BAB II TEORI DASAR. Kerusakan bangunan akibat gempa dapat diantisipasi dengan beberapa

Transkripsi

1 BAB II TEORI DASAR 2. UMUM Kersakan angnan akiat gempa dapat diantisipasi dengan eerapa metode, aik secara konvensional mapn secara teknologi yang dinamakan Lead Rer Bearing (LRB). Bahan isolator LRB ini dipasang agar strktr atas angnan tidak terikat dengan strktr pondasinya. Fngsi LRB ini antara lain adalah memikl ean gravitasi ata erat angnan. Sehingga memat strktr atas angnan leih fleksiel dalam arah horizontal akiat gerakan tanah dan meredam dan meredksi energi gempa. Perencanaan konvensional angnan tahan gempa adalah erdasarkan konsep agaimana meningkatkan kapasitas tahanan strktr terhadap gaya gempa yang ekerja padanya. Misalnya dengan menggnakan shear wall, sistem rangka pemikl momen khss, sistem rangka dengan racing dan seagainya. Konsekwensinya, pada angnan dimana kekakan lateralnya ckp esar akan mengalami percepatan lantai yang esar, sedangkan pada angnan fleksiel akan mengalami perpindahan lateral yang ckp esar, sehingga angnan akan mengalami kersakan yang signifikan pada peristiwa gempa kat.

2 Gamar 2. Bangnan tanpa ase isolator (Gempa di Algeria,2003) Filosofi perencanaan angnan tahan gempa yang diadopsi hampir selrh negara didnia mengikti ketentan erikt ini:. Pada gempa kecil angnan tidak oleh mengalami kersakan. 2. Pada gempa menengah komponen strktral tidak oleh rsak, namn komponen non-strktral diijinkan mengalami kersakan. 3. Pada gempa kat komponen strktral oleh mengalami kersakan, namn angnan tidak oleh mengalami kernthan. Jadi, angnan yang dirancang secara konvensional hars mamp erdeformasi inelastik, dengan kata lain angnan hars erprilak daktail. Namn, meningkatkan kinerja angnan pada level operasional merpakan tjan tama agi eerapa tipe angnan seperti: - Bangnan yang erhngan dengan fasilitas keadaan darrat (rmah sakit, pemangkit listrik, telekomnikasi, ds) - Bangnan dengan komponen ata ahan yang eresiko tinggi terhadap makhlk hidp (fasilitas nklir, ahan kimia, ds)

3 - Bangnan yang erhngan dengan orang anyak (mall, apartemen, perkantoran, hotel, ds) - Bangnan yang erhngan dengan pertahanan Negara. - Bangnan yang memiliki komponen dan peralatan elektronik yang mahal. - Bangnan/msem/monmen/ yang erhngan dengan sejarah. Untk menghindari kersakan angnan-angnan terset diatas akiat gempa merpakan hal yang slit apaila menggnakan perencanaan konvensional, karena ergantng kepada kekatan komponen strktr it sendiri, serta perilak respon pasca elastic. Seiring dengan perkemangan teknologi dalam perencanaan angnan tahan gempa, telah dikemangkan sat pendekatan desain alternatif ntk mengrangi resiko kersakan angnan akiat gempa, dan mamp mempertahankan integritas komponen strktral dan non-strktral terhadap gempa kat. Pendekatan desain ini kan dengan cara memperkat strktr angnan, tetapi adalah dengan meredksi gaya gempa yang ekerja pada angnan. Salah sat konsep pendekatan perencanaan yang telah dignakan anyak orang adalah dengan menggnakan LRB. Dalam perencanaan strktr ata angnan yang mempnyai ketahanan terhadap gempa dengan tingkat keamanan yang memadai, strktr yang hars dirancang dapat memikl gaya horizontal ata gaya gempa yang hars diperhatikan adalah ahwa strktr dapat memerikan layanan yang sesai dengan perencanaan. Menrt Palay (988), tingkat layanan dari strktr gaya gempa terdiri dari tiga, yait:. Serviceaility Jika gempa dengan intensitas percepatan tanah yang kecil dalam wakt lang yang esar mengenai strktr, disyaratkan tidak menggangg fngsi angnan,

