Aljabar Linier Elementer KATA PENGANTAR

Transkripsi

1 Aljr Linier Elementer i KATA PENGANTAR M h Besr Allh SWT ng telh erenn memerin eutn p penusun, sehingg mmpu menelesin uu ini. Y, Allh, mpunilh os-os mi, lpngnlh mi, sehtnlh mi, n erilh mi eutn sehingg mi mmpu memperlihtn eutn n einhn Al-Islm ng telh Engu turunn sej Ni Am AS smpi Ni Ahir Jmn, Muhmm SAW. B uu ini isusun ersrn penglmn mengjr i STT Telom ng imuli ri thun 99. Berisin teori, ontoh sol ng ierjn ser etil sehingg pem pt memhmi engn leih muh, n sol-sol ng pt ierjn ser mniri n mempuni rentng esulitn ng uup ler, selin itu ierin pul eerp ontoh penggunn onsep ri Aljr Linier Elementer ini. Hrpn penusun engn n ontoh-ontoh seerhn penggunn n memut uu ini ters leih memumi. D isrn ts uu ng menji pegngn mtulih ini, itu: Aljr Linier Elementer oleh Howr Anton, n jug engn juul ng sm oleh Wono Setiui. Selin itu, untu memper ehijun uu ini, telh penusun msun pul eerp hn ri uu n ng lin. Prsrt mem tulisn ini, ntr lin: pemhmn ng uup i tentng sift-sift ilngn riil, mempuni sr mtri, polinom n vetor. B uu ini pt igunn segi uu pegngn mtulih Aljr Linier Elementer ng terpt p jurusn-jurusn mtemti/ sttisti mupun jurusn teni, n sosil ng menggunn penetn esistemn. D i STT Telom uu ini, pt igunn untu menuung pengjrn mtulih: Aljr Linier p progrm S Jurusn Teni Informti n Teni Inustri sert D Teni Informti, Aljr Linier n Klulus Vetor p progrm S Teni Informti, Mtemti Teni p progrm S Teni Eletro, n Mtemti Lnjut p progrm D Teni Eletro. S usunn penulisn, segi eriut:. Mtri, meliputi Definisi, Jenis Mtri, Opersi Mtri, n Sift-siftn.. Vetor i R n R, meliputi Opersi Vetor n Sift-siftn, Hsil Kli Titi, Hsil Kli Silng i R, n Persmn Gris n Bing i R.. Eliminsi Guss ng igunn untu menelesin Sistem Persmn Linier umum, Sistem Persmn Linier homogen Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

2 Aljr Linier Elementer ii. Invers mtri engn menggunn mtri elementer, Penrin solusi Sistem Persmn Linier engn mtri invers, Hsil leih lnjut mtri invers terhp Sistem Persmn Linier. Determinn, meliputi eterminn engn espnsi oftor, Sift-sift eterminn terhp Opersi Bris Elementer, Mtri Ajoin, Mtri Invers engn Mtri Ajoin, Aturn Crmer 6. Rung Vetor, meliputi Rung n Eulies, Definisi Rung Vetor, Su Rung, Bes Linier, Memngun, Bsis, n Dimensi 7. Rung Hsil Kli Dlm, meliputi Definisi, Pnjng n Suut i Rung Hsil Kli Dlm, Ortonormlissi Bsis 8. Nili n Vetor Eigen, meliputi Persmn Krteristi, Digonlissi, n Digonlissi ser Ortogonl 9. Trnsformsi Linier, meliputi Definisi, Kernel, Rn, Koorint segi entu Trnsformsi ri Rung vetor serng e R n, Mtri Trnsformsi A ts terselesinn tulisn ini, mi upn n o n ep:. Dini Hnni, istriu ng terint, ng sellu seti menmpingi iriu, i lm su mupun u, i lm en seht mupun sit. Semog it istun Allh SWT el, menji psngn ng i i uni n i lm Jnnh ng menglir sungi-sungi iwhn. Amiin.. Fthih Nur Azizh, Nshir Izhrul Hu, Ahshont Izztul Hq, Ilmi Dien Ali, n Ai Aini Rhmh, ts pengertinn untu ti menggnggu Bp. Semog lin mmpu menemun eenrn ng sejti n terus menjlnin, wlupun ert tupun ringn menjlni eenrn itu. Teruslh erush n erup. Wlupun seluruh isi uni menemoohmu, menermu, n melwnmu. Jngn tut, ren Allh psti menolong penri eenrn ng sejti. Tetp tegr, n ut. Amiin.. Temn-temn ng ren n hl t mmpu s seutn i lm forum ini, semog Allh Yng Mh Kus, menolong it engn eusn ng menolong menelmtn setip iri it untu selmt uni hirt. Amiin.. Temn-temn i PPDU STT Telom ng ng penuh sinirn, penuh emooh, penuh hru n pilu, penuh intri n penuh tipu. T n lri gunung iejr. Mju terus pntng munur.. Temn-temn i STT Telom ri semu unit ng terus menmpingi n terus ersm: Mju ersm. Semog STT Telom pt menji tempt untu menemun eenrn ng sejti. Amiin. Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

3 Aljr Linier Elementer iii S emog ml ti eliu-eliu ini pt iterim i sisi Allh SWT, sehingg menji sf t untu menptn eenrn ng sejti, eenrn ng mengntrn setip iri mmpu mempertnggung jwn setip perutnn ihpn Sng Khliq el i lm ng ere, itu Ahirt. T ging ng t ret, t persoln ng t pt iselesin, ph oleh it seniri tu oleh orng lin, ren itu ng iperlun lh eteunn n eisiplinn ng tinggi ng ituntut oleh iri it msing-msing, sehingg esusesn pt it rih. Kren itu srn sert riti ng memngun emi terpin Inonesi ng mju, ng ereiln, pt terpi engn seger, sngt s hrpn.terim sih... Bnung, Agustus Mhmu Imron Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

4 Aljr Linier Elementer iv DAFTAR ISI Mtri A. Definisi Mtri B. Jenis Mtri C. Opersi Mtri D. Sift-sift Opersi Mtri 7 Vetor i Bing n i Rung A. Vetor B. Hsil Kli Titi n Proesi 6 C. Persmn Gris n Bing ir Eliminsi Guss A. Sistem Persmn Linier B. Eliminsi Guss-Jorn 7 C. Sistem Persmn Linier Homogen Invers Mtri 8 A. Menri A menggunn Mtri Elementer 8 B. Penelesin Sistem Persmn Linier menggunn Invers Mtri Determinn 9 A. Espnsi Koftor 9 B. Sift-sift Determinn n Reusi Bris C. Aturn Crmer 6 Rung Vetor 6 A. Rung n-eulies 6 B. Rung Vetor 67 C. Su Rung 7 D. Kominsi Linier 7 E. Memngun n Bes Linier 79 F. Bsis n Dimensi 8 G. Rung Bris n Kolom Mtri 89 Rung Hsil Kli Dlm 9 A. Rung Hsil Kli Dlm 9 B. Pnjng n Suut p Rung Hsil Kli Dlm 98 C. Ortonormlissi Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

5 Aljr Linier Elementer v Nili n Vetor Eigen 8 A. Nili n Vetor Eigen 8 B. Digonlissi C. Digonlissi Ortogonl 8 Trnsformsi Linier A. Pengertin B. Kernel n Jngun C. Koorint D. Mtri Trnsformsi Linier Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

6 Aljr Linier Elementer MATRIK A. Definisi Mtri Definisi: Mtri lh susunn ilngn tu fungsi ng iletn ts ris n olom sert ipit oleh u urung siu. Bilngn tu fungsi terseut iseut entri tu elemen mtri. Lmng mtri ilmngn engn huruf esr, sengn entri (elemen) ilmngn engn huruf eil., ln A, B π 7 8 sin e P ontoh mtri A elemen mtri erup ilngn riil, sengn mtri B mempuni elemen erup fungsi stu peuh. Dlm mtri ienl uurn mtri ng iseut oro, itu: n ris n olom (tn un mentn perlin, tetpi hn segi tn pemish). A mtri A eroro, engn entri,,,,,,, n. Ser umum seuh mtri pt itulis: Λ n Λ n A tu m m Λ mn penulisn ng leih singt : A [ ij ] engn i,,..., n n j,,..., m. Ine pertm (i) mentn ris e-i n ines eu (j) mentn olom e-j. Du mtri iseut sm, ji oron sm n entri ng selet ernili sm, mtri A n B sm itulis AB. Ji mtri A seperti entu umum i ts n [ ] B engn i,,..., n n j,,..., m, n AB, m erlu ij ij Ji A n B, n AB, hn ipenuhi oleh -,, n. ij Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

