BAB III DIMENSI PARTISI GRAF KIPAS DAN GRAF KINCIR

BAB III DIMENSI PARTISI GRAF KIPAS DAN GRAF KINCIR 3. Dimensi Partisi Graf Kipas (F n ) Berdasaran Proposisi dan Proposisi, semua graf G selain graf P n dan K n memilii 3 pd(g) n -. Lebih husus, graf Kipas memilii dimensi partisi tida urang dari 3 dan tida lebih dari n -. Misalan terdapat graf Kipas (F n ) ber-pd(f n ) = 3 dengan Π = {S, S, S 3 } resolving partition dan c S dimana c adalah titi pusat maa oordinat c adalah r(c Π) = (0,, ) arena d(c, x) = untu setiap x V(F n ) \ {c}. Untu setiap v S \ {c} oordinatnya adalah r(v Π) = (0, a, b). Karena diameter dari F n adalah berarti a dan b hanya boleh diisi oleh anga dan. Jadi, ombinasi oordinat yang mungin adalah (0,, ), (0,, ), dan (0,, ). Untu setiap u S, oordinatnya adalah r(u Π) = (d, 0, e). d = arena untu setiap u S, d(u, S ) = d(u, c) =. Tanpa mengurangi eumuman e hanya boleh diisi dengan anga dan. Jadi, ombinasi oordinat untu setiap u S adalah (, 0, ) dan (, 0, ). Dengan cara yang sama, untu setiap w S 3, r(w Π) adalah (,, 0) dan (,, 0). Dengan demiian, untu Π = {S, S, S 3 } resolving partition, terdapat paling banya 8 oordinat berbeda untu 8 buah titi pada graf Kipas. Aan ditunjuan bahwa 8 oordinat tersebut dapat dionversian menjadi graf Kipas (F n ) dengan n = 8. (, 0, ) (, 0, ) (,, 0) (0,, ) (,, 0) (0,, ) (0,, ) (0,, ) Gambar 7 Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir 4

Oleh arena itu, semua graf Kipas yang berjumlah titi tida lebih dari 8 memilii dimensi partisi 3. Proposisi 3. Misalan terdapat graf Kipas (F n ) dengan n jumlah titi. Jia 4 n 8, maa pd(f n ) = 3. Proposisi 4. Misalan terdapat graf Kipas (F n ) dengan n jumlah titi. Jia 9 n 3, maa pd(f n ) = 4. Buti : Oleh arena tida terdapat 9 oordinat pada 3-partisi seperti yang telah disebutan pada proposisi 3 di atas, maa F 9 memilii dimensi partisi tida urang dari 4. Misalan terdapat graf F n dengan n = 3 dan V(F 3 ) = {v, v,..., v 3 } seperti terlihat pada gambar beriut. v 7 v 8 v 6 v 9 v 5 v 0 v 4 v v 3 v v v v 3 Gambar 8 Misalan pd(f 3 ) = 4 dan misal Π = {S, S, S 3, S 4 } dengan S = {v, v, v 3, v 3 }, S = {v 4, v 5, v 0 }, S 3 = {v 7, v 8, v 9 }, S 4 = {v 6, v, v }. Maa semua oordinat titinya terhadap Π adalah : r(v Π) = (0,,, ) r(v 5 Π) = (, 0,, ) r(v Π) = (0,,, ) r(v 0 Π) = (, 0,, ) r(v 3 Π) = (0,,, ) r(v 7 Π) = (,, 0, ) r(v 3 Π) = (0,,, ) r(v 8 Π) = (,, 0, ) r(v 4 Π) = (, 0,, ) r(v 9 Π) = (,, 0, ) Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir 5