4 seperti aktivitas normal didalam angnan dan perlengkapan yang ada. Artinya tidak dienarkan ada terjadi kersakan pada strktr aik pada komponen strktr mapn dalam elemen non-strktr yang ada. Dalam perencanaan hars diperhatikan control dan atas simpangan (driff) yang dapat terjadi semasa gempa, serta menjamin kekatan yang ckp agi komponen strktr ntk menahan gaya gempa yang terjadi dan diharapkan strktr masih erprilak elastis. 2. Kontrol kersakan Jika strktr dikenai gempa dengan wakt lang sesai dengan mr ata masa rencana angnan, maka strktr direncanakan ntk dapat menahan gempa ringan ata gempa kecil tanpa terjadi kersakan pada komponen strktr atapn mapn komponen non-strktr, dan diharapkan strktr dalam atas elastis. 3. Srvival Jika gempa kat yang mngkin terjadi pada mr/masa angnan yang direncanakan memeani strktr, maka strktr direncanakan ntk dapat ertahan dengan tingkat kersakan yang esar tanpa mengalami kersakan dan kernthan (collapse). Tjan tama dari keadaan atas ini adalah ntk menyelamatkan jiwa mansia. 2.2 KARAKTERISTIK STRUKTUR BANGUNAN Pada persamaan diffrensial meliatkan tiga properti tama sat strktr yait massa, kekakan dan redaman. Ketiga properti strktr it mmnya diset dinamik karakteristik strktr. Properti-properti terset sangat spesifik yang tidak semanya dignakan pada prolem statik. Kekakan elemen/strktr adalah salah sat-satnya karakteristik yang dipakai pada prolem statik, sedangkan karakteristik yang lainnya yait massa dan redaman tidak dipakai.

5 2.2. Massa Sat strktr yang kontini kemngkinan mempnyai anyak derajat keeasan karena anyaknya massa yang mngkin dapat ditentkan. Banyaknya derajat keeasan mmnya erasosiasi dengan jmlah massa terset akan menimlkan keslitan. Hal ini terjadi karena anyaknya persamaan differensial yang ada. Permodelan pokok yang mmnya dilakkan ntk mendeskripsikan massa strktr diagi atas 2 permodelan massa strktr Model Lmped Mass Model pertama adalah model diskretisasi massa yait massa diangggap menggmpal pada tempat-tempat (lmped mass) join ata tempat-tempat tertent. Dalam hal ini gerakan / degree of freedom sat join sdah ditentkan. Untk titik model yang hanya mempnyai sat derajat keeasan / sat translasi maka nantinya elemen ata strktr yang ersangktan akan mempnyai matriks yang isinya hanya agian diagonal saja. Clogh dan Penzien (993) mengatakan ahwa, agian offdiagonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya ekerja pada tiap-tiap massa. Selanjtnya jga dikatakan ahwa apaila terdapat gerakan rotasi massa ( rotation degree of freedom ), maka pada model lmped mass ini jga tidak akan ada rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa dianggap menggmpal pada sat titik yang tidak erdimensi (mass moment of inertia dapat dihitng apaila titik terset mempnyai dimensi fisik). Dalam kondisi terset terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol. Pada angnan gedng ertingkat anyak, konsentrasi ean akan terpsat pada tiap-tiap lantai tingkat angnan. Dengan demikian ntk setiap tingkat hanya ada sat tingkat massa yang mewakili tingkat yang ersangktan. Karena hanya terdapat sat derajat keeasan yang terjadi pada setiap massa/tingkat, maka jmlah

6 derajat keeasan pada sat angnan ertingkat anyak akan ditnjkkan oleh anyaknya tingkat angnan yang ersangktan. Pada kondisi terset matriks massa hanya akan erisi pada agian diagonal saja Model Consistent Mass Matrix Model ini adalah model yang keda dari kemngkinan permodelan massa strktr. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen strktr akan erdeformasi menrt entk fngsi (shape fnction) tertent. Permodelan massa seperti ini akan sangat ermanfaat pada strktr yang distrisi massanya kontin. Apaila tiga derajat keeasan (horizontal, vertikal dan rotasi) diperhitngkan pada setiap node maka standar consistent mass matrix akan menghasilkan fllpoplated consistent matrix artinya sat matrix yang off-diagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Pada lmped mass model tidak akan terjadi ketergantngan antar massa (mass copling) karena matriks massa adalah diagonal. Apaila tidak demikian maka mass moment of inertia akiat translasi dan rotasi hars diperhitngkan. Pada angnan ertingkat anyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap tingkat angnan, maka penggnaan model lmped mass masih ckp akrat. Untk pemahasan strktr MDOF setersnya maka model inilah (lmped mass) yang akan dipakai, karena tidak terjadi ketergantngan antar massa. Untk menghitng massa dapat dipakai formlasi sederhana yait: m= g W (2.2.) dimana: m = massa strktr (kg dtk 2 /cm) W = Berat ean teragi rata (kg) g = percepatan gravitasi ( 980 cm/dtk 2 )

