Transformasi Wavelet Diskret Untuk Data Time Series

Transkripsi

1 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 015 Transformasi Wavelet Disret Untu Data Time Series S Vemmie Nastiti Lestari, Subanar Jurusan Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadah Mada [email protected] Abstra Untu mengolah atau menganalisis data yang mempunyai dimensi tinggi sangat sulit bahan dengan sistem omputer modern sealipun. Suatu pendeatan yang digunaan adalah mengurangi dimensi data yang disebut dengan redusi dimensi. Transformasi wavelet disret (TWD) merupaan salah satu teni redusi dimensi, yaitu teni deomposisi multi resolusi untu mengatasi masalah pemodelan yang menghasilan sinyal representasi loal yang bai pada domain watu dan domain freuensi. Jenis wavelet yang digunaan adalah wavelet Haar. Pada penelitian ini, peneliti aan membahas penanganan data time series berdimensi tinggi menggunaan TWD dan mengapliasiannya dalam data time series. Kata Kunci : redusi dimensi, wavelet Haar, transformasi wavelet disret. I. PENDAHULUAN Data time series merupaan nilai-nilai suatu variabel yang berurutan menurut watu, misalan harian, mingguan, bulanan, tahunan. Data time series ini sering ditemuan di berbagai bidang, salah satunya dalam bidang euangan/finansial sebagai contoh data saham harian dan volume transasi. Dalam penelitian meteorologi, data time series dapat digunaan untu predisi cuaca atau ilim. Selain itu dalam bidang business intelligence, penyedia layanan internet mungin dapat mengoptimalan pengoperasian bacbone internet yang besar. Bahan, nilai-nilai yang tercatat dalam urutan watu dapat diwaili oleh data time series. Data time series sering disaian dalam bentu vetor bilangan real. Untu mengolah atau menganalisis data yang mempunyai dimensi tinggi sangat sulit bahan dengan sistem omputer modern sealipun. Untu itu, suatu pendeatan terait dengan dimensi yang tinggi adalah mengurangi dimensi data tersebut yang sering disebut dengan redusi dimensi. Beberapa metode redusi dimensi diantaranya transformasi fourier, transformasi ini merupaan teni redusi data lasi. Berdasaran transformasi fourier tersebut para ahli mengembangan suatu teni redusi dimensi yang dienal dengan transformasi wavelet. Wavelet merupaan fungsi transformasi yang secara otomatis memotong data e dalam omponen berbeda dan mempelaari masing-masing omponen dengan resolusi yang sesuai dengan salanya [3]. Transformasi wavelet merupaan teni deomposisi multi resolusi untu mengatasi masalah pemodelan yang menghasilan sinyal representasi loal yang bai pada domain watu dan domain freuensi. Transformasi wavelet menggunaan sebuah endela modulasi yang flesibel artinya memilii penyesuaian atas freuensi dan watu, ini yang paling membedaan dengan transformasi Fourier watusingat (STFT), yang merupaan pengembangan dari transformasi Fourier yaitu tida bisa menganalisis freuensi dan watu secara bersamaan. Transformasi Fourier tersebut hanya terbatas menggunaan derert Fourier saa. Transformasi Wavelet terbagi menadi dua yaitu transformasi Wavelet Kontinu (TWK) dan transformasi Wavelet Disret (TWD). Penelitian sebelumnya dilauan oleh Yunyue, 004 [9] mengenai data mining time series, yang membahas beberapa metode redusi dimensi pada data time series Pada penelitian ini, peneliti aan membahas transformasi Wavelet Disret (TWD) arena mampu mengatasi data berdimensi tinggi dan dianggap relatif lebih mudah pengimplementasiannya dan sederhana. Jenis wavelet yang digunaan adalah wavelet yang paling tua yaitu wavelet Haar. Sampai saat ini, TWD yang menggunaan wavelet Haar dan di apliasian pada data time series belum begitu banya diai. Sehingga hasil penelitian ini diharapan dapat memberian metode alternatif penanganan data time series berdimensi tinggi menggunaan TWD dan mengapliasiannya dalam data time series. 163

