Newton, Leibniz, dan Kalkulus.

Transkripsi

1 Bab 1 LIMIT

2

3 Newton, Leibniz, dan Kalkulus

4 1.1 Pengantar Limit

5 Kenapa Limit Penting? Misalkan suatu objek selalu bergerak maju, dengan s(t) adalah posisi pada saat t. Kecepatan rata-rata pada selang [1,2] adalah Kecepatan rata-rata pada selang [1,1.2] adalah Kecepatan rata-rata pada selang [1,1.02] adalah s 2 s(1). 2 1 s 1.2 s(1) s 1.02 s(1) Seberapa cepat objek tersebut bergerak pada t = 1? Kita harus mempertimbangkan limit dari kecepatan pada selang yang makin lama makin kecil...

6 Kenapa Limit Penting? (2) Bagaimana mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran? Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah limit luas polygon yang terletak di dalam lingkaran pada saat banyaknya sisi dari poligon tersebut membesar tanpa batas.

7 Ilustrasi Pandang f x = x3 1 x 1. Apa yang terjadi pada f x pada saat x mendekati 1? x 3 1 lim x 1 x 1 = 3

8 Pemahaman Intuitif lim x c f x = L Definisi. Makna intuitif dari Limit lim f x = L bermakna bahwa pada saat x dekat tapi berbeda dengan c, x c maka f(x) juga dekat ke L.

9 Contoh 1. Tentukan lim x 1 3x 6. x 2. Tentukan lim 2 x 6. x 2 x+2 3. Tentukan lim x 0 sin x x. 4. Tentukan lim x 2 x. 5. Tentukan lim x 0 sin 1 x.

10 Limit Sepihak Definisi. Limit Kiri dan Limit Kanan lim f x = L bermakna bahwa pada saat x dekat tapi berada di sebelah kanan c, x c + maka f(x) dekat ke L. lim f x = M bermakna bahwa pada saat x dekat tapi berada di sebelah kiri c, maka x c f(x) dekat ke M. Teorema. lim x c f x = L jika dan hanya jika lim f x = L dan lim f x = L. x c + x c

11 Tentukan Limit Fungsi Berikut lim x c f(x)? lim x c + f(x)? lim x c f(x)? f(c)?

12 Contoh x 1, if x < 2 1. Pandang g x = ቊ 5 x 2, if x 2. Tentukan a. lim x 2 b. lim x 2 + c. lim g(x). x 2 2. Tentukan lim x 3 x + x.

13 Limit dan Limit Sepihak

14 1.2 Limit Fungsi

15 Definisi Formal dari Limit lim f x = L berarti f x dapat kita buat sedekat mungkin ke L diberikan bahwa x cukup x c dekat ke, namun tidak sama dengan, c. Definisi. Limit lim f x = L bermakna bahwa untuk setiap ε > 0 (betapa pun kecilnya), terdapat δ > 0 x c sehingga 0 < x c < δ f(x) L < ε.

16 Dua Ilustrasi

17 Melihat Kembali Definisi Limit 0 < x c < δ 0 < f(x) L < ε Benar atau salah? 1. 0 < x 2 < 1 0 < 2x 4 < < x 2 < 1 0 < 2x 4 < < x 2 < 1 0 < 2x 4 < 1.5.

18 Melihat Kembali Definisi Limit (2) Terdapat δ > 0 sehingga 0 < x c < δ 0 < f(x) L < ε Carilah sehingga 1. 0 < x 2 < δ 0 < 2x 4 < < x 2 < δ 0 < 2x 4 < < x 2 < δ 0 < 2x 4 < < x 2 < δ 0 < 2x 4 < 0.01.

19 Melihat Kembali Definisi Limit (3) Untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sehingga 0 < x c < δ 0 < f(x) L < ε Tentukan sehingga 0 < x 2 < δ 0 < 2x 4 < ε.

