidak memenuhi karena : Ambil aw maka a + a =, bw, b + b =. Untuk a + b berlaku: (a + b ) + (a + b ) = (a + a ) + (b + b ) = + =. a + bw tak dipenuhi. W bukan ruang vektor, jadi bukan ruang bagian dari V, atau b) W tidak memenuhi karena: Ambil s =, saw karena sa + sa = s(a + a ) =. Sifat 6 tak dipenuhi. Jadi W bukan ruang vektor. (ii) W memenuhi dan 6 karena: aw, a a =. bw, b b =. a + b W,

10 . Aljabar Linear Elementer karena: ((a + b ) (a + b ) = (a a ) + (b b ) = + =, dan selanjutnya: sr, aw, saw karena sa sa = s(a a ) = s = Jadi W ruang bagian dari R n. (iii) W 3 = { = (,,,)}memenuhi dan 6 karena + =, s =. Jadi, W 3 merupakan ruang vektor. Perhatikan bahwa W 3 ini merupakan ruang bagian yang sangat khusus yaitu hanya memuat tepat satu vektor saja. Sudah kita lihat bahwa ketika memeriksa apakah himpunan bagian W merupakan ruang bagian dari ruang vektor V, sifat sampai dengan 5 dan sifat 7 sampai dengan dari ruang vektor dipenuhi oleh WV. Yang perlu diperiksa lagi adalah sifat dan sifat 6 (atau sifat #) yakni sifat ketertutupan terhadap penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Jadi dalil berikut berlaku. Dalil 4 Himpunan bagian tak hampa W dari ruang vektor V adalah ruang bagian dari V jika dan hanya jika W memenuhi sifat dan 6 (atau sifat #) dari ruang vektor. Bukti : a) Jika W ruang bagian linear dari V menurut definisi W memenuhi sifat sampai dengan dari ruang vektor jadi memenuhi sifat dan 6 (juga sifat #). b) Andaikan W himpunan bagian dari V yang memenuhi sifat dan 6 (atau sifat #). Maka karena WV, W memenuhi sifat sampai dengan 5 dan 7 sampai dengan. Dengan demikian W memenuhi sifat sampai dengan dari ruang vektor, Jadi W ruang bagian dari V. Untuk menunjukkan bahwa W bukan ruang bagian, kita menggunakan kontraposisi dalil 4 dengan menunjukkan bahwa: Jika terdapat sr dan aw dengan saw, atau terdapat aw dan bw dengan a+bw maka W ruang bagian dari V. Untuk menunjukkan bahwa W ruang bagian, kadang-kadang menunjukkan sifat # dipenuhi akan sedikit lebih menguntungkan, misalnya untuk menunjukkan W 3 = { = (,,,)}ruang bagian dari R n (Contoh 6): Kita langsung menunjukkan bahwa s + t = + = menggunakan dalil.

11 MATA43/MODUL. Di samping itu, dari dalil (butir a) dan dalil 4 dapat kita buktikan dalil berikut: Dalil 5 Jika W ruang bagian dari V maka W (unsur satuan pada penjumlahan di V). Bukti : W ruang bagian dari V, menurut dalil 4 aw dan sr, saw. Ambil s = maka aw. Sedangkan menurut butir a) dalil, a =. Dengan demikian W terbukti. Kontraposisi dalil ini: Jika W maka W bukan ruang bagian dari W. Fakta ini sangat ampuh untuk menunjukkan suatu himpunan bagian bukan ruang vektor. Untuk memantapkan pemahaman Anda pelajarilah contoh-contoh berikut. Contoh 7 Periksa apakah himpunan bagian W berikut merupakan ruang bagian dari ruang vektor V yang diberikan. (Tunjukkan bahwa himpunan itu ruang bagian atau bukan ruang bagian). A adalah matriks m n. (i) W = {x, Ax =, x R n }, V = R n. (ii) W = {x, Ax = b, b, x R n }, (iii) W = {f f: RR, f() f() = }, V = { f f: RR }. (iv) W = { f f: RR, f() + f() =}, V = { f f: RR }. Penyelesaian : (i) Ambil u W, dan vw maka Au =, dan Av =. A(su + tv) = sau + tav = s + t = + =. Maka su + tv W, menurut dalil 4, W ruang bagian dari R n. Hal ini akan kita singgung lagi ketika membahas lanjutan modul ini. (ii) Menggunakan (kontraposisi) dalil 4: aw, dan s = maka Aa = b, A(a) = b b karena b. Jadi aw. Dengan demikian sifat 6 tak dipenuhi W sehingga W bukan ruang bagian. (iii) Menggunakan dalil 4: Ambil fw, dan gw maka f() f() =, dan g() g() =. (f + g)() (f + g)() = f() + g() (f() + g()) = f() f() + g() g() = + =. Maka f+gw.

12 . Aljabar Linear Elementer Ambil s R, (sf)() (sf)() = sf() sf() = s(f() f()) = s =, yang berarti sfw, jadi sifat 6 dipenuhi. Menurut dalil 3 W ruang bagian dari V. (iv) Menggunakan dalil 5: Vektor untuk W adalah fungsi k yang memenuhi k(x) =, xr. k() + k() = + =. Maka W, jadi W bukan ruang bagian. Gunakan dalil 4: Ambil s =, fw, (f)() + (f)() = f() + f() = (f() + f()) = =. Contoh 8 Tunjukkan bahwa himpunan matriks segitiga atas berukuran merupakan ruang bagian dari ruang matriks real. Penyelesaian : Himpunan matriks segitiga atas berukuran dapat dituliskan sebagai a a berikut: W=, a. a a Pandang matriks P dan Q W maka p = q =. Bila R = sp + tq, s, tr maka r = s p + t q = s + t =. Jadi sp + tq W. Contoh 9 Tunjukkan bahwa: (i) W = { f f : R R, f(x) = a + bcosx + csinx, a, b, c, R}, (ii) U = { f f : R R, f(x) = a + bx + cx + dx 3, a, b, c, d R} merupakan ruang vektor. Penyelesaian : Untuk U dan W kita manfaatkan kenyataan bahwa keduanya adalah himpunan bagian dari ruang vektor V = { f f: R R }. (i) Ambil f(x) = a + bcosx + csinx, g(x) = p + qcosx + rsinx, maka (f + g)(x) = a + p + (b + q)cosx + (c + r)sinx, jadi f + gw. Selanjutnya (sf)(x) = sa+ sbcosx + scsinx. Dengan demikian sf W, jadi W ruang bagian dari V. (ii) Ambil f dan gu.

