NILAI DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS. Dwi Suci Maharani 1 dan Suryoto 2. Jln. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang

Transkripsi

1 NILI DN VEKTOR EIGEN MTRIKS INTERVL TS LJBR MX-PLUS D Sc Mhr d Sroto, Jrs Mtetk FMIP Uversts Dpoegoro J Prof H Soedrto, SH, Tebg, Serg bstrct terv tr, th gve d s the set of trces sch tht Egeve d egevector of s ced possbe egeve d egevector of terv tr Wth the deftos egeve d terv tr over -ps gebr, c be deveoped gorth possbe egevector to test hether gve vector s possbe egevector of tht terv tr Wheres vers egeve d egevector of tr s the egeve d egevector of ech Uvers egevector th c be fod b sovg tosded sstes of er eqtos over -ps gebr Keords: Iterv trces, -ps gebr, possbe egevector, vers egevector PENDHULUN br -ps g dotsk deg R Rε,, erpk sh st strktr d br t sefed kottf depote [] Rε erpk hp bg r R deg ε, sedgk opers d bertrt-trt etk ks d peh or bg r, g ddefsk sebg berkt [5]:, b R ε b {, b} b + b St sste pers k + + k, + k, L, { } + k,, L, ; k 0,,,L; k, Rε d br -ps dpt dotsk deg k + k k L k k ; k 0,,, L g khr dpt dgbgk secr kopk deg pes k + k d k L k L k R, R M M M O M k L St skr λ Rε d vektor ε R bertrt-trt dk ege d vektor ege trks R k λ Jk dh trks dr dgrph G g terhbg kt, k ep ege g tgg λ t λ ; dh cce dr G D tk cce {,, L, k } bobot L 3 k d pg ts k [] Set, k setp etr trks dgdk deg λ, k dperoeh st trks B deg Sehgg, terdpt trks Γ B B B B g ep beberp etr dgo t s deg 0 Koo-koo g et etr tersebt dsebt vektor ege-vektor ege fdet dr trks B d

2 [] Set, se vektor ege trks B d dpt dtk sebg kobs er ts br -ps dr hp vektor ege fdet < g dperoeh B trks dts dh trks terv, deg, R d g berrt setp etr-etr g berses berk Deg egssk bh dgrph dr se trks dh terhbg kt deg etr-etr berhgg, d oeh kere sgsg ep ege g tgg λ, berkt k dbhs ege d vektor ege g gk p d vektor ege vers dr trks terv ts br -ps MTRIKS INTERVL TS LJBR MX-PLUS Mtrks terv erpk trks g eee-eee d d berp terv terttp deg st trks bts bh d st trks bts ts sebg pes Dberk trks d R sedek sehgg deg,,, L, Mtrks terv ts br -ps berordo ddefsk deg, { ;,,,, } [6] Cotoh Dberk st trks terv,0 5,4, d 0, 7 3, d Se trks deg dh tersk d d trks terv, Defs opers peh d pergd trks terv ts br -ps, s h defs opers peh d pergd pd trks ts br -ps H s pd trks terv egkt defs opers d ps pd st terv t, b c, d + c, b + d [3], b c, d, c, b, d [3] deg, b, c, d Rε Pebhs opers trks terv ts br -ps, og deg defs opers trks terv pd [4] Dsk M R dh hp se trks terv ts br ps berordo Utk, ddefsk {,,,} d {,,,} Eee-eee dr trks M R deg brs d koo, dotsk deg, t dpt dsk deg [], tk, d Msk trks, B M R, peh trks ddefsk deg [, b, b B], b,, b b Msk M R d β Rε, pergd skr deg trks t β, ddefsk deg [ β β, ] + β, + β c Msk trks M R d B M R, perk trks B, ddefsk deg 0 7, b, b [ B] k

3 { + b }, { + b k } k 3 NILI DN VEKTOR EIGEN YNG MUNGKIN DRI MTRIKS INTERVL Dssk bh se trks dh trks dr dgrph berbobot g terhbg kt deg se etr pes trks, R dh berhgg, d oeh kere sgsg ep ege g tgg St skr dk ege g gk dr st trks terv, k skr tersebt dh ege dr sedkt st [] Teore 3 St skr dh ege g gk dr st trks terv k d h k λ λ, λ Bkt : Dketh dh ege g gk dr st trks terv Sehgg, dh ege dr sedkt st Msk dh ege dr st trks Kre dh trks dr dgrph berbobot g terhbg kt, k λ ; dh cce dr G Kre tk setp trks ep cce g s, k tetp ep bobot berbed, t deg cce d d dgrph cce d d dgrph G cce d d dgrph k dperoeh λ λ λ H ekk bh Dketh k dbktk dh ege g gk dr trks, g rt dh ege dr sedkt st Db trks dr dgrph g terhbg kt deg ege Mtrks terv ep ege trks bts bh, t ege trks bts ts, t k dtkk bh trks Jk, berrt bh λ λ λ Sehgg berk Kre cce-cce dr trks,, d s, k berk deg cce d d dgrph cce d d dgrph G cce d d dgrph H ekk bh, deg kt dh ege dr sedkt st trks St vektor R dh vektor ege g gk dr st trks terv k terdpt sedek sehgg λ [] Set, tk eetk trks g ep vektor ege R dkk deg cr egktk trks bts bh d setp koordt sedek rp sehgg tdk eebh trks bts ts, tetp tk setp koordt dr dpstk sekrg-krg λ g dpt drsk deg * {, + } λ Sehgg tk eg pkh st vektor g dberk dh vektor ege

