BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. STABILITAS LERENG Suatu permukaa taah yag mirig yag membetuk sudut tertetu terhadap bidag horisotal disebut sebagai lereg (slope). Lereg dapat terjadi secara alamiah atau dibetuk oleh mausia dega tujua tertetu. Jika permukaa membetuk suatu kemiriga maka kompoe massa taah di atas bidag gelicir cederug aka bergerak ke arah bawah akibat gravitasi. Jika kompoe gaya berat yag terjadi cukup besar, dapat megakibatka logsor pada lereg tersebut. Kodisi ii dapat dicegah jika gaya dorog (drivig force) tidak melampaui gaya perlawaa yag berasal dari kekuata geser taah sepajag bidag logsor seperti yag diperlihatka pada Gambar 2.1. Gambar 2.1. Kelogsora lereg Bidag gelicir dapat terbetuk dimaa saja di daerah-daerah yag lemah. Jika logsor terjadi dimaa permukaa bidag gelicir memotog lereg pada dasar atau di atas ujug dasar diamaka logsor lereg (slope failure) seperti yag diperlihatka pada Gambar 2.2a. Legkug kelogsora disebut sebagai ligkara ujug dasar (toe circle), jika bidag gelicir tadi melalui ujug dasar maka disebut ligkara lereg (slope circle). Pada kodisi tertetu terjadi kelogsora dagkal (shallow slope failure) seperti yag ditujukka pada Gambar 2.2b. Jika logsor terjadi dimaa permukaa bidag gelicir berada agak

2 jauh di bawah ujug dasar diamaka logsor dasar (base failure) seperti pada Gambar 2.2c. Legkug kelogsoraya diamaka ligkara titik tegah (midpoit circle) (Braja M. Das, 2002). Proses meghitug da membadigka tegaga geser yag terbetuk sepajag permukaa logsor yag palig mugki dega kekuata geser dari taah yag bersagkuta diamaka dega Aalisis Stabilitas Lereg (Slope Stability Aalysis). (a)

3 (b) (c) Gambar 2.2. Betuk-betuk kerutuha lereg (a) Kelogsora lereg, (b) Kelogsora lereg dagkal, (c) Logsor dasar Parameter Taah/Batua Utuk aalisis stabilitas lereg diperluka parameter taah/batua : Kuat geser Kuat geser terdiri dari kohesi (c) da sudut geser dalam (φ). Utuk aalisis stabilitas lereg utuk jagka pajag diguaka harga kuat geser efektif maksimum (c, φ ). Utuk lereg yag sudah megalami geraka atau material pembetuk lereg yag mempuyai diskotiuitas tiggi diguaka harga kuat geser sisa (c r = 0; φ r ). Berat Isi

4 Berat isi diperluka utuk perhituga beba gua aalisis stabilitas lereg. Berat isi dibedaka mejadi berat isi asli, berat isi jeuh, da berat isi teredam air yag pegguaaya tergatug kodisi lapaga. Salah satu peerapa pegetahua megeai kekuata geser taah/batua adalah utuk aalisis stabilitas lereg. Kerutuha geser pada taah atau batua terjadi akibat gerak relatif atarbutirya. Oleh sebab itu kekuataya tergatug pada gaya yag bekerja atarbutirya. Dega demikia dapat dikataka bahwa kekuata geser terdiri atas : Bagia yag bersifat kohesif, tergatug pada macam taah/batua da ikata butirya. Bagia yag bersifat geseka, yag sebadig dega tegaga efektif yag bekerja pada bidag geser. Kekuata geser taah dapat diyataka dega rumus : S = C + ( τ - µ ) ta φ (2.1) dimaa : S = kekuata geser τ = tegaga total pada bidag geser µ = tegaga air pori C = kohesi efektif φ = sudut geser dalam efektif Gambar 2.3. Kekuata geser taah/batua Aalisis stabilitas lereg pada dasarya dapat ditijau sebagai mekaisme gerak suatu beda yag terletak pada bidag mirig. Beda aka tetap pada