13 MATA43/MODUL.3 Tuliskan f(x) = a + bx + cx + dx 3, g(x) = a + bx + cx + dx 3, kemudian seperti pada butir (i) tunjukkan bahwa f + gu dan sf U. LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Periksa sifat-sifat mana saja dari sifat ruang vektor yang berlaku dan yang mana pula yang tak berlaku untuk himpunan dengan penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang diberikan berikut ini. a) U = R 3, a + b := (a +b,, a 3 +b 3 ), sa = (a, sa, sa 3 ) a b) U = A A, a R, penjumlahan dan perkalian dengan a skalar di M. ) Buktikan bahwa: a) Jika s dan a maka sa b) Jika a b dan sa = sb maka s =. 3) Periksa, apakah himpunan berikut dengan penjumlahan dan perkalian dengan skalar di R 4 merupakan ruang vektor atau bukan. a) W = himpunan jawab sistem persamaan linear: x y + u =, x + y + z =. b) W = {(x, y, z, u) x y =, y z u = }. c) W = {(x, y, z, u) x y <, y z u = }. 4) Bila W dan V seperti yang diberikan, tunjukkan bahwa V ruang vektor dan W ruang bagian dari V atau tidak. a) V = P 3 := himpunan semua fungsi polinom koefisien real berpangkat lebih kecil atau sama dengan ( ) 3, W = { p p(x) = + ax + bx 3, ar, br}. b) V = P 3, W = { q q(x) = a bx 3, ar, br } c) V = PT = { g g(x) = a + a cosx + b sinx + a cosx + b sinx. d) W ={r r(x) = acos x bsinx, ar, br }.(Nyatakan dulu cos x dalam cosx) e) V = PT, W = { f f(x) = sin x asinx, ar}. (Nyatakan dulu sin x dalam cosx)

14 .4 Aljabar Linear Elementer 5) Bila V = himpunan semua matriks real dan W himpunan matriks berikut, tunjukkan bahwa W ruang bagian dari V atau bukan. a) W = Himpunan semua matriks segitiga bawah berukuran. b) W = A A, a R, b R c d, a c) W = A A, a R a. a b d) W = A A, a R, b R b a. 6) Bila V = { f f: RR }, periksa apakah himpunan W berikut merupakan ruang bagian dari V atau bukan. a) W = { f fv, f() = f()}. b) W = { f fv, f() + f() = }. c) W = { f fv, f( x) = f(x), xr }. d) W = { f fv, f(x) = f( x), xr }. Petunjuk Jawaban Latihan ) a) Yang tidak dipenuhi adalah sifat 9: (s + t)a = (a, (s+t)a, a 3 ), sedangkan sa + ta = (a, sa, a 3 ) + (a, ta, a 3 ) = (a,, a 3 ). Jadi (s + t)a sa+ta. b) Yang tak dipenuhi sifat dan 6: a b a b Ambil A = a, B = b, A + B = ( a b) U. a Ambil s =, sa = 4a U. ) a) Andaikan sa = maka menurut butir d Dalil, sekurangnya satu dari: s = atau a = berlaku. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui: s dan a. Jadi pengandaian sa = tidak benar sehingga haruslah sa. b) Andaikan s karena sa = sb, menurut butir e Dalil, a = b. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui yakni a b. Pengandaian s tidak benar, jadi haruslah s =.

15 MATA43/MODUL.5 3) W himpunan bagian dari R 4 yang perlu ditunjukkan hanyalah berlakunya sifat dan 6. a) Ambil a = (x, y, z, u)w, maka x y + u = dan x + y + z =, b = (a, b, c, d)w, a b+ d =, dan a + b + c =. Pandang a+b = (x+ a, y+ b, z + c, u + d), harus dibuktikan : (x+a) (y+b) + (u+d) =, dan (x+ a) + (y + b) + (z + c) =. (x+ a) (y + b) + (u + d) = x y + u + a b + d = + =. (x + a) + (y + b) + (z + c) = x+ y + z+ a+ b+ c = + =. b) Untuk menunjukkan W bukan ruang bagian cukup ditunjukkan sifat atau 6 tak berlaku. Misalkan a = (x, y, z, u) W maka x y = dan y z u =. Ambil s = maka sa = (x, y, z, u) dan y z u=. Jadi sa W. Maka W bukan ruang bagian. c) Akan ditunjukkan sifat 6 tak berlaku. Ambil s = maka sa = ( x, y, z, u), dan sx sy = (x y) > karena x y <. Maka sa W. Jadi W bukan ruang bagian. 4) P 3 dan PT dapat dipandang sebagai himpunan bagian dari ruang fungsi V = {f f : R R}. Menunjukkan bahwa P 3 dan PT ruang vektor berarti menunjukkan keduanya ruang bagian dari V. Jadi hanya tinggal menunjukkan sifat dan karena sifat 6 berlaku untuk P 3 dan PT. Untuk P 3 : p P 3 berarti p(x) = a + a x + a x + a 3 x 3, a i R, i =,,, 3 Andaikan q P 3 maka q(x) = b + b x + b x + b 3 x 3, b i R, (p+ q)(x) = p(x) + q(x) = (a + b ) + (a + b )x + (a + b )x + (a 3 + b 3 )x 3, a i + b i R. Jadi dipenuhi. (sp)(x) = sa + sa x + sa x + sa 3 x 3, sa i R, 6 dipenuhi. Maka P 3 ruang bagian dari V, jadi merupakan ruang vektor. Bahwa PT merupakan ruang vektor, dapat ditunjukkan dengan cara yang serupa dengan yang dilakukan untuk P 3. a) Sesungguhnya W= {p p(x) = a + a x + a x + a 3 x 3, a =, a =, a R, a 3 R}. Sifat 6 tak dipenuhi karena untuk s =, (sp)(x) = a + a x + a x + a 3 x 3, koefisien untuk x adalah a =. Jadi sp W, sehingga 6 tak dipenuhi, W bukan ruang bagian dari V = P 3. b) W ={q q(x) = a + a x + a x + a 3 x 3, a =, a =, a R, a 3 R}. Ambil p(x) = a bx 3, q(x) = r tx 3, (p + q)(x) = (a + r) (b + t)x 3, p+ qw dan (sp)(x) = sa sbx 3, spw. Jadi dan 6 dipenuhi, sehingga W ruang bagian dari P 3. c) r(x) = acos x bsinx = a (+cosx) bsinx = a+ acosx bsinx.

