Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
|
|
|
- Lanny Widjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
2 Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi , oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
3 Bahasan 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
4 Bahasan Motivasi dan Pengenalan OBE 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
5 Motivasi Motivasi dan Pengenalan OBE Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar grafik), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
6 Motivasi Motivasi dan Pengenalan OBE Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar grafik), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: 1 Metode geometris sukar diterapkan untuk mencari solusi SPL dengan 3 peubah dan mustahil diterapkan jika kita ingin mencari solusi SPL dengan banyak peubah lebih dari 3. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
7 Motivasi dan Pengenalan OBE Motivasi Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar grafik), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: 1 Metode geometris sukar diterapkan untuk mencari solusi SPL dengan 3 peubah dan mustahil diterapkan jika kita ingin mencari solusi SPL dengan banyak peubah lebih dari 3. 2 Metode substitusi, eliminasi, maupun eliminasi-substitusi membutuhkan waktu yang relatif lama. Selain itu penerapan metode-metode ini juga rentan dengan kesalahan aritmetika. Singkatnya, metode-metode ini terlalu nguli. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
8 Motivasi dan Pengenalan OBE Motivasi Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar grafik), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: 1 Metode geometris sukar diterapkan untuk mencari solusi SPL dengan 3 peubah dan mustahil diterapkan jika kita ingin mencari solusi SPL dengan banyak peubah lebih dari 3. 2 Metode substitusi, eliminasi, maupun eliminasi-substitusi membutuhkan waktu yang relatif lama. Selain itu penerapan metode-metode ini juga rentan dengan kesalahan aritmetika. Singkatnya, metode-metode ini terlalu nguli. Pada kuliah ini, kita akan mempelajari operasi baris elementer (OBE) dan eliminiasi Gauss-Jordan (EGJ) sebagai salah satu metode untuk mencari solusi dari SPL dengan persamaan dan peubah yang cukup banyak. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
9 Motivasi dan Pengenalan OBE Operasi Baris Elementer Operasi baris elementer merupakan suatu operasi yang dilakukan pada suatu matriks. Operasi ini terdiri atas: 1 OBE 1: Perkalian dengan skalar tak nol. 2 OBE 2: Penukaran baris. 3 OBE 3: Penjumlahan kelipatan skalar suatu baris dengan baris yang lain. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
10 Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = (1) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
11 Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = (1) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
12 Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). (1) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
13 Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL (1) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
14 Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL 2x + 2y = 8 x y = 2 (1) (2) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
15 Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL 2x + 2y = 8 x y = 2 (1) (2) Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 juga solusi dari SPL (2). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
16 Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL 2x + 2y = 8 x y = 2 (1) (2) Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 juga solusi dari SPL (2). Secara umum, jika kita mengalikan sembarang persamaan pada SPL (1) dengan sembarang konstanta tak nol, maka solusi SPL baru yang diperoleh juga akan tetap sama. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
17 Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 2: Menukar Persamaan Pada SPL (1) jika kita menukar posisi persamaan pertama dan persamaan kedua, maka kita akan memperoleh SPL berikut x y = 2 x + y = 4 (3) Jelas bahwa solusi dari SPL (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
18 Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 2: Menukar Persamaan Pada SPL (1) jika kita menukar posisi persamaan pertama dan persamaan kedua, maka kita akan memperoleh SPL berikut x y = 2 x + y = 4 (3) Jelas bahwa solusi dari SPL (3) juga x = 3 dan y = 1. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
19 OBE 3 Motivasi dan Pengenalan OBE Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
20 OBE 3 Motivasi dan Pengenalan OBE Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut x + y = 4 2y = 2 (4) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
21 OBE 3 Motivasi dan Pengenalan OBE Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut x + y = 4 2y = 2 (4) Solusi dari SPL (4) adalah y = 1 dan x = 3, yang sama dengan solusi SPL (1). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
22 OBE 3 Motivasi dan Pengenalan OBE Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut x + y = 4 2y = 2 (4) Solusi dari SPL (4) adalah y = 1 dan x = 3, yang sama dengan solusi SPL (1). Secara umum, jika kita mengalikan suatu persamaan dengan konstanta dan menambahkan hasilnya ke persamaan lain, maka solusi SPL yang baru juga akan tetap sama. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
23 Bahasan Representasi Matriks untuk SPL 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
24 Representasi Matriks untuk SPL Representasi Matriks untuk SPL Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
25 Representasi Matriks untuk SPL Representasi Matriks untuk SPL Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk ( ) ( ) ( ) 1 1 x 4 = 1 1 y 2 Sekarang kita definisikan representasi matriks dalam bentuk yang lain untuk SPL (1) sebagai berikut MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