7 2.2.2 Kekakan Kekakan adalah salah sat dinamik karakteristik strktr angnan yang sangat penting disamping massa angnan. Antara massa dan kekakan strktr akan mempnyai hngan yang nik yang mmnya diset karakteristik diri ata Eigenprolem. Hngan terset akan menetkan nilai frekensi sdt ω, dan periode getar strktr T. Keda nilai ini merpakan parameter yang sangat penting dan akan sangat mempengarhi respon dinamik strktr. Secara teoritis hngan kekakan dan periode adalah : T = 2 π m k Pada prinsip angnan geser (shear ilding) alok pada lantai tingkat dianggap tetap horizontal aik seelm mapn sesdah terjadi pergoyangan. Adanya plat lantai yang menyat secara kak dengan alok diharapkan dapat memant kekakan alok sehingga anggapan terset tidak terlal kasar. Pada prinsip desain angnan tahan gempa dikehendaki agar kolom leih kat diandingkan dengan alok, namn demikian rasio terset tidak selal linear dengan kekakannya. Dengan prinsip shear ilding, strktr dimngkinkan ntk memakai lmped mass model. Pada prinsip ini, kekakan setiap kolom dapat dihitng erdasarkan rms yang telah ada. Pada prinsipnya, semakin kak alok maka semakin esar kemampannya dalam mengekang rotasi jng kolom, sehingga akan menamah kekatan kolom. Perhitngan kekakan kolom akan leih teliti apaila pengarh plat lantai diperhatikan sehingga diperhitngkan seagai alok T. Kekakan kolom jepit-jepit dirmskan seagai erikt: 2EI K = 3 h (2.2.2)

8 Sedangkan kekakan jepit-sendi dapat dihitng seagai erikt: 3EI K = 3 h (2.2.3) Dimana : K = kekakan kolom (kg/cm) E = elastisitas (kg/cm 2 ) I = inersia kolom (cm 4 ) h = tinggi kolom (cm) Redaman Redaman merpakan peristiwa pelepasan energi (energi dissipation) oleh strktr akiat adanya eragai macam sea. Beerapa penyea it antara lain adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekl didalam material, pelepasan energi oleh gesekan alat penyamng mapn system dkngan, pelepasan energi oleh adanya gesekan dengan dara dan pada respon inelastic pelepasan energi jga terjadi akiat adanya sendi plastis. Karena redaman erfngsi melepaskan energi maka hal ini akan mengrangi respon strktr. Secara mm redaman ata damping dapat dikategorikan menrt damping system dan damping types. Damping system yang dimaksd adalah agaimana sistem strktr mempnyai kemampan dalam menyerap energi. Menrt sistem strktr yang dimaksd, terdapat da sistem disipasi energi yait : Damping Klasik (Classical Damping) Apaila dalam sistem strktr memakai ahan yang sama, yang mempnyai rasio redaman (damping ratio) yang relatif kecil maka sistem strktr terset mempnyai damping yang ersifat klasik (classical damping). Damping dengan sistem ini akan memenhi kaidah kondisi orthogonal (orthogonality condition).