16 .6 Aljabar Linear Elementer Ambil m(x) = c + ccosx dsinx, (m + r)(x) = (a+c) + (a+c)cosx (b+d)sinx maka m+rw dan sr(x) = sa+sacosx sbsinx, sr W. Maka W ruang bagian dari PT. d) f(x) = sin x asinx = cosx asinx, (f)(x) = cosx asinx, fw, sifat 6 tak dipenuhi sehingga W bukan ruang bagian dari PT. a b 5) Ruang vektor kita V = M = a, b, c, d real c d, yang akan kita tinjau adalah himpunan bagian WV. a) Bila W himpunan (semua) matriks segitiga bawah maka: a W = a, c, d real, c d. a p Ambil A = c d dan r s W. a p Maka A + B = s c r d W. sa Selanjutnya sa = sc sd W. Jadi W ruang bagian dari V. b) Ambil A = c d W dan s =, maka sa = c d W karena b =. Jadi W bukan ruang bagian dari V. a c) Ambil A = a W dan s = maka sa = a W karena a =. Maka W bukan ruang bagian dari V. a b d) Apabila W = ab, real b a, ambil A = a b b a dan p q a p ( b q) B = q p W maka A+B= W dan b q a p sa sb sa = W. Jadi W ruang bagian dari V. sb sa

17 MATA43/MODUL.7 6) V = { f f: RR }. a) Ambil f dan gw maka f() = f(), dan g() = g(). sf() = sf() = (sf)() maka sfw. (f + g)() = f() + g() = f() + g() = (f+g)() maka f + gw. Jadi W ruang bagian dari V. b) Ambil fw maka f() + f() =, dan (sf)() + (sf)() = sf() + sf() = s(f() + f()) = s. Jika s = maka (f)() + (f)() = 4, sf W, dan W bukan ruang bagian dari V. c) fw maka f( x) = f(x). (f)( x) = ( f(x)) = (f)(x) f(x). Jadi fw sehingga W bukan ruang bagian dari V. d) Ambil fw dan gw maka (f + g)(x) = f(x) + g(x) = f( x) + g( x) = (f + g)( x), jadi f + gw. (sf)(x) = sf(x) = sf( x) = (sf)( x) maka sfw. Jadi W ruang bagian dari V. RANGKUMAN Kegiatan belajar ini mencakup pengertian Ruang Vektor dan Ruang Bagian. Ciri ruang vektor Untuk setiap vektor a, b, c V dan s, t R berlaku: ) a + b V Tertutup (terhadap +) ) a + b = b + a Komutatif 3) (a + b) + c = a + (b + c) Asosiatif 4) V a + = a Kewujudan vektor nol 5) a V a + a = Kewujudan invers 6) sa V Tertutup terhadap perkalian dengan skalar 7) s(t a) = (s t) a 8) s(a + b) = sa + sb Distributif 9) (s + t) a = sa + ta " ) a = a Sifat-sifat penting ruang vektor Setiap ruang vektor mempunyai tepat satu vektor nol dan setiap vektor mempunyai tepat satu invers terhadap penjumlahan.

18 .8 Aljabar Linear Elementer Untuk bilangan real s dan t serta vektor a dan b berlaku: a = a s = ( s)a = (sa) = s( a) Jika sa = maka s = atau a = Jika sa = sb dan s maka a = b Jika sa = ta dan a maka s = t (a + b) = ( a) + ( b) = a b. Ruang bagian Ruang bagian dari suatu ruang vektor V adalah himpunan bagian WV yang merupakan ruang vektor dengan penjumlahan dan perkalian skalar pada V. Sifat-sifat penting ruang bagian a. Himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V adalah ruang bagian dari V jika dan hanya jika W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian dengan skalar pada V. b. Himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V adalah ruang bagian dari V jika dan hanya jika W tertutup terhadap kombinasi linear. c. Jika W ruang bagian dari V maka W memuat vektor nol pada V. TES FORMATIF Jawablah pertanyaan berikut ini! ) Untuk himpunan S dengan penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang diberikan, tentukan sifat-sifat ruang vektor yang dipenuhi dan yang tidak. a) S = {(x, y, z, u) x + y + u = }dengan penjumlahan dan perkalian dengan skalar di R 4 b) S = {f f: RR, f(x) = f( x) xr dengan operasi vektor di ruang fungsi real bernilai real. ) Bila a, b V dan s, tr untuk pernyataan berikut periksa mana yang benar dan mana yang tidak dan beri alasan untuk jawab Anda. a) Jika sa = ta maka s = t. b) Jika sa = sb maka a = b. c) Jika sb = tb dan b maka s = t. 3) Tunjukkan bahwa himpunan WV berikut dengan penjumlahan dan perkalian dengan skalar di ruang vektor V merupakan ruang bagian atau bukan.

19 MATA43/MODUL.9 a) W = {g g(x) = a 4asinxcosx bsin x, ar, br }, V = PT. (Gunakan dulu rumus-rumus trigonometri). b) W = {p p(x) = a ax + x 3 xr}, V = P 3. 4) Gunakan jalan paling singkat untuk menunjukkan bahwa himpunan bagian W dari ruang vektor V ruang berikut tidak merupakan ruang bagian. a a a) W = A A a, V = himpunan matriks. b) W = {a a = ( + p, p }, V = R. 5) Pandang S={u u = (a, a ), ar}sebagai himpunan bagian dari R. Apakah = (, ) S? Periksa apakah S merupakan ruang bagian dari R. Apakah hasil ini tak bertentangan dalil 5? Jelaskan jawab Anda! Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar % Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 8% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 8%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.