5 posisiya jika gaya peaha R yag terbetuk oleh gaya geser atara beda da permukaa lereg lebih besar dibadigka dega gaya gelicir T dari beda akibat gaya gravitasi. Sebalikya beda aka tergelicir jika gaya peaha R lebih kecil dibadig dega gaya gelicir T. Secara skematik terlihat pada Gambar (2.4). Secara matematis stabilitas lereg dapat diformulasika sebagai : R FK = (2.2) T dimaa FK = faktor keamaa R = gaya peaha T = gaya yag meyebabka gelicir Jika FK < 1 beda aka bergerak FK = 1 beda dalam keadaa seimbag FK > 1 beda aka diam Gambar 2.4. Keseimbaga beda pada bidag mirig Agka Keamaa (Safety Factor) Megigat lereg terbetuk oleh bayakya variabel da bayakya faktor ketidakpastia atara lai parameter-parameter taah seperti kuat geser taah, kodisi tekaa air pori maka dalam megaalisis selalu dilakuka peyederhaaa dega berbagai asumsi. Secara teoritis massa yag bergerak dapat dihetika dega meigkatka kekuata geserya. Hal yag perlu dipertimbagka dalam peetua kriteria faktor keamaa adalah resiko yag dihadapi, kodisi beba da parameter yag

6 diguaka dalam melakuka aalisis stabilitas lereg. Resiko yag dihadapi dibagi mejadi tiga yaitu : tiggi, meegah da redah. Tugas seorag egieer meeliti stabilitas lereg utuk meetuka faktor keamaaya. Secara umum, faktor keamaa dapat dijelaska sebagai berikut : τ f FK = (2.3) τ d dimaa FK = agka keamaa terhadap kekuata taah. τ f τ d = kekuata geser rata-rata dari taah. = Tegaga geser rata-rata yag bekerja sepajag bidag logsor. Kekuata geser suatu laha terdiri dari dua kompoe, friksi da kohesi, da dapat ditulis, τ f = c + σ ta φ (2.4) dimaa, c = kohesi taah peaha φ = sudut geser peaha σ = tegaga ormal rata-rata pada permukaa bidag logsor. Atau dapat ditulis, τ d = c d + σ ta φ d (2.5) Dimaa c d adalah kohesi da φ d sudut geser yag bekerja sepajag bidag logsor. Dega mesubstitusi persamaa (2.4) da persamaa (2.5) ke dalam persamaa (2.3) sehigga kita medapat persamaa yag baru, c + σ taφ FK = (2.6) + σ taφ c d d Sekarag kita dapat megetahui beberapa parameter lai yag mempegaruhi agka keamaa tadi, yaitu agka keamaa terhadap kohesi, F c, da agka keamaa terhadap sudut geser F φ. Dega demikia F c da F φ dapat kita defiisika sebagai : da c F c = (2.7) c F φ d taφ = (2.8) taφ d

7 Bilamaa persamaa (2.6), (2.7), da (2.8) dibadigka adalah wajar bila F c mejadi sama dega F φ, harga tersebut memberika agka keamaa terhadap kekuata taah. Atau, jika c c d = taφ taφ d Kita dapat meuliska FK = F c = F φ (2.9) FK sama dega 1 maka lereg dalam keadaa aka logsor. Biasaya, 1.5 utuk agka keamaa terhadap kekuata geser yag dapat diterima utuk merecaaka suatu stabilitas lereg (SKBI , 1987). Parameter yag diguaka meyagkut hasil pegujia dega harga batas atau sisa dega mempertimbagka ketelitiaya. Tabel 2.1 memperlihatka faktor keamaa teredah berdasar hal-hal tersebut di atas. Tabel 2.1. Faktor Keamaa Miimum Stabilitas Lereg Risiko Tiggi Meegah Redah Kodisi Beba Dega Gempa Tapa Gempa Dega Gempa Tapa Gempa Dega Gempa Tapa Gempa Parameter Kekuata Geser Maksimum Sisa Teliti Kurag Teliti Teliti Kurag Teliti 1,50 1,75 1,35 1,50 1,80 2,00 1,60 1,80 1,30 1,60 1,20 1,40 1,50 1,80 1,35 1,50 1,10 1,25 1,00 1,10 1,25 1,40 1,10 1,20