7 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom B. Jenis Mtri Terpt eerp jenis mtri ng penting intrn:. Mtri Bujursngr, itu mtri ng n risn olom. Dlm mtri ujursngr ienl igonl utm, itu entri-entri ng mempuni nomor ris nomor olom. Contoh : A p mtri i ts mempuni oro, n itulis A, sengn entri ng terlet p igonl utm lh:,, n.. Mtri Segitig Ats, itu mtri ujursngr ng semu entri i wh igonl utm ernili nol A 7, B Mtri Segitig Bwh, itu mtri ujursngr ng semu entri i ts igonl utm ernili nol. A 7, B Mtri Digonl, itu mtri ujursngr ng semu entri i lur igonl utm ernili nol. A 7 7, B 6 9 Digonl utm

8 Aljr Linier Elementer. Mtri Stun, itu mtri igonl ng entri p igonl utm ernili stu, lmng: I n, n mentn oro mtri stun. I, I, I 6. Mtri slr, itu mtri igonl ng semu entri p igonl utm ernili sm, sln ti nol, tu. A Efe ri perlin serng mtri engn mtri slr lh seperti menglin mtri serng terseut engn slr. 7. Mtri Nol, itu mtri ng semu entrin nol. Dengn lmng: O ji oro ipentingn itulis O untu mentn mtri nol engn oro. O, O 8. Mtri Invers, mtri ujursngr A iseut mempuni invers, ji terpt mtri B, sehingg memenuhi BAABI, lmng: invers mtri B isn intn oleh A -. Untu mtri eroro, telh ierin rumus penrinn, itu: A, m A - Untu oro ng lin, itu st, metoe penrin invers mtri n iirn p selnjutn. 9. Seuh mtri ujur sngr iseut Simetri, ji A A T. Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

9 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom A, B Dri ontoh i ts, terliht hw entri-entri p igonl utm segi sumu penerminn, sengn entri p ris e-i olom e-j n ierminn sehingg sm engn entri p olom e-i ris e-j.. Seuh mtri ujur sngr iseut Sew-Simetri, ji A T -A. Tentun,,, sehingg mtri A menji mtri sew-simetri, ji A. Jw: A T -A Sehingg ipt persmn-persmn: -,, -, -, -, -, errti: -,, n -. Ji, mtri A C. Opersi Mtri. Penjumlhn mtri Misln [ ] ij A, [ ] ij B engn i,,..., n n j,,..., m Jumlh mtri A n B intn oleh C A B, ng memenuhi: Srt: oro A oro B Aturn: ij ij ij {entri ng selet ijumlhn} A 7, B 7, C Hitung: AB n BC Jw: AB 7 7 7) ( 7 ) ( BC ti terefinisi, ren oro B ti sm engn oro C.

10 Aljr Linier Elementer. Perlin engn Slr Misln A [ ij ] engn i,,..., n n j,,..., m Perlin mtri A engn slr intn oleh CA, ng memenuhi: Srt: ti Aturn: ij ij {setip entri p mtri A ilin engn slr } ( ). 7 ( ).( ) ( ) ( ). ( ). ( ).( 7) 8 Dengn efinisi ini, ipt negtif mtri lh: -A (-)A, ng erit pul opersi pengurngn pt itentun, itu: A B A (-B) A, B 7 7 Hitung A B. Jw: A B A (-B) A (-)B Perlin u Mtri Ji A [ ij ] engn i,,..., n n j,,..., m n B [ j ] engn,,..., p perlin mtri A n B ng intn oleh, CAB memenuhi: Srt: n olom A n ris B Aturn: i m j ij j {jumlh ri semu perlin ntr elemen A p ris e-i engn elemen B p olom e-} Dengn turn ini, iitn engn vetor olom n vetor ris, ji i vetor ris e-i ri mtri A n vetor olom e- ri mtri B, m elemen-elemen mtri C lh: i i A, B 6 7 Hitung:. entri AB p ris e- olom e-,. entri AB p ris e- olom e-,. entri AB p ris e- olom e-. entri AB p ris e- olom e- e. AB Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

11 Aljr Linier Elementer 6 Jw:. entri AB p ris e- olom e- [ ] entri AB p ris e- olom e- [ ] - 7. entri AB p ris e- olom e- [ ] entri AB p ris e- olom e- [ ] 9 e. AB Trnspos mtri Misln A [ ij ] engn i,,..., n n j,,..., m. Trnspos mtri A, ng intn oleh BA T, iefinisin segi: Srt: ti Aturn: ji ji {olom mtri A menji ris mtri A T } Tentun A T, ji A Jw: A T Trse mtri Misln A [ ij ] engn i,,..., n n j,,..., n. Trse ri mtri A ng intn oleh trse(a), iefinisin segi: Srt: mtri ujursngr Aturn: trse(a) nn {penjumlhn semu entri igonl utm} Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

12 Aljr Linier Elementer 7 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom A. Hitung trse(a). Jw: Trse(A) Contoh Tmhn: A, B, C, D, E. A B ti terefinisi ren oro A n oro B ti sm. AB ti terefinisi ren n olom A ti sm engn n ris B. A E ) (.. ) ).( (. ). ( ).( ). (. ).(.. ).(. AC e. BC D f. trse(a) g. trse(b) ti, ren B un mtri ujursngr h. A 9 6 i. IA 9 6 j. trse(d) D. Sift-sift Mtri. Terhp opersi penjumlhn n perlin engn slr P sift eriut, oro mtri inggp telh sesui, sehingg opersi pt ilun:. ABBA {sift omuttif}. (AB)CA(BC) {sift sositif}. AOOAA {sift mtri nol, ientits penjumlhn}. A(-A) -AAO {sift negtif mtri} e. (AB)AB {sift istriutif terhp slr } f. (l)aala {sift istriutif terhp slr n l} g. (l)a(la) {sift sositif terhp perlin slr} h. AA {sift perlin engn slr (stu)} i. (AB) T A T B T {sift trnspos mtri terhp penjumlhn}. Terhp opersi perlin, penjumlhn, n perlin engn slr

13 Aljr Linier Elementer 8 P sift eriut, oro mtri inggp telh sesui, sehingg opersi pt ilun:. P umumn erlu sift AB BA {ti ersift omuttif} AB 6 6 BA Sehingg: AB BA Aitn ti erlu huum penoretn, segimn lm perlin ilngn riil: ji ABCB, elum tentu: AC.. (AB)CA(BC) {sift sositif}. AIIAA {sift mtri stun, ientits perlin}. AOOAO {sift mtri nol} e. A n I, ji n AA Κ Κ A, ji n,, sen n li f. A r A s A rs, ji r n s ilngn sli. Λ g. Mtri igonl Λ D, erlu D Λ n h. Ji ABO, ti ijmin erlu: AO tu BO tu BAO. Ji A, B, m ABO n BA O i. (A)B(AB)A(B) j. (AB)CACBC. C(AB)CACB l. (AB) T B T A T {urutn opersi ili} m. (A) T A T. Terhp opersi penjumlhn, perlin engn slr, n trse. trse(ab) trse(a) trse(b). trse(a T ) trse(a). trse(a) trse(a). trse(i nn ) n Ji A. (A B) T 6 8, n B. 7 T 6 8 Λ Λ Λ n Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

14 Aljr Linier Elementer 9. A T B T (AB) T ( ) T. A T B T 7 9 e. B T A T 7 f. (½B) T ( ) T 7 7 g. ½ B T 7 7 ½ h. A 6 i. IA 6 j. A AA 8. A A 8 A l. trse(a) m. trse(b) (-) 6 n. trse(ab) trse( ) Contoh hs: P ehiupn sehri-hri onsep mtri igunn untu mentn hl-hl ng ersift omples, p ontoh i wh ini n ierin penggunn mtri untu perushn ng ersl esr, nmun engn peneerhnn. Seuh perushn multinsionl PT. Mmur K ng erger i ing penjuln pin olh rg mempuni eerp outlet i eerp ot, tel eriut mentn inventori ri setip outlet p thun : Outlet Jenis Pin Septu Celn Kos Bnung 6 Jrt 9 7 Sur 8 Semrng 8 7 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