26 Representasi Matriks untuk SPL Representasi Matriks untuk SPL Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk ( ) ( ) ( ) 1 1 x 4 = 1 1 y 2 Sekarang kita definisikan representasi matriks dalam bentuk yang lain untuk SPL (1) sebagai berikut ( ) ( ) atau Representasi SPL dalam bentuk (5) kita katakan sebagai matriks diperbesar (augmented matrix) untuk SPL yang bersesuaian. (5) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
27 Bahasan Operasi Baris Elementer (OBE) 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
28 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
29 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
30 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
31 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
32 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
33 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
34 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
35 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya. OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan hasilnya ke suatu baris yang lain. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
36 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya. OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan hasilnya ke suatu baris yang lain. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R j R j + αr i. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
37 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya. OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan hasilnya ke suatu baris yang lain. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R j R j + αr i. Ini berarti baris R j yang baru pada A sama dengan baris R j yang lama pada A ditambah dengan α kali baris R i yang lama pada A. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
38 Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 x y = 2 via OBE, matriks diperbesar yang berkaitan adalah MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
39 Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 x y = 2 ( berkaitan adalah ( ) ). ; via OBE, matriks diperbesar yang ). Langkah-langkahnya adalah MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
40 Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 via OBE, matriks diperbesar yang x y = 2 ( ) berkaitan adalah. Langkah-langkahnya adalah ( ) ( ) ). ; 1). (R R 2 R 1 ); MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
41 Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 via OBE, matriks diperbesar yang x y = 2 ( ) berkaitan adalah. Langkah-langkahnya adalah ( ) ( ) ). ; 1). (R R 2 R 1 ); ( ) (R2 2) R 2) ; MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
42 Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 via OBE, matriks diperbesar yang x y = 2 ( ) berkaitan adalah. Langkah-langkahnya adalah ( ) ( ) ). ; 1). (R R 2 R 1 ); ( ) ( ) (R2 2) R ) ; 3). (R R 1 R 2 ). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
43 Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 via OBE, matriks diperbesar yang x y = 2 ( ) berkaitan adalah. Langkah-langkahnya adalah ( ) ( ) ). ; 1). (R R 2 R 1 ); ( ) ( ) (R2 2) R ) ; 3). (R R 1 R 2 ). Pada langkah terakhir kita memiliki matriks ( ) (6) Dari bentuk (6) kita dengan mudah mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 merupakan solusi dari SPL (1). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
44 Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 via OBE, matriks diperbesar yang x y = 2 ( ) berkaitan adalah. Langkah-langkahnya adalah ( ) ( ) ). ; 1). (R R 2 R 1 ); ( ) ( ) (R2 2) R ) ; 3). (R R 1 R 2 ). Pada langkah terakhir kita memiliki matriks ( ) (6) Dari bentuk (6) kita dengan mudah mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 merupakan solusi dari SPL (1). Bentuk ketika nilai-nilai dari variabel-variabel suatu SPL dapat diketahui dengan mudah seperti pada (6) kita katakan sebagai bentuk eselon baris tereduksi. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
45 Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
46 Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut OBE (R 2 R 2 R 1 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
47 Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut OBE OBE (R 3 R 3 2R 1 ) (R 2 R 2 R 1 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
48 Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut OBE OBE OBE (R 3 R 3 2R 1 ) (R 4 R 4 3R 1 ). (R 2 R 2 R 1 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
49 Operasi Baris Elementer (OBE) dapat dilakukan lebih ringkas sebagai OBE R 2 R 2 R 1 R 3 R 3 2R 1 R 4 R 4 3R 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
50 Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
51 Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut OBE (R 1 2R 1 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
52 Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut OBE (R 1 2R 1 ) OBE (R 2 3R 2 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
53 Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut OBE OBE (R 1 2R 1 ) OBE (R 3 4R 3 ) (R 2 3R 2 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
54 Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut OBE OBE (R 1 2R 1 ) OBE (R 3 4R 3 ) OBE dapat dilakukan lebih ringkas sebagai (R 2 3R 2 ) (R 4 2R 4 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
55 Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut OBE OBE (R 1 2R 1 ) OBE (R 3 4R 3 ) OBE dapat dilakukan lebih ringkas sebagai OBE R 1 2R 1 R 2 3R 2 R 3 4R 3 R 4 2R 4 (R 2 3R 2 ) (R 4 2R 4 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
56 Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
57 Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas OBE ( R1 2R 1 R 2 R 2 + R 1 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
58 Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas OBE ( R1 2R 1 R 2 R 2 + R 1 Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