8 Resiko tiggi jika ada kosekuesi terhadap mausia cukup besar (ada pemukima), da atau bagua sagat mahal, da atau sagat petig.resiko meegah bila ada kosekuesi terhadap mausia tetapi sedikit (buka pemukima), da atau bagua tidak begitu mahal da atau tidak begitu petig.resiko redah bila tidak ada kosekuesi terhadap mausia da terhadap bagua (sagat murah) (SKBI , 1987). Kekuata geser maksimum adalah harga pucak da dipakai apabila massa taah/batua yag potesial logsor tidak mempuyai bidag diskotiuitas (perlapisa, rekaha, sesar da sebagaiya) da belum perah megalami geraka.kekuata residual dipakai apabila : (i) massa taah/batua yag potesial bergerak mempuyai bidag diskotiuitas, da atau (ii) perah bergerak (walaupu tidak mempuyai bidag diskotiuitas) (SKBI , 1987) Aalisis Stabilitas Lereg Pada umumya aalisis stabilitas lereg dapat dibagi mejadi dua kelompok besar yaitu : Prosedur Massa (Mass Procedure) Pada cara aalisis ii massa taah yag berada di atas bidag gelicir diambil sebagai satu kesatua. Prosedur ii bergua bila taah yag membetuk lereg diaggap homogey (Braja M. Das, 2002). Metoda Irisa (Method of Slice) Pada cara aalisis ii taah yag ada di atas bidag gelicir dibagi mejadi beberapa irisa-irisa parallel tegak. Stabilitas dari tiap-tiap irisa dihitug secara terpisah. Metode ii lebih teliti karea taah yag tidak homoge dapat juga dimasukka dalam perhituga (Braja M. Das, 2002) Prosedur Massa (Mass Procedure) Stabilitas Lereg pada Taah Lempug Homoge dega φ = 0 Pada cara aalisis ii kekuata geser dalam keadaa air pori dijaga tidak megalir keluar (udraied) dari taah diaggap tetap yaitu τ f = c u. Utuk membuat aalisis stabilitas dapat memilih suatu bidag gelicir percobaa AED yag merupaka busur ligkara berjari-jari = r. Pusat ligkara terletak pada O.

9 Dega memperhatika satu satua tebal yag tegak lurus pada bagia yag ditijau, maka berat taah yag berada di atas legkug (kurva) AED dapat diketahui melalui W = W 1 + W 2, dega (Braja M. Das, 2002) : W 1 = (luasa FCDEF) (γ) atau W 2 = (luasa ABFEA) (γ) Mome gaya terhadap titik O yag meyebabka ketidakstabila lereg adalah : M d = W 1 l 1 W 2 l 2 (2.10) dega l 1 da l 2 adalah lega mome. Gambar 2.5. Aalisis stabilitas lereg pada taah lempug yag homoge φ = 0 Perlawaa terhadap kelogsora berasal dari kohesi yag bekerja sepajag bidag gelicir. Mome gaya perlawaa terhadap titik O adalah : M R = c d ( busur AED)(l)(r) = c d r -2 θ (2.11) Utuk keseimbaga, M R = M d jadi, atau c d r -2 θ = W 1 l 1 W 2 l 2

