INTEGRAL PARSIAL DENGAN TEKNIK TURIN. Mintarjo SMK Negeri 2 Gedangsari Gunungkidul

Transkripsi

1 INTEGRAL PARSIAL DENGAN TEKNIK TURIN Mintarjo SMK Negeri Gedangsari Gunungkidul tarjamint@gmailcom Abstrak Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal Salah satu cabang dari ilmu matematika yang dipelajari di sekolah jenjang SMA dan SMK adalah Integral Dalam perhitungan integral, tidak semua fungsi bisa diintegralkan dengan memakai rumus dasar atau rumus umum dari integraluntuk menyelesaikan fungsi yang sulit diintegralkan, harus menggunakan teknik pengintegralan Salah satu teknik pengintegralan untuk integral yang tidak bisa diintegralkan dengan cara sesuai definisi maupun substitusi adalah dengan cara integral parsial Integral parsial ini memiliki rumus tersendiri dalam perhitungannya Rumus tersebut adalah udv uv - vdu Akan tetapi, dengan menggunakan rumus ini dalam perhitungan integral parsial, tidak sedikit peserta didik yang me kesulitan Diperlukan teknik lain untuk menyelesaikan integral parsial selain dengan rumus reguler agar peserta didik lebih mudah memahami dan menerapkan Teknik tersebut diberi nama teknik TURIN Turin singkatan dari Turunan Integral Dalam teknik ini integral parsial dibagi menjadi dua bagian, yaitu bagian turunan dan bagian integral Bagian turunan dipilih bagian dari fungsi yang mau diintegralkan yang apabila diturunkan secara terus menerus menjadi nol Sedangkan bagian integral adalah bagian fungsi lainnya yang telah diambil bagian turunannya Bagian turunan dan bagian integral dilitakkan dalam kolom tersendiri Bagian turunan diturunkan secara terus menerus sampai nol Bagian integral diintegralkan secara terus menerus sampai sebaris dengan turunan yang hasilnya nol Setelah itu pada baris-baris bagian turunan semuanya diberi positif (+) dan negatif (-) secara selang seling dimulai dengan tanda positif (+) pada baris pertama Setelah pengintegralan pada bgian integral selesai kemudian dikalikan antara hasil turunan dengan hasil pengintegralan, dimulai dari baris pertama pada kolom turunan dengan baris kedua pada kolom integral, kemudian dilanjutkan dengan perkalian baris kedua pada kolom turunan dengan kolom ketiga pada kolom integral Begitu seterusnya sampai barus terakhir pada kolom integral dikalikan dengan baris di atas nol pada kolom turunan Dengan demikian hasil pengintegralan parsial dengan teknik turin sudah selesai Keywords : Integral, Parsial, Teknik, Turin PENDAHULUAN A Latar Belakang Integral merupakan salah satu cabang kalkulus yang diajarkan di sekolah jenjang SMA dan SMK Dalam menghitung nilai dari integral biasa maupun substitusi belum ada kerumitan yang berarti Akan tetapi setelah memasuki materi integral parsial, sebagian siswa sudah mulai banyak yang merasa kesulitan karena tingkat kerumitan yang meningkat dari integral substitusi Meskipun sudah ada rumus khusus untuk menghitung integral parsial, namun pada penerapannya ternyata tidak sesederhana rumusnya Rumus umum untuk menghitung integral parsial adalah u dv uv - v du Kalau diamati sekilas rumus integral parsial tersebut tampak begitu simple Akan tetapi pada penerapannya bisa menjadi sangat rumit dan cukup membingungkan bagi sebagian siswa Kebingungan yang dialami siswa diantaranya dalam menentukan atau memisalkan yang mana u nya dan 6 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya

2 yang mana dv nya Guru perlu memberikan alternatif lain dalam menghitung nilai integral parsial Sebab dalam menyelesaikan soal-soal matematika, termasuk hitung integral tentunya bisa diselesaikan tidak hanya dengan satu cara, yaitu cara yang ada dalam buku teks Akan tetapi sangat dimungkinkan, alternatif penyelesaian dari suatu soal matematika bisa lebih dari satu atau bahkan beberapa cara Untuk itu sebagai guru matematika perlu menguasai dan mengenalkan lebih dari satu cara/banyak cara dalam menyelesaikan soal-soal matematika pada pembelajarannya Seorang guru matematika perlu menggunakan banyak sumber belajar Tidak hanya berdasarkan buku paket saja Guru matematika harus brani keluar dari buku teks atau buku paket (out of the book)tujuannya, agar wawasan guru semakin luas dan bisa membelajarakan siswa yang memiliki kemampuan dan cara berfikir yang beraneka ragam Khusus untuk hitung integral parsial, selain dengan rumus yang sudah ada di banyak buku paket, salah satu alternatif yang ditawarkan di dalam makalah ini adalah hitung integral parsial dengan teknik TURIN TURIN adalah akronim dari Turunan dan Integral Teknik ini merupakan alternatif lain untuk mengatasi kerumitan dalam penerapan rumus integral parsial Sebenarnya hampir sama dengan cara rumus biasa dari integral parsial, karena teknik TURIN ini juga merupakan pengembangan dari cara rumus biasa Hanya saja dalam teknik ini disajikan sedimikian rupa sehingga penghitungan nilai integral parsial tidak lagi rumit, akan tatapi menjadi lebih sederhana, sehingga diharapkan lebih mudah difahami oleh seluruh siswa B Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan rumusan masalah sebagai berikut, Bagaimana menghitung integral parsial dengan teknik TURIN? C Tujuan Makalah Sejalan dengan rumusan masalah di atas, makalah ini disusun dengan tujuan untuk lebih memudahkan bagi siswa dalam mempelajari integral parsial D Manfaat Makalah Makalah ini disusun dengan harapan memberikan manfaat baik untuk penulis sebagai pengajar matematika maupun pembaca, yaitu sebagai wahana dan media informasi penambah pengetahuan tentang teknik penyelesaian integral parsial E Prosedur Makalah Data teoritis dalam makalah ini dikumpulkan dengan menggunakan teknik studi pustaka, artinya penulis mengambil data melalui kegiatan membaca berbagai artikel dan literatur yang berhubungan erat dengan integral parsial PEMBAHASAN A Landasan Theoritis Antara integral, limit, dan deferensial merupakan bagian yang tidak dapat dipisahkan dan saling berhubungan Pengertian limit digunakan dalam pengertian dasar hitung deferensial dan integral Berkaitan dengan pengertian limit, integral dapat diartikan sebagai limit dari jumlah luas bagian-bagian yang sangat kecil di bawah kurva Sedangkan integral jika dikaitkan dengan deferensial, maka pengintegralan merupakan invers (kebalikan) dari pendiferensialan Karena itu integral disebut pula anti deferensial (anti turunan) Suatu fungsi F dkatakan sebagai integral dari f apabila F (x) f(x) untuk setiap x dalam domain F Karena turunan konstanta adalah nol, maka setiap bentuk F(x) + C dengan C sembarang konstanta, juga merupakan integral dari f(x) Jadi jika diketahui fungsi turunannya, maka dapat Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, Mei 0 6

3 dicari fungsi awalnya dengan menggunakan integral Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi dimana matematikawan harus berfikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi Lambang dari integral adalah yang dibaca integral Jika ditelisik lebih dalam lagi, maka Integral dapat dibagi menjadi dua macam yaitu Integral tak tentu dan integral tertentu Pada perhitungan integral tak tentu maupun integral tentu sering dijumpai suatu pengintegralan yang tidak bisa diselesaikan dengan cara biasa maupun dengan cara substitusinamun harus diselesiakan dengan cara bagian per bagian Perhitungan integral yang seperti ini disebut sebagai integral parsial B Pengertian Integral Parsial Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, mungkin saja dapat menggunakan substitusi ganda (double subtitution), yang lebih dikenal sebagai integrasi parsial atau integral parsial Integral parsial adalah kaidah yang mengubah integral perkalian dua fungsi menjadi bentuk lain, yang diharapkan lebih sederhana Kaidah ini berasal dari kaidah darab pada kalkulus diferensial Kaidah darab (Bahasa Inggris: product rule), atau sering disebut hukum Leibniz, adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) dua fungsi yang terdiferensialkan Kaidah ini dapat dituliskan sebagai: (f g) f g + f g atau dalam notasi Leibniz: d ( uv) u dv v du Integral parsial memiliki dua variabel pembantu yaitu (u) dan (v) Variabel (u) dan (v) ini dapat membantu perhitungan nilai dua perkalian bilangan yang akan diintegralkan Bilangan tersebut memiliki perkalian integral khusus yang tidak dapat digunakan pada integral subtitusi Berikut ini adalah penurunan rumus dari integral parsial : d(uv) udv + vdu udv d(uv) vdu udv d(uv) - vdu uv - vdu Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita memiliki bilangan (u) dan (dv) Bilangan (u) akan diturunkan menjadi (du) sedangkan (dv) akan diintegralkan menjadi bilangan (v) Sehingga akan menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral parsial Diperoleh nilai dari integral (u) dikali (dv) sama dengan (u) dikalikan dengan (v) dikurangi integral (v) dikali (du) Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral parsial hampir sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi Padahal dalam konsep penyederhanaan integral parsial lebih rumit dibandingkan integral subtitusi Integral parsial menyederhanakan fungsi dengan pemilihan fungsi yang akan diturunkan dan yang akan diintegralkan untuk membuat fungsi-fungsi baru yang akan digunakan pada rumus integral parsial C Ciri-Ciri Integral Parsial Cara paling mudah untuk mengetahui ciri ciri dari soal integral parsial adalah pemakaian perkalian beda fungsi dalam soal integralnya Antara lain ; perkalian suku banyak dengan suku banyak, seperti x ( x + ) 6, perkalian fungsi aljabar dengan fungsi trigonometri, seperti 6 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya

4 x sin 5x, perkalian suku banyak dengan bentuk akar, seperti x x, bahkan perkalian yang melibatkan basis logaritma natural, seperti ex cos x Integral-integral tersebut tidak bisa diselesaikan dengan cara substitusi biasa, akan tetapi perlu diselesaikan secara parsial D Penerapan Rumus Integral Parsial Seperti yang telah disebutkan di atas, rumus umum integral parsial adalah udv uv - vdu Berdasarkan rumus ini, dalam menentukan hasil pengintegralan hanya sebagian fungsi saja yang diintegralkan, sedangkan yang lain diturunkan atau dideferensialkan Adapun contoh penerapan rumus tersbeut adalah sebagai berikut : a Penerapan pada integral parsial perkalian suku banyak dengan suku banyak Contoh : Tentukan nilai dari x ( x + ) 6! Misalkan u x maka du x dv ( x + ) 6 maka v ( x + )6 sehingga x ( x + ) 6 u dv uv - v du x x ) ( x ) x ( x ) - x( x ) ( masih merupakan integral parsial, sehingga diselesaikan dengan menggunakan rumus umum integral parsial juga Misal u x maka du dv (x + ) maka v x( x ) uv - v du u dv x( x ) - ( x ) x( x ) - 9 ( x ) Sehingga - x( x ) Jadi x ( x + ) 6 ( x ) ( x - ( x ( x ) - x( x ) - ) ( 9 x ) ) - 5 x ( 9 x ( x ) ( x ) + C 5 x ) ( x b Penerapan pada integral parsial perkalian suku banyak dengan fungsi trigonometri Contoh : Tentukan hasil dari! Penyelesaian: Misal : ) 9 Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, Mei 0 65

5 sehingga diperoleh, c Penerapan pada integral parsial perkalian suku banyak dengan bentuk akar Contoh : Tentukan hasil dari x x Misal : u x maka du dv x maka v x ( x ) x x x uv - v du x( x ) x - (x ) 5 x ( x ) x - ( x ) + C 5 Contoh : Tentukan hasil dari x 6x Misal u x maka du x dv 6x maka v x 6x u dv uv - v du x (6x ) - x ( 6x ) 6x (6x ) x ( 6x ) masih merupakan integral parsial, sehingga diselesaikan dengan menggunakan rumus umum integral parsial juga Misal u x maka du dv ( 6x ) maka v ( 6x ) (6x ) 66 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya

6 x ( 6x ) u dv uv - v du x(6x ) - (6x ) 0 x(6x ) - (6x ) x ( 6x ) - ( x(6x ) - (6x ) ) 0 0 x (6x ) (6x ) x 6x x (6x ) x (6x ) (6x ) + C 56 0 d Penerapan pada integral parsial yang melibatkan perkalian basis logaritma natural Contoh : Tentukan nilai dari xe x Terlebih dahulu kita misalkan u yang turunannya paling sederhana, misal kita ambil u x dan e x sebagai dv Pada integral parsial juga ada kemungkinan fungsi akan muncul lagi di ruas kanan Contoh : Tentukan nilai dari e x cos x Misal : u e x maka du e x dv cos x maka v cos x sin x e x cos x udv uv - vdu e x sin x - e x sin x ex sin x masih merupakan integral parsial, sehingga diselesaikan dengan menggunakan rumus umum integral parsial juga Misal u e x maka du e x dv sin x maka v sin x -cos x ex sin x u dv uv - vdu -e x cos x + e x cos x Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, Mei 0 6

7 - e x sin x e x cos x - e x cos x e x cos x e x sin x + e x cos x - e x cos x e x cos x e x sin x + e x cos x e x x x cos x e sin x e cos x + C E Menyelesaikan Soal Integral Parsial Dengan Teknik TURIN Pembahasan berikut ini dipaparkan masalah bagaimana siswa menyelesaikan soal-soal integral yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan cara biasa dan cara substitusi Jika persoalan ini telah dicoba namun tidak menemukan jawaban, itu berarti harus menyelesaikan persoalan integralnya dengan menggunakan cara integral parsial (bagian demi bagian) Integral parsial dapat diselesaikan dengan cara panjang dengan mengguankan rumus u dv uv - v du, sebagaimana yang sudah diuraikan pada bagian D Namun terkadang siswa mengalami kesulitan dalam mengambil pemisalan u dan dv, bahkan ada siswa yang tidak suka menyelesaikan integral dengan pemisalan-pemisalan Oleh karena itu ada satu teknik yang dapat membantu siswa dalam menyelesaikan masalah integral parsial ini Yaitu dengan menggunakan teknik TURIN TURIN singkatan dari TURUNAN dan INTEGRAL Jadi teknik TURIN adalah suatu teknik pengintegralan soal integral parsial dengan cara menurunkan salah satu bagian fungsi secara terus menerus dan mengintegralkan bagian fungsi yang lain secara terus menerus pula Batas berhenti penurunan atau pendeferensialan bagian fungsi yang diturunkan adalah sampai nol dan batas pengintegralan bagian fungsi yang diintegralkan adalah seiring dengan pendeferensialan Jadi pada teknik ini, soal integral parsial dibagi menjadi dua bagian Bagian pertama yaitu bagian fungsi yang akan diturunkan, dan bagian kedua yaitu bagian yang akan diintegralkan Bagian yang akan diturunkan adalah bagian dari soal integral parsial yang apabila diturunkan terus menerus nilainya menjadi nol Sedangkan bagian fungsi yang lain adalah bagian fungsi yang diintegralkan Dalam penerapannya untuk mempermudah pemilahan antara bagian fungsi yang diturunkan dan bagian fungsi yang diintegralkan perlu tabel yang terdiri atas tiga kolom Kolom pertama adalah kolom tanda, diisi berselang-seling atau bergantian dimulai dari tanda positif (+) pada baris yang paling atas Tanda-tanda yang terletak di kolom pertama ini selanjutnya menunjukkan tanda atau nilai dari hasil masing-masing turunan yang berada di kolom kedua Kolom kedua adalah kolom turunan, yang mana hasilhasil turunan dari bagian yang diturunkan dimasukkan pada kolom ini secara berturut-turut sampai turunan terakhir yaitu nol Kolom ketiga adalah kolom integral Hasil-hasil pengintegralan dari bagian yang diintegralkan secara berturutturut dimasukkan ke kolom ini Selanjutnya untuk menentukan hasil pengintegralan, tinggal mengalikan secara berturut-turut antara hasil turunan pada baris pertama dengan hasil pengintegralan pada baris kedua, kemudian hasil turunan pada baris kedua dengan hasil pengintegralan pada baris ketiga, begitu seterusnya sampai hasil turunan sebelum nol dikalikan dengan hasil pengintegralan yang sebaris dengan turunan yang nilainya nol Tentu saja dengan 6 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya

8 mengikutsertakan tanda yang ada di parsial dengan teknik TURIN telah kolom pertama Kemudian hasil-hasil didapatkan dengan menambahkan huruf C perkalian tersebut dijumlahkan Dengan setelah suku terakhir untuk integral tak demikian hasil pengintegralan integral tentu Berikut ini dipaparkan contoh-contoh penerapan hitung integral parsial dengan teknik TURIN : Integral Parsial Perkalian Fungsi Aljabar Contoh : Tentukan nilai dari x ( x )6! + x (x ) 6 x x x ( x )6 x x - (x ) + C 5 Integral Parsial Perkalian suku banyak dengan bentuk akar Contoh : Tentukan nilai dari x x! + x x - ( x ) x + 0 ( x ) x 5 x x x ( x ) x - ( x ) x + C 5 Contoh : Tentukan nilai dari x 6x! + x 6x - x (6x ) Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, Mei 0 69

9 + (6x ) - 0 (6 0 x ) 0 x 6x x (6x ) - x (6x ) + (6x ) + C Integral Parsial perkalian Fungsi Aljabar dan Trigonometri Hitung (x+ ) cos (x π) Penyelsaian : x + cos (x - ) sin ( x - ) cos (x - ) (x+ ) cos (x π) ( x + ) sin (x - ) + cos (x - ) + C Integral Parsial Perkalian Suku Banyak dengan Logaritma Natural Contoh : Tentukan nilai dari x ex + x e x - e x + 0 e x x ex +xe x -e x + C xe x e x + C 5 Integral Parsial Perkalian Logaritma Natural dengan Fungsi Trigonometri Contoh : Tentukan nilai dari ex cos x! + e x cos x - e x sin x + e x - cos x e x 0 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Integrasi Budaya, Psikologi, dan Teknologi dalam Membangun Pendidikan Karakter Melalui Matematika dan Pembelajarannya

10 Untuk nilai ex cos x, tidak dapat diselesaikan dengan teknik TURIN Karena kedua fungsi yang dikaliakn tidak ada yang apabila diturunkan terus menerua hasilnya nol Jadi apabila integral parsial itu tidak memuat fungsi yang jika diturunkan terus menerus menjadi nol, maka integral tersebut tidak dapat diselesaikan dengan teknik TURIN Akan tetapi integral parsial semacam itu harus diselesaikan dengan menggunakan rumus u dv uv - v du Itulah satu-satunya kelemahan teknik TURIN dalam perhotingan integral parsial Jadi apabila ingin menggunakan teknik TURIN, pastikan dulu bahwa integral parsial tersebut mengandung fungsi yang bisa duturnkan terus sehingga menjadi nol III KESIMPULAN DAN SARAN A Kesimpulan Untuk menentukan nilai integral parsial dengan teknik TURIN lebih sederhana jika dibandingkan dengan menggunakan rumus u dv uv - v du Dengan menggunakan teknik TURIN, siswa tidak perlu lagi memisalkan u dan dv, akan tetapi tinggal memeilih fungsi yang diturunkan dan fungsi yang diintegralkan Fungsi yang akan diturunkan tentu saja pilih fungsi yang apabila diturunkan terus menerus menjadi nol, sedangkan fungsi yang lain diintegralkan Teknik TURIN ini lebih sederhana jika diabndingkan dengan cara rumus Karena teknik ini lebih sederhana, maka teknik ini diharpakan lebih memudahkan siswa dalam menentukan nilai integral parsial B Saran Guru matematika perlu selalu berusaha menambah literasi terkait dengan tugas profesioanlannya agar dapat selalu berinovasi dan bervariasi dalam pembelajarannya Dalam pembelajaran integral parsial, rekan-rekan guru dan calon guru selain menjelaskan cara rumus, ada baiknya guru juga menjelaskan teknik TURIN ini, sebab teknik TURIN ini cukup sederhana dan mudah dipahami dalam menyelesaikan soal-soal integral parsial Namun sebelumnya siswa harus memiliki dasar pengetahuan tentang turunan (derivatif) dan integral (anti turunan) Karena dasar pengetahuan ini yang berperan dalam teknik TURIN ini DAFTAR PUSTAKA Akbar Faizal, Makalah Integral Parsial, 0 April 0, makalah-integral-parsialhtml Kasmania, Toali, Suhendra, Rianto Acah, Susanti Dewi, Lisbiantari Duin, 00, Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian, Jakarta, Erlangga Varberg Dale, J Purcell Edwin, E Rigdon Steven, 0, Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid, Jakarta, Erlangga, Integrasi parsial, April 0, sial, Kaidah darab, April 0, Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo, Ruang Seminar UMP, Sabtu, Mei 0