20 Contoh 1. Tunjukkan bahwa lim x 1 3x 6 = 3. x 2 x 6 2. Tunjukkan bahwa lim x 2 x+2 3. Tunjukkan bahwa lim x 2 = 4. x 2 4. Tunjukkan bahwa lim k = k. x c 5. Tunjukkan bahwa lim x = c. x c = 5.

21 Cauchy, Weierstrass, dan Limit

22 Definisi Limit Sepihak Definisi. Limit Kanan lim f x = L bermakna bahwa untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sehingga x c + 0 < x c < δ f(x) L < ε.

23 1.3 Teorema Limit

24 Sifat Limit Teorema A juga berlaku untuk limit sepihak. Contoh. x 2 +4 x Tentukan lim x 1 2. Jika lim f x = 4 dan x 2 lim g x = 8, tentukan x 2 lim x 2 f2 (x) 3 g x.

25 Limit Fungsi Polinom dan Rasional Jika f adalah fungsi polinom atau rasional, maka f x = f(c) jika f(c) ada. Contoh. 1. Tentukan lim x 1 x 2 +3x 10 x 2 +x Tentukan lim x 1 x 1 x Tentukan lim x Tentukan lim x 0 x x. x 1 x 2 1. lim x c

26 Teorema Apit Misalkan f, g, dan h adalah fungsi yang memenuhi f(x) g(x) h(x) untuk setiap x di sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika lim x c f x = lim x c h x = L maka lim x c g x = L.

27 1.4 Limit yang Melibatkan Fungsi Trigonometri

28 Limit Fungsi Trigonometri Teorema. Limit Fungsi Trigonometri Untuk setiap bilangan real c di domain fungsi, 1. lim sin t = sin c t c 3. lim tan t = tan c t c 5. lim sec t = sec c t c Teorema. Limit Trigonometri khusus sin t 1. lim t 0 t Contoh. Tentukan limit berikut. sin 3x 1. lim. x 0 x 1 cos t 2. lim t 0 sin t 3. lim h 0 sin 4h tan h.. 2. lim cos t = cos c t c 4. lim cot t = cot c t c 6. lim csc t = csc c t c 1 cos t = 1 2. lim t 0 t = 0

29 1.5 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga

30

31 Limit di Tak Hingga Pandang g x = x 1+x 2. Apa yang terjadi dengan fungsi g pada saat x membesar tanpa batas? lim x g(x) Apa yang terjadi dengan fungsi g jika x mengecil tanpa batas? lim x g(x)

32 Definisi Limit di Tak Hingga Definisi. Limit pada saat x Misalkan fungsi f terdefinisi di [c, (, ) c] untuk suatu c. c. lim f x = L bermakna untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan M x sehingga x > < M f x L < ε Contoh. 1. Tunjukkan bahwa jika k bilangan bulat positif, maka 1 lim x x 1 lim x x k = 0 dan k = Tentukan lim x 3. Tentukan lim x x 1+x 2. x 1 x Tentukan lim x sin x x.

33 Limit Barisan Jika domain dari fungsi adalah himpunan bilangan asli, maka kita biasanya menulis a n, bukan a(n) dan fungsi tersebut disebut barisan, yang dinotasikan sebagai a n. Contoh. Definisikan suatu barisan dengan a n = n n+1. Apa yang terjadi jika n membesar? Pandang a 1 = 1 2, a 2 = 2 3, a 3 = 3 4,, a 100 = , Definisi. Limit Barisan Misalkan a n terdefinisi untuk semua bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan c. lim n a n = L bermakna untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan M sehingga n > M a n L < ε Contoh. Tentukan lim n n+1 n+2.

34 Limit Tak Hingga Pandang g x = 1 x 2. Apa yang terjadi pada fungsi g pada saat x semakin dekat ke 2? lim x 2 g(x) Definisi. Limit tak hingga lim g(x) = jika untuk setiap bilangan x c + positif M, terdapat δ > 0 sehingga 0 < x c < δ f x > M

35 Limit Tak Hingga Lainnya lim f(x) = lim x c + lim f(x) = x x c f(x) = lim x f(x) = lim lim f(x) = x c f(x) = x lim f(x) = x Contoh. 1. Tentukan lim x Tentukan lim x 0 x+1 x 2 5x+6. x x.

