Sensitivitas Metode Ensemble Kalman Filter untuk Mendeteksi Gangguan pada Masalah Konduksi Panas Satu Dimensi

Transkripsi

1 Jurnal Matematia & Sains, Desember, Vol. 6 omor 3 Sensitivitas Metode Ensemble Kalman Filter untu Mendetesi Gangguan pada Masalah Kondusi Panas Satu Dimensi Erna Apriliani dan Wiwit Sofiyanti Budiono Departement Matematia, Institut Tenologi Sepuluh opember Surabaya april@matematia.its.ac.id Diterima Desember, disetuui untu dipubliasian 7 Januari Abstra Misalan diberian batang logam yang terisolasi, yang dipanasan dengan suhu onstan pada satu sisi, sedangan sisi yang lain diisolasi. Jia terdapat lubang ecil pada isolasi batang logam tersebut, maa hal ini aan mempengaruhi distribusi panas sepanang batang logam. Oleh arena itu sangat penting untu mengestimasi posisi lubang tersebut. Ensemble Kalman filter adalah metode estimasi variable eadaan dari sistem dinami stoasti berdasaran model matematia dari sistem tersebut dan beberapa data penguuran. Pada paper ini, Ensemble Kalman filter digunaan untu mengestimasi distribusi panas pada batang logam dan mendetesi posisi lubang berdasaran distribusi panas tersebut. MATLAB digunaan untu mensimulasian gangguan oleh aliran panas melalui lubang. Simulasi bervariasi bai dalam hal posisi maupun temperatur. Simulasi ini menunuan bahwa Ensemble Kalman Filter dapat digunaan untu mendetesi posisi gangguan, ia rasio antara besar temperatur gangguan dan temperatur batang logam sendiri lebih besar dari %. Kata unci: Ensemble Kalman Filter, Sensitifitas, Transformasi panas pada batang. Sensitivity Method of Ensemble Kalman Filter for Disturbance in One Dimensional Heat Conduction Problems Abstract Suppose, we have an isolated metal rod, which it is heated with a constant temperature in the one side and is isolated the other side. If there is a small hole on isolating, then the hole influences the heat distribution in rod. So, it is important to estimate the position of hole. Ensemble Kalman filter is a method to estimate the state variable of dynamic stochastic sistem based on mathematical model of these sistem and some measurement data. Here, we use the Ensemble Kalman filter to estimate the distribution of heat transfer on along the rod, and based on that distribution we estimate the position of hole. We used MATLAB to simulate disturbances by heat flow through hole, varied in positions and temperature. The simulation shows that we can use Ensemble Kalman Filter to detect the position of the disturbance, if the ratio between the magnitude of temperature disturbance and the temperature of metal rod is greater than %. Keywords: The ensemble Kalman Filter, Sensitivity, Heat transfer of rod.. Pendahuluan ia teradi lubang pada isolasi tersebut, maa aan teradi perpindahan panas dari udara e batang logam Terdapat beberapa alat-alat yang atau sebalinya yang tentu aan mempengaruhi menggunaan prinsip perpindahan panas (ondusi ualitas perpindahan panas. panas), seperti setria listri, oven listri dan lainlainnya. Biasanya, distribusi suhu diatur sesuai Pada penelitian sebelumnya, telah dilauan estimasi distribusi ondusi panas dimensi satu dengan yang diinginan. Kadang-adang pada alatalat tersebut terdapat gangguan, misalnya logam pada dengan menggunaan reduced ran square root filter (RRSRT filter), modifiasi RRSRT filter dan alat tersebut reta atau lubang. Gangguan tersebut RRSRIF (Apriliani, 999; a; b). Dengan aan mempengaruhi distribusi suhu pada alat tersebut menggunaan algoritma-algoritma tersebut, distribusi sehingga alat tida dapat beera optimal. Oleh suhu sepanang batang logam dapat diestimasi arena itu, sangat penting untu mengestimasi berdasaran pada penguuran suhu-suhu pada distribusi suhu dan mendetesi posisi gangguan tempat-tempat tertentu. Distribusi suhu pada tiap tersebut. satuan watu dapat diestimasi, sehingga dinamia Pada paper ini, diberian batang logam distribusi suhu sepanang batang logam dapat diamati berdimensi satu yang terisolasi sepanang batang. atau diperoleh. Batang logam tersebut dipanasi pada satu sisi Filter RRSRT, pertama ali diemuaan sedangan sisi yang lain diisolasi. Jia isolasi oleh Verlaan (998), merupaan pengembangan dari dilauan secara sempurna maa perpindahan panas filter Kalman. Filter Kalman merupaan metode aan berlangsung dengan bai atau sempurna, tetapi 33