9 Damping Nonklasik (Non Classical Damping) Damping dengan sistem ini akan terentk pada sat sistem strktr yang memakai ahan yang erlainan yang mana ahan-ahan yang ersangktan mempnyai rasio redaman yang ereda secara signifikan. Seagai contoh sat angnan yang agian awahnya dipakai strktr eton ertlang sedangkan agian atasnya memakai strktr aja. Antara kedanya mempnyai kemampan disipasi energi yang ereda sehingga kedanya tidak isa memangn redaman yang klasik. Adanya interaksi antara tanah dengan strktr jga akan mementk sistem redaman yang non-klasik, karena tanah mempnyai redaman yang ckp esar misalnya antara 0-25 %, sedangkan strktr atasnya mempnyai rasio redaman yang relative kecil, misalnya 4-7 %. Berdasarkan jenisnya, maka damping dapat diedakan dalam eerapa golongan yait seagai erikt:. Damping proporsional terhadap massa (Mass Proportional Damping) Dalam hal ini sat damping akan eranding langsng dengan massa strktr. Apaila dipakai matriks massa diagonal, maka damping matriks jga hanya pada diagonal saja. Chopra (995) mengatakan ahwa damping jenis ini agak krang rasional secara fisik karena massa hanya ersinggngan dengan dara padahal redaman akiat ini relative kecil dan ahkan kadang-kadang dapat diaaikan. 2. Damping proporsional dengan kekakan (Stiffness Proportional Damping) Senada dengan seelmnya, redaman jenis ini merpakan fngsi dari kekakan, artinya isian pada matriks redaman akan senada dengan matriks kekakan. Selanjtnya Chopra (995) mengatakan ahwa, damping jenis ini secara fisik agak rasional, karena disipasi energi akan dikaitkan dengan dengan deformasi antar tingkat. Deformasi ata simpangan antar tingkat anyak ergantng pada kekakan dan

10 anyak pernyataan telah disampaikan ahwa semakin esar simpangan strktr maka semakin esar pla potensi meredam energi. 3.Damping proporsional dengan massa dan kekakan (Mass and Stiffness Proportional Damping) Menyadari ahwa da jenis redaman di atas masih mempnyai kelemahankelemahan maka mmnya dipakai kominasi antara keda jenis redaman terset. Kelemahan-kelemahan terletak pada nilai-nilai rasio redaman pada mode-mode yang leih tinggi. Pada jenis redaman yang pertama dan keda, pada mode-mode yang leih tinggi rasio redamannya menjadi sangat kecil dan sangat esar. Sealiknya pada mode-mode yang rendah rasio redamannya menjadi kealikannya. Dengan kenyataan inilah dipakai kominasi antar jenis redaman yang pertama dengan yang keda. Masalah redaman pada strktr memang relatif leih kompleks disanding dengan dinamik karakteristik yang lain seprti massa dan kekakan. Da hal yang terakhir ini relatif mdah dimengerti dan dihitng. Sealiknya masalah redaman, aik mekanisme dan esarannya relatif slit dimengerti. 2.3 SIMPANGAN (DRIFF) AKIBAT GAYA GEMPA Simpangan (driff) adalah seagai perpindahan lateral relative antara da tingkat angnan yang erdekatan ata dapat dikatakan simpangan mendatar tiap-tiap tingkat angnan (horizontal story to story deflection). Simpangan lateral dari sat system strktr akiat ean gempa sangat penting yang dilihat dari tiga hal, menrt Farzat (989):. Kestailan strktr (strctral staility) 2. Kesemprnaan arsitektral (architectral integrity) dan potensi kersakan ermacam-macam komponen kan strktr

11 3. Kenyamanan mansia (hman comfort), sewakt terjadi gempa mi dan sesdah angnan mengalami gerakan gempa. Richard (987) erpendapat ahwa dalam perencanaan angnan tinggi selal dipengarhi oleh pertimangan lentran (deflection), kannya oleh kekatan (strength). Simpangan antar tingkat dari sat titik pada sat lantai hars ditentkan seagai simpangan horizontal titik it, relative terhadap titik yang sesai pada lantai yang erada diawahnya. Perandingan antar simpangan antar tingkat dan tinggi tingkat yang ersangktan tidak oleh meleihi dengan ketentan dalam segala hal simpangan terset tidak oleh leih dari 2 cm. Terhadap simpangan antar tingkat telah diadakan pematasan-pematasan ntk menjamin agar kenyamanan agi para penghni gedng tidak tergangg dan jga ntk mengrangi momen-momen seknder yang terjadi akiat penyimpangan garis kerja gaya aksial didalam kolomkolom (yang leih dikenal dengan P-delta). Berdasarkan UBC (997) ahwa atasan interstory driff ata simpangan antar tingkat adalah seagai erikt:. Untk periode angnan yang pendek T< 0.7 detik, maka simpangan antar tingkat Δm Ih ata 2.5%dari tinggi angnan. 2. Untk periode angnan yang pendek T> 0.7 detik, maka simpangan antar tingkat Δm 0.002Ih ata 2.0% dari tinggi angnan. 2.4 DERAJAT KEBEBASAN (DEGREE OF FREEDOM, DOF) Derajat keeasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang diperlkan ntk menyatakan posisi sat system pada setiap saat. Pada masalah dinamika, setiap titik ata massa pada mmnya hanya diperhitngkan erpindah