10 W1l1 W2l c d = r θ 2 2 Agka keamaa terhadap kelogsora didapatka sebagai : c F = (2.12) f u s = τ (2.13) cd cd Potesi bidag gelicir AED dipilih secara acak. Bidag logsor kritis terjadi jika bidag logsor yag mempuyai rasio c u terhadap c d adalah miimum atau harga c d maksimum. Utuk medapatka bidag gelicir yag kritis dapat dibuat sejumlah percobaa dega bidag gelicir yag berbeda-beda. Utuk kasus ligkara kritis besar kohesi yag dibutuhka dapat diyataka dega hubuga sebagai berikut : c d = γhm atau c d = γh m (2.14) Besara m adalah bilaga tak berdimesi da disebut sebagai agka stabilitas (Stability Number). Selajutya tiggi kritis lereg dapat dievaluasi dega meggatika H =H cr da c d = c d pada persamaa di atas. Jadi, cu H cr = (2.15) γ m Harga agka stabilitas m utuk lereg dega bermacam-macam sudut kemiriga β dapat dilihat pada tabel terlampir (Lampira Gambar 1). Terzaghi γh megguaka istilah, kebalika dari m da disebut sebagai faktor stabilitas c d (Stability Factor). Pada tabel yag terlampir (Lampira Gambar 1) haya berlaku utuk lereg dari taah lempug jeuh da haya berlaku utuk keadaa udraied pada saat φ = 0. Hal-hal yag harus diperhatika jika megacu pada tabel hubuga atara β da m adalah sebagai berikut : 1. Utuk sudut kemiriga β > 53 ligkara kritis selalu berupa ligkara ujug dasar lereg. Letak pusat ligkara ujug dasar lereg kritis mugki dapat dicari dega gambar yag terlampir (Lampira Gambar 2).

11 2. Utuk β < 53, ligkara kritis mugki berupa ligkara ujug lereg, ligkara lereg, atau ligkara titik tegah tergatug letak lapisa taah keras yag berada di bawah lereg. Hal ii disebut sebagai fugsi kedalama (Dept Fuctio) yag dijelaska sebagai berikut : JarakVertikalDariPucakLeregKeLapisaKeras D = TiggiLereg 3. Jika legkug kritis adalah ligkara titik tegah yaitu permukaa bidag logsor merupaka bidag siggug dari lapisa keras maka letak titik pusat logsor dapat ditetuka dega batua gambar (Lampira Gambar 3). 4. Harga maksimumagka stabilitas (Stability Number) yag mugki terjadi pada kelogsora ligkara titik tegah adalah 0,181 (Braja M. Das, 2002) Stabilitas Lereg pada Taah Homoge c -φ Kekuata geser utuk taah yag homoge diberika dega persamaa : τ f = c + σ ta φ Tekaa air pori diaggap sama dega ol. Busur AC adalah legkug ligkara percobaa melalui ujug dasar lereg, da O adalah pusat ligkara. Dega meijau satu satua tebal tegak lurus pada lereg, maka (Braja M. Das, 2002) : Berat blok taah ABC = W = (luasa ABC)(γ) Utuk keseimbaga maka gaya lai yag bekerja pada blok adalah sebagai berikut : C d - resulta gaya kohesi yag besarya sama dega satua kohesi yag diperluka dikalika dega pajag tali busur AC. Besara C d yag diperoleh dari Gambar 2.4 adalah : C d (a) = c d (busur AC) Cd bekerja dalam arah sejajar dega tali busur AC da pada jarak a dari pusat ligkara O sehigga : C d (a) = c d (busur AC)r Atau c a = d ( busurac) r C d ( busuirac) = r ( talibusurac) (2.16)

12 (a) (b) (c) Gambar 2.6. (a) Aalisis stabilitas lereg pada taah homogey φ' - c, (b) Besara C d, (c) Poligo gaya atara W, F da C d F resulta gaya ormal da gaya geser yag bekerja sepajag permukaa bidag logsor. Utuk keseimbaga garis kerja gaya F aka melalui titik perpotoga garis kerja W da C d.