20 . Aljabar Linear Elementer Kegiatan Belajar Kombinasi Linear dan Kebebasan Linear A. KOMBINASI LINEAR DAN BENTANG LINEAR Konsep kombinasi linear telah mulai disinggung pada pembahasan R dan R 3 pada Modul 5 Aljabar Linear Elementer. Syarat perlu dan cukup untuk suatu himpunan bagian W dari ruang vektor V merupakan ruang bagian dari V seperti yang dinyatakan dengan Dalil 3 dan Dalil 4 sesungguhnya menyangkut ketertutupan terhadap kombinasi linear dua vektor dalam W. Pengertian kebebasan linear berkaitan dengan kombinasi linear. Semuanya ini diperlukan dalam membahas basis dan dimensi ruang vektor. Definisi Vektor vv disebut kombinasi linear dari m buah vektor u, u,, u m pada V, bila terdapat bilangan real s, s,, s m sehingga v = m i i s u i. Dikatakan juga: v kombinasi linear dari himpunan vektor { u, u,,u m } V. Bila k m, jelaslah u k kombinasi linear dari { u, u,, u m } karena u k = u + u + + u k + + u m. Pandang V = R n. Pemeriksaan apakah v kombinasi linear dari u, u,, u m, berarti memeriksa adakah bilangan-bilangan real s, s,, s m yang memenuhi v = maka: m i i s u i. Dengan u i = (u i, u i,, u ni ), i =,, m, v u u u v = u u u vn u u u m m n n nm s s. sm Dengan demikian dapat dikatakan bahwa v kombinasi linear dari u, u,, u m jika dan hanya jika sistem persamaan linear di atas punya jawab.

21 MATA43/MODUL. Contoh a) Apakah v = kombinasi linear dari u = dan u =? Untuk menjawab pertanyaan ini kita harus memeriksa ada atau tak adanya jawab sistem persamaan linear s = yang kita lakukan dengan s melaksanakan eliminasi Gauss seperti berikut BB 3 B3 B 3 3 B4B B 3B 3 B 3B 4 B B B 6 3 B 5 4 B 6 3. Jadi, sistem persamaan linear itu tak punya jawab, yang berarti v bukan kombinasi linear dari u dan u. 8 b) Apakah w = kombinasi linear dari u dan u pada butir a)? 7 Penyelesaian : Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks lengkap sistem persamaan berikut:

22 . Aljabar Linear Elementer 8 7 B B B B 3 B B B B B 3B 3 B 3B 4. Sistem persamaan punya jawab karena unsur terkiri tiap baris tak nol pada matriks eselon tak ada yang terletak pada kolom terakhir. Jadi w kombinasi linear dari u dan u. Contoh a) Bila p (x) = + x, p (x) = x, p (x) = + x, p 3 (x) = x x, apakah setiap polinom berpangkat kurang atau sama dengan merupakan kombinasi linear dari p, p, p, dan p 3? b) Tunjukkan bahwa polinom berpangkat kurang atau sama dengan merupakan kombinasi linear dari q, q, q yang memenuhi q (x) =, q (x) = x, q (x) = x, xr. Penyelesaian : a) Polinom berpangkat kurang atau sama dengan dapat dituliskan sebagai p(x) = a + a x + a x, a, a, a R. Akan ditunjukkan bahwa terdapat s, s, s, s 3 real sehingga a + a x + a x = s ( + x) + s ( x) + s ( + x ) + s 3 (x x ) ; xr. Menyamakan koefisien untuk x pada ruas kiri dengan yang pada ruas kanan menghasilkan a = s + s Menyamakan koefisien untuk x, diperoleh a = s s + s 3 Menyamakan koefisien untuk x didapat a = s s 3 Dengan demikian matriks lengkap sistem persamaan itu beserta pengerjaan eliminasi Gauss untuk mendapatkan matriks eselonnya adalah sebagai berikut:

23 MATA43/MODUL.3 a a a a BB a a a a a ( ) B a. a Apa pun nilai a, a, a matriks eselon ini tidak mempunyai baris tak nol yang unsur satu terkirinya terletak pada kolom terakhir. Jadi sistem persamaan untuk s, s, s, s 3 ini selalu mempunyai solusi berapa pun nilai a, a, a. Maka a + a x + a x kombinasi linear dari p, p, p, dan p 3 sehingga setiap polinom berpangkat kurang atau sama dengan adalah kombinasi linear dari p, p, p, p 3. b) Dengan mudah dapat dilihat bahwa polinom berpangkat kurang atau sama dengan adalah juga kombinasi linear dari q, q, q yang memenuhi q (x) =, q (x) = x, q (x) = x,xr. Di sini koefisien s, s, s adalah persis a, a, a. Pada umumnya dapat dikatakan bahwa bila V ruang vektor dan {u, u,, u m } V, himpunan semua kombinasi linear dari {u, u,, u m } itu membentuk ruang bagian W dari V, dan W adalah ruang bagian terkecil yang memuat {u, u,, u m }, setiap ruang bagian lain yang memuat himpunan vektor ini pasti memuat W. Dalil Jika V ruang vektor dan S = {u, u,, u m } V, maka: a) Himpunan W dari semua kombinasi linear {u, u,, u m } adalah ruang bagian dari V. b) W ruang bagian terkecil yang memuat S. Bukti : a) i) Jika a W maka a = m k k s u k V,

24 .4 Aljabar Linear Elementer ii) Jika a dan b W maka a = ra = a + b = m k m k k k ( s t ) u k. m k k s u k, b = m k k t u k sehingga r u k. Jadi a+b dan ra merupakan kombinasi linear dari {u, u,, u m } atau a+bw dan raw. Karena i) dan ii) maka W ruang bagian dari V. b) Andaikan U ruang bagian yang memuat S maka U memuat setiap kombinasi linear dari S. Jadi W U. Ruang bagian W seperti yang disebut pada dalil di atas dikatakan dibangun atau dibentang oleh {u, u,, u m }, dan {u, u,, u m } disebut himpunan pembangun dari W. Definisi Jika V ruang vektor, S ={u, u,, u m }V, ruang vektor W yang merupakan himpunan semua kombinasi linear dari S disebut ruang vektor yang dibangun oleh atau bentang linear dari S, biasa dituliskan dengan notasi W = span(s), dan S disebut himpunan pembangun (pembentang) ruang vektor W. Jadi himpunan vektor S= {u, u,, u m } V: adalah himpunan pembangun dari ruang vektor W jika dan hanya jika: setiap unsur W adalah kombinasi linear dari S, dan W memuat semua kombinasi linear dari S atau sistem m persamaan sk k = w mempunyai jawab ww, dan sk k W. k k m Contoh 3 a) Di R 3, U adalah ruang yang dibangun oleh S = Tunjukkan bahwa:,.