2 Apriliani dan Budiono, Sensitivitas Metode Ensemble Kalman Filter untu Mendetesi Gangguan untu mengestimasi variable eadaan dari sistem dinami stoasti. Filter Kalman merupaan gabungan antara model sistem matematia dan data penguuran. Filter Kalman telah diterapan pada berbagai bidang seperti navigasi satelit, hidrodinamia, matematia financial, predisi cuaca dan lain-lainnya. Pada filter RRSRT, matris ovariansi ditulisan dalam bentu peralian aar uadratnya, emudian dilauan redusi ran matris untu mengurangi watu omputasinya dengan cara membuang olom-olom dengan variansi terecil (Verlaan, 998). Pada filter RRSRT, sistem diasumsian mempunyai derau dalam bentu matris. Pada tahun, penulis melauan modifiasi filter RRSRT untu sistem dengan noise (derau) berupa vetor (Apriliani, a). Selain itu penulis uga telah mengembangan filter RRSRIF (Reduced Ran Square Root Information Filter) (Apriliani, b, ) dengan menerapan redusi ran pada aar uadrat matris informasi dari SRIF (Square Root Information Filter). Filter Kalman, filter RRSRT, filter Modifiasi RRSRT dan filter RRSRIF hanya dapat diterapan pada sistem dinami stoasti linear sehingga untu estimasi variabel dari sistem dinami stoasti ta linear telah dilauan modifiasi filter Kalman yang lain yaitu Ensemble Kalman Filter (EnKF) yang diemuaan oleh Evensen, 3. Penelasan singat dapat ditemuan pada Daley (99) dan Kalnay (3). Penggunaan metode EnKF sudah banya digunaan dalam literatur peramalan cuaca (Evensen, 997, ). Metode EnKF, telah penulis apliasian untu mengestimasi onsentrasi planton (Purnama dan Apriliani, 8), polutan pada air tanah dan polusi udara (Apriliani d., 9; ). Pada maalah ini, metode EnKF digunaan untu mengestimasi distribusi suhu dari ondusi panas dimensi satu dan untu mendetesi posisi dari gangguan. Berdasaran hasil estimasi tersebut dapat dietahui seberapa ecil suhu ganguan yang dapat didetesi posisinya dengan metoda EnKF.. Ensemble Kalman Filter Misalan diberian sistem dinami ta linear x f( x, u) w, () dengan persamaan penguuran linear z Hx v, () dengan x + merupaan variabel eadaan pada watu +, f(x, u ) merupaan fungsi ta linear dari x x dan input u, z, merupaan data penguuran, merupaan matris, yang merupaan representasi hubungan antara data penguuran dan variabel eadaan, w ~ (,), v ~ (,R) masing-masing merupaan derau pada sistem yang berdistribusi ormal Gauss (sistem Gaussian white noise) dan derau pada penguuran yang berdistribusi ormal Gauss (measurement Gaussian white noise. Algoritma dari Ensemble Kalman filter untu mengestimasi variabel eadaan x adalah (Evensen, 3). a. Estimasi Awal Bangitan -ensembles dari estimasi awal x x, x,... x, x,, dengan ~ x P x, i,. b. Tahap Predisi xˆ f xˆ u w ;,,3...,, (3),,, dengan w, ~ (, ) merupaan ensembel dari derau sistem. Rata-rata estimasi tahap predisi adalah xˆ xˆ, Kovariansi Error estimasi tahap predisi T P ˆ ˆ, ˆ ˆ x x x, x ;,,3...,. c. Tahap Koresi Bangitan -ensemble data penguuran, z, zv, ;,,3,..., (4) Dengan w, ~ (, R ) merupaan ensemble dari derau penguuran Kalman gain didefinisian T T HP H R K P H Estimasi tahap oresi adalah x, xˆ, K z, Hxˆ, ˆ (5) Rata-rata estimasi tahap oresi adalah xˆ ˆ x, dengan ovariansi error P I K H P d. Substitusian Persamaan (3) e dalam tahap predisi Persamaan () e. Ulangi langah atau tahap (b) - (d) untu memperoleh estimasi tahap oresi pada watu e. Model ondusi panas Misalan sebatang logam berdimensi satu diisolasi sepanang batang. Diasumsian tida ada aliran panas yang masu dari udara e batang logam atau sebalinya. Misalan panang logam tersebut adalah L, satu sisi batang dialiri panas dengan suhu o C, sedangan sisi yang lain diisolasi.