15 Aljr Linier Elementer Sengn tel i wh ini mentn hrg setip jenis pin: Jenis Hrg lm rupih Septu Celn 7 Kos 8 Keu tel i ts pt intn lm entu mtri i wh ini: Mtri inventori: Septu Celn Kos 6 Bnung 9 7 Jrt Inventori 8 Sur 8 7 Semrng Sengn mtri Hrg: septu Hrg 7 eln 8 os Sehingg pt iethui mtri totl nili inventori, itu Inventori Hrg: 6 79 Bnung Nili Inventori Jrt Sur Semrng Ji selm thun, p setip outlet erhsil melun penjuln seperti ng intn p tel i wh ini: Outlet Jenis Pin Septu Celn Kos Bnung Jrt Sur 7 78 Semrng 79 M sis rng p setip outlet p hir thun lh: 6 Inventori Brng Terjul Penptn otor setip outlet p thun lh: Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

16 Aljr Linier Elementer Bnung Jrt 7 Sur 8 687Semrng Sengn i ng hrus itnggung ts rng sis lh: 7 Bnung 7 8 Jrt Sur Semrng Ltihn:. Ji A, B, C, D, E Hitunglh:. BA. E. E. E e. A A I f. (AI) g. (BC - D) T h. C T B T D T i. C(BA) j. C(B)A. (CB)(A) l. trse(a E). Tunjun hw Sistem Persmn Linier : pt intn segi persmn AXB [petunju: tentun mtri A, X n B]. Ji mtri A, X, n B hsil ri no. tentun invers A tu A - n tentun solusi persmn AXB, engn mengingt sift I AA -.. Dierin: A, B, C, n CAB. Ji i [ i i ] ng iseut vetor ris e-i ri mtri A tu engn istilh lin j su mtri A ris e-i, n j ng iseut vetor olom e-j ri mtri j B tu engn istilh lin su mtri B olom e-j. Tunjun hw erlu ij i j.. Butin trse(a B) trse(a) trse(b). 6. Tentun srt, sehingg erlu (A B) A AB B, ji A n B eroro. 7. Ji A n B eroro, tentun srt-srt gr erlu: A B (A - B)(A B). 8. Untu mtri eroro, tunjun sift (AB) T B T A T. 9. Tentun persmn-persmn lm vriel-vriel,, n z, sehingg persmn memenuhi persmn mtri eriut: z z 9 7 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

17 Aljr Linier Elementer. Tentun persmn-persmn lm vriel-vriel,, z, n w, ng terentu, sehingg erlu persmn mtri i wh ini: 7 z w w 87 z z. Tunjun hw, ji A mtri sew-simetri, m tre(a). Butin ji D mtri igonl, m D lh mtri igonl ng entrientrin lh entri p igonl utm D ipngtn.. Tunjun hw ji A mtri ujursngr, m mtri S ½ (A A T ) lh mtri simetri.. Tunjun hw ji A mtri ujursngr, m mtri R ½ (A - A T ) lh mtri sew-simetri.. Dri eu mtri p sol no. n, tunjun erlu huungn A S R. 6. Ji A mtri ujursngr, tunjun hw AA T erentu mtri simetri. Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

18 Aljr Linier Elementer VEKTOR DI BIDANG DAN RUANG A. Vetor Vetor lh esrn ng mempuni esr n rh. Vetor meminn pernn ng sngt penting lm menggmrn elun ri fenomen lm ini. Vetor igmrn oleh rus gris ng ilengpi engn n pnh. Pnjng rus gris segi perwiln ri esr vetor, sengn n pnh menunjun rh ri vetor. Seuh vetor imuli ri titi wl (initil point) n ihiri oleh titi hir (terminl point). P gmr i ts, vetor n sm, wlupun letn ere, irenn pnjng rus gris n rh vetor n sm. Sengn vetor, irenn pnjng rus grisn ere, m vetor, plgi rh ri vetor jug ere. Vetor ilmngn oleh huruf eil tel tu huruf eil engn pnh i tsn, sehingg vetor pt itulis segi, tu ρ. Dlm onsep vetor ienl pul vetor nol, itu vetor ng pnjngn nol, engn rh serng ng menesuin engn opersi ng mengiutin. Ser geometri vetor nol pt igmrn segi seuh titi. - Penjumlhn n, ilun engn r segi eriut: geserlh let, sehingg titi wl erhimpit engn titi hir, m lh vetor ng titi wln titi wl n titi hirn titi hir. Tentun engn r ng serup it pt menggeser sehingg titi wl erhimpit engn titi hir, n lh vetor ng titi wln titi wl n titi hirn titi hir. Metoe ini iseut metoe jjrn genjng. Sengn opersi perlin engn slr intn, untu sus, errti pnjng rus gris lh sepnjng (nili mutl ri ) ili pnjng, sengn rhn, ji positif sm engn rh, sengn ji negtif erlwnn rh engn. Ji < iseut pemmptn (pnjng leih pene ining pnjng ), n ji > iseut perenggngn (pnjng leih pnjng ining pnjng ). Ait ri opersi ini, m pt iefinisin opersi pengurngn vetor, itu: (-) (-) Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

19 Aljr Linier Elementer (, ) (,, ) (,, ) (,) z Ser nlitis, seuh vetor i ing pt intn segi psngn ilngn terurut, misln (, ) ng igmrn i lm oorint sumu ng sling teg lurus. Sengn vetor i rung ( ) pt igmrn menggunn oorint sumu ng sling teg lurus, ng mengiuti turn tngn nn, n ser nlitis intn segi tig ilngn terurut, (,, ). Vetor ng titi wln i titi sl {(,) untu vetor i ing n (,, ) untu vetor i rung} iseut vetor posisi. Untu (, ) n (, ), erlu:., errti n. (, ) (entri ng selet ijumlhn). (, ) (setip entri ilin engn ). - (-)(-)( -, - ) Untu (,, ) n (,, ), erlu:., errti, n. (,, ) (entri ng selet ijumlhn). (,, ) (setip entri ilin engn ). - (-)(-)( -, -, - ) Ji (,, -), (, -, ), n (, -, ), tentun:.... e. Jw:. (,, ). (-,, -). (, 6, -)(, -6, )(,, ). (-, -, )(, -, 8)(, -, )(-, -7, 9)(, -, )(, -, ) e. (,, -) Sift Vetor R n R terhp opersi penjumlhn n perlin engn slr: Ji u, v, w R tu R n, l slr (ilngn riil), erlu:. u v v u (sift omuttif) Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

20 Aljr Linier Elementer. (u v) w v (u w) (sift sositif). o u u o u (ientits penjumlhn). u u u (-u) o (invers penjumlhn). (u v) u v 6. ( l)u u lu 7. (l)u(lu) 8. uu Ji iperhtin engn sesm, seuh vetor pt itulis segi seuh mtri engn stu olom, itu: u (, ) n u u ( u, u, u ) u Selin vetor posisi ng sellu erwl ri titi sl, terpt pul vetor ng titi wln P (,, z ), n titi hirn i P (,, z ), vetor ng emiin intn segi: P P (,, z z) Dengn r serup ipt pul untu sus i R, itu: P (, ) P Pnjng vetor (,, ) iseut norm, engn menggunn phitgors, ipt: Begitupun untu sus vetor ng titi wln P n titi hirn P, norm vetor ini: (P, P ) P P ( ) ( ) ( z z ng ienl pul segi jr ntr titi P n P. ) Ji (,, -), (, -, ), n (, -, ), tentun: Jw:. 777(,, ) (-,, -)7 ( ) ( ) (, -, )7 ( ) Ltihn:. Ji (, ), (-, ), n (, ), hitunglh.. ( ) Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

21 Aljr Linier Elementer 6.. ( ). Ji (,, -), ( /, -, ), (, -, ).. ( ). ( ). ( ). Ji (, -, ), ( /, -, ), n, tentun.. Ji u(,, ), v(, -, ), n w(,, -), tentun vetor ng memenuhi u v 7w. Ji u, v, n w seperti no., tentun slr-slr,, n, sehingg ipenuhi persmn vetor: u v w(6,, -) 6. Hitung jr ntr P (,, ) n P (-,, -). 7. Ji,, n vetor-vetor p sol no., hitunglh: Hitung norm ri u u, proses ini iseut normlissi 9. Tentun semu slr sehingg 7v7, ji v(-,, ). Tentun vetor ng erlwnn rh engn v(,, -), ng normn:. B. Hsil Kli Titi n Proesi Suut ng ientu oleh u vetor ng sling ertemu p stu titi lh suut ng tereil. θ Definisi: Ji u n v vetor i ing tu i rung, hsil li titi ntr u n v iefinisin: u v osθ, ji u o n v o u v, ji u o tu v o imn θ suut ntr u n v. Tentun hsil li titi ntr vetor u(,, ) engn v(,, ). Jw: z v θ u Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