12 tempat dalam sat arah saja yait arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam sat idang ata da dimensi, maka simpangan sat massa pada setiap saat hanya mempnyai posisi ata ordinat tertent aik ertanda negatif atapn ertanda positif. Pada kondisi da dimensi terset, simpangan sat massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tnggal yait Y (t). Strktr seperti it dinamakan strktr dengan derajat keeasan tnggal (SDOF system). Model system SDOF ata erderajat keeasan tnggal, setiap massa m, kekakan k, mekanisme kehilangan ata redaman c, dan gaya lar yang dianggap tertmp pada elemen fisik tnggal. Strktr yang mempnyai n-derajat keeasan ata strktr dengan derajat keeasan anyak diset mlti degree of freedom (MDOF). Akhirnya dapat disimplkan ahwa jmlah derajat keeasan adalah jmlah koordinat yang diperlkan ntk menyatakan posisi sat massa pada saat tertent Persamaan Differensial Pada Strktr SDOF System derajat keeasan tnggal (SDOF) hanya akan mempnyai sat koordinat yang diperlkan ntk menyatakan posisi massa pada saat tertent yang ditinja. Bangnan sat tingkat adalah salah sat contoh angnan derajat keeasan tnggal. Pada gamar 2.2 mennjkkan ahwa model matematik ntk SDOF system. Tampak ahwa P(t) adalah ean dinamik yait ean yang intensitasnya merpakan fngsi dari wakt. Strktr seperti pada gamar 2.2.a kemdian digamar secara ideal seperti tampak pada gamar 2.2. yait gamar yang telah dimodelkan. Notasi m, k, c dan p(t) seperti yang tampak pada gamar ertrt-trt adalah massa, kekakan kolom dan redaman.

13 Gamar 2.2 Permodelan Strktr SDOF Apaila ean dinamik P(t) ekerja ke arah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti pada gamar 2.2.c. gamargamar terset mmnya diset free ody diagram. Berdasarkan prinsip keseimangan dinamik pada free ody diagram terset, maka dapat diperoleh hngan, f I (t) + f D (t) + f s (t) = p (t) (2.4.) Sedangkan ntk wakt singkat yang eriktnya f I t persamaan akan menjadi ( t + t) + ( t + t) + ( t + t) = p( t + t) (2.4.2) f D f s Dengan mengrangkan Pers. (2.4.) dengan Pers.(2.4.2) maka diperoleh entk pertamahan dari persamaan gerak ntk interval wakt t : (t) + f D (t) + (t) = p(t) (2.4.3) f I f s Gaya-gaya yang ertamah dalam persamaan ini dapat dinyatakan seagai erikt :

14 (t) = f ( t + t) f ( t) = m v ( t) f I I f D (t) = f ( t + t) f ( t) c( t) v (t ) D D = f s (t) = f s ( t + t) f s ( t) = k( t) v(t) I p(t) = p( t + t) p( t) (2.4.4) dimana telah diasmsikan ahwa massa selal konstan, dan faktor-faktor c(t) dan k(t) masing-masing mennjkkan sifat-sifat redaman dan kekakan yang sesai dengan kecepatan dan perpindahan yang terjadi selama interval wakt seperti dinyatakan pada Gamar 2.3c dan d. Dalam praktek, kemiringan garis potong yang ditnjkkan dapat dievalasi hanya dengan cara iterasi karena kecepatan dan perpindahan pada akhir pertamahan wakt tergantng dari sifat-sifat ini, atas dasar ini kemiringan garis singgng yang ditetapkan pada permlaan interval wakt sering dignakan seagai gantinya. c (t) = df D dv t k (t) = df S dv t Dengan menssitsi pernyataan gaya Pers.(2.4.4) ke dalam Pers.(2.4.3) diperoleh entk akhir persamaan kesetimangan yang ertamah ntk wakt t : m v (t ) + c(t) v (t ) + k(t) v(t) = p(t) (2.4.5) Sifat-sifat ahan yang ditinja dari ahan analisis ini isa mencakp setiap entk yang nonlinear. Jadi, gaya pegas f S tidak perl tergantng hanya dari perpindahan, seperti pada ahan elastik yang nonlinear. Sat ahan histeretik yang nonlinear jga dapat ditentkan, dimana gaya terset tergantng dari riwayat deformasi yang telah lewat serta nilai ars perpindahan. Persyaratannya ialah ahwa sifat-sifat kekakan hars ditetapkan secara lengkap aik dengan deformasi yang telah lewat mapn keadaan arsnya. Selain it, di sini jelas ahwa asmsi implisit dari