3 35 Jurnal Matematia & Sains, Desember, Vol. 6 omor 3 (,t)= x= X= ( Lt, ) t Gambar. Batang logam Dimensi Satu yang berlubang. Model matematia dari distribusi panas adalah c, x L, t t x (6) (, t) ; ( L, t) x dengan adalah suhu, c merupaan oefisien ondusi panas, t adalah watu dan x adalah posisi sepanang batang logam. Misalan terdapat sebuah lubang pada isolasi yang melingupi batang logam tersebut, dan lubang tersebut mempengaruhi aliran panas pada batang logam tersebut. Ingin dietahui dimana posisi dari lubang tersebut yang menimbulan gangguan pada aliran panas.. Detesi posisi gangguan Beriut adalah langah-langah yang dilauan untu menerapan Ensemble Kalman filter dalam mendetesi posisi dan besar gangguan a. Lauan disritisasi sistem pada Persamaan (6) terhadap watu t dan posisi x sehingga Persamaan (6) dapat ditulis menadi sistem ruang eadaan b. Definisian persamaan penguuran berdasaan posisi alat uur suhu diletaan c. Lauan estimasi distribusi panas dengan menggunaan Kalman filter atau Ensemble Kalman filter d. Lauan analisa grafi distribusi panas; Leta dari gangguan atau lubang adalah diseitar punca dari grafi distribusi panas. e. Tambahan alat penguur suhu pada batang logam diseitar posisi teradinya punca. f. Lauan analisa grafi distribusi panas lagi, posisi lubang adalah terleta diseitar punca dari grafi distribusi panas. Pada maalah ini, diberian gangguan (berupa aliran panas) dalam posisi dan besaran yang berbeda untu mengidentifiasi sensitifitas Ensemble Kalman filter dalam mendetesi gangguan. Pada langah awal, dilauan pendisritan Persamaan (6), dengan menggunaan beda hingga. Pendisritan beda pusat diterapan pada posisi dan beda mau diterapan pada watu. x x t t Sehingga Persamaan (6) dapat ditulis menadi ct ( x) ct ( x) ct ( x) Sistem ruang eadaan yang diperoleh dari pendisritan dan memuat derau sistem adalah p p p 5 p p p p p p p. p p p. w p p p t dengan p c, adalah suhu, w ~ (, ) ( x) adalah derau sistem. Jia ditulis x = [... ], maa sistem ruang eadaan dari Persamaan (7) dapat ditulis seperti Persamaan (). (7) Pada percobaan ini penguuran dilauan pada lima posisi sepanang batang logam untu menguur suhu. Berdasaran data penguuran suhu tersebut aan diestimasi distribusi suhu sepanang batang logam. Pada penelitian ini, panang batang logam dibagi menadi grids (=). Kemudian

4 Apriliani dan Budiono, Sensitivitas Metode Ensemble Kalman Filter untu Mendetesi Gangguan didefinisian persamaan penguuran yang mengaitan antara data penguuran dan variabel eadaan yang aan diestimasi, yaitu (8) z x v dengan, v ~ (, R) merupaan derau penguuran. Berdasaran pada lima data penguuran, z tersebut, aan diestimasi distriubusi suhu untu posisi sepanang batang logam. 3. Hasil Simulasi Misalan isolasi batang logam berlubang sehingga ada aliran panas dari udara yang masu e batang logam. Aliran panas yang masu masingmasing dengan suhu,5 o C, o C, o C, 3 o C, dan 5 o C. Temperature(Celcius) The Real Temperature Distribution Gambar. Distribusi Panas dengan gangguan d = 3 o C, t = 5. Pada simulasi pertama, lubang terleta pada posisi x =, selanutnya disingat menadi posisi, dengan suhu panas yang masu d = 3 o C. Distribusi panas pada sistem sebenarnya dinyataan Gambar. Distribusi suhu panas sebenarnya