2 ISBN II. TRANSFORMASI WAVELET DISKRET A. Haar Wavelet Haar wavelet merupaan wavelet sederhana yang berdasaran pada fungsi tangga. Fungsi tangga tersebut didefinisian sebagai beriut : Selanutnya dan t 1 ia a t b ab, 0 lainnya t t 0,1 (1) dimana, t, Z Kemudian diberian fungsi Haar wavelet Dan Himpunan /, t t, Z () merupaan fungsi sala Haar pada. t Ζ,, t 0 t t, merupaan mother wavelet: t,1/ 1/, 1 t / t Ζ (3),, disebut dengan fungsi eluarga Haar wavelet. B. Analisis Multiresolusi Esensi dari basis ortonormal yang dibangun oleh sebuah wavelet adalah sifat multiresolusi-nya, sehingga dapat menganalisis suatu signal pada berbagai freuensi di suatu loasi tertentu. Keluarga subruang tertutup Z L R yang memenuhi : b. 1 c. V 0 V : dari a. V V 1 untu setiap Z f t V f t V untu setiap Z Z d. untu fungsi ontinu f t pada R, f t Z V e. terdapat V0 sedemiian sehingga t disebut analisis multiresolusi (AMR) pada L R tersebut. C. Transformasi Wavelet Z merupaan basis orthonormal untu V 0,. Fungsi ϕ pada (e) disebut fungsi sala dalam AMR Transformasi wavelet adalah teni deomposisi untu time series yang menghasilan suatu multiresolusi di dalam domain watu dan freuensi yang sangat bai, serta algoritma perhitungan yang 164

3 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 015 efisien. Deomposisi multiresolusi memisahan tren dari time series. Misalan ita mempunyai father wavelet dan mother wavelet dengan sifat : 1. t dt 1. t dt 0 Father wavelet mewaili pemulusan sinyal, dan mother wavelet mewaili detail sinyal. Berdasaran analisis multiresolusi, fungsi sala secara umum merupaan fungsi basis orthonormal untu V 0, dan uga merupaan fungsi basis orthonormal untu V. Dari persamaan (), dapat ditulisan sebagai beriut : t 1/ h t Koefisien dari h disebut filter sala (scaling filter). Definisi : filter h didefinisian sebagai h h 0 hl 0,0 L 1, L N 1 Dengan h h, h h0, hn 1, hn,,, h 1 0,0,0,,0, hl 1, N L0 h 0 t Selanutnya untu mother wavelet, dari persamaan (3) dapat ditulisan sebagai beriut : Selanutnya, diperoleh persamaan : a. t h t 1, l l l b. t g t 1, l l l t 1/ g t Selanutnya dipunyai persamaan : merupaan basis orthonormal wavelet pada. (4) 165

4 ISBN Diberian, (5) uga merupaan basis orthonormal pada. Dari persamaan (4), dipunyai fungsi dengan persamaan : (6) Fungsi f t ini disebut fungsi transformasi wavelet. D. Transformasi Wavelet Disret Transformasi Wavelet Disrit (TWD) pada level J dari X adalah transformasi ortonormal yang diberian oleh, dengan W merupaan oefisien TWD adalah vetor berdimensi N, vetor X berdimensi N diartian sebagai elemen analisis runtun watu bernilai riil, dan adalah matris bernilai riil dengan uuran N x N yang mendefinisian DWT dan memenuhi. Dengan N J, dengan J merupaan integer positif. Transformasi wavelet disret dioperasian pada fungsi dengan domain disrit atau runtun watu ( ), biasanya menggunaan domain watu = 0, 1,, 1. Wavelet menganalisa data runtun watu untu dilatasi dan translasi data disrit dengan menggunaan mother wavelet ( ). Dasar proses dilatasi menggunaan interval 1, = 1,, 3, J. Translasi nilai menggunaan interval. Diberian Dari analisis multi resolusi, dietahui fungsi f t merupaan pendeatan pada level, sehingga diperoleh : f t dapat dideati dengan resolusi multi level. Dimana f t f t (7) Selanutnya pendeatan f, f, f (8) f pada level 1, dapat ditulisan sebagai beriut : (9) f t f t d t f t d t 1 1 Fungsi transformasi wavelet f t diperoleh dengan menghitung f dan d. Dimana : f h f (10) 1, t l l Hampiran deret wavelet orthogonal pada sinyal d g f (11) 1, t l l f t diberian oleh : 166

5 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 015 (1) f t f t d t d t d t,,,, 1, 1, 1, 1, Dimana adalah banyanya omponen dalam multiresolusi, nilai dari 1 sampai banyanya oefisien dalam omponen spesifi. dengan : t t, t, t Transformasi wavelet disret (TWD) menghitung oefisien hampiran pada persamaan (1) untu time series f0, f1,, fn 1. TWD memetaan vetor f f0, f1,, fn 1 untu vetor oefisien wavelet W. Vetor W terdiri dari oefisien f dan d, = 1,,..., J pada hampiran pada persamaan (1). f t disebut oefisien pemulusan (smooth coefficients) dan disebut detail oefisien. d, Koefisien Wavelet dan Sala TWD didefinisian sebagai W 1,t dinyataan sebagai oefisien wavelet TWD pada level 1 dan pada watu e t, sedangan V 1,t merupaan oefisien sala TWD level 1 dan pada watu e t. 1) Algoritma Level 1 Transformasi Wavelet Disrit level 1 dari X dan arena ortonormal yaitu,maa 167