59 Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas OBE ( R1 2R 1 R 2 R 2 + R 1 Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. Kemudian nilai R 1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R 2 yang lama untuk memperoleh R 2 yang baru. ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
60 Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas OBE ( R1 2R 1 R 2 R 2 + R 1 Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. Kemudian nilai R 1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R 2 yang lama untuk memperoleh R 2 yang baru. Padahal pada keterangan yang kita berikan kita hanya menulis R 2 R 2 + R 1. ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
61 Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas OBE ( R1 2R 1 R 2 R 2 + R 1 Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. Kemudian nilai R 1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R 2 yang lama untuk memperoleh R 2 yang baru. Padahal pada keterangan yang kita berikan kita hanya menulis R 2 R 2 + R 1. Jadi R 1 di sini tidak jelas mengacu ke mana. ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
62 Operasi Baris Elementer (OBE) Tips OBE Simultan Tips OBE Simultan OBE dapat dilakukan secara simultan, namun kita harus menghindari operasi bertingkat pada OBE yang kita lakukan: 1 Pada OBE 1, jika kita melakukan R i αr i, maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R i. 2 Pada OBE 3, jika kita melakukan R j R j + αr i, maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R j dan R i. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
63 Operasi Baris Elementer (OBE) Tips OBE Simultan Tips OBE Simultan OBE dapat dilakukan secara simultan, namun kita harus menghindari operasi bertingkat pada OBE yang kita lakukan: 1 Pada OBE 1, jika kita melakukan R i αr i, maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R i. 2 Pada OBE 3, jika kita melakukan R j R j + αr i, maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R j dan R i. Singkatnya pada operasi (kiri) (kanan), tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai (kanan). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
64 Bahasan Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
65 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
66 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
67 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
68 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
69 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
70 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
71 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
72 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
73 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = memberikan dua PL, yaitu MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
74 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
75 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
76 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = maka diperoleh x 1 = memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
77 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
78 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
79 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t, 2 t, t). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
80 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t, 2 t, t) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
81 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t, 2 t, t) tidak memiliki solusi (tidak konsisten), MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
82 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t, 2 t, t) tidak memiliki solusi (tidak konsisten), baris terakhir ekivalen dengan ekspresi 0 = 1 yang merupakan kontradiksi. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
83 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
84 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1) EB MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
85 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1) EB EB MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
86 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1) EB EB EB utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
87 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1) EB EB EB utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan EB MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
88 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1) EB EB EB utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan EB EB MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
89 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1) EB EB EB utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan EB EB EB Semua baris yang seluruh entrinya 0 ditempatkan bersama di baris bawah MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
90 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1) EB EB EB utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan EB EB EB Semua baris yang seluruh entrinya 0 ditempatkan bersama di baris bawah EB MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
91 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1) EB EB EB utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan EB EB EB Semua baris yang seluruh entrinya 0 ditempatkan bersama di baris bawah EB EB MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
92 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai EBT? MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
93 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai EBT? Ya MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
94 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai EBT? Ya EBT? MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
95 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai EBT? Ya EBT? Tidak, EB? MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