15 massa yang konstan adalah semarang, jadi hars jga dinyatakan seagai sat esaran yang ervariasi menrt wakt ANALISIS NON-LINEAR PADA BANGUNAN TIDAK BERTINGKAT Pada metode ini, diasmsikan menjadi seah respon linear dari strktr dan earing. Walapn keadaan ini jarang terjadi pada keadaan yang seenarnya. Sistem isolasi dirancang ntk mengrangi gerakan dari strktr pada saat gempa, mempertahankan respon linear, walapn isolator sering mengalami leleh ketika terjadi gerakan tanah. Regangan ini memat respon ini leih ssah dihitng. Untk mengantisipasi keadaan non linear ini, kekakan efektif akan dignakan ntk menghitng deformasi elastis linear pada leleh dan deformasi plastis yang terjadi setelah atas leleh tercapai. Pada kass ini, akan memperhitngkan perpindahan, kecepatan, dan percepatan dari strktr. Metode β-newmark dapat dignakan ntk menghitng kecepatan dan perpindahan strktr pada perahan wakt Δt. Persamaan di awah ini adalah metode Newmark (Hiler,977) yang memperhitngkan kecepatan akhir dan perpindahan : dimana : { d ( )} = d ( ) + ( ) d t i+ { } t i { d ( )} = { d ( )} + ( ) t i+ t i 2 [ { i } + γ { d ( ti )}] t + i { d } γ ( ) t i ti + { } ( t ) 2 { d } + β d β ( ) i i i+ γ faktor perkiraan ntk algoritmic ata damping nmerik β faktor perkiraan ntk variasi tahapan wakt dari percepatan

16 Parameter ini mengizinkan sejmlah metodologi yang ereda ntk mendapatkan hasil yang akrat. Jika faktorγ dipakai krang dari 0,5 maka terjadi damping negatif. Jika faktorγ dipakai 0,5 maka tidak terjadi damping tamahan dan metode yang dipakai adalah atran trapezoidal. Jika faktorγ dipakai leih dari 0,5 maka terjadi damping positif. Apaila β sama dengan nol isa menggnakan metode percepatan konstan. Apaila β sama dengan 0,25 dapat menggnakan metode percepatan rata-rata. Apaila β sama dengan menggnakan metode percepatan linear. 6 Keterangan : v 0 = v = kecepatan pada wakt sesaat t v = v ( t + t ) = kecepatan ntk wakt sesaat eriktnya Dari persamaan di atas, maka ditrnkan rms dalam entk kesetimangan perpindahan, kecepatan dan percepatan. { d ( )}- d ( ) = d t i+ { } t i [{ i } ({ d ( ti )} { d ( ti )}) ] ti + + t γ (2.4.8 )

17 Apaila persamaan ini disederhanakan dengan memakai nilai kesetimangan dengan memaskkan kecepatan dan percepatan di atas interval wakt { d } = d [{ i } + { d ( ti )}] ti γ (2.4.9) i+ + Dengan mengelompokkan entk perpindahan dan entk percepatan,menssitsikan persamaan di atas maka didapat persamaan yang leih praktis yait : [ K] = [ M ] + [ C ] t + β ( + α )[ K ]( t ) 2 i { D } = d t { i } t i i i ti γ (2.4.0) (2.4.) { D 2 } = ( α ) d ( ti ) { } t + d 2 { }( t ) { d } + i i i α i (2.4.2) 2 Diasmsikan ahwa pergeseran lantai diaaikan dan kelakan strktr sepenhnya linear. Oleh karena it, persamaan gerakan pada lantai masih dignakan pada penyelesaian non linear. Untk mencari percepatan pada lantai, maka dignakan persamaan seperti erikt ini : 3 2 z n + 2ξ nωn z n + ω n z n = ( nk z k + α nk d gk ) k = λ (2.4.3) Seagai catatan, ahwa entk pertama di seelah kanan persamaan (2.4.3) diperoleh dari persamaan matriks. T [ Φ ] [ M ][ Φ ]{ z } Sekarang, entk yang ereda dari persamaan (2.4.3) leih sering dipakai, jadi rms di atas isa diah dengan mengemalikan ke persamaan displacemen seenarnya seagai ganti dari entk pengandaian displacemen, yait entk pertama di seelah kanan dari persamaan di atas menjadi : T [ Φ ] [ M ]{ d } [ ]{ d } α

