Induksi Dan Rekursi. Bab IV Induksi Pada Bilangan Asli (Natural) Bilangan Asli

Transkripsi

1 Bb IV Iduks D Rekurs 4.. Iduks Pd Blg Asl (Nturl) Bsy, duks tets tu dsebut jug duks legkp (coplete ducto) plg byk dguk dl do blg turl. Khususy, dl duks, dsusk bhw sutu sft tertetu yg egguk blg sl terkecl, dl hl dlh ol, d yg jk sft ber utuk k ber jug utuk +. Jk du kods eeuh, k peryt yg dberk ber utuk seu blg sl. Sebelu eh p tu duks, k lebh bk jk kt egethu lebh dhulu p tu blg turl Blg Asl Blg sl, dlh blg 0,,2, I dlh defs yg plg do dl lu koputer. Norly, dlur lu koputer, 0 dggp buk blg sl. Dl kehdup sehr hr kt bs egguk gk 0 sp 9 utuk eytk 0 blg sl yg pert. Seu blg dts 9 dbetuk eurut tur peyusu tertetu. Dl teor blg, hy d stu sbol khusus, sbol 0. Seu blg yg l dtulsk deg ekse peggt (successor echs). Peggt (successor) blg, dtuls sebg s(), dlh blg yg egkut dl urut blg sl. Sebg cotoh, blg dtuls sebg s(0), blg 2 dtuls sebg s(s(0)), blg 3 sebg s(s(s(0))) d l sebgy. Jels bhw, s() = +, tetp utuk kl kt tdk k egguk sbol pejulh. Deg, kt dpt egguk teor secr uu d edefsk fugs fugs peggt d lur blg sl. Cotohy, hr hr dl stu ggu puy successor, sepert jug hly deg elee elee dl lked lst. Ad sejulh kso yg edeskrpsk bg bekerj deg blg sl. Akso kso dperkelk oleh Guseppe Peo d thu 889 d dsebut deg kso Peo. Du kso pert eyedk defs dr sutu blg turl:. 0 dlh blg turl 2. Jk blg turl k s() jug blg turl 5

2 6 Iduks D Rekurs Ctt bhw s() ddefsk sebg blg turl jk dlh blg turl. I ebut defs blg turl secr rekursf. Akso ketg d keept dr kso Peo eujukk bhw seu blg turl dlh berbed. I berrt bhw s() hrus tdk perh berl 0 d bhw s() s() kecul jk =. Akso tg d ept dlh sebg berkut : 3. Utuk seu, s() 0 4. Jk s() = s() k = Akso 4 dlh kotrpostf dr ( ) (s() s()), yg egtk bhw blg yg berbed k epuy successor yg berbed. Ad ept kso yg elbtk pejulh d perkl. Kt edefsk 0 ejd detts k dl pejulh, sehgg: (+0 = ) (4.) Fugs peggt dguk utuk yg selebhy. I eghslk sutu defs rekursf: ( + s()) = s( + )) (4.2) Utuk elht bhw defs koptbel deg defs stdr utuk pejulh, kt gt s() d (4.2) deg +, sehgg ejd : ( + ( + ) = (+)+) D yg lebh petg, (4.2) dpt dguk utuk ebetuk pejulh dr du blg turl. Cotoh 4.. Tujukk bhw = s(s(s(0))) + s(s(0)) Peyeles : s(s(s(0))) + s(s(0)) = s(s(s(s(0))) + s(0)) deg (4.2) = s(s(s(s(s(0)))+0)) deg (4.2) = s(s(s(s(s(s(0))))) deg (4.) Perkl dpt ddefsk deg pol yg s. Ytu : ( 0 = 0) (4.3) ( s() = + ) (4.4)