22 Aljr Linier Elementer 7 Suut ntr vetor u n v seesr π/, sehingg u v7u77v7os θ π os. Untu menptn entu lin hsil li titi ng leih muh perhitungnn, perhtin gmr eriut ini: P(,, z ) u θ v Q(,, z ) Dengn menggunn turn osinus, ipt: PQ u Mhmu Imron v u v osθ u v osθ u v PQ u v u v PQ Dengn melun sutitusi: PQ ( ) ( ) ( z z), u z, Kelm persmn i ts, ipt entu lin hsil li titi: u v zz Untu sus i R engn r ng serup ipt turn, segi eriut: u v Tentun hsil li titi ri u(, -, 7) n v(-,, ). Jw: u v.(-)(-).7. v z Dengn iptnn entu lin hsi li titi, m suut ntr u vetor pt engn muh ihitung: u v osθ, ji u o n v o u v Tentun osinus suut ntr u(, -, 7) n v(-,, ). Jw: u ( ) 7 6, v ( ) os θ 6 Seolh Tinggi Tenologi Telom

23 Aljr Linier Elementer 8 Hsil lin ng is ipt, lh:. Direnn suut ntr n lh, m norm/ pnjng sutu vetor pt intn, segi eriut: 77( ) /. Ji u n v eun un vetor o, n θ suut ntr u n v, m ri nili hsil li titi pt itentun onisi suut ntr u vetor terseut:. θ lnip, ji u v >. θ tumpul, ji u v <. θπ/, ji u v (u n v teg lurus/ ortogonl) Ji u(, -, 7), n v (, -, ).. Hitunglh 7u7.. Tentun, sehingg u n v teg lurus. Jw:. 7u7(u u) / (.(-)(-)7.7) / (6) /. u v 7, errti / tu Sift-sift Hsil Kli Titi: Ji u, v, n w vetor i R tu R, slr, erlu:. u v v u (omuttif). u (v w)u v u w (istriutif). (u v)(u) v u (v). u u >, ji u o, n u u, ji uo Ji u(, -, 7), v(-,, ), n w(,, -), hitunglh:. u (vw). u v u w. (u v). u ( v) e. u u Jw:. u (vw)u (-,, )-. u v u w((-)(-)7.)(.(-)7(-))-. (u v)-()-6. u ( v)(, -, 7) (8, -, -).8(-)(-)7(-)-6 e. u u.(-)(-)7.76 Seringli iutuhn pengurin stu vetor u menji jumlh u vetor, engn etentun stu vetor sejjr engn vetor o, sengn vetor ng lin teg lurus engn vetor. Perhtin gmr i wh ini: Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

24 Aljr Linier Elementer 9 w u w u u w θ θ θ Q w Q w w Q Terliht w sejjr engn, sengn w teg lurus terhp, n ipenuhilh huungn: w w w (u w )u Vetor w iseut proesi ortogonl (teg lurus) u p, n ilmngn segi: pro u Sengn vetor w iseut omponen vetor u ng ortogonl (teg lurus) terhp, ng itentun segi eriut: w u w u - pro u. Kren pro u teg lurus p, m: u u pro u u osθ u u Kren vetor ini er (sejjr) engn vetor, m norm ini ilin engn vetor stun, itu: : pro u u u Ji u(, -, 7), n v(-,, ) tentun: pro v u n omponen u ng teg lurus v. Jw: u v pro (,, ) (,, ) (,, v u v ) v v Sengn omponen u ng teg lurus v lh: (, -,7) (-/7, /7, /7) (8/7, -/7, 7/7) Ltihn:. Tentun osinus suut ntr vetor u n v, eriut:. u(,, ) n v(-,, -). u(,, ) n v(-,, ). u(,, ) n v(,, -). Tentun, sehingg vetor u(,, ) n v(-,, ) sling teg lurus.. Bersrn jwn ri sol no., pilih nili ng tereil, hitunglh pro v u.. Tnp menghitung osinus suut ntr u(,, ) n v(-,, -), tentun ph suutn tumpul, lnip tuh π/?. Berph norm ri pro u v, ji u(,, ) n v(-,, ). 6. Tentun pro u v, ji u(,, -) n v(-,, ). 7. Tentun omponen v ng ortogonl p u, ji u(,, ) n v(-,, ). 8. Tentun jr ntr titi (, -) engn gris Ji, ji o, ph? Jelsn! (ttn:,, R tu R ) Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

25 Aljr Linier Elementer. Crilh u vetor ng norm-n n ortogonl p (, -). Misln (, ) n (, ), tentun, sehingg suutn π/6. Tentun osinus suut ntr gris n. (Petunju: tentun vetor-vetor ng teg lurus engn msing-msing gris terseut, emuin hitung osinus suutn). Tunjun hw erlu 77, untu R tu R. Aph rtin espresi ( )? Jelsn. C. Persmn Gris n Bing i R Di ing (R ), seringli imint seuh vetor ng teg lurus p u uh vetor ng lin. Untu itu iefinisinlh hsil li silng, eriut ini: Definisi: Misln u(u, u, u ), n v(v, v, v ). Hsil li silng ntr u n v lh: iˆ ˆj ˆ u u u u u u u v u u u, -, v v v v v v v v v imn ˆ (,,), ˆj (,,), ˆ (,,) i merupn vetor-vetor stun i R. Ji u(,, -) n v(-,, 8), tentun u v n v u. Jw: iˆ u v 6ˆ i - ˆj 6ˆ ( 6, -, 6) iˆ ˆj ˆ 8 v u 8 6ˆ i ˆj 6ˆ ( 6,, -6) ˆj ˆ Sift-sift Hsil Kli Silng: Ji u, v, w R, slr, erlu:. (u v) u {vetor u v teg lurus p vetor u}. (u v) v {vetor u v teg lurus p vetor v}. 7u v7 7u7 7v7 (u v) {ientits Lgrnge}. u v - (v u) {ti omuttif} e. u u o {nol terhp iri seniri} f. u (v w) u v u w {istriutif} g. (u v) w u w v w {istriutif} h. (u v) (u) v u (v) i. u o o u o Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

26 Aljr Linier Elementer Dri ientits Lgrnge ipt: 7u v77u77v7 sin θ {lus jjrn genjng ng ientu oleh u n v} Tentun lus segitig ng mempuni titi-titi suut: P (,, -), P (,, ), n P (,, ). Jw: Konisi ng mungin ri segitig igmrn i wh ini: P (,, ) P (,, ) P (,, -) Segitig ng iri lh segitig ng ieri rsir, n terliht segitig terseut merupn setengh ri jjrn genjng ng ientu oleh vetor P P P P (,, ), sengn P P PP (-,, ), sehingg: Lus segitig PP P P 6 7 stun lus (,, -) n Di R, seuh gris pt itentun mellui stu titi n emiringnn, egitupun seuh ing i R, pt itentun engn stu titi n inlinsin (emiringn i ing), nmun ie inlinsi ini, sulit untu intn ser muh, untu itu iperlun vetor ng mempuni emiripn engn ie inlinsi, ng iseut vetor norml, itu vetor ng teg lurus (ortogonl) p setip vetor i ing. z P(,, z) n P (,, z ) P gmr i ts iethui titi P (,, z ) seuh titi ng er i ing, n vetor norml n(,, ) ng teg lurus p setip vetor i ing. Setip vetor i ing pt intn segi vetor ng titi wln i P (,, z ) engn titi hir P(,, z), sehingg ipt persmn: P P n (,, z z ) (,, ) ( ) ( ) (z z ) {iseut persmn norml titi}, imn - z {iseut entu umum ing} Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