36 Asimtot Garis x = c merupakan asimtot vertikal dari grafik fungsi y = f(x) jika salah satu dari empat pernyataan berikut benar: f(x) =, lim f(x) =, lim f(x) =, atau lim f(x) =. + + lim x c x c Garis y = b merupakan asimtot horisontal dari grafik fungsi y = f(x) jika lim f(x) = b atau lim f(x) = b. x x Contoh. x c Tentukan semua simtot dari grafik fungsi y = f x = 2x x 1. x c

37 1.6 Kekontinuan Fungsi

38 Kontinu Istilah kontinu digunakan untuk mendeskripsikan proses yang berlangsung tanpa perubahan yang mendadak. Definisi. Kekontinuan pada suatu titik Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat c. Fungsi f dikatakan kontinu di c jika lim f x = f(c) x c

39 Titik Kediskontinuan yang Dapat Dihilangkan Contoh. Misalkan f x = x2 4, x 2. Bagaimana f harus didefinisikan pada x 2 x = 2 agar f kontinu di sana? Titik kediskontinuan c disebut dapat dihilangkan jika fungsi dapat didefinisikan ulang pada c sehingga fungsi tersebut menjadi kontinu. Jika tidak, titik kediskontinuan disebut tidak dapat dihilangkan.

40 Kekontinuan Beberapa Fungsi Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real. Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real yang ada di domainnya. Fungsi harga mutlak kontinu di setiap bilangan real. Jika n ganjil, fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real, jika n genap, fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan real positif. Fungsi sinus dan cosinus kontinu di setiap bilangan real. Fungsi tangen, cotangen, secan, dan cosecan kontinu di setiap bilangan real yang ada di domainnya.

41 Kekontinuan terhadap Operasi pada Fungsi Jika f dan g kontinu di c, demikian juga dengan kf, f + g, f g, f g, f/g (dengan syarat g(c) 0), f n, n f (dengan syarat f(c) > 0 jika n genap). Contoh. 1. Di manakah fungsi F x = 3 x x2 x+ 3 x kontinu? 2. Tentukan semua titik ketidakkontinuan dari f x = titik-titik tersebut dapat dihilangkan? sin x x 1 x. Apakah

42 Kekontinuan Fungsi Komposisi Teorema. Jika lim g x = L dan jika f kontinu di L, maka x c lim f(g x) = f(lim g x ) = f(l). x c x c Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka fungsi komposisi f g kontinu di c. Contoh. Tunjukkan bahwa h x = sin x4 3x+1 x 2 x 6 dan 2. kontinu di semua titik kecuali 3

43 Kekontinuan pada Selang Definisi. Kekontinuan pada selang Fungsi f dikatakan kontinu kanan di a jika lim f x = f(a) x a + dan kontinu kiri di b jika lim f x = f(b). x b Fungsi f dikatakan kontinu pada selang buka jika f kontinu di semua titik dalam selang tersebut. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutup di [a, b] jika f kontinu pada (a, b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b. Example. 1. Tentukan kekontinuan fungsi yang grafiknya digambarkan di samping. 2. Apakah selang terbesar sehingga g x = 4 x 2 kontinu?

44 Teorema Nilai Antara Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [a, b] dan W adalah suatu bilangan di antara f(a) dan f(b). Jika f kontinu pada [a, b] maka terdapat paling tidak satu bilangan c di antara a dan b sehingga f(c) = W.

45 Contoh 1. Gunakan Teorema Nilai Antara untuk menunjukkan bahwa x cos x = 0 memiliki solusi di antara x = 0 dan x = π Gunakan Teorema Nilai Antara untuk menunjukkan bahwa pada suatu cincin kawat berbentuk lingkaran selalu terdapat dua titik berseberangan dengan suhu yang sama.