96 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai EBT? Ya EBT? Tidak, EB? Ya MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
97 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai EBT? Ya EBT? Tidak, EB? Ya MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
98 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai EBT? Ya EBT? Tidak, EB? Ya EBT? Tidak, MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
99 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai EBT? Ya EBT? Tidak, EB? Ya EBT? Tidak, EB? Tidak MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
100 Bahasan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
101 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ): Pendahuluan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL. EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
102 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ): Pendahuluan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL. EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut a 11 a 12 a 1n c 1 a 21 a 22 a 2n c a m1 a m2 a mn c m matriks diperbesar dari SPL = Bentuk EBT serangkaian OBE MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
103 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ): Pendahuluan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL. EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut a 11 a 12 a 1n c 1 a 21 a 22 a 2n c a m1 a m2 a mn c m matriks diperbesar dari SPL = Bentuk EBT serangkaian OBE Catatan: eliminasi Gauss: mengubah matriks diperbesar menjadi bentuk EB, eliminasi Gauss-Jordan: mengubah matriks diperbesar menjadi bentuk EBT. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
104 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Contoh Penerapan EGJ Kita akan menentukan solusi dari SPL 2y +z = 7 2x 2y = 2 2x y +z = 3 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL ini adalah. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
105 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Contoh Penerapan EGJ Kita akan menentukan solusi dari SPL 2y +z = 7 2x 2y = 2 2x y +z = 3 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL ini adalah MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
106 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
107 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol ). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
108 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol ). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
109 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol ). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot (R 1 R 2 ) ). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
110 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol ). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot (R 1 R 2 ) ). Jadikan pivot bernilai 1. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
111 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol ). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot (R 1 R 2 ) ). Jadikan pivot bernilai 1. 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
112 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol ). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot (R 1 R 2 ) ). Jadikan pivot bernilai MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
113 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol ). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot (R 1 R 2 ) ). Jadikan pivot bernilai MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
114 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol ). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot (R 1 R 2 ) ). Jadikan pivot bernilai ( R R ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
115 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 4). Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
116 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 4). Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
117 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 4). Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus / 62
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 1 / 27 Acknowledgements
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Ruang Vektor Euclid R n
Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38 Acknowledgements
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Course of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung
Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan
Pertemuan 14. persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 14 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode GAUSS Aljabar Linier Hastha 2016 10.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Persamaan Linear Pengertian Persamaan linear adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut. + + + Di mana:,,,, dan adalah konstanta-konstanta riil.,,,, adalah bilangan
Rencana Perkuliahan. Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI. Fakultas Informatika Telkom University. FIF Tel-U.
Rencana Perkuliahan Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Rencana Perkuliahan Agustus 2015 1 / 22 Acknowledgements
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 4
Aljabar Linear & Matriks Pert. 4 Evangs Mailoa Sistem Persamaan Linier & Matriks 1. Matriks dan Operasi Matriks 2. Pengantar Sistem Persamaan Linier 3. Eliminasi Gaus 4. Invers: Aturan Aritmatika Matriks
ALJABAR VEKTOR MATRIKS. oleh: Yeni Susanti
ALJABAR VEKTOR MATRIKS oleh: Yeni Susanti Materi SPL : Definisi, Solusi, SPL Nonhomogen, SPL Homogen, Matriks Augmented, Bentuk Eselon Baris (Bentuk Eselon baris Tereduksi), Eliminasi Gauss (Eliminasi
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Aplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher
Aplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher Nursyahrina - 13513060 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl.