27 Aljr Linier Elementer Tentun persmn ing ng mellui titi P (, -, ) n teg lurus p vetor n(,, ). Jw: P P n ( -,, z ) (,, ) ( ).( ) (z ) z Sengn seuh gris pt itn segi vetor ng pnjngn t terts, pt igmrn segi eriut: z P(,, z) P (,, z ) l v (,, ) Dri gmr i ts vetor P P sejjr engn vetor v ng iseut vetor rh, ren itu gris l pt intn oleh : P P tv engn - < t < (,, z z ) t(,, ) engn - < t < t, t, z z t engn - < t < {iseut persmn prmetri} - - z - z t {iseut persmn perningn} Tentun persmn gris ng sejjr engn vetor v(-, -, ) n mellui titi P (,, ). Jw: P P tv (,, z ) t(-, -, ) -t, t, z t, - < t < Tentun persmn ing ng teg lurus p gris t, t, z -. Jw: Vetor ng sejjr p gris (, -, ). Dn titi ng illui oleh gris: (,, -). Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

28 Aljr Linier Elementer Bing teg lurus p gris errti vetor rh gris menji vetor norml ing, n ing mellui titi ng illui oleh gris, sehingg: (,, z ) (, -, ) Sehingg persmn ingn: Persmn ing z pt itulisn lm entu vetor, segi eriut: z Sengn persmn prmetri gris o t, o t, z z o t, - < t <, ji itulisn lm entu vetor, menji: o o t, - < t < z z o Ltihn:. Misln u(,, ), v(-,, -), n w(,, -). Hitunglh:. u v. u (v w). (u v) w. u (v w) e. (u v) - w f. (u v) w. Tentun vetor ng ortogonl p u(,, ) n seligus p v(-,, -).. Tunjun hw ji u(u, u, u ), v(v, v, v ), m uv teg lurus engn u n jug teg lurus p v.. Tentun lus segitig ng titi suutn P (7, -, ), P (,, ) n P (, -, ).. Tentun persmn ing ng mellui titi-titi: P (, -, ), P (,, ), n P (, -, ). 6. Tentun persmn gris ng mellui P (, -, ), n P (,, ). 7. Aph srt u ing sling sejjr? (Petunju perhtin omponen pementu persmn ing) 8. Aph srt u gris i R sling sejjr? (Petunju: perhtin omponen pementu persmn gris i R ) 9. Tentun persmn ing ng sejjr engn gris t, t, z t.. Tentun persmn gris ng ientu oleh perpotongn ing - z n z.. Tunjun ph titi Q(,, ) terlet p gris l: t, t, z t, - < t < tentun pul persmn ing ng mellui titi Q n teg lurus p gris l.. Tentun titi perpotongn ntr ing z engn gris t, t, z - t, - < t <. Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

29 Aljr Linier Elementer. Tentun persmn ing ng mellui titi (, -, ) n memut gris t, t, z - t, - < t <.. Tunjun hw gris - t, t, z, n - t, 6t, z t, - < t <, sling erpotongn n tentun titi potongn.. Crilh persmn ing ng mellui titi (, -, ) n teg lurus p gris perpotongn ntr ing z n z Crilh persmn ing ng memut eu gris p sol no. Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

30 Aljr Linier Elementer ELIMINASI GAUSS A. Sistem Persmn Linier Bentu umum Persmn Linier: Λ n n,,..., n iseut oefisien,,..., n iseut nu (unnown) iseut suu onstn Solusi Persmn Linier lh sehimpunn ilngn terurut ng ji isutitusin elm Persmn Linier, menji vli. solusi persmn linier z lh: {,, z9}, tetpi {9,, z} un solusi persmn linier terseut, wlupun ng-ng lm himpunn terseut seperti lm solusi, ren urutn ili. Sistem Persmn Linier (SPL): sehimpunn Persmn Linier ng menji stu estun. Bentu umum Sistem Persmn Linier: m m Λ Λ Λ n n mn n n n m Sistem Persmn Linier i ts mempuni n nu n m persmn. Solusi Sistem Persmn Linier lh solusi setip persmn linier ng terpt lm Sistem Persmn Linier terseut. Solusi Sistem Persmn Linier its lh {, -9}, sengn {, -} un solusi SPL, ren hn merupn solusi persmn ng pertm sj. Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

31 Aljr Linier Elementer 6 Sistem Persmn Linier mempuni tig emunginn nn solusi, itu:. Solusi Tunggl. Solusi T Hingg nn. T solusi Ketig emunginn nn solusi ini pt igmrn segi ominsi u uh gris p ing, itu: erpotongn p stu titi solusi tunggl erhimpiterpotongn p t hingg nn titi solusi t hingg nn sejjrt erpotongn p stu titi pun t solusi Sistem Persmn Linier ng mempuni solusi, i solusi tunggl mupun solusi t hingg nn iseut onsisten. Ji t mempuni solusi iseut t onsisten. Ltihn:. Mnh ri persmn iwh ini ng merupn persmn linier?. z. 8. z e.. (sin ) e - z. Mnh ng menji solusi persmn linier: z -. {, -, z}. {-,, z-}. {,, z9} e. {t, s R t, s, z t s}. {,, z}. Mnh ri sehimpunn persmn i wh ini ng merupn sistem persmn linier? Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

32 Aljr Linier Elementer 7 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom.,.. z z z. 9 tn os - 6sin tn - os sin tn os - sin γ β α γ β α γ β α e. sin. Mnh ng menji solusi sistem persmn linier : z z z. {-,, z}. {,, z}. {, -, z-}. {t R t -, t -, zt} e. {,, z-}. Lun pemisln sehingg sehimpunn persmn i wh ini, menji sistem persmn linier:.. 9 tn os - 6sin tn - os sin tn os - sin γ β α γ β α γ β α B. Eliminsi Guss-Jorn Sistem Persmn Linier: m n mn m m n n n n Λ Λ Λ pt intn segi perlin mtri, itu:

33 Aljr Linier Elementer 8 A X B imn A iseut mtri oefisien eroro mn, X iseut mtri nu eroro n, n B iseut mtri suu onstn eroro m, n msing-msingn lh: A m m Λ Λ Λ n n, X mn, B n m Bersrn penglmn i SMU penelesin sistem persmn linier ti menguh nu, tetpi hn mengopersin ser ritmti: oefisien (itu iut menji nol, sehingg engn senirin eresn hilng) n suu onstn. Kren itu SPL pt iuh menji Mtri Lengp/ Mtri ng Diperlus (Augmente Mtri), sehingg ser umum mtri lengp, segi eriut: m m Λ Λ Λ n n mn m Terliht p mtri i ts, mtri oefisien (A) iperlus engn menmhn stu olom ng erisin mtri suu onstn (B). Beriut ierin iri-iri mtri lengp ng seerhn (ng solusin muh ipt). Ciri-iri ini hn iliht ri entri ng merupn mtri oefisien, n iliht ri iri e nn. Mtri Eselon Bris Tereusi, eririn:. P setip ris, entri t nol ng pertm lh stu. Dn stu ini iseut stu utm. Ji terpt ris nol iletn p ris ng terwh. P u ris ng erurutn, let stu utm p ris ng leih wh terlet leih e nn. P setip olom ji terpt stu utm, entri ng lin nol. Ji hn memenuhi iri,, n sj iseut Mtri Eselon Bris. Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

34 Aljr Linier Elementer 9 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom Ji it telh mempuni mtri lengp ng erentu Mtri Eselon Bris Tereusi, m solusi SPL menji muh itemun. Pnng Mtri Lengp, eriut: ji iemlin e entu SPL, menji iseerhnn menji : ng merupn solusi ri SPL. Beriut ierin ontoh mtri eselon ris: A, B, C Dri ontoh i ts terliht hw entri i wh stu utm sellu nol. Untu menptn solusi ri mtri eselon ris ilun sutitusi munur, segi ontoh n iperlihtn untu mtri lengp A, segi eriut: Lngh pertm emlin mtri lengp menji SPL: engn meminhn semu nu t utm (ng ti ersesuin engn stu utm) e rus nn ipt: lun sutitusi e persmn eu ipt:, n engn mensutitusi e persmn pertm, ipt: ( ) - 7, terliht smpi thp ini menji nu es (ernili serng ilngn riil), ren itu pt