25 MATA43/MODUL.5 i) P =, 4 ii) T =,, 4 juga himpunan pembangun dari U. b) Perlihatkan bahwa himpunan berikut bukan himpunan pembangun dari ruang vektor U: i) K =, 3, ii) L =, 3, 4 Penyelesaian: a) i) * Harus dibuktikan bahwa setiap unsur P adalah kombinasi linear dari S: Sistem persamaan s + t 4 = p + q punya jawab p dan q real. Eliminasi Gaussnya adalah sebagai berikut: pq 4 p p q B B 4 3 B 4 B B B pq p q pq 4 4 p 4q p q Terlihat bahwa sistem persamaan itu punya jawab untuk tiap nilai p dan q, yakni s = p + q, t = p q. * Selanjutnya harus ditunjukkan pula bahwa U memuat semua kombinasi linear dari P:

26 .6 Aljabar Linear Elementer s + t 4 U, s dan t real. Ini berarti sistem p + q = s + t 4 mempunyai jawab s dan t real. Eliminasi Gauss untuk matriks lengkap sistem persamaan ini adalah seperti berikut: 4 s s t t 3 B B B B s s t s t 4 4 B B B s s t, yang berarti bahwa sistem persamaan mempunyai jawab s dan t real. Setiap unsur U adalah kombinasi linear dari P. Dengan demikian terlihat bahwa setiap unsur U adalah kombinasi linear dari P dan U memuat semua kombinasi linear dari P. ii) Akan ditunjukkan bahwa tiap vektor uu adalah kombinasi linear dari T, dan U memuat semua kombinasi linear dari T. Untuk membuktikan yang pertama: pada i) diperoleh bahwa setiap unsur U kombinasi linear dari P. U juga kombinasi linear dari T karena: Ambil uu maka u = a + b 4 = a 4 b. Bahwa U memuat semua kombinasi linear dari T adalah karena: Ambil v kombinasi linear dari T maka v = p + q + 4 r, untuk suatu p, q, r U. Akan tetapi + 4,

27 MATA43/MODUL.7 maka v = p + p 4 q r 4 = (p + q) + (p + r) 4 Maka v kombinasi linear dari P. Jadi v U. b) i) Akan ditunjukkan bahwa ada kombinasi linear dari K yang bukan anggota U, yakni: v = Akan ditunjukkan bahwa sistem persamaan [P] s = v tak mempunyai jawab. t Eliminasi Gauss untuk matriks lengkap: 4 3 ~ 4 3 ~ ~ Baris terakhir mengakibatkan kontradiksi. ii) Untuk L, merupakan kombinasi linear L yang tidak dimuat U. B. KEBEBASAN LINEAR Himpunan pembangun (pembentang) sangat penting dalam menangani berbagai masalah karena kadang-kadang kita dapat membahas ruang vektor dengan lebih dahulu menelaah vektor-vektor dalam himpunan pembentangnya, kemudian memperluas hasilnya pada ruang vektor itu. Sudah kita lihat pada contoh bahwa baik {p, p, p, p 3 } maupun {q, q, q } membangun P. Pada umumnya tiap ruang vektor mempunyai banyak (lebih dari satu) himpunan pembangun. Kalau kita harus memilih, apakah

28 .8 Aljabar Linear Elementer dasarnya?. Yang unsurnya sesedikit mungkin tentunya akan sangat menguntungkan. Untuk mendapatkan himpunan pembentang begini kita memerlukan pengertian kebebasan linear yang definisinya adalah sebagai berikut: Definisi 3 a) Himpunan vektor {u, u,, u m } dikatakan bebas linear apabila m k k s u k = hanya dipenuhi oleh s = s = = s m =. b) Himpunan vektor {u, u,, u m } dikatakan tak bebas linear (bergantungan linear) jika tidak bebas linear, yakni terdapat s, s,, s m yang tak semuanya nol yang memenuhi m k k s u k =. Dalam kalimat lain definisi di atas berarti: a) Himpunan {u, u,, u m } dikatakan bebas linear jika dan hanya jika sistem persamaan homogen m k k s u k = tak mempunyai jawab tak trivial. b) Himpunan vektor {u, u,, u m } dikatakan tak bebas linear (bergantungan linear) jika dan hanya jika persamaan homogen u k = mempunyai jawab tak trivial. m s k k Dalam memeriksa apakah suatu himpunan vektor bebas linear atau tidak bebas linear, sifat di atas kita buat lebih praktis lagi dalam arti dapat menentukan apa yang akan kita kerjakan untuk menentukan kebebasan linear itu. Untuk itu kita langsung memeriksa matriks eselon untuk matriks koefisien sistem persamaan linear homogen yang berkaitan. Khusus untuk n R hal itu dapat kita lakukan sebagai berikut.

29 MATA43/MODUL.9 n Kalau u i R kita tuliskan sebagai u i = persamaan linear homogen m k k s u k =, menjadi, Matriks koefisien sistem ini ialah u u u u u u u u u ui ui, i =,,, m maka sistem uni s u s u s u m m s u s u s u m m s u s u s u n n m nm m m n n nm = [u, u,, u m ], kolom-kolomnya adalah vektor-vektor u, u,, u m. Dengan menggunakan sifat mengenai jawab sistem persamaan linear homogen yang dibahas pada Modul 3 Aljabar Linear Elementer I sifat yang mencirikan kebebasan linear itu dapat kita tuliskan sebagai dalil berikut. Dalil n Pada R berlaku a) Himpunan vektor { u, u,, u m } bebas linear jika dan hanya jika banyaknya baris tak nol pada matriks eselon untuk matriks [u, u,, u m ] adalah m. b) Himpunan vektor { u, u,, u m } tak bebas linear jika dan hanya jika banyaknya baris tak nol pada matriks eselon untuk matriks [u, u,, u m ] kurang dari m. Dalil ini memberikan kemudahan kepada kita untuk memeriksa bebas n linear atau tidaknya suatu himpunan vektor di R seperti pada contoh berikut.