ALJABAR LINIER. Kelas B JUMAT Ruang i.iii.3. Kelas A JUMAT Ruang i.iii.3
ALJABAR LINIER ALJABAR LINIER Kelas B JUMAT 08.00 Ruang i.iii.3 Kelas A JUMAT 09.45 Ruang i.iii.3 Referensi Utama: Elementary Linear Algebra Howard Anton Chris Rores John Wiley, ninth edition Chapter 1
Dalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
Aljabar Linear Elementer MUG1E3 3 SKS
// ljabar Linear Elementer MUGE SKS // 9:7 Jadwal Kuliah Hari I Selasa, jam. Hari II Kamis, jam. Sistem Penilaian UTS % US % Quis % // 9:7 M- ljabar Linear // Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
BAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER 10.1 Definisi Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai derajad satu. Sebagai contoh persamaan
Part II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
bilqis 1
http://ariefhidayathlc.wordpress.com/ http://www.kompasiana.com/ariefhidayatpwt http://ariefhidayat88.forummi.com/ bilqis PERTEMUAN bilqis TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini
dimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Operasi Eliminasi Gauss. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
Operasi Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah
1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Keunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi
Keunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi Elvina Riama K. Situmorang 55) Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b
Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b Kie Van Ivanky Saputra April 27, 2009 K V I Saputra (Analisis Numerik) Kuliah Sistem Persamaan Linier c April 27, 2009 1 / 9 Review 1 Substitusi mundur pada sistem
MATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
a11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
Penyelesaian Teka-Teki Matematika Persegi Ajaib Menggunakan Aljabar Lanjar
Penyelesaian Teka-Teki Matematika Persegi Ajaib Menggunakan Aljabar Lanjar Gaudensius Dimas Prasetyo Suprapto / 13514059 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Membentuk Algoritma untuk Pemecahan Sistem Persamaan Lanjar secara Numerik
Membentuk Algoritma untuk Pemecahan Sistem Persamaan Lanjar secara Numerik Bervianto Leo P - 13514047 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 313 322. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM
Solusi Persamaan Linier Simultan
Solusi Persamaan Linier Simultan Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan linier 2. Mengerti metode eliminasi gauss. 3. Mampu menggunakan metode eliminasi gauss untuk mencari solusi 1. Sistem
BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Banyak masalah di berbagai bidang, baik aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem persamaan linier, di antaranya adalah masalah lalu lintas dan
02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 2
Aljabar Linier & Matriks Tatap Muka 2 Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung siku. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks
Penerapan Operasi Matriks dalam Kriptografi
Penerapan Operasi Matriks dalam Kriptografi Muhammad Farhan Kemal 13513085 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
ALJABAR LINEAR [LATIHAN!]
![ALJABAR LINEAR [LATIHAN!]](/thumbs/64/51184098.jpg "ALJABAR LINEAR [LATIHAN!]")
Pada dasarnya cara yang digunakan untuk memperoleh penyelesaian sistem persamaan linear adalah sama yaitu mengubah sistem persamaan linear menjadi matriks yang diperbesar, kemudian mengubah matriks yang
Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Penerapan Sistem Persamaan Lanjar Pada Rangkaian Listrik
Penerapan Sistem Persamaan Lanjar Pada Rangkaian Listrik Ahmad Fa iq Rahman 13514081 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung
Penerapan Sistem Persamaan Lanjar dalam Penyetaraan Reaksi Kimia
Penerapan Sistem Persamaan Lanjar dalam Penyetaraan Reaksi Kimia Nugroho Satriyanto 1351038 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Adri Priadana. ilkomadri.com
Adri Priadana ilkomadri.com Pengertian Sistem Persamaan Linier Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan bentuk umum a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b yang tidak melibatkan hasil kali, akar, pangkat
SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN MATEMATIKA MINGGU KE SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304 POKOK & SUB POKOK TUJUAN INSTRUKSIONAL TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Bentuk umum : SPL. Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN. Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN TUNGGAL BANYAK
Bentuk umum : dimana x, x,..., x n variabel tak diketahui, a ij, b i, i =,,..., m; j =,,..., n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. SPL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS. Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III
ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS Dosen Pengampu: DARMADI, SSi, MPd Oleh: Kelompok III 1 Andik Dwi S (06411008) 2 Indah Kurniawati (06411090) 3 Mahfuat M (06411104)
BAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