35 Aljr Linier Elementer igntin engn prmeter, misln t, sehingg solusi mtri lengp A lh: { t R 7t, t, t, } Beriut ierin ontoh mtri eselon ris tereusi: D, E, F, G Untu mtri lengp E, p ris eempt, ji iemlin e entu persmn linier, ipt: -, jels terliht hw persmn linier ng emiin ini ti mungin terji, p rus iri ernili sengn p rus nn ernili, ren itu erppun nili ng it pilih untu,, n, ti n terpenuhi, errti pul SPL ng emiin ini ti mempuni solusi (t onsisten). Untu memuhn penrin solusi, mtri lengp iuh miniml menji mtri eselon ris tu menji mtri eselon ris tereusi. Untu menguh mtri lengp terseut iperlun opersi ng ti menguh solusi ri SPL, itu Opersi Bris Elementer (OBE):. Menglin stu ris engn onstnt t nol. Menur tempt u ris. Menjumlhn eliptn stu ris engn ris ng lin Metoe penguhn (penrin solusi SPL) ienl engn nm Eliminsi Guss (ji mtri lengp iuh menji mtri eselon ris n ilun sutitusi munur) tu Eliminsi Guss-Jorn (ji mtri lengp iuh menji mtri eselon ris tereusi n ilun sutitusi munur). Sem penrin solusi ini pt igmrn segi eriut: Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

36 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom OBE OBE Sutitusi munur sutitusi munur Tentun solusi SPL eriut: Jw: SPL Mtri Lengp Mtri Eselon Bris Mtri Eselon Bris Tereusi Solusi SPL Entri ris olom hrus stu, sehingg ilun OBE ng etig, ntr ris pertm ( ) n eu ( ) Entri i wh stu utm hrus nol, shg ilun OBE ng etig untu ris eu ( ) n ris etig ( ) Entri ris olom, hrus stu utm, untu itu ilun OBE ng pertm p Entri i wh stu utm hrus nol, shg ilun OBE ng etig untu n

37 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom Kren entri ris olom n ris olom ereliptn, untu memut nol, tentun muh, oleh ren uup ilun OBE ng eu, menur n Untu memut nol entri ris olom, uup ilun OBE ng etig, itu engn menjumlhn engn li lipt Ji ilin engn /8 ipt mtri eselon ris, n ji igunn eliminsi Guss, lun sutitusi munur. Dlm ontoh ini, n iterusn menji mtri eselon ris tereusi, OBE emli ilun untu memut entri i ts stu utm nol, itu OBE ng etig untu,, n Untu menptn stu utm p ris olom, ti r lin, selin melun OBE ng pertm, itu menglin engn /8 Smpi i sini telh ipt mtri eselon ris tereusi. Solusi ipt engn mengemlin mtri lengp menji SPL n ilun sutitusi munur Entri i ts stu utm ris olom, hrus nol, ren itu ilun OBE etig p n Entri i ts stu utm ris olom, hrus nol, ren itu ilun OBE etig p

38 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom iuh e SPL, menji ren pt ernili serng ilngn riil, m pt ignti engn prmeter ilngn riil, misln t, sehingg solusi SPL : { } t t t t t R t , 8 7,,, Ltihn:. Bentulh Sistem Persmn Linier, eriut menji mtri lengp: Tentun solusi ri SPL ng mempuni mtri lengp erentu mtri eselon ris n mtri eselon ris tereusi, itu: B, C, D, F, n G i ts.. Lun Eliminsi Guss untu menptn solusi SPL, eriut:. Sistem Persmn Linier p no.. 6 z z z. Sistem Persmn Linier p no e. Sistem Persmn Linier p no... Lun Eliminsi Guss-Jorn untu menptn solusi p SPL no.

39 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom C. Sistem Persmn Linier Homogen Sistem Persmn Linier Homogen lh Sistem Persmn Linier ng semu suu onstnn nol, sehingg entu umum SPL homogen, segi eriut: n mn m m n n n n Λ Λ Λ ren semu suu onstn nol, m ji ilun OBE tetp sj suu onstnn nol, ren itu mtri lengp SPL homogen sering isingt tnp memsun olom suu onstn, itu: mn m m n n Λ Λ Λ SPL homogen sellu onsisten, miniml mempuni solusi nol { } n Κ, ng iseut solusi trivil. Ji terpt solusi ng lin, iseut solusi t trivil. Tentun solusi SPL homogen eriut: Jw:

40 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom iuh e SPL menji tu tu, ren n ernili serng ilngn riil, m pt ignti engn prmeter, misln, t n s, sehingg solusi SPL homogen terseut: { } s s t t R s t,,,, Kit tutup gin ini engn stu teorem ng penting, itu: Sistem Persmn Linier Homogen sellu mempuni solusi t trivil, ji nn nu leih esr iningn nn persmn. Ltihn:. Tentun solusi SPL Homogen iwh ini:.. z z z. z z. z z z. Ji mtri lengp SPL homogen intn i wh ini, tentun solusin:.... e.

41 Aljr Linier Elementer 6 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom Ltihn Cmpurn:. Tentun solusi ri SPL :. Tentun srt ng hrus ipenuhi β gr SPL homogen i wh ini, mempuni solusi t trivil:. Dengn menggunn eliminsi Guss-Jorn, tentun nili α, β n γ, engn srt α, β, γ π.. Tentun nili, sehingg Sistem Persmn Linier eriut mempuni : solusi tunggl, solusi t hingg nn, tupun ti mempuni solusi. 6. Tentun, sehingg Sistem Persmn Linier Homogen eriut mempuni solusi t trivil z z z 7. Tentun srt gi n gr Sistem Persmn Linier : memilii solusi tunggl, memilii solusi jm tu ti memilii solusi. z z z 8 z z β β 9 tn os - 6sin tn - os sin tn os - sin γ β α γ β α γ β α ) ( w z z w w z

42 Aljr Linier Elementer 7 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom 8. Dengn menggunn eliminsi Guss-Jorn, tentun solusi sistem persmn linier eriut: 6 w z w z w w z 9. Tentun srt untu λ sehingg SPL homogen i wh ini mempuni solusi trivil: ) ( ) ( λ λ. Dierin SPL i wh ini, tentun nili n, ji SPL mempuni solusi tunggl: {, -, z } z z z

43 Aljr Linier Elementer 8 INVERS MATRIK A. Menri A - menggunn Mtri Elementer Mtri ujur sngr, A[ ij ] engn i,,..., n n j,,..., n, iseut mempuni invers ji terpt mtri A -, sehingg AA - A - AI, imn I mtri stun Ji A mempuni invers, m A iseut mtri t singulr. Dn ji ti mempuni invers iseut mtri singulr. Ji A mempuni invers, m invers-n tunggl (uni). Untu menunjun hl ini, perhtin penjelsn i wh ini: Anin B n C invers ri A, m ipenuhi huungn BAI n CAI, sehingg BIB(CA)BC(AB)CIC Ji, B C, tu eu invers mtri terseut tunggl. Sift-sift invers mtri:. (AB) - A - B -. (AB) - B - A -. (A) - (/)A -, imn : slr (ilngn riil). Κ Κ n A A A A AA A, ji n,, Κ sen n li sen n li Untu menptn invers sutu mtri, slh stu metoe ng pt ilun lh menggunn mtri elementer. Definisi: Mtri elementer lh mtri ujursngr ng iperoleh ri mtri stun ng sesui, ng ieni hn oleh stu Opersi Bris Elementer. Contoh Mtri Elementer: E, E, E, E E iperoleh ri mtri stun eroro ng ieni stu Opersi Bris Elementer ng pertm, itu menglin ris eu engn onstnt. E iperoleh ri mtri stun ng ieni stu Opersi Bris Elementer ng eu, itu menur ris eu engn ris etig. Sengn E ieni Opersi Bris Elementer ng etig, itu Menjumlhn eliptn ris etig engn ris pertm. Sengn mtri E un mtri elementer, ren ti mungin melun opersi ris elementer sehingg mtri stun menji mtri ng ris eun menji ris nol. Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