4 dr st trks terv, dpt dkk deg eggk gort possbe egevector sebg berkt : Ipt : st trks terv, d sebh vektor Beg : If dh st vektor kost 3 the dh st vektor ege g gk dr, STOP 4 ese beg λ : { }; * 5 for, : {, λ + }; * 6 f dh st vektor kost 7 the dh st vektor ege g gk dr ; STOP 8 ese bk vektor ege g gk dr ; STOP 9 ed 0 ed 4 NILI DN VEKTOR EIGEN UNIVERSL DRI MTRIKS INTERVL Dssk bh se trks dh trks dr dgrph berbobot g terhbg kt deg se etr pes trks, R dh berhgg, d oeh kere sg-sg ep ege g tgg St skr dk ege vers dr st trks terv, k skr tersebt dh ege dr setp [] Teore 4 St trks terv ep st ege vers k d h k λ λ Bkt : Dketh st terv ep st ege vers, k dh ege dr setp Kre,, k d Sehgg, Dketh Msk, k dtkk bh dh ege vers dr, g berrt dh ege dr setp b sebrg trks, deg cce d d dgrph cce d d dgrph G cce d d dgrph k Kre cce-cce dr trks,, d s, k

5 kbt λ λ λ Deg kt, Kre dketh bh, k H berrt bh trks terv tersebt ep st ege vers Set, d pebhs vektor ege vers dbts h pd kssd trks terv g dberk ep st ege vers s deg 0 Vektor ege vers erpk kobs er ts br -ps dr hp vektor ege fdet trks p Teore 4 pb st trks terv ep d { },,, dh hp vektor ege fdet dr, k terdpt vektor ege vers dr k d h k sste d ss D C deg C d D tk se,,, ep peees Bkt : Dketh st trks terv deg d sk dh hp vektor ege fdet dr k dbktk sste d ss ep peees Msk vektor ege vers dr dh, k tk setp berk Kre vektor ege vers erpk kobs er ts br -ps dr hp vektor ege fdet trks, k Sehgg, tk deg 0 λ, berk D C D C Jd, dh peees dr

6 Dketh st trks terv deg d sk dh hp vektor ege fdet dr k dbktk terdpt R st vektor ege vers dr Msk dh peees dr sste pers d-ss, sehgg, Terht bh deg λ 0, dh vektor ege trks Kre dh vektor ege trks bts d, k dh vektor ege se trks, g berrt dh vektor ege vers dr Cotoh 4 Dberk trks terv 0, 0, 0, 3,, 0, 0 4, 0, 0 4, d λ λ 0 Hp vektor ege fdet dr trks t { 0, 3, 3,,0,0 } 0 0 Dbetk trks deg, t C 0 d trks deg, t D Sh st peees sste pers d-ss dh , sehgg vektor ege vers dr trks dh PENYELESIN SISTEM PERSMN DU-SISI Sste pers er d-ss ts br -ps g berbetk deg C D 5 34 eotsk hp deks brs {,,,} d hp deks koo dr trks d Le 5 Jk terdpt brs sedek sehgg c > d tk setp, k sste tdk ep sos Bkt : Msk vektor dh sos dr 5 d peks d ss rs kr d ss rs k dr brs sg-sg dperoeh pd koo ke d, t c + k { c k + k } d d + k { d k + k } deg, d

7 Mk k berk c + c + > d + Hs kotrdks deg dh sos dr Sehgg terbkt bh sste deg tdk ep sos kbt 5 Jk sste berbetk 5 ep peees, k tk setp brs terdpt st deks sedek sehgg berk Bkt : Msk vektor dh sos dr 5 k dbktk bh tk setp brs terdpt st deks sedek sehgg berk Msk peks d ss rs kr d ss rs k dr brs sg-sg dperoeh pd koo ke d, t c + k { c k + k } d d + k { d k + k } deg, d Sehgg k berk D phk, c + c +, k c + d + Kre, g berrt eeh c d tk se, d, k, deg kt, Ideks pd kbt dts, dk deks krts tk brs D pebhs set, K eotsk hp deks krts tk brs Le 5 Utk setp peees pd 5 terdpt deks krts peks tk setp brs Bkt : dk dh peees pd 5, d eee peks brs pd d bertrt-trt dh c + d d k + k H berrt c + d k + k, oeh kre t k + c d k Mk tk eee ke dr brs pd dperoeh ck + k ck + + c d k Kre ck d k, k berk c k + k c + kbt, pb c k d k > 0, k c k + k > c + Sehgg terd kotrdks, kre deks bk peks brs pd Oeh kre t, deks dh deks krts peks tk brs pd Oeh kre t, tk ecr peees sste pers d-ss 5 petg tk eh eee peks g ses deg deks krts tk setp brs pd Teore 5 St sste 5 ep peees k d h k setp tdk kosog, terdpt fgs : sehgg K tk se d tk setp sbset {,,, k } dr, sedek sehgg,,, k sg berbed,dperoeh pertdks 5: c + c + + c c + c c k k k Bkt : Msk dh sos dr