MODEL EKONOMI LEONTIEF DALAM MENENTUKAN EKSPOR IMPOR SUATU NEGARA DENGAN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI Lower Upper (LU)
Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi 1 Vol.... No... 21... MODEL EKONOMI LEONTIEF DALAM MENENTUKAN EKSPOR IMPOR SUATU NEGARA DENGAN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI Lower Upper (LU) Fachrul Islam 1, Jeffry
MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT 304
MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT 304 Deskripsi: Perkuliahan ini bertujuan mengembangkan kemampuan mahasiswa memahami konsep-konsep dasar Aljabar Matriks sebagai bekal untuk mengajar matematika
Matematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
ELIMINASI GAUSS MAKALAH. Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Saluky M.Kom. Di Susun Oleh: Kelompok VII Matematika C/VII
ELIMINASI GAUSS MAKALAH Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Saluky M.Kom Di Susun Oleh: Kelompok VII Matematika C/VII Anggota : 1. Eko Kurniawan P. (59451064) 2. Siti Nurhairiyah
Pemanfaatan Matriks dalam Penyeimbangan Persamaan Reaksi Kimia
Pemanfaatan Matriks dalam Penyeimbangan Persamaan Reaksi Kimia Chalvin 13514032 1 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Suatu matriks A C m n dikatakan memiliki faktorisasi LU jika matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai A = LU dengan L C m m matriks invertibel segitiga bawah
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
SISTEM PERSAMAAN LINIER
2 SISTEM PERSAMAAN LINIER Ëistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak dijumpai di dalam berbagai disiplin, termasuk matematika, statistika, fisika, biologi, ilmu-ilmu
3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE
3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 10 Oktober 2016 Selain metode Sarrus dan Minor-Kofaktor, ada satu metode lain yang dapat
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Syarif Abdullah (G ) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor.
Syarif Abdullah (G551150381) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor e-mail: syarif_abdullah@apps.ipb.ac.id 25 Maret 2016 Ringkasan Kuliah ke-6 Analisis Numerik (16 Maret 2016) Materi : System
BAB 1 PENDAHULUAN. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Sebagian besar dari sejarah ilmu pengetahuan alam adalah catatan dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang dapat menguraikan permasalahan
Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara Yogyakarta Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 1 Matriks dan Operasinya MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks Jenis-jenis Matriks Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan)
Sistem Persamaan Linier FTI-UY
BAB V Sistem Persamaan Linier Salah satu hal penting dalam aljabar linear dan dalam banak masalah matematika terapan adalah menelesaikan suatu sistem persamaan linear. Representasi Sistem Persamaan Linear
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) Nama matakuliah : Aljabar Linier Kode matakuliah : MKK 315 Dosen Pengampu : Ega Gradini, M.Sc Diberikan pada : Semester 3 Jumlah sks : 2 SKS Jenis sks Alokasi Waktu Prasyarat
RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR
7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut
Modifikasi Metode Gauss atau Operasi Baris Elementer pada Solusi Sistim Persamaan Linier 3 Variabel dan 3 Persamaan
Modifikasi Metode Gauss atau Operasi Baris Elementer pada Solusi Sistim Persamaan Linier 3 Variabel dan 3 Persamaan Edwin Julius Solaiman Fakultas Teknologi Informasi, Universitas Advent Indonesia Abstrak
BAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
COURSE NOTE : Sistem Persamaan Liniear
COURSE NOTE : Sistem Persamaan Liniear PERSAMAAN LINIEAR Secara umum kita mendefinisikan persamaan liniear dalam n variale x 1 x x n seagai erikut : dengan a1 a... an adalah konstanta real. a1x 1 ax ax...
Teori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Logika Proposisi 1: Motivasi Pohon Urai (Parse Tree)
Logika Proposisi 1: Motivasi Pohon Urai (Parse Tree) Kuliah Logika Matematika Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Logika Proposisi
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Metode Simpleks (Simplex Method) Materi Bahasan
Metode Simpleks (Simplex Method) Kuliah 03 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku 2 Pemecahan sistem persamaan linier 3 Prinsip-prinsip metode simpleks
KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN
KS96 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mencari ruang baris, ruang kolom,
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
ALTERNATIF PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR SECARA NUMERIK DENGAN MAPLE 10. Andi Rusdi Jurusan Pendidikan Matematika PPs UNM
ALTERNATIF PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR SECARA NUMERIK DENGAN MAPLE 10 Andi Rusdi Jurusan Pendidikan Matematika PPs UNM Abstrak: Matriks menjadi suatu alternatif dalam penyelesaian sistem persamaan
SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.
. INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling
Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w