13 Jika megaggap bahwa gesera seluruhya termobolisir yaitu φ d = φ atau F φ = 1 maka garis kerja dari F aka membetuk sudut φ dega suatu garis ormal terhadap legkuga da gaya F tadi aka meyiggug ligkara yag berpusat di O da berjari-jari r.siφ. Ligkara iilah yag diamaka ligkara geser dega jari-jari sedikit lebih besar daripada r.siφ (Braja M. Das, 2002). Karea arah W, C d da F diketahui maka polygo gayaya dapat dibuat. Besara C d dapat ditetuka dari polygo gaya. Sehigga satua kohesi yag diperluka dapat dicari dega (Braja M. Das, 2002) : Cd cd = ( talibusurac) Peetua besarya harga cd yag dijelaska di atas didasarka pada bidag logsor percobaa. Beberapa percobaa harus dibuat utuk medapatka bidag logsor yag palig kritis utuk kohesi yag dibutuhka adalah maksimum. Oleh karea itu kohesi maksimum yag yag terbetuk sepajag bidag logsor yag kritis dapat dituliska sebagai (Braja M. Das, 2002) : [ f ( α, β, θ φ) ] c d = γ H, (2.17) Utuk keseimbaga kritis yaitu utuk Fc = Fφ = FK = 1 dapat meggatika H = H cr da c d = c pada persamaa atau dega [ f ( α, β, θ φ) ] c = γ H, c γh cr cr ( α, β, θ, ) = m = f φ m = agka stabilitas Harga m utuk bermacam-macam harga φ da β diberika pada Lampira Gambar 4. Dari hasil perhituga terlihat bahwa utuk φ > 3 semua ligkaraligkara kritis adalah ligkara ujug dasar (Toe Circle) (Braja M. Das, 2002) Metode Irisa (Method of Slice) Aalisis stabilitas dega megguaka metode irisa dapat dijelaska dega Gambar (2.7), dimaa busur AC adalah sebuah legkuga dari ligkara yag meujukka permukaa bidag logsor. Taah yag berada di atas bidag

14 logsor dibagi mejadi beberapa irisa tegak. Lebar dari setiap irisa tidak harus sama. Dega meijau satu satua tebal tegak lurus irisa melitag lereg seperti Gambar (2.7), gaya-gaya yag bekerja pada irisa tertetu (irisa o. ) ditujukka pada Gambar (2.8). W adalah berat irisa. Gaya-gaya N r da T r adalah kompoe tegak da sejajar dari reaksi R. P da P +1 adalah gaya ormal yag bekerja pada sisi-sisi irisa. Demikia pula, gaya geser yag bekerja pada sisi irisa adalah T da T +1. Secara sederhaa, tegaga air pori diasumsika ol. Gaya P, P +1, T da T +1 sulit utuk ditetuka. Aka tetapi kita dapat membuat suatu asumsi pedekata bahwa besarya resulta dari P da T adalah sama besar dega resulta dari P +1 da T +1 da juga garis-garis kerjaya segaris (Braja M. Das, 2002). Utuk pegamata kesetimbaga N r = W cos α (2.18) Gaya geser perlawaa dapat ditujukka dega ( L ) τ f 1 Tr = τ d ( L ) = = φ F F s s [ c + σ ta ] L Tegaga ormal, σ pada persamaa 14.9 sama dega N r L W cosα = L (2.19) (2.20) Utuk keseimbaga blok percobaa ABC, mome gaya dorog terhadap titik O adalah sama dega mome gaya perlawaa terhadap titik O, atau = p W r siα = 1 1 atau = p 1 W cosα = c F + = s L taφ ( L )( r) F s = p ( c L + W cosα taφ) = 1 = = p = 1 W siα (2.21) Catata : L dalam Persamaa (2.21) diperkiraka sama dega dega b = lebar potoga omor. ( b ) cosα