r(v 6 Π) = (,,, 0) r(v Π) = (,,, 0). r(v Π) = (,,, 0) Oleh arena semua oordinat r(v i Π) untu v i V(F 3 ), i =,,..., 3, berbeda, maa Π = {S, S, S 3, S 4 } adalah resolving 4-partition dari F 3. Jadi, pd(f 3 ) = 4. 3. Dimensi Partisi Graf Kincir (Ki) 3.. Beberapa dimensi partisi untu n ecil Berdasaran Proposisi dan Proposisi, graf Kincir memilii dimensi partisi tida urang dari 3 dan tida lebih dari n -. Misalan terdapat graf Kincir berpd(g) = 3 dengan Π = {S, S, S 3 } resolving partition dan c S dimana c adalah titi pusat. Maa tanpa mengurangi eumuman oordinat c adalah r(c Π) = (0,, ). Untu setiap v S \ {c} oordinatnya adalah r(v Π) = (0, a, b). Tanpa mengurangi eumuman, a dan b hanya boleh diisi dengan anga dan. Salah satu sifat graf Kincir adalah untu setiap titi pada graf Kincir, ecuali titi pusat memilii derajat yaitu, terhadap titi pusat dan sebuah titi luar. Oleh arena itu, untu setiap v S \ {c} paling banya bertetangga dengan satu buah titi dari partisi lain artinya paling banya terdapat sebuah anga pada oordinatnya. Andaian terdapat v S \ {c} yang tida bertetangga dengan partisi lain, berarti v bertetangga dengan titi yang ada di S, sebut u. Jadi, oordinatnya adalah r(v Π) = (0,, ) = r(u Π), ontradisi dengan Π adalah resolving partition. Jadi, untu setiap v S \ {c} oordinatnya yang mungin adalah (0,, ) dan (0,, ). Untu setiap w S, oordinatnya adalah r(u Π) = (d, 0, e). d = arena untu setiap w S, d(w, S ) = d(w, c) =. Tanpa mengurangi eumuman e hanya boleh diisi dengan anga dan. Jadi, ombinasi oordinat untu setiap u S adalah Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir 6

(, 0, ) dan (, 0, ). Dengan cara yang sama, untu setiap z S 3, r(z Π) adalah (,, 0) dan (,, 0). Dengan demiian, 3 partisi hanya memuat paling banya 7 oordinat, yaitu (0,, ), (0,, ), (0,, ), (, 0, ), (, 0, ), (,, 0), dan (,, 0). Koordinat-oordinat tersebut bila dionversi e dalam graf Kincir 7 titi aan menjadi graf sebagai beriut. (0,, ) (, 0, ) (,, 0) (0,, ) (0,, ) (, 0, ) (,, 0) Gambar 9 Dengan demiian, graf Kincir yang berjumlah batang n 3 memilii dimensi partisi sama dengan 3. Proposisi 5. Misalan terdapat graf Kincir Ki(n) dengan n buah batang. Jia n 3, maa pd[ki(n)] = 3. Berdasaran proposisi 5 di atas, graf Kincir Ki(n) dengan n 4 memilii dimensi partisi tida urang dari 4. Misalan terdapat graf Kincir ber-pd(g) = 4 dengan Π = {S, S, S 3, S 4 } resolving partition dan c S dimana c adalah titi pusat maa tanpa mengurangi eumuman oordinat c adalah r(c Π) = (0,,, ). Untu setiap v S \ {c} oordinatnya adalah r(v Π) = (0, a, b, d). Tanpa mengurangi Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir 7

eumuman, oordinat-oordinat yang mungin adalah (0,,, ), (0,,, ) dan (0,,, ). Untu setiap w S, r(w Π) = (, 0, e, f). Oleh arena tida boleh ada titi yang bertetangga dengan titi dalam partisi yang sama, oordinat yang mungin adalah (, 0,, ), (, 0,, ) dan (, 0,, ). Dengan cara yang sama, untu setiap x S 3, r(x Π) yang mungin adalah (,, 0, ), (,, 0, ), dan (,, 0, ). Untu setiap z S 3, r(z Π) yang mungin adalah (,,, 0), (,,, 0), dan (,,, 0). Dengan demiian, 4 partisi hanya memuat paling banya 3 oordinat, yaitu (0,,, ), (0,,, ), (0,,, ) (0,,, ) (, 0,, ), (, 0,, ), (, 0,, ), (,, 0, ), (,, 0, ), (,, 0, ), (,,, 0), (,,, 0), dan (,,, 0). Koordinat-oordinat tersebut dapat dionversian e dalam graf Kincir 3 titi (6 batang) beriut. (, 0,, ) (0,,, ) (0,,, ) (,,, 0) (,, 0, ) (0,,, ) (,, 0, ) (0,,, ) (,,, 0) (,,, 0) (, 0,, ) (,, 0, ) Gambar 0 (, 0,, ) Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir 8