3 Iduks D Rekurs 7 Pers (4.) sp (4.4) egcu pd kso Peo 5 sp 8. Defs tpe sepert serg dguk dl logk d bhs perogr fugsol. Akso Peo yg terkhr eujukk bhw utuk setp proposs P, k ekspres berkut vld. P(0) (P() P(s())) P(s()) (4.5) Akso terkhr ebetuk prsp duks tets Iduks Mtetk Jk P dlh sebrg hl yg epuy sft yg berke deg sebuh blg turl, k dpt ebut sutu peryt utuk s(), deg eberk peryt yg s utuk. Deg dek, jk P() dlh sebuh predkt yg berhubug deg blg turl, k sehrusy lebh udh utuk ebuktk tu eygkl bhw P() P(s()). Mslk P() P(s()) terbukt ber utuk seu, d slk P(0) ber, k dervs berkut dpt dter. Dl dervs, kt egguk gk,2, sebg peggt s(0),s(s(0)), d seterusy.. (P() P(s())) pres 2. P(0) pres 3. P(0) P() stts deg :=0 4. P() 2,3 deg odus poes 5. P() P(2) stts deg := 6. P(2) 4,5 deg odus poes 7. P(2) P(3) stts deg :=2 8. P(3) 6,7 deg odus poes Kre dpt dterusk sp tk terhgg, bukt tersebut eujukk bhw utuk seu x, P() ber. I erupk prsp dr duks tets. Kt k eytk tur sebg sutu tur pegbl kespul. Atur pegbl kespul dturuk dr (4.5) Iduks : Asusk seest pebcr dlh hpu blg sl, {0,,2, }, d slk P() epuy sft blg sl. Mk terdpt tur pegbl kespul (rule of ferece) sebg berkut P(0), (P() P(s()) P()

4 8 Iduks D Rekurs P(0) dsebut deg bss duks, d peryt (P() P(s()) dsebut lgkh duks. Deg dek bss duks d lgkh duks berss eyebbk P() ber utuk seu. Perlu dctt bhw keduy, bss duks d lgkh duks, dperluk utuk eghslk koklus bhw P() ber utuk seu. Peryt dl lgkh duks dplh deg tept, kre k eujukk bhw, ketk P() ber, kt dpt elgkh ke blg berkuty s() = +. Yg berrt lgkh dr ke +. Pd subbb.6.5. dguk sutu pedekt utuk ebuktk bhw A B. Pert dsusk A, d keud deg egguk A kt dptk B. Jk dperoleh k kt dpt eypulk bhw A B. Deg ctt bhw st kt eypulk A B, A dhetk tu deg kt l A tdk sellu berl ber. Ide serg dguk utuk elkuk lgkh duks. Ketk kt egsusk P() d edptk P(+) k kt dpt eypulk P() P(+). Kre P() dguk sebg sus, k P() dsebut hpotes duks. Deg sgkt dpt dberk lgkh lgkh utuk edptk P(): Bss Iduks Buktk P(0) ber Hpotes duks Asusk P() ber Bukt deg hpotes Tetuk, d dptk P(+) Peghet hpotes Spulk P() P(+) d hetk P(). Yg berrt P() tdk perlu sellu berl ber. Geerlss Deg egbk P(), ejd vrbel sejt d kt dpt egguk uversl geerlzto utuk eypulk dr P() P(+) d (P() P(+)) Koklus Dr bss duks d lgkh duks kt spulk : P() Tg lgkh bukt deg hpotes, peghet hpotes d geerlss erupk lgkh duks Cotoh 4.2. Msl H = 0 utuk = 0, d sel tu H+=+2H. Buktk bhw H = 2. Peyeles : Bss duks : P(0) = 2 0 = = 0 terbukt ber Hpotes duks : Asusk P() = 2 ber utuk seu. Bukt hpotes : deg egguk sus dts, kt k eujukk H+ = 2 + ber.

5 Iduks D Rekurs 9 H+ = + 2H = + 2(2 ) = = 2.2 = 2 + = 2 + Peghet Hpotes : dytk bhw : Jk sus P() ber k P(+) ber sehgg dpt (H = 2 ) (H+ = 2 + ) Hpotes duks H = 2 sekrg dhetk. Geerlss : Kre tdk ucul dl hpotes, kt dpt e geerlss terhdp, sehgg : ((H = 2 ) (H+ = 2 + )) Koklus : eurut prsp duks, kre bss d lgkh duks terbukt ber, k kt dpt ebuktk bhw (H = 2 ) Kre lgkh peghet hpotes duks d geerlss dsry sellu s, k dpt kt bk. Berrt, lgkh duks hy ebuktk bhw P(+) ber deg egguk sus P() ber. Kre du lgkh tersebut dbk, k kt hy egguk stu lgkh ytu pebukt deg hpotes d cukup kt tuls sebg lgkh duks sj. Cotoh 4.3. Tujukk bhw utuk seu, berlku 2(+2) (+2) 2 Peyeles : Pd cotoh kt tetpk P() utuk eytk 2(+2) (+2) 2 Bss duks : utuk = 0 2(0 +2) (0 + 2) (terbukt) Hpotes duks : dsusk P() : 2(+2) (+2) 2 ber Lgkh Iduks : Ds kt k eujukk bhw utuk P(+) berlku 2((+)+2) ((+)+2) 2. 2(( + ) + 2) = 2(( + 2) + ) = 2( + 2) + 2 (+2) 2 + 2