15 Gambar 2.7. Permukaa bidag yag dicoba Gambar 2.8. Gaya yag bekerja pada irisa omor Harga α adalah positif jika lereg bidag logsor yag merupaka sisi bawah dari irisa, berada pada kwadra yag sama dega lereg muka taah yag merupaka sisi atas dari irisa. Utuk medapatka agka keamaa yag miimum yaitu agka keamaa utuk ligkara kritis, beberapa percobaa dibuat dega cara megubah letak pusat ligkara yag dicoba. Metode ii

16 umumya dikeal sebagai Metode Irisa Sederhaa (Ordiary Method of Slice) (Braja M. Das, 2002). Utuk mudahya, suatu lereg dalam taah yag homoge ditujukka pada Gambar (2.7) da (2.8). Aka tetapi metode irisa dapat dikembagka utuk lereg yag berlapis-lapis seperti pada Gambar (2.9). Prosedur umum dari aalisis stabilitas taah adalah sama. Tetapi ada beberapa hal yag perlu diigat. Selama megguaka persamaa (2.21) utuk meghitug agka keamaa, harga-harga φ da c tidak aka sama utuk semua potoga. Sebagai cotoh, utuk potoga o. 3 (Gambar 2.9) kita harus megguaka sudut geser φ = φ 3 da kohesi c = c 3 ; serupa utuk potoga o. 2, φ = φ 2 da c = c 2 (Braja M. Das, 2002). B 2 1 C γ 1, φ 1, c1 A 4 3 γ 2, φ 2,c γ 3,φ 3, c3 Gambar 2.9. Aalisis stabilitas dega metode irisa utuk taah yag berlapis Felleius Cara ii dapat dipakai pada lereg-lereg dega kodisi isotropis, o isotropis da berlapis-lapis. Massa taah yag bergerak diadaika terdiri atas beberapa eleme vertikal. Lebar eleme dapat diambil tidak sama da sedemikia sehigga legkug busur di dasar eleme dapat diaggap garis lurus (SKBI , 1987). Berat total taah/batua pada suatu eleme (W t ) temasuk beba luar yag bekerja pada permukaa lereg (Gambar 2.10 da 2.11). Wt diuraika dalam kompoe tegak lurus da tagesial pada dasar eleme. Dega cara ii pegaruh gaya T da E yag bekeja di sampig eleme diabaika. Faktor

17 keamaa adalah perbadiga mome peaha logsora dega peyebab logsor. Pada Gambar 2.10 mome tahaa geser pada bidag logsora adalah (SKBI , 1987) : M peaha = R. r (2.13) dimaa R adalah gaya geser da r adalah jari-jari bidag logsora. Tahaa geser pada dasar tiap eleme adalah : R = S. l = l ( c + σ ta φ ) ; σ = Mome peaha yag ada sebesar : W t cosα l (2.14) M peaha = r ( c l + W t cos σ ta φ ) (2.15) Kompoe tagesial W t bekerja sebagai peyebab logsora meimbulka mome peyebab : M peyebab = ( W t si α ). r (2.16) Faktor keamaa dari lereg mejadi : FK = ( c' l W cosα taφ' ) + t W siα t (2.17) R C γ1, c1, φ1 1 2 B R γ2, c2, φ2 3 A γ3, c3, φ3 Wt 5 6 Gambar Sistem gaya pada cara Felleius

18 b E T+1 T Wt E+1 Tr Nr α α R = W L L = b sec α S = c'. L + L. σ ta φ Gambar Gaya-gaya yag bekerja pada potoga tuggal Bishop Cara aalisis yag dibuat oleh A.W. Bishop (1955) megguaka cara eleme dimaa gaya yag bekerja pada tiap eleme ditujukka seperti pada Gambar Persyarata keseimbaga yag diterapka pada eleme yag membetuk lereg tersebut. Faktor keamaa terhadap kerutuha didefiisika sebagai perbadiga kekuata geser maksimum yag dimiliki taah di bidag logsora (S tersedia ) dega tahaa geser yag diperluka utuk keseimbaga (S perlu ) (SKBI , 1987). S FK = S tersedia perlu Bila kekuata geser taah adalah : ( σ µ ) taφ' = ' + σ ' taφ' S tersedia = c' + c, maka tahaa geser yag diperluka utuk keseimbaga adalah : 1 S perlu = ( c ' + ( σ µ ) taφ' ) (2.18) FK Faktor keamaa dihitug berdasar rumus :