Proposisi 6. Misalan terdapat graf Kincir Ki(n) dengan n buah batang. Jia 4 n 6, maa pd[ki(n)] = 4. Berdasaran proposisi 6 di atas, graf Ki(n) dengan n 7 memilii dimensi partisi tida urang dari 5. Misalan terdapat graf Kincir ber-pd(g) = 5 dengan Π = {S, S, S 3, S 4, S 5 } resolving partition dan c S dimana c adalah titi pusat maa tanpa mengurangi eumuman oordinat c adalah r(c Π) = (0,,,, ). Dengan cara yang sama didapat : - Untu setiap v S \ {c}, oordinat yang ada adalah: (0,,,, ) (0,,,, ) (0,,,, ) (0,,,, ). - Untu setiap u S, oordinat yang ada adalah: (, 0,,, ) (, 0,,, ) (, 0,,, ) (, 0,,, ). - Untu setiap w S 3, oordinat yang ada adalah: (,, 0,, ) (,, 0,, ) (,, 0,, ) (,, 0,, ). - Untu setiap x S 4, oordinat yang ada adalah: (,,, 0, ) (,,, 0, ) (,,, 0, ) (,,, 0, ). - Untu setiap z S 5, oordinat yang ada adalah: (,,,, 0) (,,,, 0) Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir 9

(,,,, 0) (,,,, 0). Koordinat tersebut dapat dionversian e dalam graf Kincir titi (0 batang) beriut. (, 0,,, ) (0,,,, ) (0,,,, ) (,,,, 0) (,, 0,, ) (,,, 0, ) (0,,,, ) (,,,, 0) (,,, 0, ) (0,,,, ) (,, 0,, ) (0,,,, ) (,,, 0, ) (,,,, 0) (,, 0,, ) (, 0,,, ) (,,,, 0) (,, 0,, ) (, 0,,, ) (, 0,,, ) (,,, 0, ) Gambar Proposisi 7. Misalan terdapat graf Kincir Ki(n) dengan n buah batang. Jia 7 n 0, maa pd[ki(n)] = 5. Dengan cara yang sama, aan didapat pola graf Kincir Ki(n) sebagai beriut. Untu n 5, dimensi partisinya adalah 6. Untu 6 n, dimensi partisinya adalah 7. Untu n 8, dimensi partisinya adalah 8. Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir 0

3.. Pola umum dimensi partisi graf Kincir Ki(n) Penelitian ini bertujuan untu memberian pola umum dimensi partisi graf Kincir untu n batang dengan n. Perhitungan sebelumnya diberian untu memudahan penulis untu menemuan pola umum. Aan tetapi hanya berlau untu n ecil, tida untu n besar. Sebelumnya, diperluan buah proposisi yang berhubungan dengan ardinalitas partisi yang memuat atau tida memuat titi pusat. Lemma 4. Misalan terdapat graf Kincir Ki(n) dengan n batang dan V(Ki(n)) adalah himpunan dari titi-titinya. Misal c adalah titi pusat dan Π = {S, S,..., S } adalah resolving -partition dari V(Ki(n)). Jia c S, maa S. Buti : Koordinat titi pusat c adalah r(c Π) = (0,,,..., ) dan untu setiap v S \ {c}, r(v Π) = (0,...). Elemen vetor dari oordinat r(v Π) untu v S \ {c} hanya boleh diisi oleh dan arena diameter graf Kincir adalah. Aan tetapi, hanya boleh ada paling banya elemen yang bernilai. Hal ini disebaban oleh derajat setiap titi v S \ {c} adalah, yaitu terhadap titi pusat dan sebuah titi u V \ {c, v}. Lebih lanjut, untu setiap titi v S \ {c}, tida boleh bertetangga dengan titi u S \ {c} arena aan mengaibatan r(v Π) = r(u Π) = (0,,,..., ). Pada ahirnya, hanya terdapat ( ) posisi yang hanya boleh diisi dengan sebuah anga dan sisanya dapat diisi oleh anga. Jadi, bila ditambahan dengan oordinat titi pusat, hanya terdapat paling banya oordinat yg berbeda atau S. Lemma 5. Misalan terdapat graf Kincir Ki(n) dengan n batang dan V(Ki(n)) adalah himpunan dari titi-titinya. Misal c adalah titi pusat dan Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir

Π = {S, S,..., S } adalah resolving -partition dari V(Ki(n)). Jia c S, maa S i untu i. Buti : Ambil sebuah himpunan selain S, tanpa mengurangi eumuman, sebut S yang tida memuat titi pusat. Koordinat untu setiap w S adalah r(w Π) = (, 0,...). Terdapat ( ) posisi di dalam vetor oordinat yang dapat diisi oleh paling banya sebuah nilai dan sisanya dapat diisi oleh nilai. Jadi, hanya terdapat paling banya oordinat yang berbeda untu setiap w 0 S atau S i untu i. Teorema 5. Untu setiap titi n batang, ( ) [ ] ( ) = 8 n n Ki pd Buti batas bawah. Misal terdapat graf Kincir Ki(n) dengan n batang yang memilii pd[ki(n)] = dan Π = {S, S,..., S } resolving -partition dari himpunan titi V(Ki(n)). Misal c adalah titi pusat dan c S, dari Lemma 4, ita punya S dan dari Lemma 5, ita juga punya 0 S i untu i. ( ) ( ) ( )( ) 0, = = i S S n Ki V i n Jadi, ( ) 8 n. Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir

Buti batas atas. Misalan Π = {S, S,..., S } adalah partisi dari V(Ki) dan c S dimana c adalah titi pusat di Ki. Misalan {v, v,..., v n } adalah titi-titi di V(Ki) \ {c} sedemiian sehingga v (i-) v (i) E(Ki) untu i n. Perhatian ( ) batang pertama. ( ) buah titi yang berlabel ganjil adalah anggota S, sedangan ( ) titi lainnya yang berlabel genap adalah anggota ( ) partisi selain S. Perhatian ( ) batang selanjutnya. ( ) buah titi yang berlabel ganjil adalah anggota S, sedangan ( ) label genapnya adalah anggota ( ) partisi selain S dan S. Proses ini diterusan sampai tersisa batang dimana edua titinya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang terahir, titi berlabel ganjil adalah anggota S - dan titi berlabel genap anggota S. Selanjutnya, aan ditunjuan bahwa oordinat setiap titi tersebut berbeda. Untu c S, oordinatnya adalah r(c Π) = (0,,,..., ). Untu v S \ {c} terdapat w S i dimana i sehingga vw E(Ki). Koordinatnya adalah r(v Π) = (0,...). Hanya elemen e-i ( i ) yang diisi oleh anga dan sisanya diisi oleh anga sehingga r(v Π) berbeda untu v S \ {c}. Koordinat titi yang berlabel genap bernilai pada elemen pertamanya, tetapi berelemen 0 untu setiap i ( i ) sehingga oordinatnya berbeda. Selanjutnya, untu x S, oordinatnya adalah r(x Π) = (, 0,...). Hanya elemen e-j (3 j ) yang diisi oleh anga sehingga r(x Π) berbeda untu x S. Koordinat titi yang berlabel genap bernilai pada elemen pertama dan edua, tetapi berelemen 0 untu setiap j (3 j ). Dengan cara yang sama, oordinat r(z Π) berbeda untu semua z S i, 3 i. Jadi, Π = {S, S,..., S } adalah resolving - partition dari V(Ki). Jadi, terdapat (... ( )) batang atau ( ) n... ( ) n Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir 3

( 8n ). Jadi, = ( 8n ). Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir 4