30 .3 Aljabar Linear Elementer Contoh 4 Periksa apakah himpunan vektor berikut bebas linear atau tidak: a). {u, u, u 3 }, (b) {u, u 3, u 4 }, (c) {u, u 3, u 4, u 5 }, jika diketahui u =, u =, u 3 = u 4 =, u 5 =. 3 Penyelesaian: a) m = 3. Kita bentuk matriks dengan kolom-kolom u, u, u 3. Pengerjaan eliminasi Gauss dilaksanakan sebagai berikut. B B 3 B B 4 B B 3 B 3 Dapat dilihat bahwa banyaknya baris tak nol pada matriks eselon adalah 3 = m. Jadi {u, u, u 3 } bebas linear. b) m = 3. Eliminasi Gauss untuk matriks [u, u 3, u 4 ]: B B B B B 3 B B 4 B4B3. Banyaknya baris tak nol adalah 3 = m, jadi {u, u, u 3 } bebas linear. c) m = 4. Eliminasi Gauss untuk matriks [u, u 3, u 4, u 5 ] :

31 MATA43/MODUL.3 3 B B 3 B B 4 ( B B ) B ( B B ) Banyaknya baris tak nol adalah 3 < m = 4. Jadi {u, u 3, u 4, u 5 } tak bebas linear (bergantungan linear). Untuk ruang vektor yang umum, dalil ini masih berlaku, hanya vektor di R n diganti dengan vektor koordinat terhadap basis baku di ruang vektor itu. Vektor koordinat baru akan dibahas pada Modul 3. Oleh karena itu penanganan kebebasan linear pada ruang vektor yang bukan R n kita lakukan menggunakan definisi langsung seperti pada contoh berikut. Contoh 5 a) Pandang ruang vektor real V = {f f: R R}. Periksa apakah S = {, cosx, sinx} bebas linear atau tidak dalam V. Penyelesaian : Di V vektor -nya adalah fungsi yang nilainya nol di seluruh R. Jadi untuk memeriksa kebebasan linear, kita perhatikan persamaan (s + s cos + s 3 sin)(x) =, x real, apakah mengakibatkan s = s = s 3 = atau tidak. Karena (s + s cos + s 3 sin)(x) = s + s cosx + s 3 sinx =, x real, ambil x = sehingga kita peroleh persamaan s + s =. Untuk x = / menghasilkan persamaan s s =, dan untuk x = /4 menghasilkan s + s 3 =. Pengerjaan eliminasi Gauss pada matriks koefisien sistem persamaan homogen ini adalah BB B. B B 3 B 3 B Jelaslah sistem persamaan linear homogen untuk s, s, s 3 itu tak mempunyai jawab tak trivial, jadi W bebas linear.

32 .3 Aljabar Linear Elementer b) Periksa apakah himpunan fungsi {f, f, f 3, f 4 } bebas linear dalam ruang fungsi V = {f f: R R} apabila f (x) = cos x, f (x) = cosx(sinx cosx), f 3 (x) = sinx, f 4 (x) = sin x. Penyelesaian: Dengan rumus goniometri diperoleh f (x) = + cos x, f (x) = sin x cos x, f 4(x) = cos x. Kemudian tentukan sistem persamaan untuk s, s, s 3, s 4 yang diperoleh sebagai akibat dari berlakunya kesamaan s f (x) + s f (x) + s 3 f 3 (x) + s 4 f 4 (x) =, x real. i) Cara langsung: Kita masukkan nilai nilai x =, 4, ke dalam kesamaan s f (x) + s f (x) + s 3 f 3 (x) + s 4 f 4 (x) = maka diperoleh, untuk x = : s ( + ) + s ( ) + s 3 () + s 4 ( ) = s s =. untuk x = 4 : s ( +.) + s (..) + s 3( ) + s 4(.) = s + s 3 + s 4 = untuk x = : s ( ) + s (. + ) + s 3() + s 4. + ) = s 4 =. Andaikan s = t maka s = t, s 3 = t, s 4 =. Jadi (s, s, s 3, s 4 ) = (t, t, t, ) Ambil t = maka dapat diperiksa bahwa f + f f 3 + f 4 =. Terdapat kombinasi linear dari {f, f, f 3, f 4 } = yang tak semua koefisiennya nol, sehingga {f, f, f 3, f 4 } tak bebas linear. ii) Menggunakan kebebasan linear himpunan S (butir a): s f (x) + s f (x) + s 3 f 3 (x) + s 4 f 4 (x) =, berarti s ( + cos x )+s ( sinx cos x )+s 3( sinx)+s 4( cos x ) = ( s s + s 4). + ( s s s 4)cosx + ( s + s 3)sinx =. Karena S bebas linear haruslah

33 MATA43/MODUL.33 s s + s 4 = s s s 4 = s + s 3 =. Sistem persamaan ini menghasilkan (s, s, s 3, s 4 ) = (t, t, t, ). Ambil t =, maka kita peroleh kesimpulan yang sama dengan yang didapat pada cara i). Dari definisi bebas linear dan tak bebas linear kita dapat menyimpulkan sifat-sifat yang kita gabungkan dalam dalil berikut ini. Dalil 3 a. Himpunan {} tak bebas linear ( = vektor nol pada ruang vektor sebarang). b. Himpunan yang terdiri dari satu vektor tak nol, adalah bebas linear. c. Himpunan berhingga vektor yang memuat vektor nol, S = {, u, u,..., u N } tak bebas linear. d. Himpunan dua vektor tak nol {a, b} tak bebas linear jika dan hanya jika terdapat r sehingga a = rb. e. Jika himpunan vektor S = {v, v,..., v k } tak bebas linear, himpunan vektor P S juga tak bebas linear. f. Jika himpunan vektor P = {u, u,..., u m } bebas linear maka himpunan vektor tak kosong S P juga bebas linear. g. Himpunan n buah vektor P = { u, u,..., u n } di R n bebas linear, jika dan hanya jika untuk matriks A = [P] (matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor u, u,..., u n ), det (A). Bukti: a. Himpunan {} tak bebas linear karena s = dapat dipenuhi oleh s, misalnya s =. b. sa = dan a berakibat s = ( butir d Dalil pada bagian Modul ini). c. s + s u + s u s N u N = dapat berlaku untuk s =, s = s =... = s N =. d. i) Bila terdapat r sehingga a = rb, atau a rb =, jadi {a, b} tak bebas linear. ii) Jika {a, b} tak bebas linear maka terdapat s dan tr yang tidak keduanya nol sehingga sa + tb =. Akan kita buktikan bahwa s dan t. Yang jelas sekurangnya ada satu dari s dan t.