18 2.4.3 ANALISIS NON-LINEAR PADA STRUKTUR BERTINGKAT Metode ini hampir sama dengan analisis nonlinear tidak ertingkat,jga menggnakan Metode β-newmark. Tetapi peredaannya adalah persamaan (2.4.6) dan persamaan (2.4.7) ditlis dalam entk vektor, yait : { d ( )} = d t i+ t i+ { i } + [( ){ d ( ti )} + γ { d ( ti+ )}] ti t i { } { d ( )} = { d ( )}+ d ( ) + β d t i γ (2.4.4) ti 2 { } + β d { } ( t ) 2 i (2.4.5) i i+ Persamaan di atas dapat dikonversikan ke entk persamaan kesetimangan, dan disederhanakan menjadi : { i+ } + [ C ] d ( ti ) + γ K { d t } t + d [ M ] d t ( + α )[ ] ( ) { } { d ( ti+ ) } ti { }( t ) + β{ d }( t ) = i i i i i+ i 2 N [ K ]{ d ( ti )} [ M k ] d k ( ti+ ) k = d [ M ] sgn d { } [ M t ]{ d ( t + )} { ( )} { R} α i µ (2.4.6) gz i+ t i Untk mendapatkan kesetimangan percepatan yang tidak diketahi, maka dignakan : [ ] { d } = K i+ i + N 2 k { k i+ } { } ( )[ ]{ ( ( ))} { } k + d t + µ d t M sgn d t + R [ C ]{ D } + [ K ]{ D } + [ M ] d [ M ] ( ) t g i+ gz i+ t i (2.4.7) Persamaan di atas masih seah fngsi dari percepatan strktr yang masih elm diketahi. Oleh karena it, persamaan (2.4.30) hars dikerjakan secara serempak dengan persamaan lain. Persamaan dari gerakan oleh strktr adalah persamaan yang keda yang ergantng pada kedanya. Apaila strktr diasmsikan ntk mempertahankan respon elastis, menjadi : 2 { z } + diag[ 2 ξ n ω n ]{ z } + diag[ ω n ]{ z } = [ λ ]{ z } + [ α ] d g (2.4.3)

19 Dimana : T [ ] = [ Φ ] [ ][ ] λ (2.4.8) M c Φ T [ ] = [ Φ ] [ M ] α (2.4.9) Sehingga persamaannya menjadi : c T [ λ ]{ z } [ Φ ] [ M ][ Φ ]{ z } = [ α ]{ d } = (2.4.20) c Dengan menssitsikan persamaan (2.4.34) ke persamaan (2.4.3),maka didapat: 2 { z } + diag[ ξ ω ]{ z } + diag[ ω ]{ z } = [ α ]{ d } + [ α ]{ d } 2 (2.4.2) n n n Akselerogram gempa yang ditinja dalam analisis respons dinamik linier dan non-linier riwayat wakt, hars diamil dari rekaman gerakan tanah akiat gempa yang didapat di sat lokasi yang mirip kondisi geologi, topografi dan seismotektoniknya dengan lokasi tempat strktr angnan gedng yang ditinja erada. Untk mengrangi ketidak-pastian mengenai kondisi lokasi ini, paling sedikit hars ditinja empat ah akselerogram dari empat gempa yang ereda, salah satnya hars diamil akselerogram Gempa El-centro N-S yang telah direkam pada tanggal 5 mei 940 di California. Peredaan keempat akselerogram terset hars ditnjkkan dengan nilai maksimm asolt koefisien korelasi silang antara sat akselerogram terhadap lainnya yang leih kecil daripada 0%. Berhng gerakan tanah akiat gempa pada sat lokasi tidak mngkin dapat diperkirakan dengan tepat, maka seagai gempa maskan dapat jga dipakai gerakan tanah yang disimlasikan. Parameter-parameter yang menentkan gerakan tanah yang disimlasikan ini antara lain terdiri dari wakt getar predominan tanah, konfigrasi spectrm respons, jangka wakt gerakan dan intensitas gempanya. g