19 1 ( c' l + ( W µ l) taφ' ) FK = m (2.19) W siα Cara peyelesaia merupaka coba ulag (trial da error) harga faktor keamaa FK di ruas kiri persamaa (2.19), dega megguaka Gambar 2.12 utuk mempercepat perhituga (SKBI , 1987). Faktor keamaa meurut cara ii mejadi tidak sesuai dega keyataa, terlalu besar, bila sudut egatif (-) di lereg palig bawah medekati 30 (Gambar 2.12). Kodisi ii bisa timbul bila ligkara logsor sagat dalam atau pusat rotasi yag diadaika berada dekat pucak lereg. Faktor keamaa yag diperoleh dega cara ii lebih besar daripada dega cara Felleius (SKBI , 1987). b E Tr T W Er Tr N' U. L N α L L = b sec α S = c'. L + L. σ ta φ Gambar Suatu gaya pada suatu eleme meurut Bishop Jabu Jabu (1954) megembagka suatu cara aalisis stabilitas lereg yag dapat diterapka utuk semua bidag logsora. Besara-besara yag aka dicari adalah : F (yag berhubuga dega T, N, E da S). Berdasarka keseimbaga gaya vertikal (SKBI , 1987) : N cosθ = W + S T siθ N = ( W + S) secθ T taθ Jumlah gaya-gaya tegak lurus maupu tagesial terhadap bidag dasar irisa adalah ol. Sehigga persamaaya adalah (SKBI , 1987) :

20 de d S = y ( Ey t ) (2.20) dx dx N = W S cosθ + E si (2.21) ( ) θ ( W + S ) siθ E cosθ T = (2.22) Kriteria logsor Mohr-Coulomb adalah : c x secθ + N( taθ ) T = (2.23) F Dega meggabugka persamaa (2.21), (2.21), (2.23) da memisalka x = 0, 2 de taφ dy ds taφ dy c dy dw taφ dy = (2.24) dx F dx dx F dx F dx dx F dx Persamaa (2.21) da (2.25) merupaka dua persamaa diferesial, yag diguaka utuk meetuka E, S, y t. Utuk melegkapi sistem persamaa tersebut, dimisalka : S = λf ( x)e Dimaa f(x) adalah suatu fugsi dari x, da λ = kostata. λ da F dapat dipecahka dega persamaa (2.20) da (2.24). F(x) dimisalka liier dega meetuka suatu agka tertetu dapat ditetuka harga λ yag memeuhi persamaa-persamaa tersebut (SKBI , 1987) ANALISIS NUMERIK Itegrasi Numerik Peyelesaia masalah di dalam duia sais da tekik serig berhubuga dega peyelesaia fugsi diferesial da itegral sebagai bagia yag tidak terpisahka dari peyelesaia model matematik. Jika peyelesaia secara matematik sulit dilakuka, maka tekik pedekata umerik bisa mejadi piliha. Bahka beberapa peyelesaia persamaa diferesial haya dapat diselesaika dega cara tersebut, karea kompleks da besar. b A = f ( x)dx (2.25) a Peyelesaia eksak itegral fugsi diatas sama dega meghitug luasa dibawah kurva y = f (x) atara titik x = a da titik x = b.