6 ISBN Di mana d 1 dan f 1 masing-masing merupaan detail dan smooth pada level 1. ) Algoritma Level Algoritma piramida dimulai dengan = 1 dan selanutnya diulang dengan =,3, J 0, emudian diperoleh semua vector dari oefisien yang diperluan utu membentu W, yaitu W 1, W,..., W o dan oefisien sala V o Sama halnya dengan transformasi V e W 1 dan V 1, transformasi V -1 e W dan V dinyataan sebagai Dimana dan matris beruuran, arena matris ortonormal, maa, emudian arena V 1 = secara reursif menghasilan dan Karena ortonormal, dapat diperoleh dengan (13) Dari persamaan (13), dapat dionstrusi dari dan melalui invers algoritma piramida tingat, sehingga Dengan detail dan smooth diberian oleh dan. E. Multisala Autoregresi (MAR) Dalam renaud d (00), penggunaan deomposisi, proses AR menadi proses Multiscale Autoregressive (MAR) yang diberian menggunaan (14) 168

7 Partial ACF ACF ywr SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 015 dengan adalah level wavelet ( = 1,,..., J) adalah orde MAR ( = 1,,..., ) adalah oefisien wavelet adalah oefisien sala adalah oefisen MAR t adalah watu. III. HASIL PENELITIAN Pada penelitian ini digunaan data urs IDR/USD 4 agustus Agustus 015 yang diambil dari web Selanutnya data tersebut dilauan transformasi wavelet disret menggunaan software R dimana level yang digunaan adalah level. Selanutnya dari output software R diperoleh matris W 1, W dan V. Dari matris yang telah diperoleh aan dicari hampiran deret wavelet orthogonal pada data berdasaran persamaan (1). Diperoleh plot hasil deomposisi pada gambar 1 sebagai beriut : Keterangan data asli pendeatan wavelet x GAMBAR 1. PLOT DATA ASLI DAN PENDEKATAN WAVELET DISKRET Selanutnya mengidentifiasi model dengan plot ACF dan PACF sebagai beriut: Series ywr Lag Series ywr GAMBAR. PLOT ACF DAN PACF DARI DATA PENDEKATAN WAVELET Lag 169

8 ISBN Berdasaran gambar, terlihat bahwa fungsi ACF meluruh menuu nol secara esponensial sedangan fungsi PACF signifian hanya pada lag-1. Untu eperluan predisi digunaan metode ARIMA model yang mungin menggambaran sifat data pendeatan wavelet adalah model AR(1). Selanutnya dilauan predisi untu sepuluh periode e depan, diperoleh hasil : TABEL 1. HASIL PERAMALAN t Forecast , , , , , , , , , ,5 Dari tabel 1 diperoleh hasil bahwa predisi urs IDR/USD untu sepuluh periode edepan atau tanggal 13 - Agustus 015 dimana dari predisi tersebut terlihat bahwa semain lama harga dolar semain meranga nai. DAFTAR PUSTAKA [1] Bruce, Andrew., Ye Gao, Hong., 1996, Applied Wavelet Analysis with S-PLUS, hal 13, Springer-Verlag New Yor Inc, USA. [] Burrus, C.Sidney., d., 1998, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms A Primer, hal 17, Prentice-hall Inc, New Jersey. [3] Chui, Charles K., 199, An Introduction to Wavelets, hal 49, Elsevier Science, USA [4] Frazier, Michael W., 1999, An Introduction to Wavelets through Linear Algebra, hal 380, Springer-Verlag New Yor Inc, USA. [5] Nason, G.P., 008, Wavelet Methods in Statistics with R, hal 8, Springer, New Yor USA. [6] Renaud, o., Starc, J.L., dan Murtagh, F., (00), Wavelet Based Forecasting of Short and Long Memory Time Series, paper. [7] Veitch, David., 005, Wavelet Neural Networ, Dissertation, University of Yor, UK [8] Waler, James S., 008, A Primer on WAVELETS and their Scientific Applications Second Edition, hal 5, Chapman & Hall/CRC, U.S. [9] Zhu, Yunyue., 004, High Performance Data Mining in Time Series: Techniques and Case Studies, Dissertation, Department of Computer Science, New Yor University, hal