diperoleh dari simulasi Persamaan (7), dengan derau w ~ (, ) yang dibangitan dari program Matlab. Dalam semua simulasi ini dilauan sampai watu e 5 satuan watu. Dari Gambar, tampa bahwa suhu menurun etia posisi bertambah, tetapi pada posisi e suhu nai dan emudian turun lagi sampai ahir batang logam. Suhu nai pada posisi, arena ada lubang yang menyebaban panas masu pada posisi. Pada simulasi pertama tersebut, diletaan alat penguuran pada posisi x =, 4, 6, 9 dan 3. Gambar 3 memperlihatan hasil estimasi distribusi panas dilauan dengan menggunaan EnKF. Gambar 3 memperlihatan bahwa main eanan suhu menurun, tetapi ada peningatan suhu antara posisi dan posisi 4 dan turun lagi sampai ahir batang logam. Tampa bahwa grafi suhu membentu punca atau sudut pada posisi 3, sehingga grafi tida smooth pada posisi 3. Maa dapat disimpulan bahwa aliran panas teradi diseitar posisi Gambar 3. Hasil Estimasi dengan EnKF untu d = 3 o C, t = 5, 5 alat uur. Untu mengonfirmasi dugaan di atas, ditambahan tiga alat uur diseitar posisi 3 yaitu pada posisi, dan untu mengetahui secara lebih tepat posisi gangguan. Hasil estimasi disaian Gambar 4. Punca grafi teradi pada posisi. Jadi dapat disimpulan bahwa lubang (gangguan) terleta diseitar posisi Gambar 4. Estimasi distribusi panas untu d = 3 o C, t = 5; 8 alat uur. Dari Gambar -4 dapat disimpulan bahwa algoritma EnKF dapat digunaan untu mendetesi posisi lubang atau gangguan yang mempengaruhi distribusi panas pada batang logam. Dengan melauan penambahan alat uur diseitar posisi punca, maa aan diperoleh posisi lubang yang lebih aurat. Selanutnya dilauan simulasi dengan besar gangguan yang berbeda misalnya d =,5 o C, o C, o C, 5 o C, emudian dianalisa seberapa ecil suhu gangguan yang dapat didetesi oleh algoritma EnKF. Hasil estimasi dengan besar gangguan berbeda diperlihatan pada Gambar 5.

5 37 Jurnal Matematia & Sains, Desember, Vol. 6 omor d=.5 o C d= o C d= o C d=5 o C d=3 o C Gambar 5. Estimasi distribusi panas dengan berbagai besaran gangguan. Dari Gambar 5, tampa bahwa gangguan dengan suhu d = o C menghasilan punca yang ecil pada posisi 3. Semain besar suhu yang masu (gangguan), semain tinggi punca yang muncul pada posisi 3. Jadi, dapat disimpulan bahwa algoritma EnKF dapat mendetesi gangguan dengan suhu d o C. Selanutnya, dilauan simulasi untu posisi lubang atau gangguan yang berbeda, yaitu x = 3, 6,, 3, dan 6 dan dianalisa seberapa ecil suhu gangguan yang dapat didetesi oleh EnKF. Dalam simulasi ini, alat penguur ditempatan pada posisi x =, 4, 6, 9, dan 3. Untu asus pertama, isolasi mempunyai lubang pada posisi e 3, dengan besar gangguan d = 3 o C. Hasil estimasi distribusi suhu dinyataan Gambar 6a. Tampa, terdapat punca yang ecil diseitar posisi e, maa dapat diataan isolasi berlubang pada diseitar posisi x =. Untu gangguan dengan posisi ini, EnKF dapat mendetesi gangguan dengan besar suhu d 5 o C. Sedangan untu besar gangguan d > 3 o C, EnKF tida dapat mendetesi, arena grafi distribusi suhu menurun secara smooth tanpa adanya punca Gambar 6a. Posisi lubang x =3; gangguan d = 5. Gambar 6b. Posisi lubang x = 6; gangguan d = Gambar 6c. Posisi lubang x = ; gangguan d = Gambar 6d. Posisi lubang x = 3; gangguan d = Gambar 6e. Posisi lubang x = 6; dangguan d =.