6 20 Iduks D Rekurs (+3) 2 ((+)+2) 2 Koklus : kre bss d lgkh duks terpeuh k (2(+2) (+2) 2 ) Cotoh 4.4. Tujukk bhw hbs dbg 3 Peyeles : Bss duks : utuk = = 0 d 0 hbs dbg 3 (terbukt) Hpotes duks : dsusk P() : 3 +2 ber hbs dbg 3 Lgkh Iduks : Mk utuk P(+) berlku (+) 3 +2(+) hbs dbg 3. ( + ) 3 + 2(+) = = = ( 3 + 2) + ( ) = ( 3 + 2) + 3( ) Dr sus kt dptk bhw ( 3 + 2) hbs dbg 3 d 3( ) jug hbs dbg 3. Sehgg terbukt bhw ( + ) 3 + 2(+) hbs dbg 3. Koklus : kre bss d lgkh duks terpeuh k ( 3 +2 hbs dbg 3) Lth Sol 4.. Mslk = s(s(2)). Tetuk s(s(s())). 2. Jk dberk pres s() > d > s() >, buktk bhw (s()>0) 3. Buktk bhw (+2)! dlh gep 4. Buktk bhw pejulh bersft ssostf. 5. Buktk bhw utuk Buktk bhw 2 2 utuk 4

7 Iduks D Rekurs Julh (su) Ad sebuh ots khusus utuk eytk julh dr beberp l, ytu tu ots sg. Defs rekursf dr sg yg dberk k dguk utuk ebuktk sejulh hsl petg yg elput julh deg duks tetk. Nots yg serup deg dguk utuk eotsk hsl kl, kojugs d dsjugs Defs Rekursf Dr Julh d Hsl Kl Nots sg dlh ots utuk eytk julh dr beberp ter. Secr khusus jk, +,, dlh ter, k julh ter ter dtuls sebg : =. Sehgg : = D dlh dex dr julh tersebut, dlh bts bwh (lower boud) d dlh bts ts (upper boud). Bts ts bers deg bts bwh eujukk jgku (rge) dr deksy. Jk bts ts kurg dr bts bwh, k julh tersebut tdk epuy ter; tu kosog. Hsl dr 3 4 julh kosog dlh ol. Cotohy = 0. Cotoh 4.5 : Nytk julh blg bult dr 3 sp 20 deg ots sg. 20 Peyeles : 3 = Cotoh 4.6 : Tetuk l dr 9 4 Peyeles : kre julh dl perty dts epuy 6 ter ytu 4, 5,,9 d seuy berl, k julhy s deg = 6 Defs rekursf berkut eperudh peerp duks. + = 0 = + + jk > jk + (4.6) (4.6)b

8 22 Iduks D Rekurs Cotoh 4.7 : Perhtk ekspres 3 = 2. Meurut (4.6) kt puy : = = = = 4 Dr pers (4.6) jug eghslk pers : = + = 0 + Defs yg dberk dl pers (4.6) dpt dkebgk deg eggt td + deg opertor l sepert, d. Jk bts ts dbwh bts bwhy, kt gt 0 deg detts dr opertory. Utuk egekspresk hsl kl deg pol, kt guk sbol. Hsl kl dr fktor fktor,,..., kt tuls sebg berkut :, =... + Jk >, hsl kl s deg, yg erupk elee detts dr perkl. Defs rekursf dr dlh : + = = + jk > jk + Utuk opertor l, kt guk sbol vers besr dr sbol opertory sebg peggt sbol. Sebg cotoh, dsjugs dr P,, +,,, dytk sebg berkut : V P = P P +... P

9 Iduks D Rekurs 23 Jk bts ts lebh kecl dr bts bwh, kojugsy s deg F, yg erupk detts dr dsjugs. Deg cr yg s kt dpt jug eytk kojugs P sebg berkut : P = P P +... Λ P Secr uu, jk dlh sebrg opertor deg detts e, k epuy defs rekursf dr sebg berkut : = e jk > + = + jk + Nots yg dperkelk sebeluy berhubug ert deg pegukur julh (qutfer). Khususy jk seest pebcr terdr dr, 2,, k kt epuy : xp( x) V xp( x) Λ= P( ) P( ) Jk do dlh hpu blg sl (turl), k xp( x) V P( x) xp( x) Λ = P( x) I eujukk bhw deks dr sutu julh berhubug ert deg vrbel terbts x. Kebyk tur yg dforulsk utuk vrbelvrbel terbts jug dpt egguk deks, d deks deks tersebut berup julh, kojugs tu dsjugs. Seu betuk yg berhubug