8 b sebrg sbset {,,, k } Deg e 5, g etk bh setp brs terdpt deks krts peks, k dotsk st deks tk setp brs oeh,,,, k d dk bh deks koo g terph st s berbed, k dperoeh c c k + tk se,,, k deg k + pb pertdks tersebt dhk, k dperoeh c + c + + c c + c c k k k dk bh d kegk tk eh setp brs st deks koo krts sedek sehgg eeh pertdks 5 Dotsk { ; } sebg hp deks koo dr koo terph d d koo, d dbg st sbtrks g dbt dr koo Jh brs deg deks koo terph d d koo, dotsk deg p Set, dt persh tk peh psg deks sebg berkt : Meksk : Z c ' tk se p tk se 0 tk se d k dtkk bh sh st peees opt bt g gk dh tk d 0 tk g dk bh dh sos opt d tk beberp d Kre kpsts brs dh, k 0 Set, kre, k terdpt brs sedek sehgg d 0 Kre kpsts brs dh, k terdpt deks koo 3 tk beberp brs sedek sehgg 3, d, d seters Deg cr, dperoeh st cce deks brs sedek sehgg 0 d tk se deg Ddefsk sos br deg ' d tk se deg, d 0 tk se psg deks Ked, kre eeh pertdks 5, c' > ' c', sehggg dperoeh sos persh dts deg k h k tk d tk g Sekrg, dbetk d dr sh dts sebg berkt : Mek: Z + p v d + v c' tk se, d Defsk vektor g dtk sebg berkt : ;tk v ;tk

9 dh st sos opt dr 5 Kre pd setp brs dpt dph st deks koo krts, k dperoeh c + d + Set k dtkk bh tk se koo, eeh c + c + Utk pertdks trv, d tk koo-koo dr k c c' Kre peh etr-etr, berses deg eee tk o dr sos persh dts, k berk c v, d tk se etr g v c [7] Sehgg dperoeh c + c v c c + c v c + Dr s terht bh vektor ep deks krts peks tk setp brs t Sehgg vektor dh peees dr pers 5 Cotoh Dberk trks C d D k dcr peees sste pers d-ss Mtrks ep etr-etr krts g dtd sebg berkt : 4ˆ 8 C 6 3ˆ 9ˆ 4 7ˆ 3ˆ 8 0ˆ Set, dph etr-etr c 3, c3, c3 g eeh 5 Dbetk sbtrks dr koo-koo terph t 4 C ' Kpsts setp brs dh, kpsts koo ke- dh, d kpsts koo ke- dh Sehgg, dperoeh persh peh deks sebg berkt : Meksk : Ked : tk se d Ked, dbetk persh d dr sh peh deks dts sebg berkt :

10 Mek : Z d v + v Ked : Vektor g dtk deg dh + v + v 9 peees dr sste pers d-ss + v v 7 dts + v v 8 N d g eeh : + v + v 9 + v v 7 + v v 8 dh sos dr persh d dts Deg egb, k dpt dperoeh sh st kegk sos dr persh dts t 3, 8, 3 7, v 0, v 0 Sehgg dperoeh sh st peees dr sste d-ss dts t 6 PENUTUP Berdsrk r ege d vektor ege trks terv ts br ps dts dpt dperoeh beberp h sebg berkt : N ege g gk dr st trk terv berd pd terv terttp ege trks bts b gort possbe egevector dpt dgk tk eg st vektor sebg vektor ege g gk dr st trk terv c Mtrks terv ep ege vers pb ege trks bts s d Vektor ege vers trks terv deg dpt dcr deg eeesk st sste pers d-ss Set, dpt dkebgk st etode bg ecr vektor ege vers trks terv g berses deg ege vers λ 0 7 DFTR PUSTK [] Bcce, Frcos, dkk, 99, Schrozto d Lert, gebr for Dscrete Evet Sstes We, Chchester [] Cechrov, Ktr, 003, Egevectors of Iterv Mtrces over M-Ps gebr, Sovk [3] Cho, Ko-Pg, 999, Icso Mootoc Propert of Cort-Fscher M Chrcterzto o Iterv Egeprobes for Setrc Iterv Mtrces eth Uverst [4] Go, Federc d Cro N Lro, 006, Prcp Copoet ss o Iterv Dt, Uverst deg Std d Npo,, 3 5

11 [5] Hedergott, Berd, 998, M Ps gebr d Qees, Vre Uverstet, sterd [6] Kds, W B Vsth, 006, Fzz Iterv Mtrces, Netrosophc Iterv Mtrces d Ther pctos, Foret Srdche, Phoe, rzo [7] Sprto, Johes, 006, Rset Opers tk Pegb Kepts, UIP, Yogkrt