6 Apriliani dan Budiono, Sensitivitas Metode Ensemble Kalman Filter untu Mendetesi Gangguan Gambar 6f. Posisi lubang x = 6; gangguan d = 3. Gambar 6e-f menunuan estimasi distribusi suhu dengan berbagai posisi lubang. Untu asus posisi lubang pada x = 6, EnKF dapat mendetesi gangguan dengan besar suhu d o C (Gambar 6b). Terdapat punca pada grafi distribusi suhu diseitar posisi e 6. Untu posisi lubang pada x =, EnKF dapat mendetesi gangguan dengan besar suhu d o C (Gambar 6c). Terdapat punca diseitar posisi e 3. Posisi punca pada grafi estimasi distribusi suhu bisa berbeda dengan posisi lubang arena posisi alat uur tida sama dengan posisi lubang. Untu asus lubang terleta pada posisi x = 3, EnKF dapat mendetesi gangguan dengan besar suhu d o C (Gambar 6d). Teradi punca diseitar posisi 3. Pada asus ini, posisi lubang dan alat uur adalah sama, yaitu posisi 3. Untu posisi lubang pada x = 6, EnKF dapat mendetesi gangguan dengan besar suhu d o C (Gambar 6 e-f). Terdapat punca pada posisi 3, tetapi lubang terleta pada posisi 6. Pada asus ini, posisi lubang terleta setelah posisi semua alat uur, sehingga EnKF mendetesi teradi perubahan suhu pada posisi 3 (posisi alat uur yang terdeat dengan lubang) dan tida dapat mendetesi gangguan setelah posisi tersebut. Simulasi besarnya suhu diseitar lubang uga dianalisa untu besar suhu yang berbeda. Hasil analisa dinyataan Tabel. Tabel menyataan estimasi suhu diseitar lubang atau gangguan. Warna hitam tebal (bold) menyataan terdapat punca atau sudut pada grafi estimasi distribusi suhu. Untu asus lubang atau gangguan pada x = 3 dengan gangguan d =,, 3, 4, 5, Tabel menunuan suhu menurun pada posisi x =, 3, dan 4, sehingga menurut hasil estimasi tida ada lubang atau gangguan pada x = 3, mesipun enyataannya ada gangguan (aliran panas masu) pada posisi 3. Hal ini diperiraan teradi arena besar suhu gangguan d = 5 o C terlalu ecil dibandingan dengan suhu pada posisi x = 3 (seharusnya 78,6967). Perbandingan antara besar suhu gangguan dan suhu pada lubang adalah 5/78,6967,8354. Gangguan yang urang dari 8,3% EnKF tida dapat mendetesi posisi lubang. Tabel. Estimasi suhu di seitar gangguan atau lubang. Posisi Gangguan Besar suhu Gangguan sebelum lubang pada lubang setelah lubang 3 o C 75,56 63,357 5,7879 o C 79,476 66,689 55,747 3 o C 8,568 7,4 6,668 5 o C 89,753 78, ,473 3 o C 8,85 9,34 6,996 o C 4,97 6,39,975 3 o C 9,86,83 7,45 5 o C 8,776 34,656 7,689 6 o C 3,676,3746,935 o C 4,376 3,74,496 3 o C 6,3 4,49 3, o C 8,88 6,84 5,37 Posisi Besar suhu Posisi Posisi 3 Posisi 4 gangguan Gangguan 6 o C 5,98 5,6377 4,786 o C 8,3639 8,739 6,896 3 o C,444,4878 8,53 5 o C 5,99 7,6444,9837 Pada asus posisi lubang di x = 3 dengan besar suhu gangguan o C d 5 o C, Tabel menunuan bahwa suhu nai dari posisi x = e x = 3 dan emudian turun dari posisi x = 3 e x = 4. Artinya, grafi tida smooth (teradi punca atau sudut pada x = 3). Perbandingan antara besar suhu gangguan dan suhu pada lubang (x = 3) untu d = adalah d/ = /9,34,865. Pada asus gangguan.87%, EnKF dapat mendetesi posisi lubang. Tetapi untu posisi lubang x = 6, dengan gangguan o C d 5 o C. Tabel menyataan suhu seitar posisi gangguan (posisi sebelum lubang, x = 5, pada lubang, x = 6 dan setelah lubang, x = 7) menurun, tetapi suhu nai dari posisi x = e x = 3 dan turun pada posisi x = 3 e x = 4 (d o C). Grafi dari estimasi distribusi suhu mempunyai sudut atau punca pada posisi x = 3. Dari Gambar 6e, 6f dan Tabel, dapat disimpulan bahwa posisi lubang diseitar x = 3, tetapi enyataannya posisi lubang adalah x = 6. Suhu diseitar gangguan (x = 6) berdasaran hasil estimasi tida dipengaruhi gangguan, arena alat uur berada pada posisi 3. Pada asus ini gangguan dengan posisi setelah posisi alat uur tida dapat didetesi oleh EnKF. Dari penelasan di atas dapat disimpulan bahwa EnKF dapat mendetesi posisi lubang ia perbandingan besar suhu gangguan dan suhu pada diseitar lubang lebih dari % (untu asus d = 5, posisi x = 3, gangguan urang dari %, posisi lubang tida dapat didetesi) dan terdapat alat uur setelah posisi lubang.