34 .34 Aljabar Linear Elementer Andaikan s = maka haruslah t. sa + tb = a + tb = tb =. Karena t maka haruslah b = (butir d Dalil pada bagian Modul ini). Hal ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu b. Pengandaian t =, s mengakibatkan a =. Maka haruslah s dan t. Ambil r = t/s maka a = rb. e. Urutkan vektor-vektor di P sehingga P = {v, v,..., v k, v k+,..., v k+p }, p bilangan cacah, k + p = m. S = { v, v,..., v k } tak bebas linear maka terdapat bilangan real s i, i =,,..., k yang tak semuanya nol sehingga k s j v j. Sekarang ambil s j = untuk k j k + p = m maka j m j m j k s j v j = s jv j. vk. vkp = + =. Jadi j s v =, untuk s j, j =,,..., k + p, yang tak semuanya nol. P j j tak bebas linear terbukti. f. Sekarang bila P bebas linear, harus dibuktikan S P juga bebas linear. Andaikan S tak bebas linear maka menurut butir e) yang baru saja dibuktikan, P juga tak bebas linear yang bertentangan dengan yang diketahui yaitu P bebas linear. Pengandaian bahwa S tak bebas linear tidak benar. Jadi S bebas linear terbukti. g. Dengan menggunakan sifat determinan untuk matriks bujur sangkar dan dalil dan sifat determinan. Untuk lebih memahami dalil di atas, pelajarilah contoh berikut. Contoh 6 Periksa apakah himpunan vektor berikut bebas linear atau tidak a) {f}, f(x) = x R b) {g}, g(x) = cosx x R c),, d),,,, 4

35 MATA43/MODUL.35 e) {sinx, sinxcosx}, {sinx,+ sinx}. {+sinx, sinx, sinxcosx, sinx, cosx} f) {, x, x 3 } g) S,,, T,, 4 3 Penyelesaian: a) f adalah vektor dalam ruang fungsi V = {f f: R R}, jadi menurut butir a) dalil 3 {f} tak bebas linear. b) g adalah vektor tak nol dalam ruang fungsi V = {f f: R R}, jadi menurut butir b) dalil 3 {f} bebas linear. c) Himpunan vektor,, memuat vektor nol, jadi menurut butir c) dalil 3 himpunan vektor ini tak bebas linear d) =, jadi menurut butir d) dalil 3, tak bebas linear. k, menurut butir d) dalil 3, bebas linear. 4 4 e) sinx = sinxcosx, xr, menurut butir d) dalil 3 {sinx, sinxcosx} tak bebas linear. sinx = k(+ sinx), xr tidak benar, misalnya untuk x = hal ini berarti = yang tak mungkin dapat dipenuhi. Jadi menurut butir d) dalil 3 {sinx, + sinx} bebas linear. Dari butir d) sudah kita peroleh bahwa S = {sinx, sinxcosx}tak bebas linear dan himpunan P = { + sinx, sinx, sinxcosx, sinx, cosx} S jadi menurut butir e) dalil 3 himpunan P tak bebas linear. f) Akan dibuktikan dahulu P = {, x, x, x 3 } bebas linear. Untuk itu kita periksa persamaan s + s x + s x + s 3 x 3 =, xr. Dengan

36 .36 Aljabar Linear Elementer memasukkan nilai-nilai x =,,, dan kita peroleh persamaan untuk s, s, s, dan s 3 sebagai berikut untuk: x = : s = x = : s + s + s + s 3 = x = : s s + s s 3 = x = : s + s + 4s + 8s 3 = Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks koefisien sistem persamaan ini: BB B3 B B 3B B 3 B B 4 3 B B 4 6 B4 6. B B 4 Pada matriks eselon untuk matriks koefisien ini banyaknya baris tak nol = banyaknya kolom, jadi sistem persamaan homogen ini tak mempunyai jawab tak trivial, satu-satunya jawab adalah jawab trivial s = s = s = s 3 = dan demikian P bebas linear. Karena S = {, x, x 3 } P maka menurut butir f) dalil 3, S juga bebas linear. e) det ([S]) =. 4 4, 4 4 jadi S tak bebas linear (bergantungan linear). 6 det ([T]) = = 6 = linear. = 5, jadi T bebas

37 MATA43/MODUL.37 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Periksa apakah vektor u, v, w berikut kombinasi linear dari S bila a) u =, b) v =, c) w =, S =,,. ) a) Jika u i : = x u i (x), i =,,3, u (x) = + x + x, u (x) = x 3, u 3 (x) = x + x + x 3, v = x v(x), bila v(x) = i). + x + x 3, ii). x + x 3, periksa apakah v kombinasi linear dari S = {u,u,u 3 }. b) Kerjakan seperti pada butir a. bila u (x) =, u (x) = cosx, u (x) = cosx, u 3 (x) = sinx, S = { u,u,u,u 3 }, dan v(x) seperti berikut: i) cosx + cosx(cosx sinx), ii) sinx + sinx(sinx cosx) 3) a) Tunjukkan bahwa himpunan vektor x x W =, x x, x x3 x4 merupakan ruang bagian x 3 x 4 dari R 4 dan periksa apakah himpunan vektor berikut membangun W: i) P =,, ii) S =,,, iii) T =,, b) Tunjukkan bahwa W = {u u: RR, u(x) = sinx (rcosx + ssinx), r, sr} merupakan ruang vektor real dan periksa apakah himpunan

38 .38 Aljabar Linear Elementer fungsi berikut himpunan pembangun dari W: i) {, cosx, sinx}, ii) { cosx, sinx}. 4) Periksa apakah himpunan vektor berikut bebas linear atau tidak: a) i),,, ii),,, 3, 3 b) di P : i) { + x, x, x + x } ii) { x, x x, + x x }, c) di PT : i) {cos x, cosx (sinx cosx), sinx, + cosx}, ii) {sinx (sinx cosx), cosx, cosx, }, Petunjuk Jawaban Latihan ) Lakukan eliminasi Gauss untuk memeriksa ada atau tidaknya jawab sistem persamaan linear Ax = b untuk A = [S] = matriks yang kolomkolomnya adalah unsur-unsur dari S, dan untuk b diisikan masingmasing vektor u, v, dan w. Jawab: a) ya, b) tidak, mengurangi baris keempat dengan baris pertama matriks lengkap menghasilkan baris yang menyimpulkan =. c) ya. ) a) i) Tidak, ii) Ya. b) i) Ya karena: cosx + cosx(cosx sinx) = cosx + + cosx sinx =. +.cosx +.cosx.sinx, berlaku untuk tiap x real. ii) Tidak, karena dalam mencari a, b, c, d yang memenuhi sinx + sinx(sinx cosx) = sinx + cosx sinx = + b.cosx + c.cosx + d.sinx, xr kita terbentur karena memasukkan nilai x = dan x = memberikan kontradiksi, jadi sinx + sinx(sinx cosx) bukan kombinasi linear dari S.