21 Y y = f (x) a b X Gambar Peyelesaia eksak itegral Itegrasi umerik utuk meghitug luasa dibawah kurva megguaka kosep pedekata, luasa aka dibagi mejadi pias pias kecil sedemikia sehigga piasa tersebut kalau diragkai medekati betuk eksak. Pada umumya pedekata mempuyai ciri ciri semaki sederhaa da semaki sedikit proses yag dilakuka, maka hasilya relatif kurag teliti dibadig metode yag lebih kompleks da prosesya bayak Pedekata Cara Persegi Y y = f (x) a b X Y y = f (x) a b X Gambar Pedekata cara persegi

22 Dari gambar pedekata terlihat bahwa dega pembagia jumlah pias yag kecil sehigga luasa yag dihasilka tetu tidak seteliti jika dibagi dega jumlah pias yag lebih bayak Pedekata Cara Trapezoidal Peyelesaia dega cara trapezoidal adalah mecari rata rata tiggi kurva potoga awal da potoga akhir sehigga selisih luasa dibawah kurva aka lebih teliti dibadigka pedekata dega cara persegi. Y y = f (x) a b X Y y = f (x) a b X Gambar Pedekata cara trapezoidal Dari ilustrasi diatas, terlihat bahwa pias-pias yag ada sebaikya terdiri atas iterval yag seragam ( tertetu ), sedagka tiggi berbeda tergatug pada fugsi y = f (x). Jika ada iterval dega jarak yag seragam, maka pajagya adalah : h = ( b a) (2.26) Kemudia meghitug setiap titik iterval tersebut sebagai berikut :

23 x 0 = a, x 1 = ( a + h ), x 2 = ( a + 2h ),..., x = b (2.27) Sehigga luas trapezoidal ke i dapat dicari dari : h A i = i ( f ( x ) f ( x )) i Luas total area dibawah kurva atara titik x = a sampai x = b adalah : h A total = (2.28) (( f ( x ) + f ( x )) + ( f ( x ) + f ( x )) + + ( f ( x ) f ( x ))) h A total = ( f ( x ) + 2 f ( x ) + 2 f ( x ) f ( x ) f ( x )) Ekspresi di atas merupaka pedekata cara trapezoidal. (2.29) Persamaa Takliier Masalah dalam peyelesaia persamaa takliier serig mucul da secara alamiah dalam masalah-masalah praktis. Betuk umum dari permasalaha ii dapat dituliska sebagai : f(x) = 0 (2.30) dega f adalah fugsi takliier dari x. Nilai-ilai dari x disebut dega peyelesaia atau akar dari presamaa. Metode-metode peyelesaia yag diguaka adalah metode bagi dua Metode Bagidua (Bisectio) Metode bagidua juga disebut metode pemeggala bier, pemaruha selag atau juga metode Bolzao merupaka salah satu jeis metode pecaria icremetal secara bertambah dega selag selalu dibagidua. Jika suatu fugsi berubah tada pada suatu selag maka ilai fugsi dihitug pada titik tegah, kemudia lokasi akar ditetuka sebagai terletak pada titik tegah selag bagia tempat terjadiya perubaha tada. Prosesya kemudia diulag utuk memperoleh taksira yag diperhalus. Algoritma utuk metode bagidua ii diperlihatka pada Gambar Lagkah 1 : Memilih batas taksira x a atas da x b bawah utuk akar sehigga perubaha fugsi mecakup seluruh iterval. Hal ii dapat diperiksa dega memastika f(x a )f(x b ) < 0.

24 Lagkah 2 : Taksira akar x r ditetuka oleh x r = x a + x 2 b Lagkah 3 : Melakuka lagkah evaluasi berikut utuk memastika pada bagia iterval yag maa aka berada : a) Jika f(x b )f(x r ) < 0, akar berada pada bagia iterval atara x r da x b, maka xa = xr da kembali ke lagkah 2. b) Jika f(x b )f(x r ) > 0, akar berada pada bagia iterval atara x a da x r, maka x b = x r da kembali ke lagkah 2. c) Jika f(x b )f(x r ) 0, akar setara x r atau x b da meghetika komputasi. Gambar Algoritma metode bagidua