44 Aljr Linier Elementer 9 Perlin mtri elementer engn serng mtri ng sesui ri seelh iri, n mempuni pengruh, segimn melun opersi ris elementer terhp mtri terseut. Ji A n E A, ipt 8 E A Perlin mtri elementer engn serng mtri sln memenuhi srt perlin u mtri ri seelh nn mempuni efe segimn opersi olom elementer ienn p mtri terseut. Keistimewn ng lin, setip opersi ris elementer ng menguh mtri stun menji mtri elementer, mempuni lwn, ng menguh mtri elementer menji mtri stun. Kentn ini iteln i wh ini: OBE ng menguh I menji E OBE ng menguh E menji I Menglin stu ris engn onstnt Menglin stu ris engn / Menur ris e-i engn ris e-j Menur ris e-i engn ris e-j Menjumlhn eliptn li ris e-i engn ris e-j Menjumlhn eliptn li ris e-i engn ris e-j Setip mtri elementer mempuni invers n inversn lh mtri elementer ng iperoleh ri lwn opersin. Ji A mtri ujursngr nn, n mtri A eivlen ris engn mtri stun I n, m pt itemun m mtri elementer, sehingg ji ilin engn mtri A, m mtri A terseut menji mtri stun, misln: E m... E E AI n Kren setip mtri elementer mempuni invers, m ji ilun perlin engn invers msing-msing mtri elementer, ipt: E - E -... E m - E m... E E A E - E -... E m - I n Atu A E - E -... E m - I n Persmn i ts mentn hw mtri A mempuni invers. Selin ji A mempuni invers, errti ipenuhi huungn: A - AI Dengn mengmil A - E m... E E I n Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

45 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom ren mtri invers tunggl, m iperoleh, ji A mempuni invers, m A eivlen ris engn mtri stun I. Dri hsil i ts, r prtis menptn invers ri sutu mtri ujursngr, itu engn melun serngin opersi ris elementer ser ersmn ntr mtri A engn mtri stun I, engn trget menguh mtri A menji mtri stun I n itn iptlh peruhn mtri I menji mtri A -, ji A ti is menji mtri stun, errti A ti mempuni invers. Atu igmrn segi eriut: [ ] [ ] A I I A OBE Tentun invers ri mtri eriut: A, 7 7 B, C Jw: [ ] I A Ji A [ ] I B

46 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom Ji, B 7 [ ] I C Kren ris etig erup ris nol ng errti pul A ti eivlen ris engn mtri stun I, m p sus ini mtri C ti mempuni invers. Ji mtri oefisien ri sutu sistem persmn linier mempuni invers, m solusi sistem persmn linier terseut ipt engn menglin invers mtri oefisien terseut engn suu onstnn, itu: AXB, ji A -, m, XA - B Tentun solusi ri sistem persmn linier, eriut: z z Jw: Mtri oefisien sistem persmn linier i ts lh: n mtri suu onstnn:

47 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom Untu menri inversn, entulh mtri lengp ng iperesr segi eriut: ren trget it lh menguh mtri oefisien menji mtri stun, m lngh pling muh lh engn menjumlhn ris eu engn ris pertm, sehingg menji: Sehingg invers mtri oefisienn lh: Ji, solusi sistem persmn linier lh: X B A 7 7 Contoh hs: Enoing n Deoing pesn-pesn rhsi Enoing merupn egitn untu menemunin pesn, sehingg orng ng ti erh ti mmpu mengethui pesn ng seenrn, sengn enoing lh egitn untu menterjemhn pesn ng telh ienoing, sehingg pt iterim pesn slin. Perhtin urutn huruf-huruf eriut: e f g h i j l m n o p q r s t u v w z ln

48 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom Pesn: pergi e pti oleh urutn huruf-huruf i ts ismpin engn pesn tnp enoing: Ji igunn mtri enoing: m pesn teririm menji: 6 6, 7 8 9, , st ipt: P pih ng menerim pesn, tentun untu is mem pesn terseut hrus menguh pesn ng iterim engn melun egitn eoing, itu engn menglin invers ri mtri enoing, itu: 6 6, 9 7 8, , st sehingg pesn ipt iethui engn enr. Ltihn:. Tentun mtri elementer ng menen mtri elementer i wh ini menji mtri stun (tu engn istilh lin, invers mtri elementer):. E. E. E Untu sol no. smpi engn gunn metoe ng ierin p su ini. Tentun invers mtri i wh ini, ji :. A. B

49 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom. C. Tentun invers mtri i wh ini, ji :. D. E. F. Tentun invers mtri i wh ini, ji : G. H. K. Tentun invers mtri i wh ini, ji :. L

50 Aljr Linier Elementer. M 7 6. Tentun invers mtri igonl, i wh ini: D 7. Tunjun hw ji D mtri igonl, m D - lh mtri igonl ng entri-entri p igonl utm lh invers ri entri-entri p igonl utm mtri D. B. Penelesin Sistem Persmn Linier menggunn Invers Mtri Ji Sistem Persmn Linier: AXB engn mtri oefisien erentu ujursngr n mempuni invers, m Sistem Persmn Linier terseut mempuni solusi tunggl, itu: A - AXA - B IXA - B XA - B Ait: ji A mtri ujursngr n mempuni invers, sistem persmn linier homogen, AXO hn mempuni solusi trivil sj. Ji ierin eerp Sistem Persmn Linier, engn mtri oefisien ujursngr, seperti: AXB, AXB,..., AXB Dn ji iethui hw A mempuni invers, m penelesin serngin Sistem Persmn Linier ng emiin ini menji muh n uup seiit perhitungn ng iperlun, uup menri invers n emuin melun opersi perlin mtri, itu: XA - B, XA - B,..., XA - B Dengn penglmn ini, m it pt memperesr mtri lengp it untu eerp Sistem Persmn Linier untu sus mtri oefisien serng, itu: A B B Κ [ ] A, B, B, B n iethui: AXB, AXB, AXB. Tentun solusi SPL-SPL terseut engn r menentun terleih hulu A -. Tentun solusi SPL-SPL terseut menggunn mtri lengp ng iperesr. B Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

51 Aljr Linier Elementer 6 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom Jw:.[ ] I A A, sehingg solusi SPL-SPL terseut: X 7, X 7, n X 6. [ ] B B B A Ji, X 7, X 7, X 6

52 Aljr Linier Elementer 7 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom Ltihn:. Tentun solusi SPL-SPL i wh ini menggunn metoe perlin engn invers mtri oefisien z z z. 7, -, -.,, -.,, -.,,. Tentun solusi SPL-SPL i wh ini menggunn metoe perlin engn invers mtri oefisien. 6 z z., -,.,,. -,, -.,,. Tentun solusi SPL-SPL p sol no. engn menggunn mtri lengp ng iperesr.. Tentun solusi SPL-SPL p sol no. engn menggunn mtri lengp ng iperesr.. Tentun solusi sistem persmn linier i wh ini, engn menggunn mtri lengp ng iperesr: z z z Ji.,,,.,,,.,, {sol ini mentn n imint menri invers mtri oefisien ri sistem persmn linier} Ltihn Cmpurn:. Selesinlh persmn mtri i wh ini:. X. X [ ] X [ ]

53 Aljr Linier Elementer 8 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom. X X. X X e. X. Tunjun srt ng erlu ts mtri A n B sehingg: (A B) A AB B, engn ttn eu mtri terseut ujursngr.. Ji ierin mtri A seperti i wh ini, tentun srt, sehingg mtri A mempuni invers, n tentun pul srt untu, sehingg t mempuni invers:. ) ( ) (.. Ji invers A seperti mtri i wh ini, tentun mtri A. Tunjun hw ABBA ji n hn ji AB - B - A

54 Aljr Linier Elementer 9 DETERMINAN A. Espnsi Koftor Determinn merupn fungsi ri mtri ujursngr, nn, e ilngn riil. A eerp efinisi ng iemngn lm rngin eterminn ini, u ng terenl lh: menggunn permutsi n menggunn oftor. Penefinisin menggunn permutsi teresn rumit, ren itu lm tulisn ini menggunn efinisi oftor ng ersift reursif (efinisi menggunn irin seniri). Lmng eterminn mtri A lh et(a) tu A. Dri peljrn i SMU, telh iethui eterminn ri mtri, segi eriut: et( A) Lmng lm hl ini, unlh lmng nili mutl, tetpi lmng eterminn. Dn untu mtri, eterminn iefinisin, segi eriut: et( A) r penulisn i ts pt iuh menji: et(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tu pt itulis segi: et(a) ( ) ( ) ( ) tu et(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