39 MATA43/MODUL.39 3) a) Ambil x y x y x x, x x 3x4 x W, y W, x, y, x 3 y 3 y y, y y3 y4 x y 4 4 Merupakan ruang bagian karena u = sx W, dan v = x + y W. Matriks lengkap dari sistem persamaan yang dipenuhi oleh W: menghasilkan W = s t (i) membangun, (ii) membangun, (iii) tak membangun. b) u(x) = rsinx + s( cosx). Tunjukkan sifat tertutup terhadap perkalian skalar dan penjumlahan. i) bukan himpunan pembangun, ii) himpunan pembangun. 4) a) i) tak bebas linear, ii) bebas linear. b) i) bebas linear, ii) tak bebas linear. c) i) tak bebas linear, ii) bebas linear RANGKUMAN Kegiatan belajar ini menyangkut kombinasi linear, himpunan pembangun dan kebebasan linear. Vektor vv disebut kombinasi linear dari himpunan vektor {u, u,, u m } pada V, apabila terdapat bilangan real s, s,, s m sehingga v = m i i s u i. Jika V ruang vektor dan S = {u, u,, u m } V, maka: a) Himpunan W dari semua kombinasi linear {u, u,, u m } adalah ruang bagian dari V. b) W ruang bagian terkecil yang memuat S. (Dalil ).

40 .4 Aljabar Linear Elementer Jika V ruang vektor, S = {u, u,, u m } V, ruang vektor W yang merupakan himpunan semua kombinasi linear dari S disebut ruang vektor yang dibangun oleh atau bentang linear dari S, biasa dituliskan dengan notasi W = span(s), dan S disebut himpunan pembangun (pembentang) ruang vektor W. Jika S = {v, v,..., v m } membangun ruang vektor V dan untuk tiap k =,,, m, v k adalah kombinasi linear dari T = {w, w,, w n } maka T juga membangun V. (Dalil ) a) Himpunan vektor {u, u,, u m } dikatakan bebas linear apabila m k k s u k = hanya dipenuhi oleh s = s = = s m =. b) Himpunan vektor {u, u,, u m } dikatakan tak bebas linear (bergantungan linear) jika tidak bebas linear, yakni terdapat s, s,, s m yang tak semuanya nol yang memenuhi m k k s u k =. a) Himpunan {} tak bebas linear. ( = vektor nol pada ruang vektor sebarang) b) Himpunan yang terdiri dari satu vektor tak nol, adalah bebas linear. c) Himpunan berhingga vektor yang memuat vektor nol, S = {, u, u,, u N } tak bebas linear. d) Himpunan dua vektor tak nol {a, b} tak bebas linear jika dan hanya jika terdapat r sehingga a = rb e) Jika himpunan vektor S = { v, v,..., v k } tak bebas linear, himpunan vektor P S juga tak bebas linear. f) Jika himpunan vektor P = { u, u,..., u m }bebas linear maka himpunan vektor tak kosong S P juga bebas linear. (Dalil 3) g) Jika S himpunan n vektor di R n, dan [S] adalah matriks yang kolom kolomnya adalah vektor di S maka S bebas linear jika dan hanya jika det ([S]).

41 MATA43/MODUL.4 TES FORMATIF Jawablah pertanyaan berikut ini! ) Hubungan apakah yang harus dipenuhi oleh a, b, c, dan d supaya vektor a b a = kombinasi linear dari,, c. d ) Tunjukkan bahwa V = { x x R 4, x x, x3 x 4 } ruang vektor real dan tentukan himpunan pembangunnya yang bebas linear! 3 3) V = {u u : R R, u( x) a ( a a ) x ( a a ) x a x, a R, a R } adalah ruang vektor real (buktikan) dan tentukan pula himpunan pembangunnya yang bebas linear. 4) Periksa bebas linear atau tidaknya himpunan vektor berikut: a) {, cos x, sin x, cosx}, b) {, cosx, cosx, sinx} 5) Tentukan persyaratan untuk p supaya p 3 p p 3,,, bebas linear. p p 3 p 4 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar % Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 9 - % = baik sekali 8-89% = baik 7-79% = cukup < 7% = kurang

42 .4 Aljabar Linear Elementer Apabila mencapai tingkat penguasaan 8% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 8%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.

43 MATA43/MODUL.43 Kegiatan Belajar 3 Basis dan Dimensi A. BASIS Barangkali Anda pernah mendengar bahwa garis berdimensi satu, bidang berdimensi dua, dan ruang di sekitar kita berdimensi 3. Pada bagian ini pengertian itu akan kita nyatakan secara akurat. Pengertian dimensi ini sangat berkaitan dengan pengertian basis yang akan kita bahas pada kesempatan ini. Kita sudah mengenal himpunan pembangun dari suatu ruang vektor, seperti contoh 3a) bagian Modul ini telah menyimpulkan bahwa di R 3, ruang vektor U yang dibangun oleh: S =, juga dibangun oleh himpunan vektor P =, 4 dan T =,, 4. P, S, dan T masing-masing adalah himpunan pembangun ruang vektor U. P dan T bebas linear karena P dan T terdiri dari vektor, dan vektor yang satu bukan kelipatan dari vektor yang lainnya. (Dalil 3 bagian modul ini). T tak bebas linear. Himpunan pembangun yang bebas linear ini selanjutnya disebut basis, sangat penting dalam pembahasan kita selanjutnya. Pengertian basis ini kita rumuskan secara tepat dengan definisi berikut: Definisi B = {u, u,..., u k } ruang vektor U disebut basis untuk U bila B bebas linear dan membangun U.