10 24 Iduks D Rekurs deg, yg dpt ejd fugs dr deks. Fugs fugs dr rug lgkup sus, hsl kl d sebgy. Ideks hrus berd dl rug lgkup lokl. Jk d dlur rug lgkup, k bs dggp sebg sutu vrbel yg berbed Beberp Sft Julh Ad beberp sft julh yg petg ytu : ( + b ) = + b (4.7) ( + b) = + ( + ) b, ( b) = b + k = + k k (4.8) (4.9) (4.0) Pers (4.7) (4.0) dpt dbuktk deg duks Defs Rekurs Pebukt deg rekurs dlh sutu pebukt duks yg tdk perlu s deg blg sl. Keyty, bukt deg rekurs lebh uu drpd duks tets pd blg sl, d ugk ebuktk duks tets dl do blg sl deg egguk pebukt deg rekurs. D seu ksus, pebukt deg rekurs berdsr pd defs dr do, kre defs eyedk pres pres yg dperluk. Kre ls, berkut kt bhs slh defs rekursf, deg egguk cotoh. Jk x dlh org, k deg defs, seu org berkut dlh keturu x.. Seu k x dlh keturu dr x 2. Jk y dlh seorg k x, k seu keturu y erupk keturu x.

11 Iduks D Rekurs Tdk d org l yg erupk keturu dr x. Utuk eetuk pkh org tertetu erupk slh stu keturu dr x, kt perlu eerpk defs secr berulg tu deg stlh tekk, secr rekursf. Dsusk bhw rekurs sellu ecp khr. Jwby bs postf, dl hl seseorg tu dlh keturu x, tu egtf, yg berrt tdk d org yg sesu deg defs tersebut. Dl sutu defs rekursf, kt bedk tr sebuh tur dsr (rule bse) d tur rekursf (recursve rule). Atur dsr dr sebuh defs rekursf eggbrk stlh yg ddefsk secr lgsug. Dl ksus keturu tersebut, tur dsr eetpk bhw seu k dr x dlh keturu dr x. Atur rekursf bers stlh utuk edefsk defs tu sedr. Cotohy, seu k dr seorg keturu ddefsk ejd keturu. Ds dpt dbygk eyerup lgkr, yg eugkk egguk bg rekursf dr defs berulg kl, tu secr rekursf. Sekrg k kt lht beberp cotoh defs rekursf dl bdg tetk. Pert, kt tetuk sesutu yg dsebut ekspres LS, sgkt dr ekspres Logk Sederh. Yg ddefsk sebg berkut :. Seu vrbel proposs dlh ekspres LS. 2. Jk A d B dlh du ekspres LS, dek jug deg (A B),(A B) d A. 3. Sel tu buk ekspres LS. Defs pert yg eytk bhw seu vrbel proposs dlh sutu ekspres LS, erupk tur dsr (bse rule) dr defs tersebut. Seu hl l ddefsk secr rekursf utuk edefsk pkh sesutu erupk ekspres LS. Deg eerpk bg rekursf secr berulg, ekspres dr sgkt yg kopleks dpt dbut. Deg pol yg s kt dpt edefsk ekspres tetk secr rekursf, ytu :. Seu blg bult d seu vrbel dlh ekspres tetk. 2. Jk A d B du ekspres tetk, k A, (A+B), (A B), (A B), d (A/B) dlh ekspres tetk 3. Sel tu buk erupk ekspres tetk. Atur rekursf (recursve rule) dpt dklsfksk ejd tur peedek (shorteg rule) d tur pejg (legtheg rule). Dl sutu tur

12 26 Iduks D Rekurs pejg, obyek bru ddefsk lebh pjg drpd kopoekopoe yg dguk defs tu sedr. Seu tur yg dbcrk dts tersuk dl tur pejg. Sebg cotoh, tur jk A d B dlh du ekspres LS, k dek jug deg (A B) dlh sebuh tur pejg: ekspres bru (A B) lebh pjg dr kopoe kopoey A d B. Tdk seu tur erupk tur perpjg. Cotohy, tur jk (A) sebuh ekspres LS, k A jug sutu ekspres LS dlh tur peedek.