55 Aljr Linier Elementer et(a) ( ) ( ) ( ) Dri entn i ts, hw eterminn sutu mtri pt iri engn menggunn eterminn mtri ng leih eil uurnn (su mtri), menorong iefinisinn eterminn ser forml i wh ini ng ersift reursif: Definisi: Misln A nn [ ij ], m minor ri ij, ng ilmngn oleh M ij, lh eterminn ri su mtri A ng iperoleh engn r memung semu entri p ris e-i n semu entri p olom e-j. Sengn oftor ri ij, ng ilmngn oleh C ij, lh (-) ij M ij. Tentun minor n oftor ri entri,, ri mtri A i wh ini: A Jw: M Semu entri p ris e- n semu entri p olom e-, iung. Kemuin ihitung eterminnn M Semu entri p ris e- n semu entri p olom e-, iung. Kemuin ihitung eterminnn. M Semu entri p ris e- n semu entri p olom e-, iung. Kemuin ihitung eterminnn. C ( ) M C ( ) M ( ) C ( ) M P penghitungn oftor pngt ri (minus stu) ri ine entri, n terliht pul ji jumlh ine ini genp, m oftorminor, sengn ji gnjil oftor (-) minor Dengn telh terefinisinnn minor n oftor, m ptlh iefinisin eterminn, segimn lm efinisi eriut: Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

56 Aljr Linier Elementer Definisi: Misln A nn [ ij ], eterminn ri A iefinisin segi eriut: et(a) i C i i C i in C in {ren ris e-i menji un/ tetp, iseut: espnsi oftor sepnjng ris e-i} et(a) j C j j C j nj C nj {ren olom e-j menji un/ tetp, iseut: espnsi oftor sepnjng olom e-j} Tentun eterminn mtri i wh ini, engn menggunn espnsi oftor sepnjng ris tu olom ng pling seiit perhitungnn: A 6, B Jw: Untu memuhn penghitungn eterminn, pilih ris tu olom ng pling n memut entri nol. Kren perlin entri engn oftorn menghsiln nol. P sus mtri A, pt ipilih espnsi oftor sepnjng ris e- tu olom pertm. {espnsi oftor sepnjng olom pertm} et( A ) ( ) 6 ( ) {espnsi oftor sepnjng ris eu} M ( )( ) 6 6 et( A ) ( ) 6( ) 6 P sus mtri B, pilih espnsi oftor sepnjng ris pertm et( B ) C C C C C M ( ) ( ) 7 M Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

57 Aljr Linier Elementer sehingg et(b) - 9 Ltihn:. Tentun minor ri semu entri ri mtri i wh ini: e.. Tentun oftor ri setip entri p mtri sol no.. Tentun eterminn ri setip mtri p sol no. 8 8 B. Sift-sift Determinn n Reusi Bris Sift-sift eterminn:. et(ab)et(a)et(b). et(a T )et(a). Ji A mtri igonl, m et(a)... nn {perlin ri semu entri p igonl utm}. Ji A mtri segitig, m et(a)... nn {perlin ri semu entri p igonl utm}. Ji A nn, m et(a) n et(a) 6. et(a - )/et(a) 7. Ji A memut ris nol tu olom nol, m et(a) 8. Terhp opersi ris elementer, eterminn mempuni sift, segi eriut:. Ji A iperoleh ri A engn r menglin stu ris ri A engn onstnt, m et(a ) et(a). Ji A iperoleh ri A engn r menur u ris, m et(a ) - et(a) Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

58 Aljr Linier Elementer. Ji A iperoleh ri A engn r menjumlhn eliptn stu ris engn ris ng lin, m et(a )et(a) 9. Ji A memut u ris ng sling ereliptn tu u olom ng sling ereliptn, m et(a) Dengn menggunn sift-sift i ts, penghitungn eterminn pt leih ipermuh, metoe ng igunn inmn metoe reusi ris, itu: engn tetp memperhtin sift-sift eterminn, mtri iuh menji mtri segitig. Tentun eterminn mtri i wh ini, menggunn reusi ris: A 6 Jw: et(a) 6 Untu memuhn perhitungn, entri ris olom, leih en ji ijin stu. Slh stu rn melun OBE etig. Pengruh terhp eterminn ti Di ts hrus nol, ilun OBE ng etig untu. Pengruh terhp eterminn ti Pivot leih en ji ernili stu tu minus stu, ren itu ilun OBE ng etig ntr n. Pengruh terhp eterminn ti. 6 9 Di wh pivot hrus nol, m ilun OBE ng etig ntr n. Pengruh terhp eterminn ti. 6 9 Untu mementu mtri segitig, m ilun OBE ng eu, itu menur engn. Pengruh terhp eterminn. Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

59 Aljr Linier Elementer 9 6 Dn sentuhn terhir, gr menji mtri segitig, ilun OBE eu, itu menur n. Pengruh terhp eterminn. ( ) 9 6 Mtri eterminn telh erentu mtri segitig, sehingg eterminn muh ihitung. ( )( )( 6) 6 Penggunn metoe reusi ris n espnsi oftor ser ersmn, menen penghitungn eterminn sutu mtri menji leih muh lgi. Hl ini iperlihtn p ontoh i wh ini: Tentun eterminn mtri i wh ini: Jw: et(b) B P ris stu memut nol ng tern, ren itu ilun espnsi oftor sepnjng ris pertm ( ) Determinn su mtri B, p olom eu memut entri stu n nol, ren itu ilun oleh OBE etig ntr n ( ) ( ).( ) -( - (-)) Kolom eu memut nol tern, lun espnsi oftor sepnjng olom eu Kren perhitungn eterminn mtri, muh, m lun perhitungn ser lngsung Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

60 Aljr Linier Elementer Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom -9 Ltihn:. Hitung eterminn mtri i wh ini, menggunn reusi ris e.. Hitung eterminn mtri i wh ini, menggunn metoe mpurn, itu gungn metoe reusi ris n espnsi oftor e Ji iethui: i h g f e, hitunglh. i h g f e. i h g f e

61 Aljr Linier Elementer 6 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom. f e i h g. f i e h g f e e. i h g f e. Ji 6 A n B hitunglh:. et(a). et(b). et(ab). et(a)et(b) e. et(a - ) f. et(b T ) g. et((ab) - ) h. et((ab) T ) i. et(b ). Diethui mtri A n B eroro, et(a) - n et(b)/, hitunglh: et(aba - B B - ) C. Aturn Crmer Definisi: Misln A nn [ ij ], C ij lh oftor ri entri ij, mtri: nn n n n n C C C C C C C C C Λ Λ Λ iseut mtri oftor. Trnspos mtri oftor A iseut mtri join A itulis j(a). Tentun mtri oftor A n mtri j(a): A Jw: 8 C, C, 6 C

62 Aljr Linier Elementer 7 C, C 6, C 9 C 7, C, C 8 Mtri oftor A lh , sehingg j(a) Dengn telh terefinisinn mtri join, m ipt r lin menghitung mtri invers engn menggunn mtri join. Untu itu perlu ihitung jumlh ri perlin ntr entri n Koftor ng ti selet. Pnng u mtri eriut ini: A, A ' Pnng u espresi eriut ini: C C C C C C Kren mtri A n A seperti i ts m, C C, C C, n C C, itn, sengn et(a ). Direnn mtri A memut u ris ng sling ereliptn, m et(a ), sehingg. Dn engn melun hl ng sm untu mtri eroro nn, m pt imil esimpuln jumlh ri perlin ntr entri n oftor ng ti selet lh nol. Beriut n ihitung A j(a) (mtri A ili engn mtri join A): Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom

63 Aljr Linier Elementer 8 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom nn n n n n nn n n n n C C C C C C C C C A A Λ Λ Λ Λ Λ Λ ) j( n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C Λ Λ Λ ser umum entri p mtri i ts pt itulis, segi eriut: ij jn in j i j i n j i C C C C Κ Ji i j, m seperti hsil i ts ipt ij. Ji ij, m espresi i ts ij et(a). Sehingg : A j(a) I A A A A ) et( ) et( ) et( ) et( Λ Λ Λ Sehingg: A j(a)et(a)i, ji et(a), m ipt: I A A A ) et( ) ( j I A A A A A ) et( ) j( ) j( ) et( A A A Dengn menggunn rumus i ts, tentun A - ri mtri i wh ini:

64 Aljr Linier Elementer 9 Mhmu Imron Seolh Tinggi Tenologi Telom A Jw: Mtri join A suh ihitung i ts, sehingg uup ihitung eterminn mtri A. ) et( A ) ( ) et( A j A A Ji sistem persmn linier, erentu AXB, engn mtri oefisien mempuni invers, m pt iselesin engn r, segi eriut: XA - B B A A X ) j( ) et( n nn n n n n C C C C C C C C C A X Λ Λ Λ ) et( nn n n n n n n n C C C C C C C C C A X Κ Κ Κ ) et( Ji n X, m ) et( A C n i ij i j