7 39 Jurnal Matematia & Sains, Desember, Vol. 6 omor 3 4. Kesimpulan Berdasaran pada pembahasan di atas dan hasil simulasi maa dapat disimpulan : Ensemble Kalman filter (EnKF) dapat digunaan untu mendetesi posisi lubang atau gangguan pada batang logam. Keberadaan gangguan dapat didetesi berdasaran adanya punca atau sudut dari grafi hasil estimasi. Sensitivitas algoritma EnKF tergantung pada rasio antara besar suhu gangguan terhadap besar suhu batang logam pada posisi gangguan. EnKF dapat mendetesi gangguan dengan rasio lebih dari %. Jia posisi lubang terleta setelah posisi alat uur maa hasil detesi urang aurat. Ucapan Terima Kasih Penelitian ini merupaan bagian dari penelitian Hibah Bersaing dengan udul Redusi Ran dan Ensemble Kalman Filter. Daftar Pustaa Apriliani, 999, Temperature Distribution of The Rod Estimation Modeling by RRSRT Filter, Asia - Pacific International Congress on Engineering Computational Modeling and Signal Processing, Proceeding ITB, Apriliani, a, The Estimation of the One Dimensional Temperature Distribution by the Modification of the RRSRT Filter, Prosiding Seminar Matematia asional, Jurusan Matematia Institut Tenologi Sepuluh opember, Apriliani, b, The Application of RRSRIF to Estimate the Heat Distribution, Prosiding Seminar MIPA, Faultas MIPA ITB, Apriliani,, The Reduced Ran SRIF, Journal Indonesian Mathematics Society (MIHMI), 7, Apriliani, E., B. A. Sanaya, and D. Adziyah, 9, The Groundwater Pollution Estimation by the Ensemble Kalman Filter, dipresentasian di International Conference on atural and Material Sciences, 3-4 Juli, Banarmasin. Apriliani, E., B. A. Sanaya, dan D. K. Arif,, The Square Root Ensemble Kalman Filter to Estimate the Concentration of Air Pollution, Proceeding International Conference on Mathematics and Applied Engineering, Kuala Lumpur, Malaysia. Daley, R., 99, Atmospheric Data Analysis, Cambridge University Press. Evensen, G., 997, Advanced Data Assimilation for Strongly onlinear Dynamics, Monthly Weather Review, 5, Evensen, G.,, Sequential Data Assimilation for onlinear Dynamics: The Ensemble Kalman Filter, In Ocean Forecasting: Conceptual basis and applications, edited by. Pinardi and J. D. Woods, Springer- Verlag Berlin Heidelberg. Evensen, G., 3, The Ensemble Kalman Filter: Theoretical formulation and practical implementation. Ocean Dynamics, 53, Kalnay, E., 3, Atmospheric modeling, data assimilation and predictability, Cambridge University Press. Purnama, K. D. dan E. Apriliani, 8, Estimasi Populasi Planton dengan Ensemble Kalman Filter, Jurnal Ilmu Dasar, 9,. Verlaan, M., 998, Efficient Kalman filtering for Hydrodynamic Models, PhD Thesis, Delft University of Technology.